新人教函數(shù)奇偶性

1、引 入課題：1.已知函數(shù)f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2) , f(2),及f(-x) ,并畫出它的圖象。解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3, 求f(0),f(-1),f(1) f(-2),f(2), 及f(-x),并畫出它的圖象.解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3思考:函數(shù)圖象上橫坐標互為相反數(shù)的點的縱坐標有什么關(guān)系？ f(-2)=f(2)f(-1)=

2、f(1)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo( x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)f(-x)=f(x)f(-x)= - f(x)1.函數(shù)奇偶性的概念: 偶函數(shù)定義: 如果對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù).奇函數(shù)定義: 如果對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).對奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的說明:(1).函數(shù)具有奇偶性的前提是：定義域關(guān)于原點對稱。 a ,b-b,-axo（2） 若f(x)為奇函數(shù), 則f(-x

3、)=f(x)成立。 若f(x)為偶函數(shù), 則f(-x)= f(x) 成立。（3） 如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說函數(shù)f(x) 具有奇偶性。練習(xí)1. 說出下列函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函數(shù)f(x)=x -2 _偶函數(shù) f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 結(jié)論：一般的，對于形如 f(x)=x n 的函數(shù)， 若n為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)。若n為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)。例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2

4、x= -(x3+2x)= - f(x)f(x)為奇函數(shù) f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2= f(x)f(x)為偶函數(shù)定義域為R解: 定義域為R 小結(jié)：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟: 先求定義域，看是否關(guān)于原點對稱; 再判斷f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。練習(xí)2. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1f(x)為奇函數(shù) f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1f(x)為偶函數(shù)(1) f(x)=x- 1x解：定義域為x|x0解：定義域為Rf(-x)=(-x) -1-x= -x+1 x= - f(x) = f(x)(3). f(x

5、)=5 (4) f(x)=0解: f(x)的定義域為R f(-x)=f(x)=5 f(x)為偶函數(shù)解: 定義域為R f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x)f(x)為既奇又偶函數(shù)yox5oyx結(jié)論: 函數(shù)f(x)=0 (定義域關(guān)于原點對稱），為既奇又偶函數(shù)。(5) f(x)=x2+x解: f(-1)=0,f(1)=2 f(-1)f(1) ，f(-1)-f(1)f(x)為非奇非偶函數(shù)(6) f(x)= x解: 定義域為 0 ,+) 定義域不關(guān)于原點對稱f(x)為非奇非偶函數(shù)(7) f(x)= 3x解: 定義域為R f(-x)= 3 -x = - 3x = - f(x)f(x

6、)為奇函數(shù) 小結(jié)：根據(jù)奇偶性, 函數(shù)可劃分為四類: 奇函數(shù)偶函數(shù)既奇又偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)解(1)1-x20 |x+2|2 -1x1 x0且x-4-1x 1且x 0定義域為-1,0) (0,11-x2（2）f(x)=(x+2)-2（3）f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x- = f(x) 為奇函數(shù).例2.判斷函數(shù)f(x)= 的奇偶性。（1）求函數(shù)的定義域（2）化簡函數(shù)表達式（3）判斷函數(shù)的奇偶性|x+2|-21-x21-x2 x= - f(x)奇函數(shù)的圖象奇函數(shù)的圖象( (如如y=xy=x3 3 ) )偶函數(shù)的圖象偶函數(shù)的圖象( (如如y=xy=x2 2) )yxoaaP/(-a ,f(-

7、a)p(a ,f(a)-ayxoaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-a(-a,-f(a)(-a,f(a)2.奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì):2.奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì): 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱. 反過來,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱, 那么這個函數(shù)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.反過來,如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,那么這個函數(shù)為偶函數(shù).注：奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)可用于： .判斷函數(shù)的奇偶性。 .簡化函數(shù)圖象的畫法。oyx例3 已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如圖，畫出y=f(x)在 y軸左邊的圖象。解：畫法略本課小結(jié):1.兩個定義: 對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個x , 如果都有f(-x)=-f(x) f