兩個集合的容斥關系公式

1、兩個集合的容斥關系公式：AUB=A+B-AQB（Q:重合的部分）三個集合的容斥關系公式：AUBUC=A+B+C-AQB-BQC-CQA+AQBQC詳細推理如下：1、等式右邊改造=【（A+B-AQB）+C-Bnd-CQA+AQBQC2、文氏圖分塊標記如右圖圖：1245構成A,2356構成B,4567構成C3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分：那么AUBUC還缺部分7。4、等式右邊【】號里+C（4+5+6+7）后，相當于AUBUC多加了4+5+6三部分,減去Bnc（即5+6兩部分）后，還多加了部分4。5、等式右邊里減去CnA（即4+5兩部分）后，AUBUC又多減了部分5,則加

2、上AnBnC（即5）剛好是AUBUG編輯本段容斥原理1如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類B類元素個數(shù)總和=屬于A類元素個數(shù)+屬于B類元素個數(shù)既是A類又是B類的元素個數(shù)。例1一次期末考試，某班有15人數(shù)學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？分析依題意，被計數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“A類和B類元素個數(shù)”的總和。答案15+12-4=23試一試電視臺向100人調查前一天收看電視的情況，有62

3、人看過2頻道，34人看過8頻道，其中11人兩個頻道都看過。兩個頻道都沒看過的有多少人？100-（62+34-11）=15編輯本段容斥原理2如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數(shù)總和=A類元素個數(shù)+B類元素個數(shù)例2某校六（1）班有學生45人，每人在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？分析：參加足球隊的人數(shù)25人為A類元素，參加排球隊人數(shù)12人為B類元素，參加游泳隊的人數(shù)24人為C類元素，既是A類又是B類的為足

4、球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類的總和設為X。注意：這個題說的每人都參加了體育訓練隊，所以這個班的總人數(shù)既為A類B類和C類的總和。答案：25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3例3在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個？分析：顯然，這是一個重復計數(shù)問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)）。我們可以把“能被3或5整除的數(shù)”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數(shù)（15的倍數(shù)）”就是被重復計算的數(shù)，即“既是A類又是

5、B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數(shù)”?，F(xiàn)在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000-3=333-1,能被3整除的數(shù)有333個（想一想，這是為什么？）同理，可以求岀其他的條件。例4分母是1001的最簡分數(shù)一共有多少個？分析：這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的數(shù)。由于100仁7X11X13,所以就是找不能被7，11，13整除的數(shù)。解答：11001中，有7的倍數(shù)1001/7=143（個）；有11的倍數(shù)1001/11=91（個）,有13的倍數(shù)1001/13=77（個）；有7´11=77的倍數(shù)1001/77=13（個）,有7´13=91

6、的倍數(shù)1001/91=11（個）,有11´13=143的倍數(shù)1001/43=7（個）.有1001的倍數(shù)1個.由容斥原理知：在11001中，能被7或11或13整除的數(shù)有（143+91+7）-（13+11+7）+1=281（個）,從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720（個）.也就是說，分母為1001的最簡分數(shù)有720個.例5某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一項達到了優(yōu)秀，達到了優(yōu)秀的這部分學生情況如下表：跑泳擲跑游泳跑、投擲泳、投擲跑、游泳、投擲85求這個班的學生共有多少人？分析

7、：這個班的學生數(shù)，應包括達到優(yōu)秀和沒有達到優(yōu)秀的。試一試：一個班有42人，參加合唱隊的有30人，參加美術組的有25人，有5人什么都沒有參加，求兩種都參加的有多少人？在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算岀木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數(shù)了。若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數(shù)的事物有那幾類？每一類的元素個數(shù)是多少？解答不計木棍的兩個端點，木棍的內部等分點數(shù)分別是9，11，14（相應于10，12，15等分），共計34個由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從34中減1.又由于4,5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處