必修四平面向量知識點與題型歸納總結

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上必修四平面向量知識點與題型歸納梳理平面向量的基本概念與線性運算知識點1平面向量的線性運算運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba；(2)結合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫作a與b的差aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當0時，a與a的方向相同；當0，點P在線段AB上，且有t(0t1)，則的最大值為()Aa B2a C3a Da2【答案】t，t()(1t)t(aat，at)，a2(1t)，0t1，0a2.17已知點O為ABC所在平面內(nèi)一點，且222222，則O一定為ABC的()

2、A外心 B內(nèi)心 C垂心 D重心【答案】由2222，得2()22()2，0.O在邊AB的高線上同理，O在邊AC，BC的高線上，則O為ABC的垂心故選C.18如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是_【解析】方法一：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，設F(x，2)，(x，2)，(，0)，x，x1，F(xiàn)(1，2)，(，1)(1，2).方法二：|cosBAF，|cosBAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.19在三角形ABC中，是線段上一點，且，為線段上一點（1）設，設，求；

3、.（2）求的取值范圍；（3）若為線段的中點，直線與相交于點，求【解析】（1）而，（2）在三角形中， ，不妨設，式，（3）為線段的中點不妨設,，、M、D三點共線即，20設向量，是不共線的非零向量，且向量，（1）證明：可以作為一組基底；（2）以為基底，求向量的分解式；（3）若，求，的值【解析】（1）證明：若共線，則存在唯一的實數(shù)，使得，即由，不共線，得不存在，故不共線，可以作為一組基底（2）設，則，不共線，（3）由，得，共線，,故所求，的值分別為3和1平面向量的應用舉例（一）平面向量線性運算問題的求解策略：（1）進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量

4、，三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來（2）向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用（3）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結果.例1.（1）.【2018年高考全國I卷理數(shù)】在中，為邊上的中線，為的中點，則ABCD【解析】根據(jù)向量的運算法則，可得 ，所以.故選A.（2）.【廣東省2019屆高三適應性考試數(shù)學試題】已知中，點是邊的中點，若點滿足，則ABCD【解析】由點M是邊BC的中點，可得2，由，可得2（）4，即

5、2（）+12，可得6，即，故選D【名師點睛】本題考查向量的中點表示，以及向量的加減運算和向量共線定理的運用，考查化簡運算能力，屬于基礎題解答時，由向量的中點表示和加減運算、以及向量的共線定理，即可得到結論【變式訓練1】【湖師范大學附屬中學2019屆高三數(shù)學試題】如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，則 A BCD 【解析】根據(jù)題意得：，又，所以.故選D.【變式訓練2】如圖，在同一個平面內(nèi)，向量、，的模分別為1，1，與的夾角為，且，與的夾角為，若， 則的值為_【解析】由可得，根據(jù)向量分解易得：，即，解得 所以（2） 平面向量的坐標運算（平行與垂直）：例2【福建省寧德市20

6、19屆高三畢業(yè)班第二次（5月）質量檢查考試數(shù)學試題】若已知向量，若，則的值為ABCD【解析】向量，且，即，故選D.【變式訓練】已知非零向量滿足，且，則的夾角為ABCD【解析】，且， ，且，又，故選D（三）平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標公式.（2）求較復雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡.（3）兩個應用：求夾角的大?。喝鬭，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度的問題確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不

7、共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.例3（1）.【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形中，點在線段的延長線上，且，則_【解析】建立如圖所示的直角坐標系，DAB=30，則，.因為，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，所以.所以.（2）.【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試（一模)數(shù)學試題】在矩形中，,若點，分別是，的中點，則A4B3C2D1【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，.故選：C【變式訓練1】如圖，已知等腰梯形中，是的中點，是線段上的動點，則的最小值是AB0CD1【解析】由等腰梯形的知識可知

8、，設，則，當時，取得最小值故選A（四）平面向量的模及其應用的類型與解題策略：（1）求向量的模解決此類問題應注意模的計算公式，或坐標公式的應用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解（2）求模的最值或取值范圍解決此類問題通常有以下兩種方法：幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍（3）由向量的模求夾角對于此類問題的求解，其實質是求向量模方法的逆運用.例4【山東省安丘市、諸城市、五蓮縣、蘭山區(qū)2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學試題】已知，且，則向量在方向上的投影的數(shù)量為A

9、1BCD【解析】由得，所以，所以向量在方向上的投影的數(shù)量為，故選D.【變式訓練1】已知向量滿足，且在方向上的投影是，則實數(shù)AB2CD【解析】因為向量滿足，所以，設向量的夾角為，則，所以，即，解得.故選A.【名師點睛】本題主要考查向量的投影及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:（1）求向量的夾角， （此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）若向量垂直，則；（4）求向量的模（平方后需求）.【變式訓練2】已知向量滿足，與垂直，則的最小值為ABCD【解析】由題意知與垂直，則，可得又由，所以當時，取得最小值1故選B（五）向量

10、與平面幾何綜合問題的解法：（1）坐標法把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決（2）基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程來進行求解例5、已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a，b是夾角為60的兩個單位向量若向量c滿足c(a2b)5，則|c|的最小值為 【解析】解法1（基向量和定義法）：因為，設c與a2b的夾角為，由c(a2b)5得：5，即，所以，當時，|c|的最小值為.解法2（坐標法）：建立平面直角坐標系，設 a，b，c，因為c(a2b)5，所以，即，所以點為直

11、線上的動點，又|c| （為坐標原點），所以|c|的最小值即為坐標原點到直線的距離，即|c|.【變式訓練1】在ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，則實數(shù)的值為_【解析】解法1(基底法) 因為()(1)，所以(1)()|2(1)|2(12)49(1)(12)23cos1201912，解得.題型六 平面向量數(shù)量積中的隱圓問題通過建系運用相關點法即可求得點的軌跡方程，通過點的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓，接下來問題就轉化為定點與圓上的動點的距離的最小值問題，那就簡單了一般與動點有關的最值問題，往往運用軌跡思想，首先探求動點的軌跡，在了解其軌跡的基礎上一般可將問題轉化為點與圓的關系或直線與圓的關

12、系或兩圓之間的關系例6、已知ABC是邊長為3的等邊三角形，點P是以A為圓心的單位圓上一動點，點Q滿足，則|的最小值是_. 【解析】以A為原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，則(3，0)，設Q(x，y)，P(x，y)，由，得，即所以兩式平方相加得22(x2y2)，因為點P(x，y)在以A為圓心的單位圓上，所以x2y21，從而有22，所以點Q是以M為圓心，R的圓上的動點，因此BQminBMR.【變式訓練1】 已知|，且1.若點C滿足|1，則|的取值范圍是_【答案】1，1【解析】如圖，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則，因為|，1，所以|，由|1得|1，所以點C在以點D為圓心，1為半徑的圓上

13、，而|表示點C到點O的距離，從而|1|1，即1|1，即|的取值范圍是1，1【變式訓練2】已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB8，CD6，則的取值范圍是_【解析】思路分析1 注意到圓是中心對稱圖形，因此，利用圓心來將所研究的向量關系進行轉化，進而將問題轉化為研究的模的問題來進行求解思路分析2 注意到這是與圓有關的問題，而研究與圓有關的問題在坐標系中研究較為方便，因此，通過建立直角坐標系，將問題轉化為向量的坐標來進行求解解法 以AB所在的直線為x軸，它的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，設M(x，y)，則A(4，0)，B(4，0)，從而(4x，y)，(4x，y)，故x2y216

14、.又因為點M為弦CD上的動點，且CD6，所以7169x2y216，其中最小值在CD的中點時取得，所以的取值范圍是9，0四、遷移應用1.已知向量，若（），則（ ）ABCD【解析】據(jù)已知得：，所以有，2m=1,m=.2. 若等邊的邊長為，點滿足，則（ ）A.B.C. D.【解析】：，故選D.3.最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人應是我國西周時期的數(shù)學家商高，根據(jù)記載，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，我國的九章算術也有記載.所以，商高比畢達哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理.現(xiàn)有滿足“勾3股4弦5”，如圖所示，其中，D為弦上一點（不含端點），且滿足勾股定理，則（ ）A. B. C. D.【解析】由題意求出，故選A. 4.若,滿足, ,則的最大值為（ ）A. 10 B. 12 C. D. 【解析】