數(shù)學(xué)高考試題+模擬新題分類匯編：專題G立體幾何（文科）

1、G 立體幾何G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)9G12021重慶卷 設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1，和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為的棱異面，那么a的取值范圍為()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)圖129A解析 如圖12所示，設(shè)ABa，CD，BCBDACAD1，那么ACDBCD45，要構(gòu)造一個(gè)四面體，那么ACD與共面BCD不能重合，當(dāng)BCD與ACD重合時(shí)，a0；當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共面，且A、B兩點(diǎn)在DC的兩側(cè)時(shí)，在ABC中，ACBACDBCD454590，AB，所以a的取值范圍是(0，)8G1、G22021陜西卷 將正方體(如圖13所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖所示的幾何體，那么該幾何體的左

2、視圖為()圖13圖148B解析 分析題目中截幾何體所得的新的幾何體的形狀，結(jié)合三視圖實(shí)線和虛線的不同表示可知對(duì)應(yīng)的左視圖應(yīng)該為B.15G1、G122021安徽卷 假設(shè)四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即ABCD，ACBD，ADBC，那么_(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直；四面體ABCD每個(gè)面的面積相等；從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180；連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分；從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)15解析 如圖，把四面體ABCD放入長(zhǎng)方體中，由長(zhǎng)方體中相對(duì)面中相互異面的兩條面對(duì)角線不

3、一定相互垂直可知錯(cuò)誤；由長(zhǎng)方體中ABCABDDCBDCA，可知四面體ABCD每個(gè)面的面積相等，同時(shí)四面體ABCD中過同一頂點(diǎn)的三個(gè)角之和為一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之和，即為180，故正確，錯(cuò)誤；長(zhǎng)方體中相對(duì)面中相互異面的兩條面對(duì)角線中點(diǎn)的連線相互垂直，故正確；從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱可以移到一個(gè)三角形中，作為一個(gè)三角形的三條邊，故正確答案為.5G12021上海卷 一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2，該圓柱的外表積為_56解析 考查圓柱的外表積，利用圓的周長(zhǎng)求得圓柱的底面半徑由圓柱的底面周長(zhǎng)可得底面圓的半徑，2r2，r1，得圓柱的外表積S2r22h246.19G1、G112021上海卷 如圖

4、11，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點(diǎn)，BAC，AB2，AC2，PA2，求：圖11(1)三棱錐PABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)19解：(1)SABC222，圖12三棱錐PABC的體積為VSABCPA22.(2)取PB的中點(diǎn)E，連接DE、AE，那么EDBC，所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE，所以ADEarccos.因此，異面直線BC與AD所成的角的大小是arccos.G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖10G22021天津卷 一個(gè)幾何體的三視圖如圖12所示(單位：m)，那

5、么該幾何體的體積為_m3.圖121030解析 由三視圖可得該幾何體為兩個(gè)直四棱柱的組合體，其體積V342(12)1430.13G22021遼寧卷 一個(gè)幾何體的三視圖如圖13所示，那么該幾何體的體積為_圖131312解析 本小題主要考查三視圖和體積公式解題的突破口為通過觀察分析三視圖，得出幾何體的形狀，是解決問題的根本由三視圖可知， 幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體，所以該幾何體的體積為VV長(zhǎng)方體V圓柱43112112.7G22021課標(biāo)全國(guó)卷 如圖12，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為()圖13A6 B9 C12 D187B解析 根據(jù)三視圖

6、可知該幾何體是三棱錐，其底面是斜邊長(zhǎng)為6的等腰直角三角形(斜邊上的高為3)，有一條長(zhǎng)為3的側(cè)棱垂直于底面，所以該幾何體的體積是V6339，應(yīng)選B.3. G2、G72021浙江卷 某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖11所示，那么該三棱錐的體積是()A1 cm3 B2 cm3C3 cm3 D6 cm3圖113A解析 此題考查三棱錐的三視圖與體積計(jì)算公式，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的運(yùn)算能力和空間想象能力由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)正三棱錐，那么VSh1231.8G1、G22021陜西卷 將正方體(如圖13所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖所示的幾何體，那么該幾何體的左視圖為()圖13圖148B解析 分析題目中截幾何

7、體所得的新的幾何體的形狀，結(jié)合三視圖實(shí)線和虛線的不同表示可知對(duì)應(yīng)的左視圖應(yīng)該為B.15.G22021湖北卷 某幾何體的三視圖如圖14所示，那么該幾何體的體積為_圖14圖1515答案 12 解析 由三視圖可知，該幾何體是由左右兩個(gè)相同的圓柱(底面圓半徑為2，高為1)與中間一個(gè)圓柱(底面圓半徑為1，高為4)組合而成，故該幾何體的體積是V221212412.7G22021廣東卷 某幾何體的三視圖如圖11所示，它的體積為()圖11A72 B48C30 D247C解析 根據(jù)三觀圖知該幾何體是由半球與圓錐構(gòu)成，球的半徑R3，圓錐半徑R3，高為4，所以V組合體V半球V圓錐3332430，所以選擇C.4G22

8、021福建卷 一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()A球 B三棱錐 C正方體 D圓柱4D解析 球的三視圖大小、形狀相同，三棱錐的三視圖也可能相同，正方體三種視圖也相同，只有D不同12G2、G72021安徽卷 某幾何體的三視圖如圖12所示，那么該幾何體的體積等于_圖121256解析 如圖，根據(jù)三視圖復(fù)原的實(shí)物圖為底面是直角梯形的直四棱柱，其體積為VSh4456.7G2、G72021北京卷 某三棱錐的三視圖如圖14所示，該三棱錐的外表積是()圖14A286 B306C5612 D60127B解析 此題考查三棱錐的三視圖與外表積公式由三視圖可知，幾何體為一個(gè)側(cè)面和底面垂

9、直的三棱錐，如下圖，可知S底面5410，S后5410，S左626，S右4510，所以S表1036306.4G22021湖南卷 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖11所示，那么該幾何體的俯視圖不可能是()圖114C解析 此題考查三視圖，意在考查考生三視圖的辨析，以及對(duì)三視圖的理解和掌握選項(xiàng)A, B, D，都有可能，選項(xiàng)C的正視圖應(yīng)該有看不見的虛線，故C是不可能的易錯(cuò)點(diǎn) 此題由于對(duì)三視圖的不了解，易錯(cuò)選D，三視圖中看不見的棱應(yīng)該用虛線標(biāo)出7G22021江西卷 假設(shè)一個(gè)幾何體的三視圖如圖12所示，那么此幾何體的體積為()A. B5C. D4圖127D解析 該幾何體是直六棱柱，由左視圖知其高為1，由主視圖

10、和俯視圖知其底面面積S(13)14，因此其體積為4，應(yīng)選D.G3 平面的根本性質(zhì)、空間兩條直線G4 空間中的平行關(guān)系19G4、G52021山東卷 如圖16，幾何體EABCD是四棱錐，ABD為正三角形，CBCD，ECBD.圖16(1)求證：BEDE；(2)假設(shè)BCD120，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM平面BEC.19證明：(1)取BD的中點(diǎn)O，連接CO，EO.由于CBCD，所以COBD，又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，又O為BD的中點(diǎn)，所以BEDE.(2)證法一：取AB的中點(diǎn)N，連接DM，DN，MN，因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以MNBE.又MN平面B

11、EC，BE平面BEC，所以MN平面BEC，又因?yàn)锳BD為正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC，又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC，又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，所以DM平面BEC.證法二：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF.因?yàn)镃BCD，BCD120.所以CBD30.因?yàn)锳BD為正三角形所以BAD60，ABC90，因此AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D為線段AF的中點(diǎn)連接DM，由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.18G4、G72021遼寧卷 如

12、圖15，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，點(diǎn)M，N分別為AB和BC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面AACC；(2)求三棱錐AMNC的體積(錐體體積公式VSh，其中S為底面面積，h為高)圖1518解：(1)(證法一)連結(jié)AB，AC，由BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC為直三棱柱，所以M為AB中點(diǎn)，又因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.(證法二)取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP，NP，M、N分別為AB與BC的中點(diǎn)，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC，又MPNPP，因此平面MPN平面AACC，而MN平面MP

13、N.因此MN平面AACC.(2)(解法一)連結(jié)BN，由題意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.(解法二)VAMNCVANBCVMNBCVANBC.16G4、G5、G72021北京卷 如圖19(1)，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖19(2)(1)求證：DE平面A1CB；(2)求證：A1FBE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？說明理由圖1916解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以D

14、EBC.又因?yàn)镈E平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)證明：由得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因?yàn)锳1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如以下圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，那么PQBC.又因?yàn)镈EBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP，由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，

15、使得A1C平面DEQ.16G4、G52021江蘇卷 如圖14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.圖1416證明：(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因?yàn)锳DDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1FB1C1.因?yàn)镃C1平面A1B1

16、C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.5G4、G52021浙江卷 設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面()A假設(shè)l，l，那么 B假設(shè)l，l，那么C假設(shè)，l，那么l D假設(shè)，l，那么l5B解析 此題考查了線面、面面平行，線面、面面垂直等簡(jiǎn)單的立體幾何知識(shí)，考查學(xué)生對(duì)書本知識(shí)的掌握情況以及空間想象、推理能力對(duì)于選項(xiàng)A，假設(shè)l，l，那么或平面與相交；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)l，l，那么；對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)，l，那么

17、l或l在平面內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)D，假設(shè)，l，那么l與平行、相交或l在平面內(nèi)G5 空間中的垂直關(guān)系19G52021江西卷 如圖17，在梯形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4，現(xiàn)將ADE，CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G，得到多面體CDEFG.(1)求證：平面DEG平面CFG；(2)求多面體CDEFG的體積圖1719解：(1)證明：因?yàn)镈EEF，CFEF，所以四邊形CDEF為矩形，由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF，又因?yàn)镃FEF，CFFG

18、，得，CF平面EFG，所以CFEG，所以EG平面CFG，即平面DEG平面CFG.(2)如圖，在平面EGF中，過點(diǎn)G作GHEF于點(diǎn)H，那么GH.因?yàn)槠矫鍯DEF平面EFG，得GH平面CDEF，VCDEFGSCDEFGH16.14G52021四川卷 如圖14，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，那么異面直線A1M與DN所成的角的大小是_.圖141490解析 因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為正方體，故A1在平面CDD1C1上的射影為D1，即A1M在平面CDD1C1上的射影為D1M，而在正方形CDD1C1中，由tanDD1MtanCDN，可知D1MDN，由三垂線定理可知

19、，A1MDN.20G5、G6、G10、G112021重慶卷 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D為AB的中點(diǎn)(1)求異面直線CC1和AB的距離；(2)假設(shè)AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值圖1320解：(1)因ACBC，D為AB的中點(diǎn)，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以異面直線CC1和AB的距離為CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，從而CDDA1，CDDB1，故A1DB1為所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又AB1A1C，由三垂線定理的逆定理得AB1A1D，從而A1

20、AB1，A1DA都與B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.從而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如以下圖，過D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)直三棱柱的高為h，那么A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，從而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.圖14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0

21、)設(shè)平面A1CD的法向量為m(x1，y1，z1)，那么m，m，即取z11，得m(，0,1)設(shè)平面B1CD的法向量為n(x2，y2，z2)，那么n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值為.5G4、G52021浙江卷 設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面()A假設(shè)l，l，那么 B假設(shè)l，l，那么C假設(shè)，l，那么l D假設(shè)，l，那么l5B解析 此題考查了線面、面面平行，線面、面面垂直等簡(jiǎn)單的立體幾何知識(shí)，考查學(xué)生對(duì)書本知識(shí)的掌握情況以及空間想象、推理能力對(duì)于選項(xiàng)A，假設(shè)l，l，那么或平面與相交；對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)l，l，那么；對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)，l，那么l或

22、l在平面內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)D，假設(shè)，l，那么l與平行、相交或l在平面內(nèi)20G4、G5、G112021浙江卷 如圖15，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)是平面B1C1E與直線AA1的交點(diǎn)(1)證明：(i)EFA1D1；(ii)BA1平面B1C1EF；(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值圖1520解：(1)證明：()因?yàn)镃1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因?yàn)槠矫鍮1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.()因?yàn)锽B1平面A1B1C1D

23、1，所以BB1B1C1.又因?yàn)锽1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)設(shè)BA1與B1F交點(diǎn)為H，連結(jié)C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1與面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH.在直角BHC1中，BC12，BH，得sinBC1H，所以BC1與平面B1C1EF所成角的正弦值是.17G5、G112021天津卷 如圖14，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC

24、1，PC2，PDCD2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2)證明平面PDC平面ABCD；(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值圖1417解：(1)如下圖，在四棱錐PABCD中，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以ADBC且ADBC，又因?yàn)锳DPD，故PAD為異面直線PA與BC所成的角在RtPDA中，tanPAD2.所以，異面直線PA與BC所成角的正切值為2. (2)證明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.(3)在平面PDC內(nèi)，過點(diǎn)P作PECD交直線CD于點(diǎn)E，連接EB.由于平面PDC平面

25、ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE平面ABCD.由此得PBE為直線PB與平面ABCD所成的角在PDC中，由于PDCD2，PC2，可得PCD30.在RtPEC中，PEPCsin30.由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在RtPCB中，PB.在RtPEB中，sinPBE.所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為.18G5、G72021陜西卷 直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CAB.(1)證明：CB1BA1；(2)AB2，BC，求三棱錐C1ABA1的體積圖1718解：(1)證明：如圖，連結(jié)AB1，ABCA1B1C1是直三棱柱，CAB，AC

26、平面ABB1A1，故ACBA1.又ABAA1，四邊形ABB1A1是正方形，BA1AB1，又CAAB1A.BA1平面CAB1，故CB1BA1.(2)ABAA12，BC，ACA1C11，由(1)知，A1C1平面ABA1，VC1ABA1SABA1A1C121.19G5、G72021課標(biāo)全國(guó)卷 如圖14，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱為兩局部，求這兩局部體積的比圖1419解：(1)證明：由題設(shè)知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所

27、以DC1BC.由題設(shè)知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1，ACV111.又三棱柱ABCA1B1C1的體積V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得兩局部體積的比為11.19G4、G52021山東卷 如圖16，幾何體EABCD是四棱錐，ABD為正三角形，CBCD，ECBD.圖16(1)求證：BEDE；(2)假設(shè)BCD120，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM平面BEC.19證明：(1)取BD的中點(diǎn)O，連接CO，EO.由于CBCD，所以COBD，又E

28、CBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，又O為BD的中點(diǎn)，所以BEDE.(2)證法一：取AB的中點(diǎn)N，連接DM，DN，MN，因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC，又因?yàn)锳BD為正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC，又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC，又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，所以DM平面BEC.證法二：延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF.因?yàn)镃BCD，BCD120.所以CBD30.因?yàn)锳BD為正三角形所以BAD60，AB

29、C90，因此AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D為線段AF的中點(diǎn)連接DM，由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.19G5、G72021湖南卷 如圖17，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.(1)證明：BDPC；(2)假設(shè)AD4，BC2，直線PD與平面PAC所成的角為30，求四棱錐PABCD的體積19解：(1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.圖18又ACBD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BD平面PAC.而PC平面PAC，所以BDPC.(2)設(shè)A

30、C和BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直線PD和平面PAC所成的角從而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO.在RtPOD中，由DPO30得PD2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，ACBD，所以AOD，BOC均為等腰直角三角形從而梯形ABCD的高為ADBC(42)3，于是梯形ABCD的面積S(42)39.在等腰直角三角形AOD中，ODAD2，所以PD2OD4，PA4.故四棱錐PABCD的體積為VSPA9412.19G5、G72021湖北卷 某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖17所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1

31、C1D1ABCD，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.圖17(1)證明：直線B1D1平面ACC2A2；(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件外表進(jìn)行防腐處理AB10，A1B120，AA230，AA113(單位：cm)，需加工處理費(fèi)多少元？19解：(1)因?yàn)樗睦庵鵄BCDA2B2C2D2的側(cè)面是全等的矩形，所以AA2AB，AA2AD，又因?yàn)锳BADA，所以AA2平面ABCD.連接BD，因?yàn)锽D平面ABCD，所以AA2BD.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以ACBD.根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，BD與B1D1共面又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面ABC

32、DBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD.于是由AA2BD，ACBD，B1D1BD，可得AA2B1D1，ACB1D1，又因?yàn)锳A2ACA，所以B1D1平面ACC2A2.(2)因?yàn)樗睦庵鵄BCDA2B2C2D2的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，所以S1S四棱柱上底面S四棱柱側(cè)面(A2B2)24ABAA2102410301 300(cm2)又因?yàn)樗睦馀_(tái)A1B1C1D1ABCD的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形所以S2S四棱臺(tái)下底面S四棱臺(tái)側(cè)面(A1B1)24(ABA1B1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)于是該實(shí)心零部件的外表積為SS1

33、S21 3001 1202 420(cm2)，S2 420484(元)18G5、G122021廣東卷 如圖15所示，在四棱錐PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DFAB，PH為PAD中AD邊上的高(1)證明：PH平面ABCD；(2)假設(shè)PH1，AD，F(xiàn)C1，求三棱錐EBCF的體積；(3)證明：EF平面PAB.圖1518解：(1)由于AB平面PAD，PH平面PAD，故ABPH.又因?yàn)镻H為PAD中AD邊上的高，故ADPH.ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.(2)由于PH平面ABCD，E為PB的中點(diǎn)，PH1，故E到平面A

34、BCD的距離hPH.又因?yàn)锳BCD，ABAD，所以ADCD，故SBCFFCAD1.因此VEBCFSBCFh.(3)證明：過E作EGAB交PA于G，連接DG.由于E為PB的中點(diǎn)，所以G為PA的中點(diǎn)因?yàn)镈ADP，故DPA為等腰三角形，所以DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.又GE綊AB，DF綊AB，GE綊DF.所以四邊形DFEG為平行四邊形，故DGEF.于是EF平面PAB.19G5、G112021安徽卷 如圖13，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點(diǎn)，E是棱AA1上任意一點(diǎn)(1)

35、證明：BDEC1；(2)如果AB2，AE，OEEC1，求AA1的長(zhǎng)圖1319解：(1)證明：連接AC，A1C1.由底面是正方形知，BDAC.因?yàn)锳A1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又由AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)設(shè)AA1的長(zhǎng)為h，連接OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12.故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2.因?yàn)镺EEC1，所以O(shè)E2ECOC，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3.所以AA1的長(zhǎng)為3.16G4、G5

36、、G72021北京卷 如圖19(1)，在RtABC中，C90，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖19(2)(1)求證：DE平面A1CB；(2)求證：A1FBE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？說明理由圖1916解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DEBC.又因?yàn)镈E平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)證明：由得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因?yàn)锳1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1

37、FBE.(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如以下圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，那么PQBC.又因?yàn)镈EBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP，由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C平面DEQ.16G4、G52021江蘇卷 如圖14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)

38、直線A1F平面ADE.圖1416證明：(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因?yàn)锳DDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1FB1C1.因?yàn)镃C1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面AD

39、E.19G5、G7、G112021全國(guó)卷 如圖11，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC.(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小圖1119解：方法一：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.設(shè)ACBDF，連結(jié)EF.因?yàn)锳C2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，F(xiàn)C，從而，.因?yàn)?，F(xiàn)CEPCA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90，由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)

40、A作AGPB，G為垂足因?yàn)槎娼茿PBC為90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，那么sin.所以PD與平面PBC所成的角為30.方法二：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b

41、0，那么P(0,0,2)，E，B(，b,0)于是(2，0，2)，從而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)設(shè)m(x，y，z)為平面PAB的法向量，那么m0，m0，即2z0且xby0，令xb，那么m(b，0)設(shè)n(p，q，r)為平面PBC的法向量，那么n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，那么r，q，n.因?yàn)槊鍼AB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因?yàn)镻D與平面PBC所成的角和n，互余，故PD與平面PBC所成的角為30.G6 三垂線定理20G5、G6、G10、G112021重慶卷

42、 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D為AB的中點(diǎn)(1)求異面直線CC1和AB的距離；(2)假設(shè)AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值圖1320解：(1)因ACBC，D為AB的中點(diǎn)，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以異面直線CC1和AB的距離為CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，從而CDDA1，CDDB1，故A1DB1為所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又AB1A1C，由三垂線定理的逆定理得AB1A1D，從而A1AB1，A1DA都與B1AB互余，因此A1AB1A1DA，

43、所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.從而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如以下圖，過D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)直三棱柱的高為h，那么A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，從而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.圖14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0)設(shè)平面A1CD的法向量為m(x1，y1，z1)，那么m，

44、m，即取z11，得m(，0,1)設(shè)平面B1CD的法向量為n(x2，y2，z2)，那么n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值為.G7 棱柱與棱錐13G72021山東卷 如圖13所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，那么三棱錐ADED1的體積為_圖1313.解析 此題考查棱錐的體積公式，考查空間想象力與轉(zhuǎn)化能力，容易題VADED1VEDD1A111.7G72021江蘇卷 如圖12，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，那么四棱錐ABB1D1D的體積為_cm3.圖1276解析 此

45、題考查四棱錐體積的求解以及對(duì)長(zhǎng)方體性質(zhì)的運(yùn)用解題突破口為尋找四棱錐的高連AC交BD于點(diǎn)O，因四邊形ABCD為正方形，故AO為四棱錐ABB1D1D的高，從而V236.3. G2、G72021浙江卷 某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖11所示，那么該三棱錐的體積是()A1 cm3 B2 cm3C3 cm3 D6 cm3圖113A解析 此題考查三棱錐的三視圖與體積計(jì)算公式，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的運(yùn)算能力和空間想象能力由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)正三棱錐，那么VSh1231.18G5、G72021陜西卷 直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CAB.(1)證明：CB1BA1；(2)AB2，BC，求三棱錐

46、C1ABA1的體積圖1718解：(1)證明：如圖，連結(jié)AB1，ABCA1B1C1是直三棱柱，CAB，AC平面ABB1A1，故ACBA1.又ABAA1，四邊形ABB1A1是正方形，BA1AB1，又CAAB1A.BA1平面CAB1，故CB1BA1.(2)ABAA12，BC，ACA1C11，由(1)知，A1C1平面ABA1，VC1ABA1SABA1A1C121.19G5、G72021湖南卷 如圖17，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.(1)證明：BDPC；(2)假設(shè)AD4，BC2，直線PD與平面PAC所成的角為30，求四棱錐PABCD的體積19解：(

47、1)證明：因?yàn)镻A平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.圖18又ACBD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BD平面PAC.而PC平面PAC，所以BDPC.(2)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直線PD和平面PAC所成的角從而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO.在RtPOD中，由DPO30得PD2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，ACBD，所以AOD，BOC均為等腰直角三角形從而梯形ABCD的高為ADBC(42)3，于是梯形ABCD的面積S(42)39.在等腰直角三角形AOD中，ODAD2，所以PD2OD4，PA4.故四棱錐PABCD的體積為VSPA9412.19G5、G72021湖北卷 某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖17所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1ABCD，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.圖17(1)證明：直線B1D1平面ACC2A2；(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件外表進(jìn)行防腐處理AB10，A1B120，AA230，AA113(單位：cm)，需加工處理費(fèi)多少元？19解：(1)因?yàn)樗睦庵鵄BCDA2B