計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的表示及其運(yùn)算

1、1計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的表示及其運(yùn)算 2 計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，首先要將相應(yīng)的數(shù)據(jù)輸入到計(jì)算機(jī)中，并以一定的形式存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中。計(jì)算機(jī)內(nèi)部是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字世界，所以，不管是數(shù)值數(shù)據(jù)數(shù)值數(shù)據(jù)還是非數(shù)是非數(shù)值數(shù)據(jù)值數(shù)據(jù)，都必須轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的形式，才能存入計(jì)算機(jī)中。 數(shù)值數(shù)據(jù)數(shù)值數(shù)據(jù) 有確定的值并在數(shù)軸上有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。 是非數(shù)值數(shù)據(jù)是非數(shù)值數(shù)據(jù) 非數(shù)值數(shù)據(jù)沒(méi)有確定的值，如字符、文字、圖像、聲音、邏輯數(shù)據(jù)等。33 3）計(jì)算機(jī)中采用二進(jìn)制的原因）計(jì)算機(jī)中采用二進(jìn)制的原因（1）物理實(shí)現(xiàn)容易，（2）二進(jìn)制運(yùn)算簡(jiǎn)單，（3）機(jī)器可靠性高，（4）通用性強(qiáng) 圖4.25 各種數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中的轉(zhuǎn)換過(guò)程 4431 進(jìn)位計(jì)數(shù)制 1

2、） 進(jìn)位計(jì)數(shù)制進(jìn)位計(jì)數(shù)制任何一種計(jì)數(shù)制，都具有以下三個(gè)要點(diǎn)：（1） 數(shù)制使用的數(shù)碼。十進(jìn)制含10個(gè)數(shù)碼：；二進(jìn)制含個(gè)數(shù)碼：，等。（2） 進(jìn)位規(guī)則。十進(jìn)制為逢十進(jìn)一；二進(jìn)制為逢二進(jìn)一等。（3） 每一個(gè)數(shù)位上數(shù)碼所具有的權(quán)。十進(jìn)制數(shù)碼各位的權(quán)是以10為底的冪，二進(jìn)制數(shù)碼各位的權(quán)是以為底的冪。 5例如，數(shù)828.8的值為 8102+2101+8100+810-1其中，102、101、100、10-1稱為權(quán)。對(duì)于任何一個(gè)十進(jìn)數(shù)N，都可以表示成按權(quán)展開(kāi)的多項(xiàng)式：N=dn10n+dn-110n-1+d1101+d0100+d-110-1+d-m10-m = di10i其中，di是09十個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)，

3、m、n是正整數(shù)，10被稱為十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)，它是相鄰數(shù)位的權(quán)之比。6一般而言，對(duì)于用R進(jìn)制表示的數(shù)N（R為任意正整數(shù)），可以按權(quán)展開(kāi)為：N=KnRn+Kn-1Rn-1+K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m = KiRi其中，Ki是0,1,(R-1)個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)，m、n是正整數(shù)，R是基數(shù)。7表4.1列出了計(jì)算機(jī)中常用的四種進(jìn)位計(jì)數(shù)制。其中十六進(jìn)制中的A,B,C,D,E,F分別相當(dāng)于十進(jìn)制中10,11,12,13,14,15的值。 進(jìn)位制二進(jìn)制八進(jìn)制十進(jìn)制十六進(jìn)制規(guī)則逢二進(jìn)一借一當(dāng)二逢八進(jìn)一借一當(dāng)八逢十進(jìn)一借一當(dāng)十逢十六進(jìn)一借一當(dāng)十六基數(shù)R=2R=8R=10R=16數(shù)符0,10,1,

4、2,70,1,2,90,1,2,9A,B,C,D,E,F權(quán)2i8i10i16i形式表示BODH8 在十進(jìn)制中，如將某數(shù)的各位向左移動(dòng)1位，則其值增大到原來(lái)的十倍；如將某數(shù)的各位向右移動(dòng)1位，則其值減少到原來(lái)的十分之一。同樣，在二進(jìn)制中，如將數(shù)的各位向左移動(dòng)1位，則其值增大到原來(lái)的二倍；反之將數(shù)的各位向右移動(dòng)1位，則其值減少到原來(lái)的二分之一。例如，二進(jìn)數(shù)101011.1在左移1位或右移1位后，其值的變化如下： 二進(jìn)數(shù) 值 101011.1 43.5向左移1位 1010111.0 87向右移1位 10101.11 21.7592） 不同進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換不同進(jìn)位計(jì)數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換 轉(zhuǎn)換所依據(jù)的原則

5、是：如果兩個(gè)數(shù)的值相等，則兩數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的值一定分別相等。 (1) 二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。任意R進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)比較簡(jiǎn)單，只需按權(quán)展開(kāi)然后相加，其和便是相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。這種方法稱為按權(quán)相加法?！纠?-1】 求與（11011.01）2等值的十進(jìn)數(shù)解：(11011.01)2=124+123+022+121+120+02-1+12-2 =16+8+0+1+0+0.25=(27.25)10 【例4-2】 將十六進(jìn)制數(shù)35B轉(zhuǎn)換成十進(jìn)數(shù).解：(35B)16=3162+5161+11160=768+80+11=(859)1010(2) 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制或十六

6、進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分：除基取余法 【例4-3】 把18轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解：2 18 余0(K0) 2 9 余1(K1) 24 余0(K2) 2 2 余0(K3) 2 1 余1(K4) 0所以 （18）10=（10010）211小數(shù)部分：乘基取整法 【例4-4】 將(0.8125)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解： 0.8125 2 1.6250 1(K-1) 21.2500 1(K-2) 20.5000 0(K-3) 2 1.0000 1(K-4) 所以 (0.8125)10=(0.1101)212（3）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)的方法可以概括為“三位并一位”；八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的

7、方法可以概括為“一位拆三位”； 【例4-6】 將 (11101.1101)2轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。解： 0 1 1 1 0 1 . 1 1 0 1 0 0 3 5 6 4 所以 (11101.1101)2=(35.64)813（4）二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)的方法可以概括為“四位并一位” ；十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法可以概括為“一位拆四位” ；【例4-7】 將（25.C4）16轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解： 2 5 . C 4 0010 0101 1100 0100所以 (25.C4)16=(100101.110001)2表表4.2列出了二、八、十、十六進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。列

8、出了二、八、十、十六進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 14432 機(jī)器數(shù) 一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)部表示成的二進(jìn)制形式稱為機(jī)器數(shù)機(jī)器數(shù)，原來(lái)的數(shù)稱為這個(gè)機(jī)器數(shù)的真值真值。 機(jī)器數(shù)具有下列特點(diǎn)：（1） 由于計(jì)算機(jī)設(shè)備的限制，機(jī)器數(shù)有固定的位數(shù)，它所表示的數(shù)受到計(jì)算機(jī)固有位數(shù)的限制，所以機(jī)器數(shù)具有一定的范圍，超過(guò)這個(gè)范圍便會(huì)發(fā)生溢出。（2） 機(jī)器數(shù)將其真值的符號(hào)數(shù)字化。計(jì)算機(jī)中使用具有兩個(gè)不同狀態(tài)的電子器件，它們只能分別表示數(shù)字符號(hào)“0”和“1”。所以，數(shù)的正負(fù)號(hào)也只能通過(guò)0和1來(lái)加以區(qū)分。通常，用機(jī)器數(shù)中規(guī)定的符號(hào)位（一般是一個(gè)數(shù)的最高位）取0或1分別表示其值的正或負(fù)。（3） 機(jī)器數(shù)中依靠格式上的約定表示小數(shù)點(diǎn)的

9、位置。151）數(shù)據(jù)的符號(hào)表示問(wèn)題）數(shù)據(jù)的符號(hào)表示問(wèn)題 機(jī)器數(shù)在參與運(yùn)算時(shí)，若將符號(hào)位和數(shù)值一起進(jìn)行運(yùn)算，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。例如，6+4的結(jié)果應(yīng)為2，但按上述方法，則運(yùn)算如下： 10000110 6的機(jī)器數(shù) + 00000100 4的機(jī)器數(shù) 10001010 結(jié)果為10 常用的幾種機(jī)器數(shù)符號(hào)表示方法：原碼、補(bǔ)碼、反碼、移碼。 16（1） 原碼表示法 原碼表示的規(guī)則是：最左邊一位表示數(shù)的符號(hào)，且以“0”表示正號(hào)，“1”表示負(fù)號(hào)；其余各位表示數(shù)的大小，即其絕對(duì)值。 例如，假設(shè)機(jī)器數(shù)的位數(shù)是8，則+73原=01001001 73 原=11001001+127 原=01111111 127 原=11

10、111111對(duì)于真值0而言，可以被認(rèn)為是+0，也可被認(rèn)為是0。+0 =00000000，0 =10000000，所以數(shù)0的原碼不唯一，有“正零”和“負(fù)零”之分。 原碼表示簡(jiǎn)單易懂，與真值轉(zhuǎn)換方便，用于乘除運(yùn)算十分方便。 17（2） 補(bǔ)碼表示法 模模的概念：“模模”是指一個(gè)計(jì)量系統(tǒng)的計(jì)數(shù)范圍。 例如：時(shí)鐘的模為12，計(jì)量范圍是011。若時(shí)鐘指向11，則再過(guò)1小時(shí)，時(shí)鐘將指向0（即12）。n位計(jì)算機(jī)的模為2n，計(jì)量范圍是02n-1。設(shè)n=4，模為24=16，計(jì)量范圍是015（二進(jìn)制表示為00001111）。若當(dāng)前值是1111，則再加1，計(jì)數(shù)值就變?yōu)?000，而在最高位上溢出了一個(gè)“1”。任何有模的

11、計(jì)量器，均可化減法為加法運(yùn)算。只需把減數(shù)用相應(yīng)的補(bǔ)碼表示就可將減法運(yùn)算化為加法運(yùn)算。 18對(duì)于整數(shù)而言，若計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)為n位，則 X 0X2n-1X補(bǔ)= 2n+X 2n-1X0時(shí)，最大值為X補(bǔ)=01111111=+127；當(dāng)X0時(shí)，絕對(duì)值最大為X補(bǔ)=10000000=-27=-128。所以8位整數(shù)的表示范圍是-128+127。數(shù)0的補(bǔ)碼表示是唯一的，即 0 補(bǔ)=+0 補(bǔ)=-0 補(bǔ)=0000000020真值與補(bǔ)碼簡(jiǎn)便轉(zhuǎn)換方法 對(duì)正數(shù)而言，補(bǔ)碼與真值相同；對(duì)負(fù)數(shù)而言，符號(hào)位取1，其它各位取反、末位加1； 【例4-8】 求36的補(bǔ)碼。解：第1步：將36表示成二進(jìn)制數(shù) 第2步：符號(hào)位取1，其余各位取反得

12、 第3步：末位加1，結(jié)果為 所以 36補(bǔ) =11011100【例4-9】 求11110110補(bǔ)的真值。解：第1步：除符號(hào)位外，各位取反得 第2步：末位加1，結(jié)果為 所以 真值為（0001010）2，即（10）1021根據(jù)補(bǔ)碼定義，可以證明X 補(bǔ)+ Y 補(bǔ)= X+Y 補(bǔ)X 補(bǔ)- Y 補(bǔ)= X -Y 補(bǔ) 這表明，兩個(gè)補(bǔ)碼加減的結(jié)果也是補(bǔ)碼，而且在運(yùn)算時(shí)，符號(hào)位可同數(shù)值部分作為一個(gè)整體參加運(yùn)算，如果符號(hào)位有進(jìn)位，則舍去進(jìn)位?！纠?-10】 設(shè)a=4，b=6，請(qǐng)用補(bǔ)碼求和方法計(jì)算(ab)。解：因?yàn)閍 補(bǔ)=00000100，b 補(bǔ)=11111010 且ab 補(bǔ)=a 補(bǔ)+b 補(bǔ)=00000100+1111

13、1010=11111110所以 (ab)= 2 采用了補(bǔ)碼表示法后，加法和減法統(tǒng)一成了加法運(yùn)算，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算機(jī)運(yùn)算部件的電路設(shè)計(jì)，所以現(xiàn)代計(jì)算機(jī)中都使用補(bǔ)碼形式的機(jī)器數(shù)。 22 前已述及，利用“求反加1”的方法可以得到負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼。如在上述方法中，只求反而不加1，就得到另一種機(jī)器數(shù)的表示，這就是反碼表示法。 反碼定義為： X 0X2(n-1) X反 = (2n1)+X 2(n-1)X0 反碼表示很少直接用于計(jì)算中。反碼主要被用作真值求補(bǔ)碼的一個(gè)過(guò)渡手段。 （3） 反碼表示法23（4）移碼表示法 對(duì)于n位整數(shù)，移碼定義為X移=2(n-1)+ X 2(n-1)X0”的值取“真”還是取“假”視X的

14、當(dāng)時(shí)值而確定。 45邏輯代數(shù)（布爾Boole代數(shù)） 是指以代數(shù)形式研究邏輯變量及其之間關(guān)系的性質(zhì)和應(yīng)用的科學(xué)。實(shí)際上是一種符號(hào)邏輯，所表達(dá)和演算的是事物內(nèi)部的邏輯關(guān)系。邏輯常量邏輯常量和邏輯變量邏輯變量也分別稱為布爾常量布爾常量和布爾變量布爾變量。 最基本的布爾運(yùn)算有三種：邏輯非、邏輯與、邏輯或運(yùn)算。其他運(yùn)算可以用這三種基本運(yùn)算表示。 邏輯非邏輯非 即邏輯否定，運(yùn)算規(guī)則為： =1 , =001邏輯與邏輯與 即邏輯乘，用“”（讀作“并且”或“與”）表示邏輯與運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則為： 00=0 01=0 10=011=1 有時(shí)也用“”（甚至省略）、“”或“AND”作為邏輯與的運(yùn)算符，寫(xiě)成AB、 AB或A

15、 AND B。 46邏輯或邏輯或 即邏輯加。通常用“”（讀作“或”）表示邏輯或運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則為： 00=0 01=1 10=1 11=1有時(shí)也用“+”或“OR”作為邏輯或的運(yùn)算符，寫(xiě)成A+B或A OR B。 邏輯異或邏輯異或 運(yùn)算表示為 AB。異或運(yùn)算可以用基本邏輯運(yùn)算表示：AB = A+B異或運(yùn)算的規(guī)律是：00=0 01=1 10=1 11=0有時(shí)也用“XOR”（Exclusive OR）作為異或的運(yùn)算符，寫(xiě)成A XOR B。 47邏輯常量、邏輯變量、邏輯運(yùn)算符、括號(hào)等適當(dāng)?shù)剡B接起來(lái)構(gòu)成的表達(dá)式稱為邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式（或稱為布爾表達(dá)式布爾表達(dá)式）。例如A+BC，A+ 等都是邏輯表達(dá)式，這里的A、B、C 都是邏輯變量。在邏輯表達(dá)式中，規(guī)定邏輯運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)按括號(hào)，邏輯非，