新課標(biāo)人教版選修1-2《反證法》課件

1、路路邊邊苦苦李李 王戎王戎7 7歲時(shí)歲時(shí), ,與小伙伴們外出游玩與小伙伴們外出游玩, ,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子. .小伙小伙伴們紛紛去摘取果子伴們紛紛去摘取果子, ,只有王戎站在只有王戎站在原地不動(dòng)原地不動(dòng). .伙伴問(wèn)他為什么不去摘？伙伴問(wèn)他為什么不去摘？王戎回答說(shuō)王戎回答說(shuō): :“樹在道邊而多樹在道邊而多子子, ,此必苦李此必苦李.”.”小伙伴摘取一小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下個(gè)嘗了一下, ,果然是苦李果然是苦李. . 王戎是怎么知王戎是怎么知道李子是苦的呢道李子是苦的呢? ?他運(yùn)用了怎樣的他運(yùn)用了怎樣的推理方法推理方法? ?有一天，牛頭馬面把一個(gè)高頭大馬的鬼帶進(jìn)閻王

2、寶殿。有一天，牛頭馬面把一個(gè)高頭大馬的鬼帶進(jìn)閻王寶殿。 閻羅王把驚堂木一拍：閻羅王把驚堂木一拍：“這廝好無(wú)禮，見到本王也不會(huì)這廝好無(wú)禮，見到本王也不會(huì)下跪叩頭。拉下，打一百棒。下跪叩頭。拉下，打一百棒?！?” “ “大王，請(qǐng)?jiān)?。我是洋鬼子，不知你們東方地獄的禮節(jié)大王，請(qǐng)?jiān)彙Ｎ沂茄蠊碜?，不知你們東方地獄的禮節(jié)請(qǐng)?jiān)?。?qǐng)?jiān)?。?” “ “好！就原諒你一次，你是誰(shuí)？好！就原諒你一次，你是誰(shuí)？” ” “ “我是我是SupermanSuperman?！闭驹陂惲_王旁邊的師爺馬上俯身對(duì)閻站在閻羅王旁邊的師爺馬上俯身對(duì)閻王解釋：王解釋：“SupermanSuperman是超人。是超人。” ” “ “好大

3、的口氣，蘇本梅先生你怎么會(huì)是超人？好大的口氣，蘇本梅先生你怎么會(huì)是超人？” ” SupermanSuperman以傲慢的口氣說(shuō)：以傲慢的口氣說(shuō)：“當(dāng)然是超人，我能做人類所當(dāng)然是超人，我能做人類所不能做的事，我是萬(wàn)能，世上沒有一件事我是不能做的。不能做的事，我是萬(wàn)能，世上沒有一件事我是不能做的。” ” “ “好！那么你舉一件事是你做不出的。好！那么你舉一件事是你做不出的。” ” （1 1）如果有）如果有5 5只鴿子飛進(jìn)兩只鴿籠，至少有只鴿子飛進(jìn)兩只鴿籠，至少有3 3只只 鴿子在同一只鴿籠，對(duì)嗎？鴿子在同一只鴿籠，對(duì)嗎？（2 2）A A、B B、C C三個(gè)人，三個(gè)人，A A說(shuō)說(shuō)B B撒謊，撒謊，B

4、 B說(shuō)說(shuō)C C撒謊，撒謊，C C 說(shuō)說(shuō)A A、B B都撒謊。則都撒謊。則C C在撒謊嗎？為什么？在撒謊嗎？為什么？分析分析: :假設(shè)假設(shè)C C沒有撒謊沒有撒謊, , 則則A A、B B都撒謊都撒謊. . 由由A A撒謊撒謊, , 知知B B沒有沒有撒謊撒謊. . 那么那么假設(shè)假設(shè)C C沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立, ,則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. .這與這與B B撒謊矛盾撒謊矛盾. .思考？思考？ 先假設(shè)結(jié)論的反面是正確先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的，然后通過(guò)邏輯推理，推出的，然后通過(guò)邏輯推理，推出與公理、已證的定理、定義或與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾，說(shuō)明假設(shè)不已知條件相矛盾，

5、說(shuō)明假設(shè)不成立，從而得到原結(jié)論正確成立，從而得到原結(jié)論正確這種證明方法叫做這種證明方法叫做反證法的一般步驟反證法的一般步驟:假設(shè)命題結(jié)論不成立假設(shè)命題結(jié)論不成立假設(shè)不假設(shè)不成立成立假設(shè)命題結(jié)論假設(shè)命題結(jié)論反面成立反面成立與已知條件與已知條件矛盾矛盾假設(shè)假設(shè)推理得出的結(jié)論推理得出的結(jié)論與與定理，定義，定理，定義，公理公理矛盾矛盾所證命題成立所證命題成立你能說(shuō)出下列結(jié)論的反面嗎你能說(shuō)出下列結(jié)論的反面嗎? ?1.1.abab2.d2.d是正數(shù)是正數(shù)3.a03.a04.ab4.aba a不垂直于不垂直于b bd d不是正數(shù)不是正數(shù), ,即即d0d0 a a0 0a不平行不平行b萬(wàn)事開頭難，讓我們走好第

6、一步！萬(wàn)事開頭難，讓我們走好第一步！常用的互為否定的表述方式：常用的互為否定的表述方式：至少有一個(gè)至少有一個(gè)至少有三個(gè)至少有三個(gè)至少有至少有n個(gè)個(gè)最多有一個(gè)最多有一個(gè)一個(gè)也沒有一個(gè)也沒有至多有兩個(gè)至多有兩個(gè)至多有至多有(n-1)個(gè)個(gè)至少有兩個(gè)至少有兩個(gè)1133nn11原詞語(yǔ)原詞語(yǔ) 否定詞否定詞 原詞語(yǔ)原詞語(yǔ) 否定詞否定詞 等于等于任意的任意的是是 至少有一個(gè)至少有一個(gè) 都是都是 至多有一個(gè)至多有一個(gè) 大于大于 至少有至少有n n個(gè)個(gè) 小于小于 至多有至多有n n個(gè)個(gè) 對(duì)所有對(duì)所有x,x,成立成立對(duì)任何對(duì)任何x x，不成立不成立準(zhǔn)確地作出反設(shè)準(zhǔn)確地作出反設(shè)( (即否定結(jié)論即否定結(jié)論) )是非常重

7、要的，是非常重要的，下面是一些常見的結(jié)論的否定形式下面是一些常見的結(jié)論的否定形式. . 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一個(gè)也沒有一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至少有兩個(gè)至多有（至多有（n-1)個(gè)個(gè)至少有（至少有（n+1)個(gè)個(gè)存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某個(gè)某個(gè)寫出下列結(jié)論的反面情況：寫出下列結(jié)論的反面情況：（1）ab；（3）x是負(fù)數(shù)；是負(fù)數(shù)；（4）ab；（5）A是銳角；是銳角；（2）AB=CD； 2命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是() A兩個(gè)內(nèi)角是直角 B有三個(gè)內(nèi)角是直角 C至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角 D沒有一個(gè)內(nèi)角是直角 答案C

8、解析“最多只有一個(gè)”即為“至多一個(gè)”，反設(shè)應(yīng)為“至少有兩個(gè)”，故應(yīng)選C. 3如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)() A一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù) B兩個(gè)都是正數(shù) C至少有一個(gè)正數(shù) D兩個(gè)都是負(fù)數(shù) 答案C 解析假設(shè)兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)之和為負(fù)數(shù)，與兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個(gè)實(shí)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù)，故應(yīng)選C. 二、填空題 4“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是_ 答案存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角 解析全稱命題的否定形式為特稱命題，而“至少有兩個(gè)”的否定形式為“至多有一個(gè)”故該命題的否定為“存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角” 試一試試一試 求證：在一個(gè)三角形中，求證：在一個(gè)三角

9、形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于于60.ABC已知：已知：求證：求證：證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即：證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即：A_ 60, B _ 60,C _ 60,則則A+B+C180 .這與這與_相矛盾相矛盾.所以所以_不成立，所求證的不成立，所求證的結(jié)論成立結(jié)論成立.三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于180 假設(shè)假設(shè)試一試試一試: 證明：假設(shè)所求的結(jié)論不成立，即證明：假設(shè)所求的結(jié)論不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 則則A+ B+ C180 這與這與_相矛盾相矛盾 所以所以_不成立，不成立， 所求證的結(jié)論成立所求證的結(jié)論成立 “三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于三

10、角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180 ”假設(shè)假設(shè)ABC用反證法證明用反證法證明(填空填空):在三角形的內(nèi)角中在三角形的內(nèi)角中,至少有一個(gè)角大于或等于至少有一個(gè)角大于或等于60 已知已知:A ,B ,C是是ABC的內(nèi)角（如圖）的內(nèi)角（如圖）求證求證:A , B , C中至少有一個(gè)角中至少有一個(gè)角大于或等于大于或等于60 所以假設(shè)錯(cuò)誤，故原命題所以假設(shè)錯(cuò)誤，故原命題成立成立ba 證明證明: 假設(shè)假設(shè)a不大于不大于b則則a 0,b0所以所以(1)若 a bab（2）若 a =ba = b，0,abab例1 證明：如果則0ab與已知矛盾0ab與已知矛盾二、應(yīng)用新知二、應(yīng)用新知否定要全面反證法的一般步驟反證法的

11、一般步驟 先假設(shè)命題不成立先假設(shè)命題不成立從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理 得出矛盾得出矛盾 假設(shè)不成立假設(shè)不成立 所求證命題正確所求證命題正確 分清條件和結(jié)論分清條件和結(jié)論三歸納步驟三歸納步驟例例2 2 求證：求證： 是無(wú)理數(shù)是無(wú)理數(shù)。2 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4k = 2n ，即n = 2k

12、從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質(zhì)矛盾！這與m，n互質(zhì)矛盾！假設(shè)不成立，故假設(shè)不成立，故 是無(wú)理數(shù)。是無(wú)理數(shù)。2例例1 1：已知：一個(gè)整數(shù)的平方能被已知：一個(gè)整數(shù)的平方能被2 2整除，整除， 求證：這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。求證：這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。證明：假設(shè)證明：假設(shè)a a不是偶數(shù)，不是偶數(shù)， 則則a a是奇數(shù)，不妨設(shè)是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2n+1(na=2n+1(n是整數(shù)是整數(shù)) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇數(shù)，與已知矛盾。是奇數(shù)，與已知矛盾。

13、 假設(shè)不成立，所以假設(shè)不成立，所以a a是偶數(shù)。是偶數(shù)。注：注：直接證明難以下手的命題直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，改變其思維方向，從進(jìn)行反面思考，問(wèn)題可能解決得十分干脆。從進(jìn)行反面思考，問(wèn)題可能解決得十分干脆。例題例題例例2 2： 不可能成等差數(shù)列不可能成等差數(shù)列5,3,2注：注：否定型命題否定型命題( (命題的結(jié)論是命題的結(jié)論是“不可能不可能”，“不能表示為不能表示為”，“不是不是”，“不存不存在在” ” ，“不等于不等于”，“不具有某種性質(zhì)不具有某種性質(zhì)”等等) ) 常用反證法常用反證法解題反思：解題反思：證明本題時(shí)，你是怎么想到反證法的？證明本題時(shí)，你是怎么想到反證法的？反證

14、法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏輯矛盾是什么？反證法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏輯矛盾是什么？練習(xí)：練習(xí)：ABCCB證明：在中，若是直角，則一定是銳角。例例3 3 已知已知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一個(gè)根。一個(gè)根。1212則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 0 a a 0 012120,即 x -xx = xx -xx = x12與與xx 矛xx 矛盾盾故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。證：由于證：由于a 0a 0，因此方程至少有一個(gè)根，因此方程至少有一個(gè)根x=b/ax=b/a，注注:結(jié)論中的有且只有結(jié)論中的有且只有(有且僅有有且僅有)形式出現(xiàn)形式出現(xiàn), 是是唯一性問(wèn)題唯一性問(wèn)題,常用反證法常用反證法 如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2 ) )是是方程的兩個(gè)根方程的兩個(gè)根. . 證明：假設(shè)兩個(gè)數(shù)都不小于2，則2 .xy02 .1x12 .yxyy