高等數(shù)學教案ch82偏導(dǎo)數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上8.2 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法 對于二元函數(shù)z=f(x, y), 如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時它就是x的一元函數(shù), 這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù), 就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對于x的偏導(dǎo)數(shù). 定義 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 當y固定在y0而x在x0處有增量Dx時, 相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0). 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù), 記作, , , 或.例如：. 類似地, 函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對y

2、 的偏導(dǎo)數(shù)定義為, 記作 , , , 或fy(x0, y0). 偏導(dǎo)函數(shù): 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x, y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù), 記作, , , 或.偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: .求時, 只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù); 求時, 只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù). 討論: 下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？ , . , . 偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù). 例如三元函數(shù)u=f(x,

3、y, z)在點(x, y, z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為 , 其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x, y, z)的定義域的內(nèi)點. 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題. 例1 求z=x2+3xy+y2在點(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù). 解 , ., . 例2 求z=x2sin 2y的偏導(dǎo)數(shù). 解 , . 例3 設(shè), 求證: . 證 , . . 例4 求的偏導(dǎo)數(shù). 解 ; . 例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證: . 證 因為, ; , ; , ; 所以. 例5 說明的問題: 偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商. 二元函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)

4、的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: fx(x0, y0)=f(x, y0)x是截線z=f(x, y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y是截線z=f(x0, y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率. 偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性: 對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在, 也不能保證函數(shù)在該點連續(xù). 例如 在點(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數(shù)在點(0, 0)并不連續(xù).提示: , ; , . 當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時, 有 ; 當點P(x, y)沿直線y=kx趨于點(0, 0)時, 有 . 因此, 不存在, 故函數(shù)f(x

5、, y)在(0, 0)處不連續(xù). 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 二. 高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), , 那么在D內(nèi)fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函數(shù). 如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在, 則稱它們是函數(shù)z=f(x, y)的二偏導(dǎo)數(shù). 按照對變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)

6、 , , , .其中, 稱為混合偏導(dǎo)數(shù)., , , .同樣可得三階、四階、以及n 階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). 例6 設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、和. 解 , ; , ; , . 由例6觀察到的問題: 定理 如果函數(shù)z=f(x, y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. 類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù). 例7 驗證函數(shù)滿足方程. 證 因為, 所以 , , , .二、環(huán)境影響評價的要求和內(nèi)容因此 . 例8證明函數(shù)滿足方程, 其中.（二）建設(shè)項目環(huán)境影響評價的工作等級 證: , .同理 , .一、環(huán)境影響評價的發(fā)展與管理體系、相關(guān)法律法規(guī)體系和技術(shù)導(dǎo)則的應(yīng)用因此 .每名環(huán)境影響評價工程師申請登記的類別不得超過2個。提示: .（5）建設(shè)項目對環(huán)境影響的經(jīng)濟損益分析。既包