電磁場理論：習(xí)題1

1、1-1. (1) 敘述庫侖定律，并寫出數(shù)學(xué)表達(dá)式。 (2)電荷之間的作用力滿足牛頓第三定律嗎？請給出證明。解：（1）庫侖定律內(nèi)容為： 真空中兩個靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小，與它們的電量和的乘積成q q正比，與它們之間距離的平方成反比。作用力的方向沿兩者連線的方向。兩點(diǎn)電荷同號R時為斥力，異號時為吸力。即：，是的矢徑，是的矢徑，是對RRqqkFqq3 rrRrq r qqqF q的力。q222zzyyxxrrRR：比例系數(shù)，在 MKSA 單位制中，k041k所以： )(420NRRqqFqq（2）電荷之間的作用力不滿足牛頓第三定律，請看下面的例證： 以速度運(yùn)1q1v動，q以速度運(yùn)動。22

2、v如圖 1-2 所示。此時，在處產(chǎn)生有電場和磁場。而在處也產(chǎn)生電場2q1q2E2H1q2q和磁場。但因在處產(chǎn)生的磁場方向與平行。故由洛侖茲公式知，q 所受1E1H2q1q1v1的力為)(2120112121NEqHvqEqF只有電場力。但 q 對 q的作用力為：12 (N)10221112HvqEqF既有電場力，又有磁場力，所以兩者不相等。1-2 （1） 洛侖磁力表達(dá)式中，哪部分做功，哪部分不做功，為什么？ (2) 洛侖茲力滿足迭加原理嗎？為什么? 解： (1) 洛侖磁力公式為 （N）HvqEqF0洛侖茲力做的功為 ,其中csdFWdtvsd 所以有： csdFW =tdtvF =tdtvHv

3、qEq)(0 =ttdtvHvqdtvEq)(0 = (J)tdtvEq其中使用了矢量恒等式BACCBA所以，洛侖茲力作的功為 tdtvEqW = )(JsdEqC所以，洛侖茲力中，因?yàn)榕c電荷的做功無關(guān)。而部分總是與電荷的運(yùn)EqHvq0動方向垂直，故部分做功，而部分不做功。EqHvq0（2）因?yàn)殡姾墒芰εc和間都是線性關(guān)系，所以，洛侖茲力滿足迭加原理。EH1-3 兩個點(diǎn)電荷， ，分別放在原點(diǎn)和（0，0，3）處。求Cq11Cq22(1)空間各處的電場。 rE（1）畫出沿 z 軸的電場大小分布曲線。（2）這條曲線是連續(xù)的嗎？請解釋原因。解：設(shè)系統(tǒng)坐標(biāo)系如圖所示： 根據(jù)在自由空間點(diǎn)電荷場公式與場的迭加

4、原理，則由=1C 和=2CsrsirQE4201q2q兩點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場為：當(dāng)只求沿 z 軸的電場時，x=y=0.330|3-|32|4, 0 , 0zzzzizEz總這條曲線在(z=0,z=3)點(diǎn)處是不連續(xù)的,因?yàn)樵谶@兩點(diǎn)分別為場的電荷點(diǎn)。1-4 某材料含有個電子/米3及同等數(shù)目的正離子。電子以米/秒的平均速度朝一個方向2010310運(yùn)動，正離子以 10 米/秒的平均速度朝相反的方向運(yùn)動，求電荷密度及電流密度。J解：因?yàn)椴牧现泻械碾娮雍驼x子是同數(shù)目的，所以，電荷密度=0 庫侖/米3因?yàn)殡娏鞣较虮欢x為正電荷運(yùn)動方向，所以電流密度=J21JJ電子庫侖秒米米電子電子電子/106 . 1/10

5、/101933201qvJ）總mVzyxzzyxzizyxyzyxyizyxxzyxxiEEEzyx/(332323241232222322223222232222322223222021 =秒米電子電子庫侖22319/10/106 . 1 =34/106 . 1米安 319320/160/106 . 1/10/10米安電子庫侖秒米米正離子正離子正離子qvJa321/16160米安JJJ1-5 直徑為 1mm 的銅導(dǎo)線上有 10A 的恒定電流通過。若電子密度為，試估計(jì)電子328/10米個的速度平均值。解: aIvJ/eN 秒米）（/1096. 7105 . 0106 . 110/10/3231

6、023eNaIv1-6 一個電子以米/秒的速度平行于 Z 軸的正方向運(yùn)動。若平行于 X 軸正方向加有一均勻磁場，610強(qiáng)度為。問:如果要使電子保持原來的運(yùn)動狀態(tài)。需再加一個什么樣的電場？MA/104解： 依題意有：)/(106SMivz )/(104MAiHx若使電子保持原來的運(yùn)動狀態(tài)，應(yīng)使電子所受的外力洛侖茲力為零。即：00HvqEqF洛所以 )/(10430MViHvEy所以，為使電子保持原來的運(yùn)動狀態(tài)，應(yīng)加一個電場：)/(1043MViEy1-7 已知曲線方程為yzxy12畫出該曲線的圖形并計(jì)算由點(diǎn)（0，0，1）沿曲線走到點(diǎn)（2，4，）時，電場3)/(322MVxzixyixyiEzyx

7、對 q=1C 的點(diǎn)電荷所做的功。解：電場對電荷 q 所做的功為:21PPsdEqW將電量 q 和電場代入，并考慮到在直角坐標(biāo)系中，則有EdzidyidxisdzyxzxdxdyxyxydxsdxzixyixyiWPPPPzyx2121223232將曲線方程代入，即有：2xy xdxdy2 211xyzxdxdz2所以, dxxxxxdxdxxdxxW2123225203dxxdxxdxxdxx4262032262)(25.94)52327621(205374Jxxxx所以，電場做的功為 W= -94.25 焦耳。1-8 已知總量為 Q 的電荷均勻分布在內(nèi)半徑為 a，外半徑為 b 的空心球上，求

8、空間各處的電場強(qiáng)度。 rE解：這是一個已知源的分布，求場的問題因?yàn)殡姾稍诳招那蛏暇鶆蚍植?，所以，空心球上的電荷密度為由積分形式的電場高斯定律： )/(34222MCabQVSdvadE0取一個半徑為的球面，當(dāng)時，有srars00Vdv有球?qū)ΨQ性知，)(11sSrrrEiEs 04sin1022020010 VsrsssrSdvrErdrrEadEsr )/(01MVrEsrs)/(01MVE 當(dāng)時 brasVSdvadE20圖 18)(34333333CQabararvdvdvctssVV由球?qū)ΨQ性知： sSrrrEiEs11 QabarrErrddrrEadEssrssssrSsr33332

9、202220200204sin QabarrrEsssrs333320241 )/(413333202MVQabarriEssrs當(dāng)時brs QdvadEVS30由球?qū)ΨQ性知：)(33sSrrrEiEs QrrEssrs20341 )/41203MVQriEsrs（于是，空間的電場分布為： )()()0()/(4)(4)(02332033brbraarMVrQiabrQariEssssrssrss1-9畫處 8 題中沿的分布曲線。曲線連續(xù)嘛？與 3 題中的曲線比較，從中可以得到什么| Esr結(jié)論?解：1-8 題中的)()()0()/(4)(4)(02332033brbraarMVrQiabrQ

10、ariEssssrssrss的分布曲線如下沿sEr|由圖可以看出，曲線是連續(xù)的，與題 3 中的曲線比較，可以得出這樣的結(jié)論，即源不存在突變時，場也保持連續(xù)。1-10 環(huán)形線電荷，半徑為 a，線電荷密度為（C/M）,求該環(huán)軸線上的電場。請討論當(dāng)軸上的點(diǎn)時，電場的近似表達(dá)式，此結(jié)論說明了什么？az 解：zazartan,22200202014141adrrqEd根據(jù)電荷的對稱分布，電場迭加后只有 z 分量。)/(21cos412322002000MVzaazadEz當(dāng)時za )/(42121lim202002323000MVzQzazazazEzaz其中： (C)02aQ 結(jié)論：當(dāng)時，此電場強(qiáng)度等

11、效于放置在環(huán)心處電荷電量為的點(diǎn)電荷在 z 處所產(chǎn)生za a2的電場。1-11 電量分別為-1C 和 2C 的點(diǎn)電荷分別置于（0，0，-1）和（0，0，1）求 z 軸上有幾個電場為零的點(diǎn)。這樣的點(diǎn)在 z 軸上有幾個？在空間有多少？解：根據(jù)電場迭加原理，在 z 軸上的合電場為330211z| 1|1| 1|24zzziEEEz合經(jīng)過驗(yàn)證：只有當(dāng)時，223z=0，除 z 軸外，在空間中沒有這樣的點(diǎn)滿足要求。合E1-12 證明理想無限長密繞圓柱線圈通有恒定電流時，其內(nèi)部磁場均勻，外部磁場為零。 證：設(shè)電流面密度為，根據(jù)系統(tǒng)對稱性，場量與無關(guān)，只與有關(guān)，利用場積分定律。Kz,crCSadJsdH在區(qū)，電

12、流為零11111CSadJsdH021crH 01crH在區(qū)，靜電流為零022crH 02crH做圓柱面 1 和 2 如圖所示利用高斯定理 SadH0101SadH 0)()(2)(2120111111llccrSSccrccczcccSzdzdrrHdzdrrHdrrrHdrrrHcc下側(cè)上 01crrHc同理可證 02crrHc， czrHiH11 czrHiH22做如圖所示的閉合環(huán)路 4，則利用場積分定律 02122dzrHrHllczcz 2122czczrHrH考慮到場在時，cr02H 0)(22221czczczrHrHrH做如圖所示的閉合線路 3，根據(jù)積分場定律，則， lKdzr

13、Hllcz21 KrHcz1)/()()0(0mAarariKHccz1-13 兩條平行的無限長電流絲，其上恒定電流均為 I,但電流方向相反。求空間處的磁場。 rH解：根據(jù)公式（1-92） ，由 I0產(chǎn)生的磁場應(yīng)為：cossin22122yxiiyxIH其中： 2122sinyxx2122cosyxyyxi yi xyxIH22201同理: cossin2212202yxiiayxIH其中：2122sinayxx2122cosayxayyxyxyxiyxayyxyiazxxyxxIiayi xayxIi yi xyxIHHH.222222222220220220211-14 已知平面 z=a

14、和 z=-a 上有面電荷分布，電荷密度分別為和，這里是常數(shù)。求：00-0空間各處電場強(qiáng)度。 （提示：用迭加原理） rE解：由迭加原理知，該系統(tǒng)可等效于圖 1-(a)和 1-(b)兩系統(tǒng)的迭加，對系統(tǒng)和系統(tǒng)，由對稱性知，系統(tǒng)只有 z 分量。系統(tǒng)和系統(tǒng)均為無窮大帶電平板。我們知道，位于 z=0 處的無窮大帶電平板在空間產(chǎn)生的場為：)0()0()/(220000zzMViiEzz對系統(tǒng)，其在空間產(chǎn)生的電場為：)()()/(2200001azazMViiEzz對系統(tǒng)，在空間產(chǎn)生的電場為：)()()/(2200002azazMViiEzz根據(jù)迭加原理，將迭加，便可求得原系統(tǒng)在空間產(chǎn)生的場為21EE和)(

15、)()()/(0000azazaazMViEz1-15 已知半徑長為 a 無限長圓柱體上，帶有均勻分布，電荷密度為的體電荷。在其外有一內(nèi)0半徑為 b，外半徑為 c,與圓柱體同軸的空心圓柱體，其上帶有均勻分布，密度為的體電荷。0這里。求空間各處的電場強(qiáng)度。 rE解：根據(jù)迭加原理可將系統(tǒng)分為兩部分：系統(tǒng)：半徑為 a 無限長圓柱，帶有均勻電荷分布，電荷密度為，如圖 1-15-2 所示。0系統(tǒng)：內(nèi)半徑為 b，外半徑為 c 的無限長空心圓柱體，帶有均勻電荷分布，電密度為。如0圖 1-15-3 所示。由積分形式電場高斯定律：VSdvadE0取一個高為 d,半徑為的圓柱面，且設(shè)柱面上底為，下底為，側(cè)面為，則

16、閉合曲面cr上S下S側(cè)S為，當(dāng)時側(cè)下上SSSSarc0，VSdvadE20)(200CdrdvdvctcVV由柱對稱性知： crrrEiEcc22adEadEadEadESSSS側(cè)下上20202020因?yàn)樯系酌娴姆ㄏ驗(yàn)?，下底面的法向?yàn)?，均與垂直，故有：zizi2E dErdzdrrEadEadEccrcccrdzSS 202020020202側(cè)00002222cccrrdrdrEc)0()/(2002arMVriEccrc當(dāng)時，arcVSCdadvadE)(2010由柱對稱性知： crrrEiEcc11 dErdzdrrEadEadEadEadEadEccrcccrdzSSSSS 10102

17、0010101010102側(cè)側(cè)下上ccrradrdaEc020020122)()/(20201arMVraiEccrcc系統(tǒng)的解為：)/()()0(2202000MVararrairiEcccrcrcc系統(tǒng)由積分場定律知VSdvadE0取一個高為 d,半徑為圓柱面，且設(shè)柱面上底，下底為，側(cè)面為，則閉合曲面為cr上S下S側(cè)S側(cè)下上SSSS當(dāng)時，brc00Vdv由柱對稱性知： crrrEiEcc22 0220202002020202020 drErdzdrrEadEadEadEadEadEcrcccrdzSSSSScc側(cè)側(cè)下上0)(2crrEc )/(02MVE )0(brc當(dāng)時, crbcVSd

18、vadE20)()(2202200CdrbdbrdvdvctccVV由柱對稱性知： crrrEiEcc22 drErdzdrrEadEadEcrcccrdzSScc )(220202002020側(cè)ccccrrrbdrdrbEc0220002222)(2)()()/(2)(02202crbMVrrbiEcccrc當(dāng)時，crcVSCdcbdvadE)()(22010由柱對稱性知： crrrEiEcc11 drErdzdrrEadEadEadEadEadEcrcccrdzSSSSScc )(210102001010101010側(cè)側(cè)下上cccrrcbdrdcbrEc0220022012)(2)()()

19、()/(2)(02201crMVrcbiEccrc 系統(tǒng)的場為：)()()0()/(2)(2)(002200220crcrbbrMVrcbirrbiEccccrccrcc將系統(tǒng)和系統(tǒng)的場迭加，最后可以得到總場：)()r(b)r(a)0()/(2)(2)(22cc022200222002000crcbarMVrcbairrbairairiEcccrccrcrcrcccc1-16 已知半徑為 a 的無限長導(dǎo)體圓柱，其中有一個半徑為 c 的圓柱空洞。圓柱軸與空洞軸相距為，導(dǎo)體上帶有沿軸向流動的均勻分布在導(dǎo)體界面上的恒定電流，電流強(qiáng)度為)(cbabI0。求：空間的磁場強(qiáng)度。 （提示 ：用迭加原理）)(

20、rH解：對于該系統(tǒng)，在不失一般性的情況下，為方便起見，我們建立如下的坐標(biāo)系：以半徑為 a 的圓柱的軸線為 z 軸，且取 x 軸過圓柱及空洞軸。如圖 1-16-1所示。用迭加原理求解：首先求出在具有空洞的圓柱上的體電流。J然后在空洞處補(bǔ)充一體電流密度為和的電流圓柱。JJ于是，可將原系統(tǒng)等效為如圖 1-16-2 和 1-16-3 所示的系統(tǒng) I和系統(tǒng) II。（注意，本題不能補(bǔ)充的電流柱。因?yàn)檫@樣做不可能將0I原系統(tǒng)分解成可用積分場定律求解的分系統(tǒng)） 。依題意有： )/()(2220MAcaIiJz0JiJz下面我們分別求系統(tǒng) I 和系統(tǒng) II 的場系統(tǒng) I：由積分形式場定律:可得adJsdHsc取

21、一個半徑為的環(huán)路 c，它所圍的平面面積為 s。cr當(dāng)時，arc0csadJsdH2為常矢，JscrJadJ20由對稱性知：)(22crHiH ccccdrirHisdH)(22)(22)(22002carIrJrHccc)0()/()(22202arMAcarIiHcc當(dāng)時 arcscadJsdH1)/()(22_200MAcaIJ20aJadJs由對稱性知 )(11crHiH)(2)(111ccccccrHrdrirHisdH)/()(222220021MAcaraIJraHcc)/()(222201MAcaraIiHc寫成直角坐標(biāo)變量的形式，可得：系統(tǒng) I 的場為)()(2)()(2)0(

22、)(2)()(22220222220220220arcaaIyxxiyicaraIiarcaIxiyicarIiHcyxccyxc對于系統(tǒng) II。只需將坐標(biāo)系平移：。并將電流體密度換為-zzyybxx,，便可用與系統(tǒng) I 相同的求解方法求得：)/(20MAJiz系統(tǒng)總磁場)()(2)()()(2)0()(2)()(22220222220220220crcacIybxbxiyicarcIicrcaIbxiyicarIiHcyxccyxc為： 柱外洞外柱內(nèi)洞內(nèi))(2)()()(2)()/()(2)()()(2)()(2)()(2)(222022222022222022220220220cacIyb

23、xbxiyicaaIyxxiyiMAcacIybxbxiyicaIxiyicaIbxiyicaIxiyiHyxyxyxyxyxyx即：柱外洞外柱內(nèi)洞內(nèi))()()()(2)()()()(2)(2222222220222220220cybxbxiyiyxxiyicaaIcybxbxiyixiyicaIcabIiHyxyxyxyxy1-17 已知一個半徑為 R 的無限長圓柱面，表面沿軸向有強(qiáng)度為的均勻面電流。求：空間的磁0K場分布。)(rH解：由于系統(tǒng)中所以修正的安培定律為, 0EscadJsdH)/(0MAKiKz由于對稱性知：是與有關(guān)，與無無關(guān)。Hcrz,)(crHiH取一個半徑為的圓為積分回路

24、 c，它所圍的平面面積為 s。cr當(dāng)時，Rrc00sadJ0)(2)(22022scccccadJrHrdrrHsdH)0()/(02RrMAHc當(dāng)時，Rrc020002RKRdiKidsiKadJzzccs012 RKadJsdHsccccrRKrRKrH00122)(0)(2crH)()/(01RrMArRKiHcc)()0()/(00RrRrMArRKiHccc空間的磁場為1-18已知在和之間的區(qū)域中，分布有均勻的、密度為的體電荷，求：空間各0 xax 0點(diǎn)的電場分布。)(rE解：由電場高斯定律知首先將坐標(biāo)系沿 x 方向平移至中，平移前后坐svdavadE,02a標(biāo)系間的關(guān)系為zzyya

25、xx,2在坐標(biāo)系中，選高斯面為一個柱面，柱面的上下底與平面平行，且距),(zyx0 x平面距離相等。為柱上下底面積大小均為 S。0 xx當(dāng)VSdvadEax202時，有)(20CxsdvV由對稱性知 且)(22xEiExx)()(22xExESxEadEdaiixEdaiixEadExSSxxxSxxxS)(2)()()(2020202020側(cè)下上0000222)(xSSxxEx)/()0()0(00002MVxxxixiExx當(dāng)VSdvadEax102時，有)(0csadvV由對稱性知：且)(11xEiExx)()(11xExESxEadEdaixEdaixEadExSSxSxc)(2)()

26、()(1010101010側(cè)下上)/()2()2(2222)(0000100001MVaxaxaiaiEassaxExxx所以，總場為)/()2()02()20()2(2200000000MVaxxaaxaxaixixiaiExxxx將坐標(biāo)軸平移 xxii2axx)/()0()0()(2)2(2000000MVxaxaxaiaxiaiExxx1-19 已知一個半徑為 a 的無限長圓柱體。在其上有沿軸向流動密度為的均勻體電流。求它0J在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度。)(rH解：無限長圓柱體內(nèi)的電流密度為)/(20MAJiJz由積分形式場定律知ScadJsdH取一個半徑為的環(huán)路 c,所圍的平面面積為 s

27、。cr當(dāng)時， arc0scadJsdH2為常矢J。)(200ArJdaJadJcss由對稱性知)(1carHiH)(2)(111ccccccrHrdrirHisdH22)(0021ccccrJrJrrH)/(2001MArJiH)0(arc當(dāng)時，arcscadJsdH1)(20AaJadJs由對稱性知：)(11crHiHsdH1)/(222)()(2)(2012020112011MAraJiHraJraJrHrHrdrirHisdHccccccccc系統(tǒng)在空間產(chǎn)生的磁場為)/()()0(222000MAararraJirJiHcccc1-20 已知在空間分布的體電荷密度為)/()()1 (22

28、20MCrauarss其中是常數(shù)，函數(shù)求：空間各處的電磁場分布0)0()0(01)(xxxu)(rE解：依題意，系統(tǒng)的一個半徑為的帶電球。球內(nèi)電荷體密度為)/()1 (2220MCars如圖 1-21 所示由電場高斯定律知：VsdvadE0當(dāng)arc0)()531(40534sin)1 ()1 (2230253020222000220CarrrarrdddrrardvardvssssssssrrVsVss此時只是的函數(shù)，故由球?qū)ΨQ性知：sr)(2srrarEiEss22021010)(4sin)(ssrssrsrrsrrEddrirEiadEssss)531()531(44)(22002220302arrarrrrEssssssrs)/()531(2200