2018高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明第3節(jié)數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案理蘇教版選修2-2

1、第 3 節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法【譙暢研讀，科與備呈】-、學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)能運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明和自然數(shù)有關(guān)的命題。三、考點(diǎn)分析：數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想是比較常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，因此要重視。數(shù)學(xué)歸納法在考試中時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，且較隱蔽，因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視。只要與自然數(shù)有關(guān)，都可考慮使用數(shù)學(xué)歸納 法，當(dāng)然主要是恒等式、等式、不等式、整除問(wèn)題、幾何問(wèn)題、三角問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題等聯(lián)系 得更多一些。0 魁邀撤里怖理墾礎(chǔ)知孔M知識(shí)網(wǎng)閣一、數(shù)學(xué)歸納法的定義：由歸納法得到的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的證明方法：(1) 先證明當(dāng)n=no(no是使命題成立的最小

2、自然數(shù))時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k N*N*,kno)時(shí)命題成立，再證明當(dāng)n=k+ 1 1 時(shí)命題也成立，那 么就證明這個(gè)命題成立，這種證明方法叫數(shù)學(xué)歸納法。二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：(1) 證恒等式；(2) 整除性的證明；(3) 探求平面幾何中的問(wèn)題；(4) 探求數(shù)列的通項(xiàng)；(5) 不等式的證明。特別提示(1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；(2) 證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊目標(biāo)。0 典型s【尖破丘&點(diǎn)撥現(xiàn)律】A.A.C.C.11 1 已知f (n)二f(n)+f (n)- -2(n1)D.D.B.B.丄，.丄2n，f (n) + -+2n十11f (n)+ -則f(

3、n 1)的值為()2(n 1)12(n 1)f (n)是從2n 12(n1)n n+ 1 1 開(kāi)始的始的 n n+1 1 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，即思路分析:n n 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的倒數(shù)和，故f(n T)是從 n n + 2 2 開(kāi)113解題后反思：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)遞推的過(guò)程, 礎(chǔ)，(2 2 )是遞推的條件；二者缺一不可。例 2 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明等111 1 1 1 1 11-23 42n -1 2n n 1 n 22n思路分析：和自然數(shù)有關(guān)的命題的證明可以選用數(shù)學(xué)歸納法。1 1證明：(1 1)當(dāng) n n= 1 1 時(shí)，左邊=1=右邊，等式成立2 2(2 2)假設(shè)當(dāng) k

4、k 時(shí)等式成立，即111 1 1 1 1 11 -234 2k -1 2k k 1 k 22k則1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ( ) ( )2342k -1 2k 2k 1 2k 2 k 1 k 22k 2k 1 2k 2k 2 2k 2k 1 2k 2-當(dāng) n n= k k + 1 1 時(shí)，等式也成立，綜合(1 1) (2 2),等式對(duì)所有正整數(shù)都成立解題后反思：(1 1)用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可；(2 2)證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊目標(biāo)。例 3 3 在數(shù)列an中，a1= 1 1,當(dāng)n2 時(shí)，-成等比數(shù)列。2(1) 求a2, ,a3, ,a4，并推出an

5、的表達(dá)式；(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。思路分析：本題考查了數(shù)列、 數(shù)學(xué)歸納法，可以依托等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一 般步驟，采用的方法是歸納、猜想、證明。111求通項(xiàng)可先證明是以為首項(xiàng)，-為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式SnS121解題過(guò)程：/ an, , S, S丄成等比數(shù)列，221-S1=an(Sn )(n2 2)(* *)2(1 1)由a1= 1,1,S?=a1+a2= 1 1 +a2, ,代入(* *)式得a2=3212由a1= 1 1,a2= , S?S? = +a3代入(* *)式得a3= 一f(n1)=市w+- +- +-n 1 n_1 n 1 n n 1 n1丄丄亠

6、=f(n)+2n 2n 12(n1)1 1+ 一2n 12( n 1)=f(n)+12n 112(n 1)故選 D D。(1(1)是遞推的基433155= ak 1,即 n = k 1 時(shí)命題也成立。2(k1) -32(k1) -1I1(n二1)由知，an= 2 2)時(shí)，ak=成立(2k 3)(2k1)1( S -)2故Sk2= (2k _3)(2k_1)2( 2 2k 3 3) ( 2 2k 1 1) S S + 2 2Sk 1 1 = 0 01 1s=, Sk(舍)2k -1k2k -32121由S+1=ak+1(Sk+1), ,得(Sk+ak+J=ak+1(a2時(shí)an2時(shí)，令二c4，由a

7、n丄 ai得c22。用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c22 時(shí)，an 22 時(shí)，an 22 時(shí)，令= =4 4，由 a an 1 :a an 11 1 = = c c 得an 二。2anan1010當(dāng) 22cw w時(shí)，an 時(shí)，： 33,且 1 1wan：，于是3 31 1 1 1: :-a-an 1c c -a-an) )w w(:(: -a-an),),- -3 3anan：- -1 1an 1wn(二-一1) )。3 3當(dāng)nlog33o因此 c c .10不符合要求。3 3所以c的取值范圍是 2,2,10。I3解題后反思：本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推數(shù)列、不等式等知識(shí)，在解題過(guò)程中滲透了函數(shù)與

8、方程、歸納與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題，考查學(xué)生分析、歸納、探究和推理論證 問(wèn)題的能力。0 OSB8惟出誤瓦解開(kāi)盤(pán)惑】1 1用數(shù)學(xué)歸納法證明：丄冷442錯(cuò)解：(1 1)當(dāng) n n= 1 1 時(shí)，左=右=1 _ 1 1 .4n _33 4n1，. ，等式成立4(2(2)假設(shè)當(dāng) n n= k k 時(shí)等式成立,那么當(dāng)1 1n n = k k + 1 1 時(shí)，-441+ ,kH14綜合( 點(diǎn)撥： 正解：1 1) (2 2),等式對(duì)所有正整數(shù)都成立錯(cuò)誤原因在于只有數(shù)學(xué)歸納法的形式，沒(méi)有數(shù)學(xué)歸納法的“實(shí)質(zhì)”。1(1 1)當(dāng) n n= 1 1 時(shí)，左=右=，等式成立4 1(2(2)假設(shè)當(dāng) n n= k k 時(shí)等式成

9、立，即-4.丄421 13 4k那么當(dāng) n n = k k+ 1 1 時(shí)，1丄1亠丄1+ +-；-2k 14441 1 1 1 = -+- +2kk 144441 133 4k 10【踴逋技氐誣無(wú)煩】10311數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n n= 1 1 (或 n no)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n n = k k 時(shí)命題成立，再證明 n n= k k+ 1 1 時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破

10、了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步， 就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)(或 n nn。且nN*)結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是對(duì) n n = k k+1 1 時(shí)命題成立的推證， 此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)、完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù)n n 有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題應(yīng)注意：(1) 第一步驗(yàn)證n=no時(shí)，no并不一定是 1 1。(2)第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清由k到k+ 1 1 時(shí)命題的變化。(3) 由假設(shè)n=k時(shí)命題成立， 證n=k+ 1