八年級(jí)數(shù)學(xué)競賽例題雙曲線專題講解【DOC范文整理】

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)競賽例題雙曲線專題講解專題 11 雙曲線閱讀與思考形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這也是現(xiàn)實(shí)生活中普遍使 用的模型，如通過改變電阻來控制電流的變化，從而使舞臺(tái) 的燈光達(dá)到變幻的效果； 又如過濕地時(shí)，在地面上鋪上木板， 人對(duì)地面的壓強(qiáng)減小，從而使人不陷入泥中.反比例函數(shù)的基本性質(zhì)有：反比例函數(shù)圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，雙曲線向坐標(biāo)軸無限延伸，但不能與坐標(biāo)軸相交；的正負(fù)性，決定雙曲線大致位置及 y 隨 x 的變化情況；雙曲線上的點(diǎn)是關(guān)于中心對(duì)稱的，雙曲線也是軸對(duì)稱圖 形，對(duì)稱軸是直線及.反比例函數(shù)與一次函數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系.如在作圖時(shí)都要經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線的過程；研究它們的性質(zhì)時(shí)，都是 通

2、過幾個(gè)具體的函數(shù)歸納出一般的規(guī)律，但它們畢竟不同.反比例函數(shù)中的幾何意義是：等于雙曲線上任意一點(diǎn)作x 軸、y 軸的垂線所得的矩形的面積，如圖：求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，常通過解由這兩個(gè)函數(shù)解 析式組成的方程組得到.求符合某種條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，常根據(jù)問題的數(shù)量關(guān)系和 幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于橫縱坐標(biāo)的方程，解方程求得相 關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).解反比例函數(shù)有關(guān)問題時(shí)，應(yīng)充分考慮它的對(duì)稱性，這 樣既能從整體上思考問題，又能提高思維的周密性反比例函數(shù)是描述變量之間相互關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型 之一，用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題，既要分析問題情景，建 立模型，又要綜合方程、一次函數(shù)等知識(shí).例題與求解【例 1】如圖，已知雙曲線

3、經(jīng)過矩形oABc 邊 AB 的中點(diǎn)F 且交 Bc 于點(diǎn) E，四邊形 oEBF 的面積為 2,則.如圖， P1oA1, P2A1A2 都是等腰直角三角形， 點(diǎn) P1,P2 在函數(shù)的圖象上，斜邊 oA1，A1A2 都在 x 軸上，則點(diǎn) A2 的坐標(biāo)是.解題思路：對(duì)于，通過連線，把相關(guān)圖形的面積用表示；對(duì)于，設(shè)，把 A，c 兩點(diǎn)坐標(biāo)用 a，b 表示.【例 21如圖，P 是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，直線交 x 軸于點(diǎn) A, 交y 軸于點(diǎn) B, P 丄 x 軸于，交 AB 于 E, PN y 軸于 N,交 AB 于 F,則的值為.解題思路：設(shè)，把 AF, BE 用 a, b 的式子表示.【例 31如圖，已知直線與

4、雙曲線交于A、B 兩點(diǎn)，且點(diǎn)A 的橫坐標(biāo)為 4.求的值；若雙曲線上一點(diǎn) c 的縱坐標(biāo)為 8,求厶 Aoc 的面積； 過原點(diǎn) o的另一條直線 I 交于 P、Q 兩點(diǎn)，若由點(diǎn)AB、 P、Q 為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為 24,求點(diǎn) P 的坐標(biāo).解題思路：對(duì)于，有下列不同的解法：圖 1 圖 2 圖 3對(duì)于，需要思考的是，四邊形 APBQ 的形狀，P 點(diǎn)與 A 點(diǎn) 有怎樣的位置關(guān)系.【例 4】已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的 圖象經(jīng)過，兩點(diǎn).求反比例函數(shù)的解析式；如圖，已知 A 點(diǎn)在象限且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求 A點(diǎn)坐標(biāo)；利用的結(jié)果，請(qǐng)問：在 x 軸上是否存在點(diǎn)卩，使厶 AoP 為等腰三角

5、形？若存在，把符合條件的P 點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.解題思路：對(duì)于，應(yīng)分類討論，并注意A 點(diǎn)坐標(biāo)隱含的信息.【例 5】一次函數(shù)的圖象分別與 x 軸、y 軸交于點(diǎn)、N, 與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn) A、B,過點(diǎn) A 分別作 Ac 丄 x 軸， AE 丄 y軸，垂足分別為 c, E;過點(diǎn) B 分別作 BF 丄 x 軸，BD 丄 y 軸，垂足分別為 F, D, Ac 與 BD 交于點(diǎn)，連接 cD.若點(diǎn) A, B 在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖1,試證明：1；.若點(diǎn) A，B 分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，女口圖 2,則 AN 與 B 還相等嗎？試證明你的結(jié)論.圖 1 圖 2解

6、題思路：對(duì)于，通過連線證明面積相等，進(jìn)而可證ABIIDe,貝 U 四邊形 ANDc DeB 為平行四邊形；方法同.例 5 的拓展變化：如圖，點(diǎn)，N 在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)作E 丄 x 軸，過點(diǎn) N 作 NF 丄 y 軸，垂足分別為 E、F,則 N/ EF.【例 6】點(diǎn)，與點(diǎn) e 構(gòu)成邊長是 3, 4, 5 的直角三角形， 如果點(diǎn) e 在反比例函數(shù)的圖象上，求可能取的一切值.解題思路： 本題是與反比例函數(shù)相關(guān)的綜合題， 運(yùn)用了 代數(shù)化、勾股定理、消元降次、分類討論等思想方法.能力訓(xùn)練A 級(jí)已知是反比例函數(shù)，貝 U .若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則滿足條件的 正整數(shù)的值是.已知雙曲線經(jīng)

7、過點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)在該雙曲線上，且，那已知函數(shù)的圖象上有三點(diǎn)，貝 y,的大小關(guān)系是.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A,B兩點(diǎn)，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x 的取值范圍是.如圖，B 為雙曲線上一點(diǎn)，直線 AB 平行于 y 軸交直線于 點(diǎn) A，若，則.如圖，直線與雙曲線交于 A、B 兩點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 A 丄 x 軸 于點(diǎn)，連接 B,若，則的值是A.2B.C.D.4如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)為 A、B,過 A 作 y 軸的平行線與過 B 作 x 軸的平行線相交于點(diǎn) c,則厶 ABc 的 面積為A.8B.6C.4D.2函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是0.如圖，Rt ABo 的頂

8、點(diǎn) A 是雙曲線與直線在第四象限 的交點(diǎn)，AB 丄 x 軸于 B,且.求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn) A,c 的坐標(biāo)和厶 Aoc 的面積.1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB 與 y 軸、x 軸分別交于點(diǎn) A、點(diǎn) B,與反比例函數(shù)在象限的圖象交于點(diǎn)、， 過 c 點(diǎn)作cE 丄 y 軸于 E,過點(diǎn) D 作 DF 丄 x 軸于 F.求，n 的值；求直線 AB 的函數(shù)解析式；求證： AEZADFB.如圖所示，已知雙曲線的圖象上有兩點(diǎn)，且，分別過， 向 x軸作垂線，垂足為 B，D,過，向 y 軸作垂線，垂足分別 為 A，c.若記四邊形和四邊形的面積分別為，周長分別為，試比較和，和的大小

9、；若 P 是雙曲線上一點(diǎn)，分別過 P 向 x 軸、y 軸作垂線， 垂足分別為，N.試問當(dāng) P 在何處時(shí)四邊形 PoN 的周長最小， 最小值為多少？B 級(jí)已知，且與成反比例，與成反比例 .且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，.直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，則.如圖，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn) A，c， 自點(diǎn)A 和點(diǎn) c 作 x 軸的垂線，垂足分別為 B 和 D,則四邊形 ABcD 的面積等于.已知函數(shù)的圖象與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn) c，B，與雙曲 線交于點(diǎn) A，D，若，則的值為.兩個(gè)反比例函數(shù)和在象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P 在的圖象上，Pc 丄 x 軸于點(diǎn) c，交的圖象于點(diǎn) A，PD 丄 y 軸于

10、點(diǎn) D, 交的圖象于點(diǎn) B，當(dāng)點(diǎn) P 在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有以下結(jié)論：厶 oDB 與厶 ocA 的面積相等；2四邊形 PAoB 的面積不會(huì)發(fā)生變化；3PA 與 PB 始終相等；4當(dāng)點(diǎn) A 是 Pc 的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn) B 一定是 PD 的中點(diǎn).其中一定正確的是.如圖，正方形 oABc, ADEF 的頂點(diǎn) A D, c 在坐標(biāo)軸上， 點(diǎn) F在 AB 上，點(diǎn) B，E 在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)E 的坐標(biāo)是A.B.c.D.如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和在象限內(nèi)的圖象依次是曲線和，設(shè) P 點(diǎn)在上，PE 丄 x 軸于點(diǎn) E,交于點(diǎn) A, PDL y 軸于點(diǎn) D 交于點(diǎn) B,貝 U 四邊形 PAoB 的面積為A.B.c.D.等

11、腰直角三角形 ABc 位于象限，直角頂點(diǎn) A 在直線上， 其中 A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1,且兩條直角邊 AB Ac 分別平行于 x 軸、y 軸，若雙曲線與 ABc 有交點(diǎn)，則的取值范圍是A.B.c.D.如圖，正方形 oABc 的面積為 9,點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在 x軸上，點(diǎn) c 在 y 軸上，點(diǎn) B 在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)是函數(shù) 的圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P 分別作 x 軸、y 軸的垂線，垂足分別為 E, F,并設(shè)矩形 oEPF 和正方形 oABc 不重合部分的 面積為 S.求 B 點(diǎn)坐標(biāo)和的值；當(dāng)時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；寫出 S 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.0.如圖，已知直線交 x 軸于 A,交 y 軸于 B, P 為反比例 函數(shù)上一點(diǎn)，過 P 作 x 軸平行線交直線 I 于 E，過 P 作 y 軸 平行線交直線I 于 F.求的值.11.已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)，.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；求厶 oN 的面積.已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和 x 軸，y 軸分別交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B，且.這條曲線是函數(shù)的圖象 在象限內(nèi)的一個(gè)分支，點(diǎn) P 是這條曲線上任意一點(diǎn)，它的坐 標(biāo)是，由點(diǎn) P 向 x軸、y 軸作垂線 P，PN 分別與直線