第二章靜電場(二)

1、1第二章 靜 電 場(二)22-1 靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用2-2 平行雙電軸法 2-3 無限大導(dǎo)電平面的鏡象法 2-4 球形導(dǎo)體面的鏡象 2-5 無限大介質(zhì)交界平面的鏡象2-6 電容與電容的計算 2-7 雙輸電線的電容 2-8 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容 2-9 帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布2-10 虛位移法計算電場力 第二章 靜 電 場(二)32-1 靜電場的唯一性定理及其應(yīng)用唯一性定理及其重要意義唯一性定理及其重要意義 靜電場中，滿足一定邊界條件(即前述三類邊界條件)的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。靜電場解的唯一性定理 當(dāng)場中介質(zhì)及各導(dǎo)體的分布一定時：(1)給定各導(dǎo)體表面的電位值(見

2、圖2-1)，此時由邊值問題解得之電位函數(shù)為唯一。圖2-1 位于不同介質(zhì)的兩給定電位的帶電導(dǎo)體4圖2-2 位于不同介質(zhì)的兩給定電荷的帶電導(dǎo)體(2)導(dǎo)體表面為等位面，給定各導(dǎo)體表面的電荷量(圖2-2)，此時由邊值問題所解得的電位函數(shù)，僅相差一無關(guān)緊要的常數(shù)。(3)若給定某些導(dǎo)體表面的電位值，及其它每一導(dǎo)體表面(導(dǎo)體表面為等位面)的電荷量 (見圖2-3)，此時由邊值問題所解得的電位函數(shù)為唯一。圖2-3 位于不同介質(zhì)量分別給定電荷和給定電位的兩帶電導(dǎo)體5唯一性定理的應(yīng)用唯一性定理的應(yīng)用等位面法等位面法 根據(jù)唯一性定理，若沿場的等位面任意一側(cè)，填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則等位面另側(cè)的電場保持不變。如圖2-4為兩平行

3、輸電線的電場，若沿場中任一等位面k之一側(cè)(這里我們沿其內(nèi)側(cè))填充導(dǎo)電媒質(zhì)(見圖2-5)，則導(dǎo)電媒質(zhì)以外之另一側(cè)，其電場不變。因為這樣處理之后：1.它保持了另一側(cè)場的邊界形狀及介質(zhì)分布不變，且對另一側(cè)場而言，邊界仍為等位面。填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，邊界上的總電荷量等于填充導(dǎo)電媒質(zhì)前邊界上所穿過的總電通量，即 亦即邊界條件沒有變化。2.它保持了另一側(cè)場的介質(zhì)及電荷分布不變。因而根據(jù)唯一性定理，另一側(cè)的場沒有變化。由于這一方法是沿等位面填充介質(zhì)，因而稱之為等位面法。SdnSdD6圖2-4 兩平行輸電線的電場圖2-5 沿場的等位面一側(cè)，填充導(dǎo)電媒質(zhì)后的電場7例例2-12-1 靜電場唯一性定理在解靜電屏蔽現(xiàn)象中

4、的應(yīng)用。解解 在物理學(xué)中，已知靜電屏蔽現(xiàn)象：(1)接地的封閉導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場；(2)封閉導(dǎo)體殼無論它是否接地，則殼內(nèi)的電場不受殼外電荷的影響。作為唯一性定理的應(yīng)用，我們來討論上述結(jié)論。圖2-6(a)表示一種情形。設(shè)封閉導(dǎo)體殼的外表面為S1，對于殼外區(qū)域而言，它是一個邊界面。無論殼內(nèi)電荷q1在數(shù)量上增減或作位置上的移動，由于導(dǎo)體殼接地，恒有 ，始終沒有改變殼外區(qū)域邊界面上的邊界條件。因此在這種情況下，殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場。01s圖2-6 例2-1圖81qSdnS圖2-6(b)表示第二種情形。設(shè)封閉導(dǎo)體殼的內(nèi)表面為S2，對于殼內(nèi)區(qū)域而言它是一個邊界面。首先，S2是一個等位面。其

5、次，如在殼內(nèi)緊貼S2作一高斯面S，則有即電位移矢量 的通量為q1。因此以S2作為導(dǎo)體殼內(nèi)電場的一個邊界面，通過它的電通量僅僅決定于導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷，而與殼外的電荷分布是無關(guān)的。根據(jù)唯一性定理，當(dāng)導(dǎo)體殼內(nèi)帶電導(dǎo)體都是給定電荷量時，電位函數(shù)可以相差一個常數(shù)，但是電場強度是唯一確定的。它不受導(dǎo)體殼外電荷q2的影響。這時甚至殼內(nèi)的電位函數(shù)也是唯一確定的?？傊?，在第二種情況下，導(dǎo)體殼內(nèi)的電場不受殼外電荷的影響。D9平行雙電軸電場是一個平行平面場，在垂直于電軸的各個平面上，場有完全相同的分布圖形。設(shè)介質(zhì)電容率為0的空間有兩無限長平行電軸，兩電軸所帶有的電荷線密度分別為0102RRE0202RRE ,2-2

6、平 行 雙 電 軸 法平行雙電軸電場平行雙電軸電場(2-1)(2-2) 由高斯定理可得兩電軸分別產(chǎn)生的電場強度表達(dá)式為圖2-7 兩平行輸電線表面電荷分布10 102/ln2ln21RDRdEDRP 202/ln2ln22RDRdEDRP210ln2lnln2ln2RDRDppp（2-5）圖2-8 兩電軸外任意一點P的電場由疊加原理，點P的電位為(2-4)(2-3)選取坐標(biāo)軸的原點o為零電位點 ， 點P電位為11圖2-9 平行雙電軸電場等位線的分布規(guī)律 在雙電軸的電場中，等位面是一組偏心的圓柱族面。通常稱零等位線的那個等位面為零電位面或中性面。12設(shè)某個等位圓之半徑為R0，等位圓圓心至中性面距離

7、為x0，以及電軸至中性面的距離為 D/2，則R0、x0與D三者間的關(guān)系，可通過簡單幾何關(guān)系求得。在等位圓上選擇特殊點A及B，令R2/R1=R2/R1=K(常數(shù))，則有圖2-10 兩平行同半徑圓柱的等效電軸位置000000002222RDxDDxRRxDDxRk(2-6)22002DxR(2-7)13可知： 1)若已知電軸位置，選取任意點x0為圓心，即可作出以x0為圓心R0為半徑的等位圓。 2)若已知電軸位置，給定任意的R0，亦可作出此等位圓圓心所在處x0的等位圓。 3)若已知R0，及圓心的位置x0，亦可推出電軸所在的位置，亦即推求出距離D14圖2-11 兩平行同半徑圓柱體的幾何中心軸與等效電軸

8、的位置 具有相同半徑R0的平行雙輸電線。設(shè)每根導(dǎo)線單位長度上所帶的電荷量分別為+及-，求電場分布?？烧J(rèn)為導(dǎo)線的圓截面是沿某待求的雙電軸所形成的等位圓填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得，根據(jù)等位面法，此問題轉(zhuǎn)化為求解雙電軸的電場，而由式(2-7)，可以容易地求得雙電軸的位置。平行雙電軸法平行雙電軸法22002DRx(2-8)152020202022RxRxD由式(2-9)及式(2-10)可求得dxx00dRRdx2202020(2-11)(2-10) (2-9) 對于相互平行但半徑不同的帶電圓柱導(dǎo)體，半徑R0與R0以及兩圓柱體軸心距離d已知，得02020202xddRRdx(2-12)圖2-12 兩不同半徑的平行

9、圓柱體的等效電軸的位置解得x0及x0可求兩電軸的距離16圖2-13 兩不同半徑的偏心圓的等效電軸的位置 對于兩偏心圓柱套筒的電場，在已知兩圓柱套筒半徑R0、R0以及圓柱軸心間距離d的情況下，可得ddRRx2220200ddRRx2220200從而可求兩電軸的距離D。(2-13)(2-14) 電軸法在求解雙輸電線電容及偏心圓柱套筒等的電容問題中被廣泛運用。17cmdRRdx25.235022015502222202020cmxdx75.265 .235000cmRxD76.171525.232222020電軸到中性面的距離為中性面到半徑R0的圓柱面的幾何中心的距離為例例2-2 空中兩根互相平行、

10、無限長的導(dǎo)體圓柱上帶有等量異號電荷。設(shè)單位長度的電量=10-8C/m，圓柱的半徑各為R0=15cm,R0=20cm，兩圓柱的幾何軸線間距離為d=50cm。試求電軸的位置、零位(中性)面的位置。解解 對于兩半徑不等的平行導(dǎo)體圓柱，根據(jù)式(2-11)可確定中性面到半徑為R0的圓柱面的幾何中心的距離為18 所謂鏡象法，是基于唯一性定理的。此方法的特點是以場域外虛擬的集中電荷代替場域邊界上分布電荷的作用，使場的邊界條件保持不變，從而保持被研究的場不變。由于虛擬電荷往往與場域內(nèi)的集中電荷互為鏡象(平面鏡象或曲面鏡象)，故稱為鏡象法。2-3 無限大導(dǎo)電平面的鏡象法點電荷對無限大導(dǎo)電平面的鏡象點電荷對無限大

11、導(dǎo)電平面的鏡象 若有一點電荷q，其與無限大地平面(地為導(dǎo)電平面)相距h高度，試求上半場域中的場量。根據(jù)唯一性定理，這個問題所給的條件是齊備的：對于場域內(nèi)部，除點電荷所在點(奇異點)之外，均滿足拉普拉斯方程。圖2-14 地面上方h處有一點電荷q19對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷(感應(yīng)電荷)已知為-q。設(shè)想將無限大地平面撤去，而將下半場域亦充以電容率為0的媒質(zhì)，且以地平面為鏡象，在電荷q的鏡象位置，放置一點電荷-q。對于上半場域，其內(nèi)部未作任何變更，邊界條件也沒有改變。圖2-15 地面下方h處置一鏡象電荷-q代替大地影響20圖2-16 大地對點電荷電場的影響填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，

12、電荷-q即轉(zhuǎn)移至無限大地平面上，根據(jù)等位面法，上半域的電場仍保持不變，即上半域的電場完全可以作為兩點電荷電場進(jìn)行求解。導(dǎo)電平面鏡象問題的特點：鏡象電荷必在被研究場域邊界外，所處位置與場源電荷以平面對稱。鏡象電荷的電量與邊界面有總電荷量相等，與場源電荷量大小相等、符號相反，而被研究場域邊界電位值為零。圖2-17 用鏡象電荷代替大地的影響21無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用無限大導(dǎo)電平面鏡象法的應(yīng)用應(yīng)用(1)：圖2-18 夾角為直角的兩相聯(lián)導(dǎo)電平面的鏡象(a)直角區(qū)域內(nèi)的點電荷；(b)圖(a)的鏡象電荷應(yīng)用（2）：圖2-19夾角為的兩相聯(lián)無限大導(dǎo)電平面的鏡象(a)特殊角 (2/偶數(shù))區(qū)域的點電荷；(b)

13、圖(a)的鏡象電荷22應(yīng)用（3）：圖2-20 長直圓柱導(dǎo)體對導(dǎo)電平面的鏡象 (a)大地上方h處平行放置長直圓柱導(dǎo)體；(b)圖(a)的鏡象此時要求2/偶數(shù)，否則無法將整個空間劃分為同一大小的均勻區(qū)域，從而不能保證被研究場域的邊界電位值為零。23例例2-3 帶電的云與地面之間形成一均勻向下的電場E0，如圖所示。由于大氣電場的影響將導(dǎo)致高度為l處的高壓輸電線A的電位升高。若在A的上方又架設(shè)有架空地線G，半徑為r0，G是經(jīng)過支架接地的，則在架空地線G上感應(yīng)出負(fù)電荷，地面上感應(yīng)出正電荷。將這些感應(yīng)電荷的電場疊加到大氣電場以后可以降低A處的電位。工程上采用這種方法使得高壓輸電線免受雷擊，試求由于架空地線的

14、屏蔽作用而導(dǎo)致A處電位的變化。圖2-21 例2-3圖24hr2ln2001hE02hEhr000212ln2hrhE2ln2000解解 設(shè)架空地線單位長度上的感應(yīng)負(fù)電荷為-。地面上的感應(yīng)正電荷可視為-感應(yīng)所致，它在大氣中產(chǎn)生的電場可以用-的鏡象電荷+來代替，如圖所示。因為架空地線的半徑r0較之它與鏡象之間的距離2h小得多，可以認(rèn)為電軸與幾何軸線重合，根據(jù)式(2-5)，架空地線的電位為故得因為接地，所以在大氣電場中架空地線的電位為25因此，高壓輸電線A處的電位由原來的 降低為lE00hrlhlhhElElhlhlE2lnlnln200000hrlhlhlhl2lnln00%1 .610 架空地線

15、的重要作用，是使其自身表面造成很大的場強，其值可達(dá)大氣電場場強的幾十倍至幾百倍，因此當(dāng)大氣的場強很高發(fā)生雷電時，可以引導(dǎo)輸電線附近的閃電偏向于架空地線，從而保護(hù)高壓輸電線免受直接的雷擊 。若h=11m，l=10m，r0=0.004m，得相對值為262-4 球形導(dǎo)體面的鏡象球形導(dǎo)體面的鏡象 點電荷q的電場中，置有一半徑為R的接地導(dǎo)體球(其電位為零)，球心至點電荷的距離為d。在點電荷的電場中，引入一中性導(dǎo)體球后，球面兩側(cè)將分別出現(xiàn)等量而異號的感應(yīng)電荷 +q與-q。球面感生的負(fù)電荷(或正電荷)，其數(shù)值必較電荷q為小，即q-q。接地導(dǎo)體球?qū)c電荷的鏡象接地導(dǎo)體球?qū)c電荷的鏡象圖2-22 接地導(dǎo)體球鄰近

16、點電荷時產(chǎn)生的感應(yīng)電荷27圖2-23 接地導(dǎo)體球?qū)c電荷的鏡象 若此時將球與地聯(lián)接，則球面所感應(yīng)的正電荷將受電場力的作用而流入地中，球體凈剩分布于其表面的感應(yīng)負(fù)電荷，球面電位為零。按鏡象法原理將導(dǎo)體球撤去，使整個空間充以電容率為0的同一媒質(zhì)，并在距球心b處，置一虛擬的集中鏡象電荷-q，來代替球面分布電荷的作用。若此時仍能保持球面的電位為零，則球面以外的電場，可視為點電荷q及-q所共同產(chǎn)生的電場，運用點電荷場強公式及疊加原理，即可求解。280442010RqRqp (2-15) 設(shè)球面電位為零，因而在截取的平面上，對于以R為半徑的圓周上的任意點P，其電位表達(dá)式為qqRR12 R2及R1分別為點P

17、至點電荷-q及q的距離。由于點電荷q為確定值，q亦必為確定值，故有 在圓上選取兩特殊點C及DkqqRR12(常數(shù))(2-16)RdbRRdbRk(2-18) (2-17)解上式得 b=R2/d29dRqRddRRqRdbRqq2(2-19)由式(2-16)進(jìn)一步可得 可以驗證在點電荷q和-q的共同作用下，原導(dǎo)體球面上任一動點p處的電位為零。這樣在求得q與b值之后，就可解決求解導(dǎo)體球外部電場的問題。分析：（1）當(dāng)距離d一定時導(dǎo)體球半徑R愈大則鏡象電荷q亦愈大。這是因為半徑愈大時，球面愈大，其離點電荷q愈近，所受電場力愈大，因而球面上感應(yīng)電荷亦愈多。同理，當(dāng)R一定時d愈大，球面離點電荷距離愈遠(yuǎn)，球

18、面所受電場力亦愈小，故球面感應(yīng)電荷愈小。30（2）當(dāng)導(dǎo)體球半徑愈大時，靠近點電荷q一側(cè)的導(dǎo)體球面其所感應(yīng)的電荷愈密集，因而與球面感應(yīng)電荷相等效的鏡象電荷q的位置將愈靠近點電荷q之一側(cè)，亦即b愈大；當(dāng)點電荷q遠(yuǎn)離導(dǎo)體球時，球面感應(yīng)電荷的密集程度減少，整個球面上感應(yīng)電荷面密度愈來愈均勻，因而鏡象電荷將愈靠近導(dǎo)體球心，即b隨距離d的增大而減小。（3）若運用等位面法考慮上述問題時，可以認(rèn)為圖2-22乃是圖2-23沿等位球面填充導(dǎo)電媒質(zhì)所得。當(dāng)沿等位球面填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，電荷q即轉(zhuǎn)移至導(dǎo)體球表面，此時導(dǎo)體球外側(cè)的電場仍保持不變，亦即球外的電場，可以視為兩點電荷(-q及q)的電場進(jìn)行求解。31不接地導(dǎo)體球?qū)?/p>

19、點電荷的鏡象不接地導(dǎo)體球?qū)c電荷的鏡象 若引入點電荷場中的導(dǎo)體球不接地，可知導(dǎo)體表面的邊界條件:)球面為等位面；)因?qū)w球原不帶電，引入電場后，其所感應(yīng)的正電荷量與負(fù)電荷量相等，故球面總電荷量為零。 若在前面所討論的基礎(chǔ)上，于球心o處放置一點電荷q，則能滿足上述的邊界條件。這樣導(dǎo)體球外的電場，即可看為由點電荷q、q及-q三者所共同激發(fā)的電場。圖2-24 不接地導(dǎo)體球?qū)c電荷的鏡象32例例2-4 空氣中有一內(nèi)外半徑分別為R11和R22的導(dǎo)體球殼原不帶電，其內(nèi)腔介質(zhì)為0，若于殼內(nèi)距球心為b處放置點電荷q，求球殼內(nèi)外的電場強度和電位。解解 點電荷q在球殼的內(nèi)、外表面上感應(yīng)電荷分別為-q和q?？梢宰C明

20、球殼外表面的電荷q是均勻分布的。殼外的電場完全由這些均勻分布的感應(yīng)電荷所激發(fā)，因此得到殼外的電場強度0204RRqE外圖2-25 例2-4圖33 電位為 (RR22)，其中R為球心到場點的距離， R0為單位矢量。球殼內(nèi)表面作不均勻分布的感應(yīng)電荷-q和點電荷q只在球殼內(nèi)部激發(fā)電場，殼內(nèi)的電場使得半徑為R11的內(nèi)球面為等位面和進(jìn)入內(nèi)球面的電位移 的通量為q。 仿照求解導(dǎo)體球外電場時在球內(nèi)設(shè)置鏡象電荷的方法求解球面內(nèi)的電場，在球面外設(shè)置鏡象電荷-q，如圖(b)所示。204Rq外D34由式(2-18)、式(2-19)，令則點電荷-q和q使得半徑為R11的球面電位為零，滿足等位面的要求，并且沒有改變進(jìn)入

21、內(nèi)球面的電位移 的通量。所以球面外鏡象電荷-q可以代替分布的感應(yīng)電荷，其在球面內(nèi)任一點P所產(chǎn)生的電場強度為式中，R1、R2分別是點電荷q、-q到場點P的距離， 為相應(yīng)的單位矢徑。球內(nèi)點P處的電位應(yīng)由此兩點電荷所產(chǎn)生的電位，及導(dǎo)體球殼電位疊加而成。220112010444RqbRRqRq內(nèi)02221102010022001210444RbRRRRqRRqRRqE內(nèi)bRd211bRqRdqq1111D0201, RR352-5 無限大介質(zhì)交界平面的鏡象 設(shè)有電容率分別為1及2的媒質(zhì)區(qū)域，區(qū)域交界處為無限大平面，若在媒質(zhì)1中，離界面高度h處，置一點電荷q，欲求此時上、下半無限大場域的電場。 求解上半

22、場域時，將下半場域媒質(zhì)，換以電容率為1的媒質(zhì)，且在邊界外點電荷q的鏡象位置處，放置一未知點電荷q，以代替邊界面上分布的束縛電荷的作用。求解下半場域時，將上半場域的媒質(zhì)換以電容率為2的媒質(zhì)，在邊界外點電荷q處，加置一未知鏡象點電荷q，并考慮到無限遠(yuǎn)電位為零的條件( )，就能運用點電荷公式，求得交界面上任意點P的場量，對于媒質(zhì)1中的點P有0sin4sin4221RqRqDn(2-20)36圖2-28 交界面上的束縛電荷和原電荷用q來代替圖2-26 介質(zhì)交界面外的點電荷圖2-27 交界面上束縛電荷用鏡象電荷q來代替圖2-29 介質(zhì)交界面上的極化電荷3711144RqRq對于圖2-28媒質(zhì)電容率為2中

23、的點P有sin422RqDn 224Rq 121221nnDD121221qqq 根據(jù)連接條件：得(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)111qqq (2-25)聯(lián)立求解式(2-24)、式(2-25)得qq2121qq2122 (2-27)38圖2-30 平行于介質(zhì)交界面的線分布電荷圖2-31 線分布電荷在兩種不同介質(zhì)中的電場 從上兩式鏡象電荷可以求出，且有惟一確定的值，分別求解所要求的上半場域與下半場域的電場。當(dāng)12時，q=0，q=q，整場域變?yōu)榫鶆蛎劫|(zhì)場域，束縛電荷將不復(fù)存在。 如圖例2-30所示無限大介質(zhì)平面上，置有一帶電長直導(dǎo)線的電場，即可運用上述方法求解。39解解 比照點電

24、荷對無限大介質(zhì)分界平面的鏡象，將式(2-27)推廣到線電荷的情形。由于Rh ，可將導(dǎo)線表面電荷視為集中到幾何軸線上的線電荷。求水中電場時，將上半空間的媒質(zhì)換為800，而導(dǎo)線的電荷連同交界面上分布的極化電荷可等效為圖2-32 例2-5圖例例2-5 離河面高度為h處，有一輸電線經(jīng)過，導(dǎo)線單位長度的電荷量，且導(dǎo)線半徑Rh。設(shè)河水的電容率為800，求水中的電場強度。81160808022000212 40 yxyxyxehyxhyehyxxeRhyeRxeRhyeRxRRRE22220202202818016216022故水中任一點P(x，y)的電場強度41UQC (2)孤立導(dǎo)體電容的定義：當(dāng)空間僅存

25、有一孤立導(dǎo)體時，可設(shè)另一導(dǎo)體在無限遠(yuǎn)處，因而孤立導(dǎo)體的電容即是導(dǎo)體所帶的電量與其電位之比。即 電容電容 (1)雙導(dǎo)體電容的定義：設(shè)空間僅有兩導(dǎo)體，若兩導(dǎo)體分別帶有等值而異號的電荷，此電荷的量值q與兩導(dǎo)體間電壓U之比，定義為兩導(dǎo)體間的電容，通常以C表示 (2-28)(2-29)QC2-6 電 容 與 電 容 的 計 算42RC04 式中：R為孤立導(dǎo)體球的半徑；0為空間媒質(zhì)的電容率。在國際單位制中電容的單位為法拉(F) 。 1F是一個非常大的量。由孤立圓球的電容計算得，地球的電容量不足1F。實用中常采用微法(10-6F或表為F)或皮法(10-12F或表為pF)。 在線性媒質(zhì)中，兩導(dǎo)體間的電容僅決定

26、于兩導(dǎo)體本身幾何尺寸、相互位置和空間媒質(zhì)的電容率的量，而與兩導(dǎo)體所帶的電量以及兩導(dǎo)體間電壓的數(shù)值無關(guān)。 孤立導(dǎo)體球的電容計算公式(2-30)可看到上述特征。 (2-30)43ll dEU電容的求解方法電容的求解方法 從電容的定義式可知，欲求兩導(dǎo)體間電容，可先賦予兩導(dǎo)體以等值而異號的電量q，再求在其作用下，兩導(dǎo)體間的電壓U，然后按定義式(2-28)即可求得兩導(dǎo)體間電容C。此時兩導(dǎo)體間電壓可通過積分式求得。(2-31) 根據(jù)電容的定義式，也可先賦予兩導(dǎo)體以電壓U，再求在此情況下，每導(dǎo)體所具有的電量q，同樣按式(2-28)求得兩導(dǎo)體間電容C。每導(dǎo)體所具有的電量，可通過積分式求得。(2-32)sSnd

27、SEdSq4422122221221,0V,abCVCQsAdvdvEWdAabVQCAQddsddzsbadlEabbaAQszasE板的電位為板相對則導(dǎo)體間電場強度為勻為電荷在極板上分布均解：忽略邊緣效應(yīng)，認(rèn)例：兩間距為d板面積為A的平行導(dǎo)電板構(gòu)成一平板電容器，上面板電荷為Q，下面板為Q，問電容是多少？并用系統(tǒng)電容表示媒質(zhì)中儲能。45即因此滿足要求的球形電容器的半徑比R2/R1101。例例2-6 球形電容器的內(nèi)球外半徑為R1，外球的內(nèi)半徑為R2。介質(zhì)的電容率為0。要使得這一電容器的電容與空氣中半徑為R1的孤立導(dǎo)體球的電容之比不超過后者的1%，試確定球形電容器的內(nèi)外半徑比(R2/R1)。 解

28、解 設(shè)球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體球的電荷為q，則電容器中的電場強度為 (R1RC0，在上式中，令h，同樣可以得到忽略地面影響的電容計算式(2-45)。 按電容的定義，可得考慮地面影響時單位長度兩導(dǎo)線間的電容為55部分電容的概念部分電容的概念 在實際問題中常常要遇到帶電的多導(dǎo)體系統(tǒng)(如三芯電纜)，此時每兩帶電導(dǎo)體間均有所謂部分電容存在。圖2-39繪出了外殼接地的三芯電纜的部分電容情況，其中C11、C22、C33分別為導(dǎo)體1、2、3對地的自部分電容。C12為導(dǎo)體1、2間的互部分電容,C23為導(dǎo)體2、3間的互部分電容，而C31則為導(dǎo)體3、1間的互部分電容。2-8 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容圖2-38 三芯電纜圖2

29、-39 三芯電纜的部分電容示意56大地影響的雙輸電線系統(tǒng)及三相輸電系統(tǒng)也都是一個多導(dǎo)體系統(tǒng)，它們的互部分電容和自部分電容表示在圖2-40中。圖2-41中繪出了考慮大地影響時，三相輸電線的部分電容情形。在帶電的多導(dǎo)體系統(tǒng)中，每一導(dǎo)體的電位與所有帶電導(dǎo)體的電荷都是相關(guān)的。圖2-41 三相輸電線的部分電容圖2-40 雙輸電線部分電容57 設(shè)在電容率為的線性媒質(zhì)空間有三個導(dǎo)體，當(dāng)給定導(dǎo)體1電荷量為q1，其它導(dǎo)體不給電荷時，2、3導(dǎo)體將僅有感應(yīng)電荷。雖然此時每導(dǎo)體表面電荷密度不為零，但2、3每一導(dǎo)體的總電荷應(yīng)為零。如果將導(dǎo)體1上的電荷量由q1增加至q1，則導(dǎo)體1上各處的電荷密度，均將同時增加K倍。這是因

30、為導(dǎo)體所帶的總電荷量與其表面電荷密度間存在著線性關(guān)系。多導(dǎo)體系統(tǒng)中導(dǎo)體電荷與電位的線性關(guān)系多導(dǎo)體系統(tǒng)中導(dǎo)體電荷與電位的線性關(guān)系圖2-42 給定導(dǎo)體1的電荷量在導(dǎo)體2、3上感應(yīng)的電荷圖2-43 感應(yīng)電荷量與引起感應(yīng)的電荷成比例58 顯然，此時由導(dǎo)體1所發(fā)出的電力線，其密度亦將在原有基礎(chǔ)上增加K倍，2、3導(dǎo)體上每一導(dǎo)體處感應(yīng)電荷的面密度亦將同時增加K倍。由面分布電荷電位計算式(1-8) ，并運用疊加原理可知：場中所有電荷分布處，當(dāng)各點電荷面密度同時增加K倍時，場中所有點的電位(包括導(dǎo)體表面點)亦增加K倍。這就說明：其它導(dǎo)體所帶電荷量為零時，當(dāng)導(dǎo)體1的電荷(或電位)增加K倍時，場中所有點的電位于(或

31、電荷)亦將增加K倍。更一般的說法是：在線性媒質(zhì)空間的多導(dǎo)體系統(tǒng)中，場中所有點(包括導(dǎo)體表面點)的電位，與每一導(dǎo)體的電荷量間具有線性關(guān)系。59多導(dǎo)體系統(tǒng)中的電位系數(shù)多導(dǎo)體系統(tǒng)中的電位系數(shù) 設(shè)在電容率為的線性媒質(zhì)空間有1、2、3三個導(dǎo)體，若給導(dǎo)體1以電荷q1，而第2、3兩導(dǎo)體不給電荷(其上有感應(yīng)電荷，每導(dǎo)體總電荷量為零)，則根據(jù)電位與電荷的線性關(guān)系，場中點A的電位式中： 為導(dǎo)體1對點A的電位系數(shù)，電位系數(shù)的單位為伏特每庫侖(V/C)。同理當(dāng)導(dǎo)體2、3分別帶有電荷q2、q3時其在空間點A所產(chǎn)生的電位為式中： 、 分別為導(dǎo)體2及導(dǎo)體3對點A的電位系數(shù)。111qAA222qAA3133qAA332211

32、321qqqAAAAAAA(2-50)根據(jù)疊加原理，此時場中點A的電位2A3A1A60 如將所觀察的點A，分別選取在導(dǎo)體1、2、3上，則得三導(dǎo)體的電位 方程表明：線性媒質(zhì)空間中各導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體電荷間的線性關(guān)系。具有相同下標(biāo)的電位系數(shù) 、 稱之為導(dǎo)體的自電位系數(shù)，具有不同下標(biāo)的電位系數(shù) 、 、 、 、 、 則稱之為兩導(dǎo)體的互電位系數(shù)，它們都具有明顯的物理意義。3132121111qqq3232221212qqq3332321313qqq（2-54）11223312132123313261 僅給導(dǎo)體1以單位電荷時導(dǎo)體1本身所具有的電位數(shù)值。此時若以無限遠(yuǎn)點為零電位點，則當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為正時，

33、其自身的電位應(yīng)為正，因而 為正。若當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為負(fù)時，其自身的電位亦應(yīng)為負(fù)，因而比例常數(shù) 仍為正，故知自電位系數(shù) 恒為正。 、 同理。 僅給導(dǎo)體1以單位電荷時，導(dǎo)體2上所具有的電位數(shù)值。當(dāng)導(dǎo)體1所給電荷為正時，導(dǎo)體2所具有的電位為正，當(dāng)導(dǎo)體上1所給電荷為負(fù)時，導(dǎo)體2所具有的電位亦為負(fù)，故互電位系數(shù) 亦恒為正。同時可以推及其它具有不同下標(biāo)電位系數(shù)的物理意義，及其恒為正的屬性。111111112233212162圖2-44 導(dǎo)體1給定正電荷時的電位梯度方向圖2-45 導(dǎo)體1給定負(fù)電荷時的電位梯度方向 無論是自電位系數(shù)或互電位系數(shù)，它們的數(shù)值將決定于每一導(dǎo)體的幾何形狀、導(dǎo)體與導(dǎo)體間的相互位置以及

34、空間媒質(zhì)電容率。無論是空間媒質(zhì)的改變，或是任一導(dǎo)體的形狀與位置的改變，都將影響所有電位系數(shù)的數(shù)值。63333223113333222211223312211111AAAAAAqAAAAAAqAAAAAAq (2-55) 多導(dǎo)體系統(tǒng)的靜電感應(yīng)系數(shù)多導(dǎo)體系統(tǒng)的靜電感應(yīng)系數(shù) 在實際問題中，常常已知多導(dǎo)體系統(tǒng)中各導(dǎo)體的電位，此時如果要求各導(dǎo)體的電荷，則可對式(2-54)所示諸方程進(jìn)行求解。333231232221131211A3332232211A式中(2-56)643132121111q3232221212q3332321313qAA1111AA1212AA1313AA3333(2-58) 其中11

35、、22、33稱為導(dǎo)體的自靜電感應(yīng)系數(shù)，12、13、21、23、31、32則為導(dǎo)體間的互靜電感應(yīng)系數(shù)，單位為庫侖每伏特(C/V)。65 11僅給導(dǎo)體1以單位電位其余導(dǎo)體聯(lián)接并接地時，導(dǎo)體1上所具有的電荷值。當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為正時，其上電荷亦為正，11應(yīng)為正。當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為負(fù)時，其上電荷亦為負(fù)，因而11仍應(yīng)為正，故11恒為正。 21僅給導(dǎo)體1以單位電位，其余導(dǎo)體聯(lián)接并接地時，導(dǎo)體2上所具有的電荷值。當(dāng)所給導(dǎo)體1的電位為正時，導(dǎo)體2上所具有的電荷為負(fù)，故21為負(fù)。所給導(dǎo)體1的電位為負(fù)時，導(dǎo)體2上所具有的電荷為正，21仍應(yīng)為負(fù)，故21恒為負(fù) 。 按照同樣的方法，可推及其它自靜電感應(yīng)系數(shù)及互靜電

36、感應(yīng)系數(shù)的正負(fù)屬性。66 如果互電位系數(shù)具有互換性質(zhì)的話，則互靜電感應(yīng)系數(shù)亦具有互換性質(zhì)，即12=21, 13=31, 23=32。當(dāng)所有靜電感應(yīng)系數(shù)，以及導(dǎo)體的電位已知時，由式(2-57)可求得各導(dǎo)體上的電荷。圖2-46 導(dǎo)體1給定對地正電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷圖2-47 導(dǎo)體1給定對地負(fù)電位，接地導(dǎo)體2、3上的感應(yīng)電荷6710011U 10120121022UU 10130131033UU303332313232313132323202322212121213131212101312111UUUqUUUqUUUq（2-62）(2-61)(2-60)(2-59)將以上三式代入式(2-

37、57)中，并稍整理得多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容 在工程實際問題中，多數(shù)情況下已知的是導(dǎo)體間電壓，因而有必要對式(2-57)進(jìn)行改寫。如令地(或某一導(dǎo)體、或無限遠(yuǎn)處)為參考導(dǎo)體，電位為零，則有68333332312223222111131211CCC1212C1313C2121C2323C3131C3232C（2-64）333332323131323232222212121313121210111UCUCUCqUCUCUCqUCUCUCq若令（2-63）（2-65） 則由式(2-62)得69 C11、C22、C33導(dǎo)體的自部分電容，即各導(dǎo)體與參考導(dǎo)體間的部分電容； C12、C13、

38、C23、C31、C32相應(yīng)兩導(dǎo)體間的互部分電容，單位法拉(F) 。 C11僅給導(dǎo)體1與地之間施以一單位電壓，而其它導(dǎo)體均與導(dǎo)體1相接時，導(dǎo)體1所具有的正電荷量，C11恒為正。 C12除導(dǎo)體2外，包括導(dǎo)體1在內(nèi)的其余所有導(dǎo)體相聯(lián)并接地，再于導(dǎo)體1、2、之間施以單位電壓(即U121V)時，導(dǎo)體1上所具有的正電荷量，C12為正，當(dāng)所施電壓U12為負(fù)時，導(dǎo)體 1上的電荷亦同時為負(fù)，而C12仍為正。故C12亦恒為正。 同理可以推及其它自部分電容與互部分電容的物理意義及其均恒為正值的屬性。70jiijjiijjiijCC 注意：上述關(guān)系中，電位系數(shù)、靜電感應(yīng)系數(shù)與部分電容，均只決定于體的幾何形狀與它們間相

39、互位置以及空間媒質(zhì)的電容率，而與導(dǎo)體間電壓和導(dǎo)體所帶電壓量關(guān)。(2-66) 按式(2-65)，作等效電容電路圖：自部分電容C11就是導(dǎo)體與地(參考導(dǎo)體)之間所具有的那一部分電容，自部分電容C11在整個導(dǎo)體系統(tǒng)中所擁有的電荷量，亦只是導(dǎo)體1所具有的總電荷q1中與地相關(guān)聯(lián)的那一部分電荷量q10；而互部分電容C12即是導(dǎo)體1、2之間所具有的那一部分電容，互部分電容C12在整個導(dǎo)體系統(tǒng)中所擁有的電荷量，亦只是導(dǎo)體1所具有的總電荷q1中，與導(dǎo)體2相關(guān)聯(lián)的那一部分電荷量q12。 可以證明，互電位系數(shù)、互靜電感應(yīng)系數(shù)和互部分電容的雙下標(biāo)均可以互換，即71 在引入部分電容概念之后，可以將帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場問題

40、，等效為形象化的靜電電容電路問題來進(jìn)行求解。 靜電電路基爾霍夫第一定律為：聯(lián)結(jié)于任一節(jié)點的各電容器極板電量的代數(shù)和恒等于聯(lián)結(jié)這些極板所帶電量的代數(shù)和，即q=q0； 靜電電路基爾霍夫第二定律為：沿某閉合回路，各支路電壓的代數(shù)和恒為零，即U=0。 部分電容可借助于電壓表及沖擊檢流計測得。72圖2-48 導(dǎo)體1、2、3并聯(lián)，對地接1V電源圖2-49 導(dǎo)體1、3并聯(lián)接地對導(dǎo)體2加1V電源圖2-50 三導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容73圖2-51 導(dǎo)體1對地總電容示意圖2-52 導(dǎo)體1、2間總電容示意74PC三相輸電線的一相工作電容三相輸電線的一相工作電容 在實際工作中，對于三相輸電線路或三相電力電纜，往往要計算其

41、單位長度上的一相工作電容，其定義為 （2-67）式中：為一相導(dǎo)線或一相(電纜)芯線單位長度上的電荷量；為一相導(dǎo)線或一相芯線的電位。各相芯線位置對稱，故有C11C22C33=Ckk，C12= C23= C31= Cij，求每相單位長度上的工作電容。 圖2-54(a)、(b)、(c) 可以看出，三芯電纜每相單位長度的工作電容CPCkk+3Cij。在求解一相導(dǎo)線單位長度的工作電容時，必須首先求解系統(tǒng)的部分電容，必須從求解電位系數(shù)入手，最終歸結(jié)為求解電場問題。75圖2-53 三芯電纜部分電容圖2-54 三芯電纜三相電容示意76圖2-55 例2-8圖例例2-8 為了測定對稱的三芯電纜的各部分電容，將三根

42、纜芯聯(lián)在一起，測得它們與電纜的鉛包皮間的電容為0.051F。又將兩根纜芯與鉛包皮相聯(lián)，測得它們與另一纜芯間的電容為0.037F。試計算：(1)電纜的各部分電容；(2)每一相的工作電容；(3)只用兩根纜芯時的工作電容。電纜的部分電容如圖2-55(a)所示。77解解 電纜的三根纜芯由于幾何位置對稱，各自部分電容、互部分電容相等，即C11C22C33，C12=C22=C31 (1)三根纜芯相聯(lián)時，與鉛包皮間的電容相當(dāng)于C11、C22、C33并聯(lián)的等效電容，3C110.051F，因此各自部分電容均為 C110.017F。兩根纜芯例如2、3與鉛包皮相聯(lián)時，它們與纜芯1之間的電容相當(dāng)C11、C12、C31

43、的并聯(lián)等效電容， C11+2C12=0.037F，C12=0.01F(2)一相的工作電容為各相間互部分電容構(gòu)成對稱三角形接法，運用-Y變換， 等效電路如圖所示。一相的工作電容為(3)只用兩根纜芯(例如1與2)時的工作電容將各自部分電容變換為等效三角形接法，等效電路如圖(c)所示。其中1233CCCYFCCCCCYP047. 03111211113131CCCY78FCCCCCCC0235. 0312321112121212 纜芯1、2間的工作電容可設(shè)想為電源接于1、2時的等效電容 可見纜芯1、2間的互部分電容僅是它們之間的電容的一部分，而這一工作電容是與導(dǎo)體系統(tǒng)的各部分電容有關(guān)的。79平板電容

44、器的電場能量與電場能量密度平板電容器的電場能量與電場能量密度 在普通物理學(xué)中，已知平行板電容器的電場能量密度計算式 因而平行板電容器的能量表達(dá)式可寫為 式中：V為電容器兩極板所轄空間的體積。上式說明，靜電場的能量，是以能量密度的形式，儲存于整個電場所遍及的空間，而不是附著于兩極板板面有電荷處。它說明有電場處即有能量存在。上式可以推廣到非均勻的電場中去。DEEwe21212VVeedVDEdVW212-9 帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量及其分布（2-69）（2-68）80圖2-56 給定電荷的n個導(dǎo)體的系統(tǒng)多個帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量多個帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量 為了研究問題簡便，請注意下面三項原則：1.基

45、于場的物質(zhì)性，一定的物質(zhì)狀態(tài)，對應(yīng)唯一的能量狀態(tài)，因而電場能量確定于場的最終分布狀態(tài)，而不隨其建立方式與過程之不同而不同。2.電場所處空間為線性媒質(zhì)，因而各導(dǎo)體電位與各導(dǎo)體電荷具有線性關(guān)系，電場各量( 、 、 、)適用疊加原理。 3.不考慮電場建立過程中媒質(zhì)的熱損耗及諸如輻射等等所帶來的不可逆能量損耗。ED81 設(shè)空間有且僅有n個帶電導(dǎo)體，其所帶電量分別為q1，q2，qk，qn，其相應(yīng)的電位分別為 ， ， ， 。 在電場建立中的某一瞬間，第一導(dǎo)體上電荷為xq1，則同一瞬間，第2，第3，諸導(dǎo)體上的電荷亦分別為xq2，xq3，xqk，xqn。其中x為小于1的百分?jǐn)?shù)，電場建立開始時它為零，在電場建立

46、終結(jié)時其值為百分之百。 當(dāng)各導(dǎo)體電荷分別為xq1，xq2，xqk，xqn時，此時各導(dǎo)體相應(yīng)的電位則分別為x ，x ，x ，x 。 設(shè)電荷均由無限遠(yuǎn)處，按比例搬移至各導(dǎo)體，搬移過程中外力反抗電場力所做的功，均以電場能量的方式儲存于電場之中，而無其它損失。2k1n12n82 設(shè)任一瞬間，第一導(dǎo)體的電位為 ,此時其相應(yīng)的電荷量則為xq1 。按電位的定義，當(dāng)從無限遠(yuǎn)處將電荷增量d(xq1)移至導(dǎo)體1時，外力反抗電場力所作的功為 x d(xq1)。 同理，在此同一瞬間，當(dāng)?shù)?，第k，第n，諸導(dǎo)體上有電荷增量d(xq2)，d(xqk)，d(xqn)時，則外力反抗電場力所作的功分別為 x d(xq2)，x

47、d(xqk)，x d(xqn)。在此瞬間，外力反抗電場力所作的功的總和，即電場在此瞬間所獲得的電場能量。故有nkkknkkkexdxqxqdxdW11（2-70）1x2kn183 式(2-72)說明，帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場能量，等于各導(dǎo)體電位與其所帶電量乘積之和的一半。當(dāng)k=1時，得孤立帶電導(dǎo)體的電場能量表達(dá)式；當(dāng)k=2時，則得我們熟知的兩帶電導(dǎo)體的電場能量表達(dá)式。kknknkkkeeqxdxqdWW111021(2-72)（2-71）亦即就整個電場建立的全過程而言，電場能量kknkveqdVDEW1212184代入式(2-72)，得電場能量 兩種方法所得到的結(jié)果相同，電場能量儲存于整個電場占據(jù)的

48、空間。104R102821RqqWe例例2-9 真空中的孤立帶電導(dǎo)體球帶有電荷q，半徑為R1，計算電場儲存的能量。 解解 方法一：應(yīng)用式(2-69)計算。在RR1空間里，電場強度 ，電位移矢量 ，由式(2-69)，電場能量0204RRqEED0102222002084422211RqdRRRqdVEdVDEWRVve方法二：應(yīng)用式(2-72)計算。將導(dǎo)體球的電位852-10 虛位移法計算電場力 基于功能守恒原理，電場力作功與電場能量的變化，應(yīng)該平衡于外部電源所作的功： 電場力所作的功電場能量的變化 =外部電源所作的功 所謂虛位移法，即是基于功能轉(zhuǎn)換過程而建立的。假設(shè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場中，某一被

49、研究的帶電導(dǎo)體，在電場力的作用下，作一想象的微小位移，電場能量亦相應(yīng)存在想象的微小變化，根據(jù)功能守恒原理，即可求得該帶電導(dǎo)體所受的電場力。由于該方法中導(dǎo)體的位移是想象(虛構(gòu))的位移，故稱之為虛位移法。虛位移法虛位移法86dWdWdgfeg(2-73)圖2-57 給定電荷的平板電容器的虛位移 設(shè)一橫軸坐標(biāo)g，其起算點在正極板處。并設(shè)想負(fù)極板在電場力fg的作用下，沿坐標(biāo)g方向移動一微小距離dg，此時電場力所作的功為fgdg，平行板電容器相應(yīng)的電場能量變化量為dWe，外部電源所作的功為dW，則有平行板電容器電場力計算平行板電容器電場力計算871.先研究平行板電容器不與外界電源(如電池)相連接時的情況

50、，即保持極板電荷q不變，此時其功能轉(zhuǎn)換僅在系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行，故有0egdWdgfegdWdgf常數(shù)qgegWWfSlqCqWe22122SqdgdWfqeg22常數(shù) 因在電場力作用下所作的功恒為正(力與位移的方向總是一致的)，即fgdg0，故當(dāng)fg0時，dg0，即電場力企圖使負(fù)極板向正極板方向移動。故所求極板的力為吸力。（2-77）平行板電容器的能量表達(dá)式為電容器極板所受的電場力為(2-75)或 從而得88dqqddWe2121圖2-58 給定電位的平板電容器虛位移（2-78 ) 電容器極板間電場能量的變化乃是由于電容器極板電荷增量dq所致。而電容器極板的電荷增量dq是電源將其由電源負(fù)極推向電源正

51、極的結(jié)果。2研究平行板電容器接有外界電源(電池)時，極板所受的電場力。令負(fù)極板接地，其電位為零。正極板的電位為電源正極的電位 。設(shè)負(fù)極板在電場力fg作用下，位移一微小距離dg。由于兩極板與外部能源相聯(lián)，故電容兩極板電位保持不變。電容器電場能量的變化量為89此時電源所作的功為 dq。根據(jù)前面所述的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系，則有 dqdqdgfg21egdWdqdgf21 此結(jié)果與式(2-77)所示的結(jié)果完全相同。運用電荷不變或電位不變的條件，只是我們在處理同一問題時所采用的不同方法而已。常數(shù)gegWWf/2122SUCUWeSqlSUWWfgeg222222常數(shù)（2-79）(2-80)故得(2-81)(2-82)從而得則90從上可見，為了正確地計算帶電導(dǎo)體在電場中所受電場力，應(yīng)該注意下面3個要點：(1)選擇一個合適的坐標(biāo)系來描寫導(dǎo)體的虛位移情況，并將電場能量寫為位移坐標(biāo)的函數(shù)。(2)選擇一個方便的計算公式進(jìn)行計算。例如在求平行板電容器極板所受的電場力時，選取式(2-75)較為方便。此時應(yīng)該注意公式運用