2003年哈爾濱工業(yè)大學(xué)量子力學(xué)試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 2003年量子力學(xué)試題解答 一、（30分）回答下列問題 1、何謂微觀粒子的波粒兩象性？解：微觀粒子既不是粒子，也不是波。更確切地說(shuō)，它既不是經(jīng)典意義下的粒子，也不是經(jīng)典意義下的波，但是，它即具有經(jīng)典粒子的第一條屬性（具有確定的質(zhì)量、電荷與自旋），又具有經(jīng)典波動(dòng)的第三條屬性（具有干涉與衍射現(xiàn)象）。嚴(yán)格地說(shuō)，電子就是電子，粒子與波只是微觀粒子的兩種不同的屬性。如果硬是要用經(jīng)典的概念來(lái)理解它的話，那么，它既具有經(jīng)典粒子的屬性又具有經(jīng)典波動(dòng)的屬性，是經(jīng)典粒子與經(jīng)典波動(dòng)這一對(duì)矛盾的綜合體。 2、波函數(shù)是用來(lái)描述什么的？它應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？的物理含義是什么？ 解：波函數(shù)

2、是用來(lái)描述體系的狀態(tài)的復(fù)函數(shù)，除了應(yīng)滿足平方可積的條件之外，它還應(yīng)該是單值、有限和連續(xù)的。表示在時(shí)刻附近體積元中粒子出現(xiàn)的幾率密度。 3、分別說(shuō)明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)與負(fù)宇稱態(tài)？ 解：當(dāng)粒子的坐標(biāo)趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。若一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上的本征態(tài)，則稱該本征值是簡(jiǎn)并的，所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)即為簡(jiǎn)并態(tài)，本征態(tài)的個(gè)數(shù)就是相應(yīng)的簡(jiǎn)并度。將波函數(shù)中的坐標(biāo)變量改變一個(gè)負(fù)號(hào)，若新波函數(shù)與原波函數(shù)相差一個(gè)負(fù)號(hào)，則稱其為負(fù)宇稱態(tài)。 4、物理上可觀測(cè)量應(yīng)該對(duì)應(yīng)什么樣的算符？為什么？ 解：物理上可觀測(cè)量對(duì)應(yīng)線性厄米特算符。線性是狀態(tài)疊加原理要求的，厄米特算符的本征值是實(shí)數(shù)，可與觀

3、測(cè)值比較。 5、坐標(biāo)分量算符與動(dòng)量分量算符的對(duì)易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。 解：對(duì)易關(guān)系為，測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為 6、厄米算符的本征值與本征矢分別具有什么性質(zhì)？ 解：本征值為實(shí)數(shù)，本征矢為正交、歸一和完備的函數(shù)系。 二、（20分）（見習(xí)題選講6.1）設(shè)氫原子處于 的狀態(tài)上，求其能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量分量的可能取值與相應(yīng)的取值幾率，進(jìn)而求出它們的平均值。解：選為描述體系的力學(xué)量完全集，氫原子的本征解為 其中，量子數(shù)的取值范圍是 利用歸一化條件求出歸一化常數(shù)為 氫原子的能量只與主量子數(shù)有關(guān)，以題意可知，的可能取值只有兩個(gè)，即，于是 角動(dòng)量量子數(shù)的可能取值只有一個(gè)，即，故有 角動(dòng)量磁量子數(shù)的

4、可能取值有兩個(gè)，即，于是 三、（25分）有一質(zhì)量為的粒子，在如下勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng) 試求出束縛能級(jí)所滿足的方程。 解：當(dāng)時(shí)，四個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別為 式中， ； 由處波函數(shù)連續(xù)可知，由處波函數(shù)連續(xù)可知再利用處波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件求出此即時(shí)能量本征值滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，四個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別為式中，； 由處波函數(shù)連續(xù)條件可知，或者再利用處波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件利用與的關(guān)系式，將上兩式改寫為最后，得到時(shí)能量滿足的超越方程 四、（25分）設(shè)厄米特算符的本征矢為，構(gòu)成正交歸一完備系，定義一個(gè)算符（1） 計(jì)算對(duì)易子；（2） 證明 ；（3） 計(jì)算跡，其中，算符的跡定義為 ；（4） 若算符的矩陣元為，證

5、明 解：（1）對(duì)于任意一個(gè)態(tài)矢，有 故 （2） （3）算符的跡為 （4）算符而五、 （25分）自旋為、固有磁矩為（其中為實(shí)常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場(chǎng)中，設(shè)時(shí)，粒子處于的狀態(tài)，（1） 求出時(shí)的波函數(shù)；（2） 求出時(shí)與的可測(cè)值及相應(yīng)的取值幾率。解：體系的哈密頓算符為在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為（1） 在時(shí)，粒子處于的狀態(tài)，即為了求出在泡利表象中的具體形式，需要求解滿足的本征方程解之得于是，有由于，哈密頓算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為 （2）因?yàn)?，所以是守恒量，它的取值幾率與平均值不隨時(shí)間改變，換句話說(shuō)，只要計(jì)算時(shí)的取值幾率就知道了時(shí)的取值幾率。由于；故有而的取值幾率為而 六、（25分）（類似習(xí)題選講9.4）已知二維諧振子的哈密頓算符為，在對(duì)其施加微擾后，利用微擾論求基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。 提示：，其中，為線諧振子的第個(gè)本征矢。解：體系的哈密頓算符為 其中，已知的解為其中，將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫出來(lái)， 對(duì)于基態(tài)