多元函數(shù)微分學章節(jié)復習

1、多元函數(shù)微分學章節(jié)復習本章教學要求：1.知道二元函數(shù)的定義和幾何意義，會求二元函數(shù)的定義域。2.熟練掌握一階、二階偏導數(shù)的計算方法。3.熟練掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的計算方法，會計算隱函數(shù)的偏導數(shù)。4.能熟練地求全微分。5.了解二元函數(shù)極值的概念， 知道極值存在的必要條件，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求較簡單的極值應用問題。例題講解：一、填空題1. yI.函數(shù)z -j_ + arcsui 的定義域是。*1_/英2如果 f(x+ y, x y) = xy,則 f(x, y) =_。3._設 z= In(xy)，貝 H dz=。.x + y14.二元函數(shù)_ 的定義域是。25._設- / ，貝 V dz= 。

2、dz6.設 z= (1 + xy)%，貝 H =。砂7. 設 f(x, y)= In(x+ exy)，V=- 。In y ,&函數(shù)的疋義域是_ 。Jx+尹9.函數(shù) 2 二 hi 丁亠亠._ -二的定義域是。dz10.設 z = f(u, v), u= xy,_ ，貝 H =。x dxdzII.設 ez xyz= 0,貝 V =_ 。dx5.的定義域是(1114 x*o因此，該函數(shù)的定義域是D = (x, y); x2+ y2 1, |y|w|x|,XM02如果 f(x+ y, x y) = xy，則 f(x, y)=即有-亠 I ,4故一 -宀4：1?1,故一二xy分析與解答:1要使函

3、數(shù)有意義，必須:1-x3-Qln(x-y)H0-2x+y0兀廠1因此，該函數(shù)的定義域是D = (x.y); 2 x+ y0, x15.設 一 y ，則dz=1 .函數(shù) 二2.令r + y =u，則x = -(w+v)V = - V) )23.設 z= In(xy),則dz=6.設 z= (1 + xy)，貝 H =_。砂6相對 y 來說，x 是常數(shù)，故 z 可以分解為：z= ux, u = 1 + xy,則=私X= *(1+硼嚴7.設 f(x, y)= In(x+ exy)，則1 +瓏即7.一X+產(chǎn)X+界&函數(shù) g 二嚴的定義域是_。V 0&要使函數(shù)有意義，必須：0, x+ y

4、009.函數(shù) f 二 h-二的定義域是_Jl-A3-/x + y 0fv 09.要使函數(shù)有意義，必須：，即彳“.1-x3-/01?+尸0,x2+y2v1=zdz11.設 e xyz= 0,貝 V =_ 。Sr11.設-,10.10.dz設 z = f(u, v), u= xy,dz du df*=a?&+a?-fy+A(-斗)=城-珀J；x3v則 E 二-怎，廠廠；,故:故打s - xy二、單項選擇題1.設 z= (2x+ 1)3y+2,則z 是 y 的指數(shù)函數(shù)，可分解為：z= （2x+ 1）u, u= 3y+2,由復合函數(shù)求導閔=2即 B 正確。3y+1A. (3y+ 2)(2x+

5、1)C. (2x+ 1)3y+2ln (2x+ 1)2.設 z= ln(x+ y),貝 U 用A. dx+ dyV3.設_，則XA.X +/-yC.r+r4.下列說法正確的是（A.B. 2(3y+ 2)(2x+ 1)3八13y+2D. 3(2x+ 1)yln(2x+ 1)rn= ( )oB. dx+ dyC. dx dy D. dx dy亙(yB.D.B.x +y）。（xo, yo）處達到極值，則必有 ZX 心幾） = /；（心幾）=。了;（和yj二 $；仏仍）=oC.D.定沒有極值可微函數(shù) f（x, y）在點函數(shù) f （x, y） 在點 （xo, y） 處達到極值， 則必有 若 .-若或，則

6、函數(shù) f（x, y）在點（Xo, yo）處達到極值有一個不存在，則函數(shù) f（x, y）在點（Xo, yo）處一5.設 z= uv.1A.2x= u + v, y= u v,若把 z 看作 x, y 的函數(shù)，則川一（dxC. 2xD. x分析與解答：1. 對 y 來說，法則，得f-I：.；-二1即 D 正確。,1F2.二.- -x+y ?x + y；（L0）妙二必+妙,- -，即 D 正確。x x +7dz 13喬仞21+乂1兀丿4.函數(shù)取得極值的點可能是不可導點，因此 B 不正確；駐點未必是極值點，因此 C 也 不正確；偏導數(shù)是否存在，與函數(shù)不取得極值沒有必然的關系，故D 也不正確。總之，只有

7、 A 才正確。5 .由題設，-i -:，1/2 j寵12故，即 A 正確。4族2二、計算題因為所以dz：2.函數(shù) z= f(xy)由方程dz1dz2vdu/a/a+vu+vEdx?dudv =2 +y=y,Xdzdz du% 3v1_ += 嚴+2歸辦du dx3vdx嚴+ xy1.設 z= In(u+ v2)，-, v= xy，求：一 一dy解法一：dz dz du &1L= - 1+j- = - r（、2y蠢-+彷創(chuàng)砂旳嚴+丹解法二：則故即故即解法一：_設一 -.一-、一一二匚，2莎 莎 札二2-曇FT-曇宓_ _算_ W -網(wǎng) & _曲F；yz-xydy解法二：方程兩邊對

8、 x 求偏導數(shù)，得:dx方程兩邊對 y 求偏導數(shù)，得:1+邏一旦旦空二0dxyjxyz改dzxzxydz一 .= 02 H- - Jxyz J砂砂-&xz-2xyz& dzW dy電y嚴引4 2/刃又設 F(x, y, z,入)=xyz+ 入(xy+ 2xz+ 2yz- S) 求 F(x, y, z,入)對各變量的偏導數(shù)，并令其為零，得方程組: = yz-X(y + 2z -0耳；-矩+ 乂工亠 2 刃=13理二兀卩十 Z(2r +2y)- 0F；-砂 + 2 磁+2yz- 0由xX(2)xy,得再匚：- 由于入，z 不能為零，故得 xy= 0, x= y由xy (3)x乙乙，

9、得:,y= 2z1將 x= y= 2z 代入(4),得Z -這時-3.設.-./節(jié)匚：,求r ：dz設 z= f(u, v), u = x2+ y,v=ydz丨dzdu dzSvdz-小fe 1dz1dz+Stdudx dvdxdsjydttydzSzdu dzST一+1+.(一J-dudv ydu解:則(箱子無蓋)，求體積最大者的邊長。4.表面積為 S 的長方體箱子中解： 設長方體的邊長分別為x,y, z,已知 xy+ 2(xz+ yz) = S于是長方體的體積為V = xyz1)233由于只有這一個駐長分別為且已知該問題一定存在最大值,1故此駐點即為最大值點，即當邊時，體積最大。寬、高之和為定數(shù)a，求其最大體積。25.直角平行六面體的長、解：設平行六面體的長、寬、高分別為 依題意