必修四三角型復(fù)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)題型歸納學(xué)生版

1、三角型復(fù)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)重難點(diǎn)題型歸納【知識點(diǎn)1用五點(diǎn)法作函數(shù)y = 4sin（公M + e）的圖象】用“五點(diǎn)法”作y = Asin（s + °）的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z =刃工+夕，由z取0,2，況,況2乃 22來求出相應(yīng)的X,通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象.I知識點(diǎn)2由y = sin A得圖象通過變換得到y(tǒng) = A sin （+ °）的圖象】1 .振幅變換：y = Asinx, xeR（A>0且AX）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（A>1）或縮短 （0vA<l）到原來的A倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域-A, A,

2、最大值是A,最小值是-A.若A<0可先作 y = Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折.A稱為振幅.2 .周期變換：函數(shù)），= sind?x, xe/?（G>0且的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（。> 1）或 伸長（Ovovl）到原來的/倍（縱坐標(biāo)不變）.若。<0則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖.3決定了函數(shù) 的周期.3 .相位變換：函數(shù)y = sin（x + °）,光£農(nóng)（其中9工0）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)夕>0時(shí)）或向 右（當(dāng)° V0時(shí)）平行移動兩個(gè)單位長度而得到.（用平移法注意講清方向：

3、9;'左加右減'）一般地，函數(shù)y = Asin（5+ （A>0m>0）, xeR的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y = sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（夕>0）或右（。<0）平行移動圖個(gè)單位；（2）再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（ty > 1）或伸長（0 v。v 1）到原來的1倍（縱坐標(biāo)不變）；（3）再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（A>1）或縮短（0<A<l）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）.【知識點(diǎn)3正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)的性質(zhì)】函數(shù)y = Asin（5 + 0）與函數(shù)y = Acos（公y + 夕）可看作是由正弦函數(shù)y = sinx

4、 ,余弦函數(shù)、= cosx復(fù)合 而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)、=5由工，余弦函數(shù),，=以“不類似地得到：（1）定義域：R;（2）值域：-AA：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如），= Asin（x, + e）與函數(shù)），= Acos（0x + 9）（Ag>O）的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把的+。視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)），= sinx,余弦函數(shù)），=©。$X的 單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出x ,即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間.比如：由2k-<a）x +（p<2k + -（keZ）解出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由 222攵萬十=<31

5、+夕<2攵江十三（女金2）解出工的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間. 22（4）奇偶性：正弦型函數(shù)y = Asin（3r + 9）和余弦型函數(shù)y = Acos（公t+°）（A,勿>0）不一定具備奇偶性.對于函數(shù)y = 4sin（0x + ?）,當(dāng)夕= k/（k ez）時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)夕=攵乃±二（攵e z）時(shí)為偶函數(shù)：對于 2函數(shù)），=Acos（5+0）,當(dāng)夕=女方（k ez）時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)e=攵乃土巳（攵ez）時(shí)為奇函數(shù).2（5）周期：函數(shù)y = 4sin（Gx + s）及函數(shù)y = Acos（0x + 8）的周期與解析式中自變量x的系數(shù)有關(guān)，其周期為7 =三.CD（6

6、）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)y = sinx比較可知，當(dāng)3% + 8 =攵九±7（女e z）時(shí)，函數(shù)y = Asin（tyx +。）取得最大值（或最 小值），因此函數(shù)y = Asin（公丫 +夕）的對稱軸由3x + e = k/r±q（k e z）解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)cox +（p = k九* £ z）,即對稱中心為 -,0 （k e z）.同理，y = Acos（3x + o）的對稱軸由 k CD J5+0 =乃（攵ez）解出，對稱中心的橫坐標(biāo)由5 + 0 =攵汗土工（攵e z）解出.2三、題型分析（一）五點(diǎn)法作圖例1. （2019石嘴山市第三中學(xué)高一月考）

7、已知函數(shù)y = 3呵的圖象,（請先列表，再描點(diǎn)，圖中每個(gè)小矩形（1）用五點(diǎn)作圖在下面坐標(biāo)系中做出上述函數(shù)在O O的寬度為工）（2）請描述上述函數(shù)圖象可以由函數(shù)y = sinx怎樣變換而來? 12【變式訓(xùn)練1】.（2019.全國高三月考（理）把函數(shù)/（x） = 2sinx的圖象向左平移?（0<9<2）個(gè)單位, 2得到函數(shù)y = g（x）的圖象，函數(shù)y = g（=的圖象關(guān)于直線蜜='對稱,記函數(shù)萬。）=/。）8（%）.6（1）求函數(shù)y = /?（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間：（2）畫出函數(shù)），=。）在區(qū)間上的大致圖象.（二）函數(shù)圖像變換 例2. （238浙江高一期末）將函數(shù)si

8、n F） 的圖象向左平移"單位,所得到的函數(shù)圖象關(guān)于.V軸對稱，則函數(shù)的最小正周期不可能是（）D. 2乃例3. （2019寧夏高一期末）要得到函數(shù)y = 2sin； 2x + *）的圖象，只需將函數(shù)y = 2cos2x的圖象（） 人向左平吟個(gè)單位長度乩向右平移/單位長度C.向左平移三個(gè)單位長度D.向右平移三個(gè)單位長度 66【變式訓(xùn)練11.（2019浙江高二期末）將函數(shù)y = sin 2x +y |的圖形向左平移。個(gè)單位后得到的圖象關(guān)B-【變式訓(xùn)練2】.（2019安徽高二期末（理）已知曲線G：y = sinx, C2 ： y= COS 2x-yj,則下面結(jié)于丁軸對稱，則正數(shù)9的最小正值

9、是（54D.12論正確的是（A.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移g個(gè)單位長度，得到B.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移子個(gè)單位長度，得到C.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移*個(gè)單位長度，得到 曲線D.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的！倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移5個(gè)單位長度，得到 212曲線G （三）已知函數(shù)圖像求.丫 = Asin（0,x + e）例4. （2019廣東高考模擬（理）把函數(shù)y = /（x）的圖象向左平移三個(gè)單位長度，再把所得的圖象上每 個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都變

10、為原來的2倍，得到函數(shù)g（力的圖象，并且履工）的圖象如圖所示，則“X）的表 達(dá)式可以為（）例5. （2017 .浙江高二期中）函數(shù)/（x） = 2sin（3 + 0）（。0, 加。0）的部分圖象如圖所示，則【變式訓(xùn)練11.（2016.浙江高考模擬（理）函數(shù)外乃=45出（3彳+8）（幺0,口0,3£用的部分圖象如圖所示，則將y =八犬）的圖象向右平移?個(gè)單位后得到以行，得到的函數(shù)圖象對稱軸為，函數(shù)50）解(四)函數(shù)y = Asin(0x + o)綜合應(yīng)用 例6. (2019湖北高二月考)已知函數(shù)/(6 = $m(3工+。)(口。,1夕13),其相鄰兩條對稱軸之間的距離為。，將y=/(x

11、)的圖象向右平移J個(gè)單位后，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則( 26D. /(x)在區(qū)間單調(diào)遞增A.的圖象關(guān)于點(diǎn)已.0)對稱B. "X)的圖象關(guān)于直線x = 7兀對稱c. /(x)在區(qū)間一丁，不單調(diào)遞增 6 3/例7. (2018浙江諸暨中學(xué)高一月考)已知函數(shù)/3 = 4。以+ 0)040,卬0,圖9)在一個(gè)周期內(nèi) 2的簡圖如圖所示，則函數(shù)的解析式為，方程/(1) =m(其中1團(tuán)2)在0,3劃內(nèi)所有解的和為.【變式訓(xùn)練1】.(2019.甘肅蘭州一中高一月考)己知函數(shù)/(x) = Asin(5 + e),xeR(其中 rrA0,30,0ld3)的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為彳

12、，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為-2).0(1)求函數(shù)/("的最小正周期和對稱中心：(2)將函數(shù) = /("的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的;，再把所得到的圖象向左平 移*個(gè)單位長度，得到函數(shù)y = g(x)的圖象，求函數(shù)產(chǎn)g(x)在區(qū)間 W 上的值域.四、遷移應(yīng)用1. （2019山西高二期中（文）若。>0,函數(shù)y = cos（5 + g）的圖象向右平移!個(gè)單位長度后關(guān)于原點(diǎn)對稱，則0的最小值為（）11° 5卜 3A. B. -C. -D.-22222. （2019.寧夏高一期末）若函數(shù)/（x） = sin（2x + e）（O<0V/r）的圖象上

13、所有的點(diǎn)向右平移二個(gè)單位長度 6后得到的函數(shù)圖象關(guān)于1:,。對稱，則。的值為（）（4 ）A.冗B.4C.史D.女4633. （2019安徽高二期末）函數(shù)/（x） = 4sin的+ £>0）的最小正周期是3%，則其圖象向左平移三個(gè) 3 76單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）加tc5ttc19左A. x = B. x = C. x = 一D. x =43612/4.（2019.安徽高二期末（理）己知曲線e：）'=而“,。”），= （：0$ 2x-，則下而結(jié)論正確的是（） 3）A.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移三個(gè)單位長度，得到 曲

14、線GB.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移三個(gè)單位長度，得到 曲線C.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移看個(gè)單位長度，得到曲線D.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移專個(gè)單位長度，得到5. (2019.遼寧高一期中)已知函數(shù)/(x) = 2cos 2x + f , xeR k 4 J（1）求函數(shù)/*）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間:（2）將函數(shù)/W = 2cos（2x + 7）的圖象向右平移皿>0）個(gè)單位后，再將所得圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐 標(biāo)伸長到原來的2倍，得到的函數(shù)武用的圖象關(guān)于y軸對稱，求？的最小值.6 （2018秋海淀區(qū)期末）已知函數(shù)/'（x） = 2sin 2x + g< I ）求丁的最小正周期r；（II）求/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間：（ni）在給定的坐標(biāo)系中作出函