橢圓的幾何性質(zhì)(第二定義)

1、圖形圖形相同點相同點不同點不同點方程方程焦點焦點頂點頂點準(zhǔn)線準(zhǔn)線ba2,2短軸長長軸長222cba) 10(eace離心率) 0( 12222babyax) 0( 12222babxay)0 ,()0 ,(21cFcF ), 0(), 0(21cFcF),0(),0()0 ,()0 ,(121bBbBaAaA)0 ,()0 ,(),0(),0(121bBbBaAaA一、復(fù)習(xí)回顧：一、復(fù)習(xí)回顧：練習(xí)練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為為 。2、若橢圓的兩個焦點及一個短軸端點構(gòu)成正三角、若橢圓的兩個焦點及一個短軸端點構(gòu)成正三角形，則其離心率為

2、形，則其離心率為 。3、若橢圓的、若橢圓的 的兩個焦點把長軸分成三等分，則其的兩個焦點把長軸分成三等分，則其離心率為離心率為 。2221314、若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，、若某個橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列， 則其離心率則其離心率e=_5322221111yxabPPPOPPFPFPF-點 是橢圓上的動點，當(dāng) 的坐標(biāo)為時，到原點 的最大距離為；當(dāng) 的坐標(biāo)為時，到原點O的最小距離為；設(shè) （c,0),則當(dāng)P的坐標(biāo)為時，的最大值為；則當(dāng)P的坐標(biāo)為時，的最小值為。(a,0)a(0, b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c6、5、以橢圓的焦距為直徑并過兩焦點的圓，交橢圓于、以

3、橢圓的焦距為直徑并過兩焦點的圓，交橢圓于四個不同的點，順次連接這四個點和兩個焦點恰好組四個不同的點，順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率 。3125 2:( , )(4,0):44 ,.5M x yFl xM例點與定點的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)求點的軌跡1925610 , 1925 ,225 259 , .54425)4( ,54 ,425:22222222 yxxMyxyxxyxdMFMPMxlMd的的橢橢圓圓，其其軌軌跡跡方方程程是是、為為軸軸，長長軸軸、短短軸軸長長分分別別的的軌軌跡跡是是焦焦點點在在點點所所以以即

4、即并并化化簡簡得得將將上上式式兩兩邊邊平平方方由由此此得得跡跡就就是是集集合合的的軌軌點點根根據(jù)據(jù)題題意意的的距距離離到到直直線線是是點點設(shè)設(shè)解解Hd點點M（x，y）與定點）與定點F（c，0）的距離和它到定）的距離和它到定直線直線L ： 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) (ac0) ，求點求點M的軌跡。的軌跡。accax2證明：證明：二、講授新課：二、講授新課：求求軌軌跡跡就就是是集集合合的的距距離離，根根據(jù)據(jù)題題意意，所所直直線線是是點點解解：設(shè)設(shè)lMd, acdMFMP由由此此可可得得：.)(222acxcaycx 簡簡，得得將將上上式式兩兩邊邊平平方方，并并化化).()22222222c

5、aayaxca （則方程可化成則方程可化成設(shè)設(shè),222bca ).0( 12222 babyax的的軌軌跡跡是是長長軸軸、短短軸軸長長所所以以點點這這是是橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程，M.22的橢圓的橢圓、分別為分別為ba的的距距離離和和它它到到定定直直線線，與與定定點點若若點點)0(),(cFyxM思考上面探究問題，并回答下列問題：思考上面探究問題，并回答下列問題：的的距距離離和和它它到到定定直直線線，與與定定點點）若若點點（)0(),(3cFyxM 的的，此此時時點點的的距距離離的的比比是是常常數(shù)數(shù)Mcaaccaxl)0(:2 ？軌軌跡跡還還是是同同一一個個橢橢圓圓嗎嗎時時，對對應(yīng)應(yīng)，定定

6、直直線線改改為為，）當(dāng)當(dāng)定定點點改改為為（caylcF2:)0(4 ？的的軌軌跡跡方方程程又又是是怎怎樣樣呢呢探究：的的軌軌跡跡。，求求點點的的距距離離的的比比是是常常數(shù)數(shù)Mcaaccaxl)0(:2 （1）用坐標(biāo)法如何求出其）用坐標(biāo)法如何求出其軌跡方程軌跡方程，并說出軌跡，并說出軌跡（2）給橢圓下一個新的定義）給橢圓下一個新的定義由此可知由此可知,當(dāng)點當(dāng)點M與一個定點的距離和它到一條定直與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個常數(shù)線的距離的比是一個常數(shù)) 10 (eace時時,這個點的這個點的軌跡是橢圓軌跡是橢圓,這叫做這叫做橢圓的第二定義橢圓的第二定義,定點是橢圓的定點是橢圓的焦焦

7、點點,定直線叫做橢圓的定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線準(zhǔn)線,常數(shù)常數(shù)e是橢圓的是橢圓的離心率離心率.0 xyM( ,0)F ccax2(,0)Fc 對于橢圓對于橢圓相應(yīng)相應(yīng)與焦點與焦點) 0( 12222babyax)0 ,(cF的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線方程是方程是cax2由橢圓的對稱性由橢圓的對稱性,相應(yīng)相應(yīng)與焦點與焦點)0 ,( cF 的準(zhǔn)線方程是的準(zhǔn)線方程是2axc 2axc 能不能說能不能說M到到 的距離與到直線的距離與到直線的距離比也是離的距離比也是離心率心率e呢呢? cax2)0 ,(-cF概念分析概念分析第二定義的第二定義的“三定三定”：定點是焦點；定直線是準(zhǔn)線；定值是定點是焦點；定直線是準(zhǔn)線；定值是離

8、心率離心率ca212222bxay的準(zhǔn)線是的準(zhǔn)線是y=的準(zhǔn)線是的準(zhǔn)線是x=12222byaxca2橢圓的第一定義與第二定義是相呼應(yīng)的。橢圓的第一定義與第二定義是相呼應(yīng)的。定義定義 1圖圖 形形定義定義 2平面內(nèi)與平面內(nèi)與一個定點的距一個定點的距離和它到一條離和它到一條定直線的距離定直線的距離的比是常數(shù)的比是常數(shù))10( eace的的點點的的軌軌跡跡。)0 ,()0 ,(21cFcF、焦點：焦點： ),0(),0(21cFcF、焦焦點點： cax2 準(zhǔn)線：準(zhǔn)線：cay2 準(zhǔn)線：準(zhǔn)線：、兩兩個個定定點點1F的距離的和的距離的和2F等于常數(shù)（大等于常數(shù)（大）的點）的點于于21FF的軌跡。的軌跡。平面

9、內(nèi)與平面內(nèi)與應(yīng)用：應(yīng)用：1、求下列橢圓的準(zhǔn)線方程：、求下列橢圓的準(zhǔn)線方程：x24y24 181y16x222.已知已知P是橢圓是橢圓 上的點上的點,P到右準(zhǔn)線的距離為到右準(zhǔn)線的距離為8.5,則則P到左焦點到左焦點的距離為的距離為_.136y100 x223、已知、已知P點在橢圓點在橢圓 上，且上，且P到到橢圓左、右焦點的距離之比為橢圓左、右焦點的距離之比為1:4，求，求P到到兩準(zhǔn)線的距離兩準(zhǔn)線的距離.116y25x224、求中心在原點、焦點在、求中心在原點、焦點在x軸上、其長軸軸上、其長軸端點與最近的焦點相距為端點與最近的焦點相距為1、與相近的一、與相近的一條準(zhǔn)線距離為條準(zhǔn)線距離為 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)

10、方程。的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。355.設(shè)點設(shè)點M（x0，y0）是橢圓）是橢圓 上的一點，上的一點，F(xiàn)1（c，0），），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓的兩焦點，分別是橢圓的兩焦點，e是橢圓的離心率，是橢圓的離心率，求證求證： |MF1|aex0；|MF2|aex01bax2222y練練 習(xí)習(xí),)0(102222xPbabyax的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)是是上上一一點點已已知知橢橢圓圓 為為離離心心率率，則則點點，且且分分別別是是橢橢圓圓的的左左、右右焦焦、eFF21。 21, PFPF0exa 0exa 12222byax （ab0）左焦點為）左焦點為F1，右焦點為，右焦點為F2，P0（x0,y0）為橢圓上一點，）為橢

11、圓上一點，則則|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中其中|PF1|、 |PF2|叫焦半徑叫焦半徑.12222bxay （ab0）下焦點為）下焦點為F1，上焦點為，上焦點為F2，P0（x0,y0）為橢圓上一點，）為橢圓上一點，則則|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中其中|PF1|、 |PF2|叫焦半徑叫焦半徑.說明：說明：PF1F2XYO練習(xí)：已知橢圓練習(xí)：已知橢圓 P為橢圓在第一象限內(nèi)的點，它為橢圓在第一象限內(nèi)的點，它與兩焦點的連線互相垂直，求與兩焦點的連線互相垂直，求P點的坐標(biāo)。點的坐標(biāo)。221,4520 xy)(第二定義第二定義accaxPF 2010201)(exacaxacPF acxcaPF 022:同理同理0022)(exaxcaacPF 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程性性質(zhì)質(zhì)圖圖 形形范范 圍圍axabybayabxb頂點焦點頂點焦點對對 稱稱 性性關(guān)于關(guān)于