工程流體力學(xué)第4章旋渦理論和勢(shì)流理論

1、教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容第第0 0章章 緒論緒論第1章 流體的主要物理性質(zhì)第2章 流體靜力學(xué)第3章 流體流動(dòng)的基本方程第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論第5章 相似理論與量綱分析第6章 粘性流體管內(nèi)流動(dòng)第7章 粘性流體繞物體的流動(dòng)第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.1 流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)： 平動(dòng)+旋轉(zhuǎn)+變形（線變形，角變形）亥姆霍茲速度分解定理4.1.1 線變形速度三維流體微團(tuán)( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z txxyyzxuxuyuz 單位長(zhǎng)度在單位時(shí)間內(nèi)長(zhǎng)度的改變量 第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.1.2 剪變形角速

2、度流體微團(tuán)中某一直角的減小速度的一半 1()21()21()2yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy下標(biāo)剪切變形作用面法線方向4.1.3 平均旋轉(zhuǎn)角速度流體微團(tuán)中過(guò)同一點(diǎn)若干條直線旋轉(zhuǎn)的平均值 第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論1()21()21()2yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy三維空間中流體微團(tuán)在yz面、 xz面、xy面內(nèi)某一直角平分線在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。矢量式：1122xyzxyzuuu ijku 線變形速度、剪變形速度、平均旋轉(zhuǎn)角速度為表征流體微團(tuán)三種運(yùn)動(dòng)的特征量。第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.2 有旋運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋運(yùn)動(dòng) 比較速度場(chǎng)的旋度和平均旋轉(zhuǎn)角速度：111222xyzxy

3、zuuu ijkurot u 流體微團(tuán)是否旋轉(zhuǎn)無(wú)旋運(yùn)動(dòng) =0，即rot u=0有旋運(yùn)動(dòng) 0，即rot u0 不能僅從宏觀流體流動(dòng)的特征來(lái)判斷！ 圓周流動(dòng)，直線流動(dòng)無(wú)旋即有勢(shì)！無(wú)旋即有勢(shì)！第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.2.1 圓周運(yùn)動(dòng) 臺(tái)風(fēng)、彎曲水路等，流線為同心圓 1.速度與矢徑成正比 臺(tái)風(fēng)中心部分速度分布：00 xyuyux 00ruur直角坐標(biāo)極坐標(biāo)線變形速度：0,0yxxyuuxy剪變形角速度：0011()()022yxzuuxy第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論平均旋轉(zhuǎn)角速度：00011()()022yxzuuxy=0，=0流體微團(tuán)形狀不變 0 流體運(yùn)動(dòng)有旋 2.速度與矢徑成反比 誘導(dǎo)速度場(chǎng)

4、臺(tái)風(fēng)外圍的流場(chǎng)222222xyyuxyxuxy 直角坐標(biāo)極坐標(biāo)02ruur第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論線變形速度：222222()()xxyyuxyxxyuxyyxy 剪變形角速度：222221()22()yxzuuyxxyxy平均旋轉(zhuǎn)角速度：1()02yxzuuxy0，0流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)生形狀改變 =0 流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.2.2 直線運(yùn)動(dòng)平行平板間流動(dòng)，理想流體流動(dòng)，流線為平行線 1.拋物線形速度分布平行平板間，層流流動(dòng)2max(2)0 xyuyuyhhu線變形速度：0,0yxxyuuxy剪變形角速度：maxmax12()(2)(1)22yxzuuuuyyxyhh

5、hh第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論平均旋轉(zhuǎn)角速度：max12()2(1)2yxzuuyuxyh 0，0流體微團(tuán)在做直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，有剪切變形，伴隨有旋運(yùn)動(dòng)。 2.均勻速度分布00 xyuuu線變形速度：剪變形角速度：平均旋轉(zhuǎn)角速度：0 xyz0 xyz0 xyz剛體，運(yùn)動(dòng)無(wú)旋第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.3 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程4.3.1 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程牛頓第二定律在理想流體中的應(yīng)用。質(zhì)量力+表面力=作用于流體上的力，取微元體以x方向上的受力為例：質(zhì)量力： xfx y z 表面力：px y zx 微元體的質(zhì)量：mx y z 第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論加速度在x方向上的分量：xxxxxxxyzdu

6、uuuuauuudttxyz對(duì)微元體應(yīng)用牛頓第二定律：mFa在x方向上：xxmaFxxdupx y zfx y zx y zdtx 令,0 xyz ，整理可得：111xxyyzzdupfdtxdupfdtydupfdtz111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzuuuupuuuftxyzxuuuupuuuftxyzyuuuupuuuftxyzz第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzuuuupuuuftxyzxuuuupuuuftxyzyuuuupuuuftxyzz理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程質(zhì)量力表面力慣性力局部變位求解ux，uy

7、，uz，p，需要補(bǔ)充兩個(gè)方程：連續(xù)方程：狀態(tài)方程：=常數(shù)；=f (p)；=f (p,T)0zwyvxut 1dpdtuf 矢量式第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.3.2 蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程將歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程變形，以x方向?yàn)槔?22()()()()222xxxxxxyzxyzxyzzyzyyzzyduuuuuxuuuuuudttxyzuuuuuutxuuuxxx同理可得：2()2()2yyxzzxduuuuudtty即：2()2()2xxzyyzduuuuudttx2()2()2zzyxxyduuuuudttz2()22dudttuuu 21()22upt ufu 矢量式：第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論

8、4.4 歐拉積分和伯努利積分 運(yùn)動(dòng)微分方程求解困難，在一定條件下可以得到方程的解。前提條件：對(duì)不可壓縮流體：2()22upUu 0,tu,U f( )f p4.4.1 歐拉積分在無(wú)旋流場(chǎng)中的積分， =0 2()02upU矢量式：第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論222()02()02()02upUxupUyupUz 標(biāo)量式：22upU與空間坐標(biāo)無(wú)關(guān)22upU常數(shù)歐拉積分方程在重力場(chǎng)中：Uzg 定常流場(chǎng)下的歐拉積分：22puzCgg(流場(chǎng)常數(shù))非定常流場(chǎng)下的歐拉積分：2( )2puzF ttgg第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.4.1 伯努利積分沿流線的積分， 曲線坐標(biāo)S沿流線方向：()0Su 2()0,2

9、upUS可得：22upU在同一條流線上與空間點(diǎn)位置無(wú)關(guān)則在同一條流線上：22upU常數(shù)在重力場(chǎng)中：Uzg 212puzCgg(流線常數(shù))伯努利積分方程第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.4.2 兩種積分的物理意義及應(yīng)用歐拉積分方程伯努利積分方程伯努利方程理想流體，定常、無(wú)旋流動(dòng)：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體的總能量在整個(gè)流場(chǎng)中處處相等！有旋流動(dòng)：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體的總能量?jī)H沿同一條流線守恒！理想非理想，定常非定常，有旋無(wú)旋使用伯努利方程時(shí)注意區(qū)分：例例4-13第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論例平面流場(chǎng)， ，求此流場(chǎng)在點(diǎn)(1,2)處的線變形速度、剪變形速度以及平均旋轉(zhuǎn)角速度。2222,xyux yyuxy x解 平面流場(chǎng)，uz=

10、0,，線變形速度為：22 1 24xxuxyx 22 1 24yyuxyy 線變形速度為：2211()(2)(2 )22113()(2)(12)(1 22)222yxzuuxyxyxyxy xy第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論平均旋轉(zhuǎn)角速度為：22222211()(2)(2 )22117()()(1 2)(12 )222yxzuuxyxyxyxyxy 例判斷下列流場(chǎng)是勢(shì)流還是渦流。 (1) ux=-2y, uy=3x (2) ux=0, uy=3xy 解(1) ，為有旋流動(dòng)，渦流11()(32)022yxzuuxy (2) ，y=0時(shí)為無(wú)旋流動(dòng)，勢(shì)流；y0時(shí)為有旋流動(dòng)，渦流。113()(30)222

11、yxzuuyyxy第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.5 旋渦的基本概念自然界中，絕大部分流體的流動(dòng)為有旋運(yùn)動(dòng)。4.5.1 渦線、渦管速度場(chǎng)與旋渦場(chǎng)，存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：速度場(chǎng)（u）速度 u流線流管流量旋渦場(chǎng)（）平均旋轉(zhuǎn)角速度 渦線渦管旋渦強(qiáng)度第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論1.渦線 某一瞬時(shí)的渦線是這樣的曲線，在該曲線上各點(diǎn)的平均旋轉(zhuǎn)角速度矢量與該曲線相切。渦線的性質(zhì)：在定常流場(chǎng)中，渦線形狀保持不變非定常流場(chǎng)中，渦線形狀發(fā)生變化同一瞬時(shí)的渦線不可能相交渦線的微分方程：xyzdxdydz第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論2.渦管 在旋渦場(chǎng)中通過(guò)任一封閉曲線（非渦線）的每一點(diǎn)做渦線，這些渦線所形成的管狀表面渦管。截面

12、積趨于無(wú)限小的渦管-渦索4.5.2 渦旋強(qiáng)度(渦通量）ndJdAndA截面上在dA法線方向上的分量dA微元渦管的截面積nAJdA第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.6 速度環(huán)流和斯托克斯定理4.6.1 速度環(huán)流（環(huán)量） 有旋運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量無(wú)法測(cè)量，渦通量無(wú)法直接計(jì)算。 速度環(huán)流與旋渦周圍速度場(chǎng)有關(guān)，建立速度環(huán)流與渦通量的關(guān)系，計(jì)算渦通量。 在流場(chǎng)中任取一封閉曲線C，流速沿曲線C的積分即為曲線C上的速度環(huán)流，以表示。()xyzCCdu dxu dyu dzul第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論()xyzCCdu dx u dyu dzul 規(guī)定，積分沿l逆時(shí)針?lè)较蚶@行為l的正方向。封閉曲線所圍

13、曲面的法線正方向與繞行方向符合右手規(guī)則。4.6.2 斯托克斯定理 沿任意封閉曲線C的速度環(huán)流C等于通過(guò)以該曲線為邊界的曲面A的旋渦強(qiáng)度J的2倍。2CJ2lnCAu dldA即第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.7 旋渦運(yùn)動(dòng)的基本定理4.8 二元旋渦的速度分布和壓強(qiáng)分布4.9 速度勢(shì)和流函數(shù)（為什么提出這兩個(gè)新概念？）4.9.1 速度勢(shì) 流體的無(wú)旋運(yùn)動(dòng)滿足11022xyzxyzuuuijku yxxzyzuuyxuuzxuuyz可得第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論xyzu dxu dyu dz在直角坐標(biāo)系中有：,xyzuuuxyz 即為速度的勢(shì)函數(shù)速度勢(shì)，條件是流動(dòng)無(wú)旋！對(duì)不可壓縮流體，將速度表達(dá)式帶入連續(xù)

14、性方程：2222220 xyz0不可壓縮流體流動(dòng)的速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程。滿足上式的速度函數(shù)，對(duì)應(yīng)一如下定義的函數(shù) ：第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論1.等勢(shì)面與流線垂直。0dul2.速度勢(shì)在任何方向上的偏導(dǎo)數(shù)等于速度在該方向 上的投影。lul3.速度勢(shì)與線積分 的關(guān)系：BBAAdulBAdul 在勢(shì)流場(chǎng)中，沿任意封閉曲線的速度環(huán)量為零。速度勢(shì) 的重要性質(zhì)：第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論4.9.2 流函數(shù) 平面流動(dòng)中（二維流動(dòng)），由不可壓縮流體的連續(xù)性方程可得：yxuuxy 滿足上式的速度函數(shù)，存在一如下定義的函數(shù) ：()yxudxu dy在直角坐標(biāo)系中有：,xyuuyx 即為流函數(shù)，只有平面流才存在流函數(shù)！第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論 在平面不可壓縮勢(shì)流場(chǎng)中，勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)同時(shí)存在，有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：,xyuuxyyx 勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)滿足柯西-黎曼條件共軛函數(shù)對(duì)不可壓縮流體的平面無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，=0，則：0yxuuxy22220 xy平面勢(shì)流的流函數(shù)也滿足拉普拉斯方程。第4章 旋渦理論和勢(shì)流理論流函數(shù)的重要性質(zhì)：1.流函數(shù)的等值線與流線重合。 只有在平面勢(shì)流運(yùn)動(dòng)中上述關(guān)系才成立。在三維流動(dòng)中沒(méi)有流函數(shù)，但流線仍然存在。 因等勢(shì)線與流線垂直，等勢(shì)線與流函數(shù)等值線在流場(chǎng)中形成一個(gè)流網(wǎng)。2.流函數(shù)與流量的關(guān)系VBAq 任意兩點(diǎn)流函數(shù)之差，等于通過(guò)連接這兩點(diǎn)的任意形狀