有限元與數(shù)值方法-講稿5-1變分原理簡(jiǎn)介

1、1有限元與數(shù)值方法有限元與數(shù)值方法第五講第五講5.1 變分原理與變分法變分原理與變分法授課教師：劉書(shū)田授課教師：劉書(shū)田Tel：84706149； Email：教室：綜合教學(xué)樓教室：綜合教學(xué)樓 351 時(shí)間：時(shí)間：2013年年4月月12日：日：8：0010：202基于變分法的求解方法基于變分法的求解方法 00000E u xB u xJ u xJ u xE u xB u x對(duì)于微分方程及邊界條件，有時(shí)可找到一個(gè)一個(gè)標(biāo)量（稱為泛函），該泛函的極值條件等價(jià)于和。3變分法的基本概念變分法的基本概念變分法的重要性變分法的重要性;l微積分微積分l微分方程和變分原理微分方程和變分原理l從微觀到宏觀從微觀到宏

2、觀,從宏觀到微觀的方法論從宏觀到微觀的方法論中國(guó)學(xué)者貢獻(xiàn)中國(guó)學(xué)者貢獻(xiàn):胡海昌胡海昌Hu-Washizu變分原理變分原理大連理工大學(xué)在變分法方面的貢獻(xiàn)大連理工大學(xué)在變分法方面的貢獻(xiàn)l余能原理余能原理l極限分析與安定性分析的變分原理極限分析與安定性分析的變分原理l參變量變分原理參變量變分原理l廣義變分原理和擬協(xié)調(diào)元廣義變分原理和擬協(xié)調(diào)元4q變分變分：( )f xy1( )( )( )f xf xf x兩個(gè)函數(shù)在同一點(diǎn)的函數(shù)值差兩個(gè)函數(shù)在同一點(diǎn)的函數(shù)值差( )yf x 對(duì)于自變量對(duì)于自變量xy( )( )f xf x 泛函：函數(shù)的函數(shù)泛函：函數(shù)的函數(shù) 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)( )yf xdfdydxdxq

3、微分微分：同一函數(shù)在兩點(diǎn)的函數(shù)值差同一函數(shù)在兩點(diǎn)的函數(shù)值差()( )dyf xdxf xf(x)f(x)+f(x)f(x)變分法的基本概念變分法的基本概念一元函數(shù)：一元函數(shù)： 基本概念基本概念 21xxf xF x, f , f , f ,. dx5變分法的基本概念變分法的基本概念一元泛函的一般形式是一元泛函的一般形式是 2222, , , ,.VAxF xxdVxxE xdAxxuuuu uuuu6 11212fx 11 121212 f x dxf x dx 1200f xxf xx變分與積分號(hào)可互換變分與積分號(hào)可互換函數(shù)在固定點(diǎn)的變分為零函數(shù)在固定點(diǎn)的變分為零變分法的基本概念變分法的基本

4、概念變分的運(yùn)算變分的運(yùn)算00( ) ( )( )( ) ()yy xyxy xyxy函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)710()( )( ,)xxyyfF x yy yy dx()(1)yyf( )(0)yf(0)( )(0)dfffd(0)( )(0)dfffd 21( )1122min , ( ),( )(), ()xxy xyF x y xy x dxy xyy xyyyy ()( )yyy計(jì)算利用微分推導(dǎo)變分問(wèn)題的歐拉方程利用微分推導(dǎo)變分問(wèn)題的歐拉方程y(x)y(x)+y(x)y(x)1280( )( )( )yy xy xLagrange的泛函變分定義為2121

5、00( )( ,)xxxxdfdyF x yy yy dxddFFyydxyy 利用微分推導(dǎo)變分問(wèn)題的歐拉方程利用微分推導(dǎo)變分問(wèn)題的歐拉方程22221111xxxxxxxxFFdyFdFy dxdxyydxyydxydxy由分部積分9120y xxy xx21( )=0 xxFdFydxydxyy 1122222211220, (), ()0 (), ()FdFy xyy xyydxyFFFFyyyyy yy xy xyy xy 或 利用微分推導(dǎo)變分問(wèn)題的歐拉方程利用微分推導(dǎo)變分問(wèn)題的歐拉方程y10多元函數(shù)的變分問(wèn)題多元函數(shù)的變分問(wèn)題 0 xysw( x,y)F( x,y,w( x,y),w

6、( x,y),w ( x,y)dxdyw( x,y)w( x,y),s考慮下列多元函數(shù)的變分問(wèn)題滿足邊界條件為 的邊界xyxyxyxySxyxyFFFw( x,y)wwwdxdywwwFFFFF()()wdxdy(w)(w) dxdywxwywxwywFFFFF()()wdxdy(wdywdwxwywwwx)對(duì)對(duì)w(x,y)取變分可得取變分可得11多元函數(shù)的變分問(wèn)題多元函數(shù)的變分問(wèn)題由此推出歐拉方程由此推出歐拉方程0,0)()(SyyxxyxnwFnwFwFywFxwF則可推出自然邊界條件件如果原問(wèn)題沒(méi)有邊界條12如何建立變分式如何建立變分式: 從物理概念出發(fā)從物理概念出發(fā) 從微分方程邊值問(wèn)題

7、出發(fā)從微分方程邊值問(wèn)題出發(fā)如何由變分式推出歐拉方程如何由變分式推出歐拉方程如何利用變分式得到物理問(wèn)題近似解如何利用變分式得到物理問(wèn)題近似解 瑞雷法瑞雷法,里茲法里茲法,伽略金法伽略金法,有限元法有限元法13固體力學(xué)中的變分原理固體力學(xué)中的變分原理介紹虛位移原理，虛應(yīng)力原理，最小總勢(shì)能原理，最小總余能原理，廣義變分原理虛位移原理，虛應(yīng)力原理，最小總勢(shì)能原理，最小總余能原理等都可以用變分方法推導(dǎo)求得廣義變分原理可以從由變分方法推出；Lagrange乘子的物理意義14( )0uijijijjiiiufxxnPxSuuxS滿足位移邊界條件及連續(xù)性條件的任意無(wú)限小位移稱滿足位移邊界條件及連續(xù)性條件的任意

8、無(wú)限小位移稱為為許可位移許可位移1. 虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理）固體力學(xué)中的變分原理固體力學(xué)中的變分原理微分方程：微分方程：150uijiiiijjiiiiSSjuf dunP dSuuu dSx0ijiiiijjiSjijijjiiiiijjiSSjijijiiiiSufdunP dSxudnu dSf u dunP dSxdP u dSf u d ijijiiiiSdP u dSfu d 在任意的虛位移上在任意的虛位移上, ,內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功= =外力虛功外力虛功固體力學(xué)中的變分原理固體力學(xué)中的變分原理取取 則則0oniuuS16,12iji jj iiiuuuuuxS1

9、02jiijijiijSjiuudP uudSxx 和外力和外力(包括表面力和體力包括表面力和體力)平衡的任意應(yīng)力稱為許可應(yīng)力；平衡的任意應(yīng)力稱為許可應(yīng)力；非真實(shí)的許可應(yīng)力是虛應(yīng)力。非真實(shí)的許可應(yīng)力是虛應(yīng)力。2.2.虛應(yīng)力原理虛應(yīng)力原理171202()ujiijijiiiSjiiijijijiiiSjiijijijiijiiijjiSjjjjuudP uudSxxuddP uu dSxuuddudun dSudxxxx 對(duì)第 項(xiàng)進(jìn)行分部積分（以便消除位移的導(dǎo)數(shù)）： 代入上式0uijijijiiijjiiiSSjdudun dSP uu dSx ，得2.2.虛應(yīng)力原理虛應(yīng)力原理180uijiji

10、iSduPds 任意的虛應(yīng)力在協(xié)調(diào)任意的虛應(yīng)力在協(xié)調(diào)位移上作的功為零位移上作的功為零2.2.虛應(yīng)力原理虛應(yīng)力原理0 (*)0 ()0 0uuijijijiiijjiiiSSjiijjSijijijjiijjijijiiSdudun dSP uu dSxun dSfxxPnduPdS 其中，在給定面力的邊界上面力變分為零，即 另外，由平衡方程可給出以下二式：代入式(*)，得到19一般情況下的最小總勢(shì)能一般情況下的最小總勢(shì)能應(yīng)變能：應(yīng)變能：UWd00, ijijijijijijUWdddWd ijijW物理方程的物理方程的一種表示一種表示W(wǎng) 為單位體積應(yīng)變能為單位體積應(yīng)變能3. 最小總勢(shì)能原理最小

11、總勢(shì)能原理對(duì)于線性問(wèn)題：對(duì)于線性問(wèn)題：11112222TijijijklklijWE T DWD20()iiiiiiiiSSVf u dpu dsf u dp u dsijijiiiiSdfu dp u dS 虛功原理虛功原理:3. 最小總勢(shì)能原理最小總勢(shì)能原理00ijijijijijijijijijijijijUWdxddddWdd 21對(duì)于線性問(wèn)題：對(duì)于線性問(wèn)題：12pTTTSU Vddds Df up u0:(UV )UV, 由虛功原理可得這就是最小總勢(shì)能原理3. 最小總勢(shì)能原理最小總勢(shì)能原理例：斷面積為例：斷面積為A的直桿拉伸問(wèn)題的直桿拉伸問(wèn)題LLLPuqudxdxdxduEAVU00

12、221qP22該問(wèn)題微分方程為：該問(wèn)題微分方程為：3. 最小總勢(shì)能原理最小總勢(shì)能原理22000d uEAqdxduu();EAPdx21220022232311221222122322121411223231204133LLx LLiu( x)a xa x ,duEAdxqudxPu( x)dxEA(a La a La L )a qLa qLPuqLPLEALEALaaaEALEALqLPL 設(shè)代入勢(shì)能泛函23p一般地說(shuō)，利用這個(gè)方法得到的位移比應(yīng)力的精度要高p如果試探函數(shù)屬是完備的，則隨著項(xiàng)數(shù)的增加，得到的解趨于精確解。試探函數(shù)要完備，一定要包含反映常應(yīng)變的項(xiàng)p由于采用近似函數(shù)得到的總勢(shì)能值

13、會(huì)高于精確解對(duì)應(yīng)的總勢(shì)能值，所以近似解的應(yīng)變能會(huì)小于精確解的應(yīng)變能，近似解通常過(guò)剛（總勢(shì)能應(yīng)變能；應(yīng)變能越大，結(jié)構(gòu)越柔）,即求得的位移往往比真實(shí)位移小，但求得的應(yīng)力就沒(méi)有確定的結(jié)論基于變分原理的近似方法基于變分原理的近似方法24系統(tǒng)的余能包括兩部分,一部分是余應(yīng)變能Uc,一部分是已知位移邊界條件上的外力余能Vcij0 11 221 2uuCCijCiiScCijijTCijklijklTtCSCiW dPu dSWWdWCddS 其中為材料單位體積貯存的余應(yīng)變能對(duì)于線性彈性問(wèn)題可以寫(xiě)成考慮余能對(duì)應(yīng)力的變分得到 C CP u0, ujijiiSdPu dS相當(dāng)于虛應(yīng)力原理4.4.最小余能原理最小

14、余能原理25最小余能原理：所有的許可應(yīng)力狀態(tài)中，真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)使系統(tǒng)最小余能原理：所有的許可應(yīng)力狀態(tài)中，真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)使系統(tǒng)的余能取最小值的余能取最小值p 對(duì)非線性彈性問(wèn)題，余能原理一樣成立對(duì)非線性彈性問(wèn)題，余能原理一樣成立p 應(yīng)用最小余能原理時(shí)要求許可應(yīng)力狀態(tài)滿足和外力（包括給定的面力和應(yīng)用最小余能原理時(shí)要求許可應(yīng)力狀態(tài)滿足和外力（包括給定的面力和體力）平衡；真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)也是一個(gè)特殊的許可應(yīng)力狀態(tài)體力）平衡；真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)也是一個(gè)特殊的許可應(yīng)力狀態(tài)p 許可應(yīng)力狀態(tài)和真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)的區(qū)別在于：許可應(yīng)力狀態(tài)和真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)的區(qū)別在于： 由許可應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以求得相應(yīng)的應(yīng)變，但是這些應(yīng)變可由許可應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以求得相應(yīng)的應(yīng)變，但是這些應(yīng)變可能不協(xié)調(diào)；而真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)相應(yīng)的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的。能不協(xié)調(diào)；而真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)相應(yīng)的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的。p 簡(jiǎn)單地說(shuō)，最小余能原理相當(dāng)于協(xié)調(diào)方程簡(jiǎn)單地說(shuō)，最小余能原理相當(dāng)于協(xié)調(diào)方程p 最小余能原理可用來(lái)構(gòu)造雜交單元的有限元列式最小余能原理可用來(lái)構(gòu)造雜交單元的有限元列式4.4.最小余能原理最小余能原理26各種變分原理和基本