理論課第14次：擬合2013

1、1 1數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束重慶大學(xué)數(shù)理學(xué)院國家級精品課程數(shù)學(xué)實驗課件數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合SHUXUESHIYANZHISHUJUNIHE課件制作：數(shù)學(xué)實驗課程組 你可以自由的從網(wǎng)站 2數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束1 了解最小二乘擬合的原理，掌握用MATLAB作最小二乘擬合的方法。2 通過實例學(xué)習(xí)如何用擬合方法解決實際問題，注意與插值方法的區(qū)別；通過實例理解參數(shù)辨識的方法。3 通過實驗體驗用函數(shù)擬合解決實際問題的全過程。 實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康? 3數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬

2、合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束機械零件的設(shè)計與加工機械零件的設(shè)計與加工 引引 例例4 4數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束工業(yè)工業(yè)CTCT圖像裂紋邊緣檢測與識別圖像裂紋邊緣檢測與識別 引引 例例5 5數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束機器人識別定形工具柄機器人識別定形工具柄 引引 例例6 6數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束醫(yī)用薄膜的滲透率醫(yī)用薄膜的滲透率 問題背景:某

3、種醫(yī)用薄膜在試制時需測定其被物質(zhì)分子穿透的能力。 測定方法：用面積為S的薄膜將容器分成兩部份，在兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液。此時該物質(zhì)分子就會從一側(cè)向另一側(cè)擴散。平均每單位時間通過單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù)K稱為滲透率。定時測量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度，以此確定K。VBVAS 引引 例例7 7數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束3）薄膜是雙向同性的即物質(zhì)從膜的任何一側(cè)向另一側(cè)滲透的性能是相同的。假設(shè)假設(shè)1）薄膜兩側(cè)的溶液始終是均勻的；2）在單位時間內(nèi)通過單位面積薄膜的物質(zhì)分子量與膜兩側(cè)

4、溶液的濃度差成正比。 引引 例例8 8數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束 第一步：通過機理分析確定容器一側(cè)的濃度隨時間的變化規(guī)律： C=CB(t) 第二步：利用實驗數(shù)據(jù)(tj,CB(tj)，求出其中的未知參數(shù)，包括滲透率K.解決問題的思路解決問題的思路 引引 例例9 9數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束 考察時段t，t+t薄膜的一側(cè)容器中該物質(zhì)質(zhì)量的變化。 1）以容器A側(cè)為例，在時段t，t+t物質(zhì)質(zhì)量的增量為： 求濃度隨時間的變化規(guī)律求濃度隨時間的變化規(guī)律) t (CV) t

5、t (CVAAAA 由假設(shè)2,在時段t，t+t，從B側(cè)滲透至A側(cè)的該物質(zhì)的質(zhì)量為：tS)CC(KAB 引引 例例1010數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束于是有) t (CV) tt (CVAAAAtS)CC(KAB兩邊除以t，并令t0取極限再稍加整理即得：)CC(VSKdtdCABAA（1）求濃度隨時間的變化規(guī)律求濃度隨時間的變化規(guī)律 引引 例例1111數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束BA 、分別表示在初始時刻兩側(cè)溶液的其中2) 注意到任意時刻，整個溶液中含有該 物質(zhì)的質(zhì)

6、量,與初始時刻該物質(zhì)的含量相同，因此 BBAABBAAVV) t (CV) t (CV濃度.求濃度隨時間的變化規(guī)律求濃度隨時間的變化規(guī)律 引引 例例1212數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束加上初值條件：.)0(CBB從而：)()(tCVVVVtCBABBABAA)()11(ABBABBABVVSKCVVSKdtdC()ABAAdCSKCCdtV代入式（1）：t )V1V1(SKBAABABABBAABBAeVV)(VVVVV) t (C解之得：求濃度隨時間的變化規(guī)律求濃度隨時間的變化規(guī)律 引引 例例1313數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?/p>

7、 引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束t )V1V1(SKBAABABABBAABBAeVV)(VVVVV) t (C 問題歸結(jié)為利用CB在時刻tj的測量數(shù)據(jù)Cj(j=1,2,.,N)來確定（辨識）K 和 .BA 、待定參數(shù)的確定待定參數(shù)的確定Tj (秒)1002003004005006007008009001000Cj (105)4.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59容器的B部分溶液濃度的測量數(shù)據(jù) 引引 例例1414數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束曲線擬合的基

8、本原理曲線擬合的基本原理已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)ii 為點（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離1515數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束問題的數(shù)學(xué)模型 步驟：1) 選定一類函數(shù) f(x，a1，a2， ，am) （1） 其中 a1,a2, am 為待定常數(shù)。 2) 確定參數(shù)a1,a2, am 準則(最小二乘準則）：使n個點（xi,yi)與曲線 y=f(

9、x ，a1，a2， ，am) 的距離 i 的平方和最小 。曲線擬合的基本原理曲線擬合的基本原理1616數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束)2(),(),(2111221iniminiimyaaxfaaaJ記 問 題 歸 結(jié) 為 : 求 a1, a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。這樣的擬合稱為最小二乘擬合。問題的數(shù)學(xué)模型 曲線擬合的基本原理曲線擬合的基本原理1717數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束 特別，若選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x),

10、 m0);2. 血液容積v, t=0瞬時注射劑量d, 血藥濃度立即為d/v.模型假設(shè)3.快速靜脈注射下一室模型的血藥濃度：c(t)t3939數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束建立模型由假設(shè)1，kcdtdc由假設(shè)2,c(t)ktevdtc)(tc00t(0)/cd vc4040數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束),(,1220ccvDvcD12ln1cck12kcc ecc2c10tD0:初次劑量； :注射時間間隔；D:重復(fù)注射劑量。,0DD給藥方案設(shè)計給藥方案設(shè)計4141數(shù)學(xué)

11、實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束若c1=10, c2=25(g/ml), 給藥方案設(shè)計歸結(jié)為根據(jù)數(shù)據(jù)(ti,ci) i=1,n (d 給定）擬合曲線c(t), 以確定系數(shù)k, v.一個實例一個實例血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.014242數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束給藥方案 ktevdtc)(k

12、tvdc)/ln(ln記記)/ln(,ln21vdakacy則則21atay一個實例一個實例4343數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束)(02.15),/1 (2347. 0lvhk9 . 3, 3 .225, 5 .3750DD)(4),(225),(3750hmgDmgD 取對數(shù)化為線性最小二乘,對結(jié)果有什么影響？一個實例一個實例4444數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束已知m個自變量一個因變量y的一組觀測值(x1i, x2i, xmi,yi), i=1,2,n, 要確定

13、函數(shù)y=f(x1,x2,xm)，使得 2121min(,.,)niimiiiJf xxxy第一步：確定函數(shù) 的結(jié)構(gòu)12(,.,)mf x xx第二步：通過最小二乘原理確定函數(shù)函數(shù)中的參數(shù)。 增加生產(chǎn)、發(fā)展經(jīng)濟的主要因素有增加投資、勞動力以及技術(shù)革新等，在研究國民經(jīng)濟產(chǎn)值與這些因素的數(shù)量關(guān)系時，由于技術(shù)水平不像資金、勞動力那樣容易定量化，作為初步的模型，可認為技術(shù)水平不變，只討論產(chǎn)值和資金、勞動力之間的關(guān)系。用Q，K，L分別表示產(chǎn)值、資金、勞動力，要尋求Q(K,L)。經(jīng)過簡化與分析，在經(jīng)濟學(xué)中，推導(dǎo)出一個著名的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)： Q(K,L) = aKL， 0,1 （*）式中,，

14、a要由經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)據(jù)確定。根據(jù)表5-4所給的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計,，a的值。例例 經(jīng)濟增長模型經(jīng)濟增長模型 課堂延伸：曲面擬合課堂延伸：曲面擬合4646數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束 t Q K L t Q K L1900 1.05 1.04 1.051901 1.18 1.06 1.081902 1.29 1.16 1.181903 1.30 1.22 1.221904 1.30 1.27 1.171905 1.42 1.37 1.301906 1.50 1.44 1.391907 1.52 1.53 1.471908 1.46 1.5

15、7 1.311909 1.60 2.05 1.431910 1.69 2.51 1.581911 1.81 2.63 1.591912 1.93 2.74 1.661913 1.95 2.82 1.68 1914 2.01 3.24 1.65 1915 2.00 3.24 1.62 1916 2.09 3.61 1.86 1917 1.96 4.10 1.93 1918 2.20 4.36 1.96 1919 2.12 4.77 1.95 1920 2.16 4.75 1.90 1921 2.08 4.54 1.58 1922 2.24 4.54 1.67 1923 2.56 4.58 1.8

16、2 1924 2.34 4.58 1.60 1925 2.45 4.58 1.61 1926 2.58 4.54 1.64例例 經(jīng)濟增長模型經(jīng)濟增長模型 4747數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束例：經(jīng)濟增長模型例：經(jīng)濟增長模型 數(shù)學(xué)模型該問題有兩個自變量K，L和一個因變量Q，已知函數(shù)結(jié)構(gòu)，如公式(1)所示，根據(jù)表中給定的數(shù)據(jù)(Ki, Li, Qi), i = 1,2,27, 確定未知參數(shù),，a，使： 272, ,1min()iiiaiaK LQ 這是多元函數(shù)的擬合問題。 課堂延伸：曲面擬合課堂延伸：曲面擬合4848數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合

17、實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束function Q=jingjizz( x, y)function Q=jingjizz( x, y)Q=x(1)Q=x(1)* *(y(1,:).x(2).(y(1,:).x(2).* *(y(2,:).x(3)(y(2,:).x(3)其中其中 x(1) = a; x(2) = ; x(3) = ; x(1) = a; x(2) = ; x(3) = ; Q=1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 ; (略) y=1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 ; 1.05 1.08 1.18 ; (略) x0=0.1,0.1,0.2; x=lsqcurvefit(jingjizz,x0, y,Q) k=0:0.1:3; l=k; K,L=meshgrid(k,l); Q= x(1)x(1)* *(K.x(2).(K.x(2).* *(L.x(3)(L.x(3); mesh(K,L,Q)例：經(jīng)濟增長模型例：經(jīng)濟增長模型 課堂延伸：曲面擬合課堂延伸：曲面擬合4949數(shù)學(xué)實驗之?dāng)?shù)據(jù)擬合實驗?zāi)康?引 例擬合原理擬合函數(shù)軟件求解 課堂延伸 范 例 布置實驗 結(jié) 束例：經(jīng)濟增長模型例：經(jīng)濟增長模型 課堂延伸：曲面擬合課堂延伸：曲面擬合505