數(shù)學(xué)之旅測試題

1、僅供個人參考不得用于商業(yè)用途1愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對論時用到了下列什么重要的數(shù)學(xué)工具？黎曼幾何2 2下面這個方程有沒有整數(shù)解?方程一卞-有沒有整數(shù)解？有3下列哪個是孿生素數(shù)對？(17,19)(17,19)4圓與橢圓在下列哪個數(shù)學(xué)分支中可看作一樣？拓扌卜5具有同樣周長的下列圖形哪個面積更大？圓6以下漢字哪一個可以一筆不重復(fù)地寫出？日7偶數(shù)與正整數(shù)哪個多？一樣多8數(shù)列極限趨于 o 的直觀定義的弱點是下面哪一點？缺乏可操作性9課程中費曼的故事告訴我們懂得一件事情最重要的是下面列岀的哪一條？找到感覺1010超弦理論中蜷縮的空間可以用下面那個空間來描述？Calabi-YauCalabi-Yau 空間111

2、1下面哪一位人物用窮竭法證明了圓的面積與其直徑平方成正比？歐多克索斯1212以下什么成果是阿基米德首先得到的？拋物線弓形的面積1313阿基米德求幾何級數(shù)的和用的是什么方法？幾何的方法1414歐多克索斯、阿基米德和劉徽等人對微積分的貢獻主要體現(xiàn)在什么方面？定積分1515一種發(fā)展連續(xù)不可分量的新幾何學(xué)的方法是下列哪位數(shù)學(xué)家的著作？卡瓦列里1616現(xiàn)在我們一直在用的函數(shù)(function )”這個詞是誰引進的？萊布尼茲1717本課程提到的最美的風(fēng)景點是指？牛頓- -萊布尼茲公式1818一直沿用至今的 &S語言是哪位數(shù)學(xué)家引入的？魏爾斯特拉斯1919康托爾所創(chuàng)立的什么理論是實數(shù)以至整個微積分理

3、論體系的基礎(chǔ)？集合論2020下面關(guān)于黎曼可積和勒貝格可積的論述那一項是正確的？黎曼可積函數(shù)類是不完備的,積函數(shù)類是完備的 2121試用阿基米德的方法求下面幾何級數(shù)的和。勒貝格可僅供個人參考不得用于商業(yè)用途十.解：類似于阿基米徳求幾何級數(shù) 2十缶+十命+的方法。如圏 所貳 我們?nèi)∫粋€邊反為 1 的正方形*對邊進行三嚨分*從網(wǎng)將單位 E 方 恢寫罕 接存把圧下角的恪子涂黑（而枳為存 然厲山耙1 l-ft的搟子依 法 9 等分*涂黑圧下角的-亍格子（而積為M接 fil#把右上角的小格估等 爪 涂懊其兀下飭格 r（向枳為古）.依法繼續(xù)下耳 顯然所求級數(shù)的和剛好 等于所有熱色格予的而積禮而所仃黑色格產(chǎn)的

4、向枳和宵總和積的款這是 肉為與帑 個尖色格子等面積的格子都仃 8 個），故答案為罷2222 計算加百列號的表面積與體積，并解釋為何在這個號角里面灌滿油漆，油漆的體積是有 限的，但它卻能夠涂滿無限的表面積?解：求解表面積與休積需要用到積分的知頭加百列號角是函數(shù)茁= 哉 1）繞檸無軸旋軋血戍的.山旋轉(zhuǎn)刖面面積計算公式得農(nóng)面積_ fg v/1 + 2?r /dx. +OQ.K 丿 1工如采我們把油漆出成現(xiàn)實中的油漆,那么你會發(fā)現(xiàn)宙十油漆分子具 fj -淀的尺度大小,因訓(xùn)在號角很細的地方,油漆是進不去的。但是, 當(dāng)我們把油漆看成理想狀態(tài)下（可無限剖分）的時候,就會出現(xiàn)有限 體積的油漆灌滿了號用，并且涂

5、滿了無限表而積的怙形。再舉一個例 子*比如如何用單位體積的可無限細分的艸笊 、漆滿整個2維平面。 我們可以這么做,首先把平面用單位網(wǎng)格剖分,由于是可列的，因此 可以進行編 A 12.仏.然后用*體積的油漆漆滿 1 號網(wǎng)格,農(nóng)體 積的汕漆漆備 2 弓網(wǎng)格磊休積的油漆漆満 n 號網(wǎng)格,.最終,剛 好扌于柑+十召+=1 體枳的油漆漆滿胳個平面 f2323舉例說明黎曼積分中積分號和極限號有時不可交換，并給出可交換時需要的條件。1 1僅供個人參考不得用于商業(yè)用途解；設(shè)爲(wèi) 3）=班肝一工加）,則兩數(shù)序列凡（工）在區(qū)間oaI：收斂到函 數(shù) = o.從而故此時枳分號 G 極限 U 不可交換 川交換的條件是；L

6、 函數(shù)序列傾鱗的毎-項在血 b上連續(xù):；2 函數(shù)序列民 3）在陸可匕 致收斂 J S（上）.呱 時任意給進的史 0,存在 僅出冇關(guān)的疋整數(shù)V（J為兀 N也|Sh(37)- S(x)| 對一切工 a, 6成乙2424下列四個定義中，哪個不能作為 Rn 中的度量（距離）？A（T,y）= xi-311 X Xxn- yn25度量的三個基本屬性中不包括下列哪一個？連續(xù)性（三角不等式，正定型，對稱性）2626下列關(guān)于度量和范數(shù)的說法中正確的是？由范數(shù)可以定義距離，但由距離不可以定義范數(shù)2727下列說法中不正確的是？對二曲戲，若 I 冷為 的范數(shù)，則下列說法中不正確的是？若為實數(shù)，則有丨心冷 八丨：II2

7、828以下現(xiàn)象可以用什么原理來解釋？在三維空間中，波的傳播有清晰的前后陣面，但是在二維空間中卻沒有？惠更斯原理2929下列選項中正確的是？以下向量組中哪個不能構(gòu)成的基向量？（ 0 0，1 1，1 1），（ 2 2，1 1，1 1），（ 1 1，0 0，0 0）3030下列哪個選項是正確的？若向量 a= （ 1，0，5，2），b=（ 3，-2，3，-4），c=（-1，1，t，3 ）線性相關(guān)，那么 t 的值為？ 131 下列選項正確的是？向量和1的夾角為？級3232下列說法哪一個是正確的？向量組、內(nèi) 輕W込 J 線性無關(guān)的充分必要條件是？齊次線性方程組d一八門-一只有零解但是limSn(x)dx

8、0*僅供個人參考不得用于商業(yè)用途3333下列哪個屬性不是內(nèi)積所具有的？三角不等式(對稱性，對第一個變元的線性性, 正定性)34給定一個集合，試驗證下面兩個集族是否構(gòu)成集合 M M 上的拓撲?1)1). A =2)2) . .上-憶|計億：肚:NdNd和価解： 只需要逐個驗證是習(xí)滿足構(gòu)成拓撲的條件即可 A構(gòu)成集介耐上的拓撲。容易驗證： (i)A內(nèi)任惡個集介的井仍屬 JU：(ii)A內(nèi)仃限個集介的交仍屬 TX：(iii)0和 Af 屬于兒盤不構(gòu)成集TM 上的扌石撲。因為* =卩 $4 不滿足盤內(nèi)仃 限個集合的交仍屬于蟲這個件質(zhì)隨著網(wǎng)絡(luò)的迅速發(fā)展，人們越來越多的使用e-maile-mail 聯(lián)系和交

9、流。試通過任意兩人之間在一段時間內(nèi)的 e-maile-mail 交流的次數(shù)來定義一個距離，使得交流多的距離近，交流少的距離 遠，并驗證它滿足度量(距離)的三條屬性。解：這個距離的足義仃很多，只要*量的三條性質(zhì)即可,人竦打分 的時候注意。比如記人全體為匚充中任恿兩個人兒B.IL 他們兩人化段時間內(nèi)& mail 交漩次數(shù)為機扎Ba那么我們 I才以定義兩人的卅離為1十1+厶司1if A羊B,0?if A = B.下而驗證這個距離函數(shù)滿足度量的三條屬性:(i) 非負性顯然3 詁 有心 B)B) =OS 且僅當(dāng)淪=耳(ii) 對稱性顯然成立*(iii)淌等弋VA,B,C(仃if A = C or

10、 A = B ar B = C7others,36函數(shù)？(x)=x2+5X+4在實數(shù)域上的不動點是什么？-2-237假如你正在一個圓環(huán)形(注意是圓環(huán)形)的公園內(nèi)游玩，手里的公園地圖不小心掉到了地上，問此時地圖上是否有一點，使得這個點下面的地方剛好就是它在地圖上所表示的位置？有38慢慢攪動咖啡，當(dāng)它再次靜止時，問咖啡中是否有一點在攪拌前后位置相同？有35P(Ac)p(A, B) + p(BtC)t20).僅供個人參考不得用于商業(yè)用途綜上所述，在自行車定價為2t 計算機定價 3t 條件下可使供求達到平衡此時，甲有自行車 3 輛計算機 2 臺，乙有自行車 6 輛計算機 4 臺.4747（雙煎餅問題）

11、有兩張形狀任意的煎餅，任意重疊在一起，問能夠一刀切下去，同時將兩煎餅二等分嗎， 如果能，請說明理由。|解：能。（以下把煎餅抽象成平面上的封閉凸域）理由如下：先給個簡單小引理：即對一個煎餅，不論相對形狀如何，必可切一刀，使它面積二等分再應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理即可（對于凹域可以轉(zhuǎn)化為多個凸域證明）。三煎餅問題證明（不重疊情形）：如圖（請見附件），在兩封閉凸域 P,Q 間任取一點 0,作一水平軸作參考系，將 0X 逆時針旋轉(zhuǎn)到 OXo與 兩圖形相交。48 擬微分算子在 20 世紀(jì) 60 年代成為了一種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論，它的集大成者為下列哪位數(shù)學(xué)家?L.HormaL.Horma ndernder49 有

12、一段聲樂可以用 y=a sin（bt）來表示，那么這段聲樂的音量是由其中哪個數(shù)值決定的？a a證明過程請見附件（原諒我很對新系統(tǒng)無語）僅供個人參考不得用于商業(yè)用途f（巧=50 間斷函數(shù)1,-1,0）譏能不能由 Fourier 級數(shù)表出？能僅供個人參考不得用于商業(yè)用途5151式子 ：1；，-、的值為？0 05252一個音叉振動的位移與時間的關(guān)系式為y=0.01sin400 xt,那么這個音叉的振動的振幅和頻率分別為?0.010.01 , 2002005353頻率表示的是物體每單位時間(每秒)振動的次數(shù)，它是以什么為單位的？赫茲5454光的三原色是什么？紅藍綠5555下列哪個著作可視為調(diào)和分析的發(fā)

13、端？熱的解析理論；5656振動快的波相對于振動慢的波稱為什么波？高頻波分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以由什么理論來定義？FourierFourier 分析寫出 f(x)的 Fourier 級數(shù)gf(r) = +2(如cosnx十 亦sinTJX),n=l卅：由 F函數(shù)/(工)住區(qū)河(一兀 7T)上為盞函數(shù)，故由公式/(jj sinnjrdi:= InrdT7T貳J7T廣1f応 zd(cosnx)=(z cosru?)11 打一 / cos mdx) -ITn7F J-7TITS T7 7T* 9所 LU/(x)的 Fourier 級數(shù)為丁仗)-刀霊一 1 尸十細詢血.59 求調(diào)制信號的表達式。如果載波信號為,調(diào)

14、制信號為，那么經(jīng)過調(diào)幅后的已調(diào)波的表達= UAJWcossM =Vc(1 + FncosQt)easa7cfT式m畧口其中P, k是一個比例常數(shù)。57575858f(x)是周期為f(z)=的函數(shù)，且_e -7T. 7T),a其中 Fourier 系數(shù)n = 7 J：COSTixdr. bn=-1僅供個人參考不得用于商業(yè)用途試用上面給出的調(diào)幅信號的表達公式來求解以下問題：已知一個載波信號為，經(jīng)過調(diào)制后的已調(diào)波為fjf /) = ( KKJ -I- 2 j cos，上”i 八 從 丄廣，假設(shè)比例常數(shù) k=i，求調(diào)制信號的表達式。解：11 題意可知：= 100* TTitZc = 25*故有 H1

15、= 根據(jù) TR 的表達式 E = 驢，可得七 = 25,乂己知比例常數(shù)恵=1,從而 = 25,故闊制信號的衣達 ；(為員=25 coswt”60 皮亞諾曲線是一條填滿正方形的曲線，那么它的相似維數(shù)是多少呢？2 261 科克曲線的 Hausdoff 維數(shù)是多少？In4/ln3In4/ln362 一個外徑為 3，內(nèi)徑為 2 的圓環(huán)的 Hausdoff 維數(shù)是多少？2 263 下列和混沌與分形最不相關(guān)的是？三角初等函數(shù)6464費根鮑姆(Feigenbaum )在研究混沌理論時，發(fā)現(xiàn)前兩個分叉點參數(shù)距離是后兩個分叉點參數(shù)距離的4.669倍，這個現(xiàn)象說明了？非線性系統(tǒng)造成的混沌中有一定規(guī)律6565若.，

16、那么 a 是周期為多少的點呢？366 具體到每時每刻的長期天氣預(yù)報是可能的嗎，為什么？不可能，由于蝴蝶效應(yīng)67 蝴蝶效應(yīng)指的是初始值的微小變化可以極大地影響結(jié)果，可以用于股票、天氣等一段時間內(nèi)難以預(yù)測的復(fù)雜系統(tǒng)中，那么蝴蝶效應(yīng)來源于誰的發(fā)現(xiàn)呢？洛倫茲68 科克曲線所圍的圖形面積是有限的嗎？有限69 為了使肺泡與空氣有更多的接觸面，人的肺泡結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，其表面的Hausdoff 維數(shù)是多少呢？接近于 3 37070 設(shè)生成科克曲線(Koch(Koch curve)curve)的初始三角形為邊長為1 1 的單位正三角形。(i)(i) 試求出科克曲線所圍圖形的面積；(ii)(ii) 證明科克曲線長度

17、為無窮大。僅供個人參考不得用于商業(yè)用途圖形的一部分，依此畫下去將圖、圖.圖中的圖形依次記作Mn設(shè) 4Mi的邊長為U p披的邊數(shù)為 an, Mn的面積為S城的長度亠解二由題知二的遞推公式為h =3所以務(wù)為等比數(shù)死其通項公式為陽=3-4(1)圖的面積5；=的面積S, = +-X4亠42圖的面積s；= s. + 12x x473 fl?A/31 (1丫73/3x=23圖僅供個人參考不得用于商業(yè)用途 當(dāng)由A如生成時海條邊上多了一個面積匕氏的小等邊欄4三角形，共有馮-個* *=5孑+ a；H+ 當(dāng)(w- 2)“ _A/3 JLJ|一4/. S裡裡二邁(1 + 3(丄)2 +34(丄)耳+34*2(i)2

18、-243332V3 3V3z4-i-一-1)5209當(dāng) n 趨于無窮時，Sn=$frac2sqrt35$2心 5(3)由題知：每個圖形的邊長都相等，且長度變?yōu)樵瓉淼膩A所以邊長的.謹(jǐn)霸公式為 4n-i晝 j 成1j JS-2 -1僅供個人參考不得用于商業(yè)用途二當(dāng)齊趨于犬時*匚趨于無窮大 4所以E廠叮氣=(中)曠1僅供個人參考不得用于商業(yè)用途7171試求此康托爾集的Hausdoff 維數(shù)。將封閉的0,1區(qū)間 3 等分，刪去中間的開區(qū)間(1/3,2/3)，然后把剩下的 2 個閉區(qū)間0,1/3 , 2/3,1再 3 等 分，并刪去中間的 2 個開區(qū)間，即(1/9,2/9) ,(7/9,8/9)，如此繼

19、續(xù)下去，自然有些點永遠刪不去，比如 1/3,2/3 等，這些點的集合稱為康托爾(Cantor)集。試求此康托爾集的 Hausdorff 維數(shù).1. 將封閉的0,1區(qū)間 3 等分，刪去中間的開區(qū)間(1/3,2/3)是其中的一份，剩下的是其中的兩份，并按照此法繼續(xù)下去，根據(jù)相似性維數(shù)的定義把對象在長度上縮小成員對象的1/3，并取其中圖形的 2 個相似圖形組成新圖形，可得康托爾集的Hausdorff 維數(shù) D=log2/log32. 把剩下的 2 個閉區(qū)間0,1/3，2/3,1再 3 等分，并刪去中間的 2 個開區(qū)間，即(1/9,2/9) ，(7/9,8/9)，分法上次一樣依此繼續(xù)下去，都能得到康托爾集的Hausdorff 維數(shù) D=log2/log3僅供個人參考不得用于商業(yè)用途僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fudierStForschung, zu kommerziellen Zwecken verwen