現(xiàn)代測量平差原理及其模型誤差分析

1、現(xiàn)代測量平差原理及其模型誤差分析現(xiàn)代測量平差原理及其模型誤差分析陶本藻教授武漢大學測繪學院地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室 函數(shù)模型是描述觀測量與待求參數(shù)間的數(shù)學函數(shù)關系的模型，是確定客觀實際的本質或特征的模型。 隨機模型是描述平差問題中的隨機量（如觀測量）及其相互間統(tǒng)計相關性質的模型。1、測量平差數(shù)學模型 經(jīng)典平差模型R（A）=U R（Q）=n X為非隨機參數(shù) 1 1 1 nununXAL 12020PQD min)()(LXAPLXAPVVTT 經(jīng)典平差公式 QVLL)AX-L( )( 20201XXo11XXXTTTTQDunPVVNXAVPANPAPAAXR（A）=tu d=u-

2、t R(Q)=n X非隨機秩虧自由網(wǎng)平差minX minTXPVVT QD )(Q XX20X20XX-tnPVVARnPVVXAVNPANXTTTmR（Q）=gt ut X非隨機QXALun2011D min)(VAUAQVTT陶本藻、劉大杰5（51990）從奇異正態(tài)分布的密度函數(shù) )()(21exp),()2(),(21212lTlgglDlxlfminVDVTminVQVTTUUTUTAUAQQLQAAQAX)(fPVVT203、平差系統(tǒng)的模型誤差 模型誤差分為函數(shù)模型誤差和隨機模型誤差兩類 最小二乘平差參數(shù)X的估值具有最優(yōu)無偏性，單位權方差的估值具有無偏性和漸進最優(yōu)性。這些良好的統(tǒng)計性

3、質都是基于模型誤差不顯著的情況。但在實際平差系統(tǒng)中，由于種種原因的建模近似，例如非線性觀測方程的線性化；未顧及或近似考慮某種系統(tǒng)誤差影響；觀測值的先驗協(xié)方差陣不盡合理等原因都會造成函數(shù)模型和隨機模型產(chǎn)生誤差。模型近似在回歸擬合模型中則更為突出。 4、模型誤差若干理論問題函數(shù)模型不完善或者說存在函數(shù)模型誤差，可理解為所建模型的參數(shù)個數(shù)過多或不足。當參數(shù)個數(shù)選得過多時 1）函數(shù)模型不完善參數(shù)估計性質 GYAXL)()(XXrXXrDtDtyy2020)E( )(XXEy 當參數(shù)個數(shù)選得不足時，所估參數(shù)有偏，單位權方差有偏，而且偏大。2）隨機模型不完善參數(shù)估計性質 隨機模型不完善可歸結為定權不正確。

4、權的正確值應為p，現(xiàn)定權為q XXEqAqAAXqTTq)()(111120)()()(qAAqqPAqAAXDTTTq)()(XDXDq2020)()(qTfqvvEE3)隨機模型誤差對函數(shù)模型的影響 函數(shù)模型GYAXLYYEYEH)(:H ; 0)(:10),(2)(yyuumuyyFuunuRFPPPFFFRRR 當 時0FFF因因FFF此時的統(tǒng)計量 FFF 判定參數(shù)y顯著，但實際上 FF 參數(shù)y不顯著。按統(tǒng)計量 F檢驗，函數(shù)模型中列入了參數(shù)Y 權的誤差P造成了函數(shù)模型參數(shù)的過渡化。 當 時 用統(tǒng)計 檢驗，參數(shù)Y不顯著，實際上 參數(shù)Y顯著，使函數(shù)模型少選了參數(shù)Y。 因此，在實際平差系統(tǒng)中

5、，雖然存在隨機模型誤差 P，但往往并不知道，上述的檢驗統(tǒng)計量采用了 致使所選函數(shù)模型產(chǎn)生了模型誤差，影響了平差函數(shù)的最優(yōu)無偏估計性質。 0FFFFFFFFF F 4）函數(shù)模型誤差和隨機模型誤差相互轉化 誤差方程21212121PP PllXAAVVPPllXAAVV21212121PP 21212121PP PLllXAAVVLVVVV2211 定權如果不正確，相當于該觀測值存在模型誤差是綜合函數(shù)模型和隨機模型誤差的。平差系統(tǒng)模型誤差的識別和補償應綜合考慮。 5、估計和識別模型誤差的理論基礎公式實際模型 理論模型模型偏差 AXLGYAXLX XGYXXA)(GYGYAXPAANAXT)(1PA

6、NPAANJTTVV11Q)PA-(QJ-IR JRGY 估計偏差的精確度，采用帶權均方誤差PRGYRGYPJDJtrMSETTP)()()(PGYPQGYPRGYRGYtNNtrJtrPJDJtrVVTTTTTT2012020)()()(20)(tPGYPQGYMSEVVTTP誤差方程6、模型誤差影響項的估計)()(1GYAXPQPLQAANVVVTRRGYV)()()()()(PPQEPGYPQGYEPRREPRGYRGYEPVVEVVTVVTTTTTTTT)()()()(2020tnPQtrPDPQtrPPQEVVVVVVT)(20tnPVVPGYPQGYTVVTT7、模型誤差的識別 檢

7、驗Y=0 KY 可取4-920tPGYPQGYkVVTTy8、平差系統(tǒng)最優(yōu)模型的選取及應用例1，測邊網(wǎng)坐標平差。數(shù)據(jù)及平差結果見（誤差理論與測量平差基礎1P1317-7）。該例 按（4139）式計算模型誤差影響項按（4145）式計算dmmm1 . 0100608. 0)813(1 . 0658. 02PGYQGYVVTT6 . 71 . 08608. 02yk例2，導線網(wǎng)坐標平差（數(shù)據(jù)及平差結果見1P1367-8）可見此平差系統(tǒng)模型誤差不顯著。414. 010009 .4131010)1017(109 .11122yk9、模型誤差補償?shù)陌雲(yún)?shù)法半?yún)?shù)回歸模型 補償最小二乘準則 1111nntn

8、SXAL1111nntnLSXAVminRSSPVVTT)(2VLSXAKSRSPVVTT022TTKPVVPVK 02AKXT0KAT022TTKRSSSRKPLSRpXPAPLASPAXPAATTT)()()(1XALPRPSSPAPAAXXTT)(11PLAPAAXTT11)(10、AR（P）模型誤差的補償最小二乘法AR（P）模型tntntttaxxxx2211tppttttxxxxv2211 nptxxxxn, 1,211其中時間序列數(shù)據(jù)為： 21TN N, 1S R ,1111-11-ttTNNsSRSTTT實例，某臺站定點沉降觀測數(shù)據(jù)分析月年/月199019911992199319

9、94119.2918.9920.1220.1118.91219.4219.0420.1319.2318.89319.4219.0319.7518.9619.39419.3219.0819.3618.9319.46519.2618.9319.2219.4519.99619.1619.3919.9419.2520.01719.3620.0418.8819.7319.86819.3619.7619.2020.0119.89919.1420.4819.3620.1218.991019.0120.0519.7719.3619.231118.9819.9219.5119.3420.031218.9020.0820.0219.6219.96 不同值的計算 1(0.2812,-0.2116)1.61380.02880.8(0.2513,-0.2144)1.35760.02420.6(0.2134-0.2180)1.05660.01890.4(0.1630,-0.2231)0.70150.01250.2(0.0906,-0.2308)0.29820.0053)( 2, 1xVVT2 1. 采