球面幾何的內(nèi)容與案例分析

1、王建明王建明北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100011Email:2005年年5月月14日日l(shuí)歷史久遠(yuǎn)的一個(gè)學(xué)科l現(xiàn)實(shí)和生活意義l另一種幾何l球面上的綜合幾何l課標(biāo)要求：球面直線、球面線段、球面距離；球面三角形、球面極三角形的基本性質(zhì)；球面上的對(duì)稱性、球面上的合同性（全等三角形的判斷）；球面三角形的面積、球面歐拉公式；球面三角學(xué)；歐氏幾何與非歐幾何的關(guān)系l學(xué)習(xí)方法：類比平面幾何l技術(shù)支持：幾何畫板l背景支持：地球表面l動(dòng)手操作（理解球面距離）動(dòng)手操作（理解球面距離） 1）準(zhǔn)備一條足夠長(zhǎng)的細(xì)繩，一支鉛筆，一塊橡）準(zhǔn)備一條足夠長(zhǎng)的細(xì)繩，一支鉛筆，一塊橡皮擦，一個(gè)皮球，一把剪刀；皮擦，一個(gè)皮

2、球，一把剪刀；2）制作一段等于大圓的細(xì)繩；這條細(xì)繩的作用）制作一段等于大圓的細(xì)繩；這條細(xì)繩的作用就相當(dāng)于就相當(dāng)于“直尺直尺”；3）給定皮球上兩點(diǎn)，畫出過(guò)這兩點(diǎn)的大圓劣??；）給定皮球上兩點(diǎn)，畫出過(guò)這兩點(diǎn)的大圓劣?。贿^(guò)這兩點(diǎn)再畫一條別的曲線，分別用細(xì)繩丈量，過(guò)這兩點(diǎn)再畫一條別的曲線，分別用細(xì)繩丈量，比較它們的長(zhǎng)短；比較它們的長(zhǎng)短；4 4）同學(xué)們相互交流。）同學(xué)們相互交流。 l球面直觀圖球面直觀圖l球面三角形基本性質(zhì)的探索球面三角形基本性質(zhì)的探索l球面三角形獨(dú)有的性質(zhì)探索球面三角形獨(dú)有的性質(zhì)探索l近期目標(biāo)l難點(diǎn)和重點(diǎn)l長(zhǎng)期目標(biāo)l主要教學(xué)活動(dòng)l設(shè)計(jì)意圖l注意事項(xiàng)l為構(gòu)建球面三角形的定義做準(zhǔn)備，了解球面

3、上兩條直線的交角l認(rèn)識(shí)球面是中心對(duì)稱圖形，是面對(duì)稱圖形l體會(huì)幾何學(xué)兩個(gè)基本任務(wù)平直性研究和對(duì)稱性研究（合同性）之一的對(duì)稱性研究l了解球面三角形的意義，注意類比與平面三角形定義的異同點(diǎn)l了解球面三角形的邊的基本性質(zhì)，注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平面三角形的邊的哪些性質(zhì)可以在球面三角形中成立，發(fā)展學(xué)生的類比思想l以地球?yàn)閷?shí)例，認(rèn)識(shí)球面三角形的內(nèi)角和的特征區(qū)別于平面三角形，進(jìn)而使學(xué)生思考并理解球面三角形內(nèi)角和的基本性質(zhì)l難點(diǎn)1.球面三角形和球極三角形的定義2.空間想像力在球面三角形和球極三角形上的實(shí)現(xiàn)l重點(diǎn)1.球面對(duì)稱性、球面三角形基本性質(zhì)與平面三角形基本性質(zhì)的類比2.在地球面上不斷實(shí)踐空間想像力3.以地球面為

4、背景，持續(xù)發(fā)展學(xué)生的球面對(duì)稱性、球面三角形基本性質(zhì)的幾何直觀能力l空間想像力l幾何直觀能力l類比的數(shù)學(xué)思想和方法l緊密聯(lián)系學(xué)生生活實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)1.鼓勵(lì)學(xué)生在回顧平面中兩條直線的夾角基礎(chǔ)上，嘗試定義“球面上兩直線的夾角”2.通過(guò)直觀圖或技術(shù)支持，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)球面是一個(gè)對(duì)稱圖形3.通過(guò)組織學(xué)生構(gòu)造等腰三角形和等邊三角形，認(rèn)識(shí)具體的球面三角形，并為球面三角形邊的性質(zhì)研究作準(zhǔn)備4.回顧平面三角形的邊的性質(zhì)，通過(guò)技術(shù)支持，首先使得學(xué)生感受基本性質(zhì)，進(jìn)而利用立體幾何初步中的知識(shí)，證明基本性質(zhì)5.通過(guò)提出問(wèn)題（球面三角形內(nèi)角和在什么范圍），引入球面極三角形的定義6.借助幾何直觀，探索球面三角

5、形內(nèi)角和的性質(zhì)l球面幾何的學(xué)習(xí)應(yīng)該發(fā)展學(xué)生的空間想像力和幾何推力能力l學(xué)習(xí)應(yīng)該經(jīng)常以地球?yàn)槔龓椭鷮W(xué)生認(rèn)識(shí)和理解球面的直線、球面三角形等直觀概念l教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生嘗試分析和解決以地球?yàn)楸尘暗膶?shí)際問(wèn)題l以初中知識(shí)作為基礎(chǔ)，區(qū)分高一、高二學(xué)生的以初中知識(shí)作為基礎(chǔ)，區(qū)分高一、高二學(xué)生的選擇選擇l從學(xué)生熟悉問(wèn)題出發(fā)，使學(xué)生從學(xué)生熟悉問(wèn)題出發(fā)，使學(xué)生感受感受更多的數(shù)學(xué)更多的數(shù)學(xué)發(fā)展方向，為他們未來(lái)的發(fā)展提供思考的機(jī)會(huì)發(fā)展方向，為他們未來(lái)的發(fā)展提供思考的機(jī)會(huì)l給學(xué)生一定空間，給學(xué)生一定空間，l深入淺出，力求通俗易懂深入淺出，力求通俗易懂l獨(dú)立思考、寫總結(jié)報(bào)告獨(dú)立思考、寫總結(jié)報(bào)告l不進(jìn)入考試不進(jìn)入考試l幾何發(fā)展歷史高屋建瓴l幾何方法論綜合幾何到向量幾何l幾何教學(xué)直觀+可視化l幾何教材努力掌握課標(biāo)實(shí)質(zhì)l幾何課程注意知識(shí)發(fā)展鏈，不做馬路警察22SR球面三角形BOBACCA()()()()2S ABCS ABCS ABCS ABC