新高考數(shù)學考點19數(shù)列通項與求和與通項考點分類講義練習題附解析2

1、考點19數(shù)列通項與求和與通項i.掌握數(shù)列通項的幾種常用方法:歸納法、累加法、累積法、轉(zhuǎn)化法等方法來求數(shù)列的通項公式.2.掌握數(shù)列求和的幾種常用方法:公式法、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法,能熟練地應用這些方法來求數(shù)列的和.三年高考情況分析)數(shù)列的求和是高考重點考查的內(nèi)容之一,考查的形式往往是表達在綜合題型中,作為考查的內(nèi)容之一.近幾年主要考察了運用錯位相減法求數(shù)列的和.數(shù)列的通項公式是數(shù)列的本質(zhì)屬性之一,它是研究數(shù)列的相關性質(zhì)的一個重要支撐點,因此,學習數(shù)列首要的就是要能根據(jù)不同的條件求數(shù)列的通項公式;數(shù)列的前n項和既是數(shù)列的根本問題之一,同時,也與數(shù)列的通項存在著必然的聯(lián)系,

2、也是學習數(shù)列時,必須要掌握的重要知識點.關于數(shù)列的通項公式,學習中要緊緊圍繞著求通項的方法進行,求數(shù)列的通項,大致可有以下四類：1 .應用不完全歸納法,即根據(jù)數(shù)列的前幾項來尋找規(guī)律,歸納通項或其中某項；2 .應用Sn與an的關系,求解通項；3 .應用“累加法“累積法等課本上常見方法求解通項；4 .構造新數(shù)列,即把其他數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來加以解決,此種方法在很多考題中都有所表達關于數(shù)列的前n項和的求解,要緊緊抓住通項,分析其特征,由此來選擇適當?shù)那蠛头椒?把問題轉(zhuǎn)化成最根本的數(shù)列求和.?？嫉那蠛头椒ㄓ?等差數(shù)列和等比數(shù)列的公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等1、【2021年北京卷】

3、在等差數(shù)列4中,&=-9,%=1記I=?華(=12),那么數(shù)列優(yōu)().A.有最大項,有最小項B.有最大項,無最小項C.無最大項,有最小項D.無最大項,無最小項2>2021年全國2卷】數(shù)列中,%=2,am¥n=aman,假設%+%?+4+1.=2一,那么左=()A.2B.3C.4D.53、【2021年山東卷】將數(shù)列2-1與3-2的公共項從小到大排列得到數(shù)列斯,那么的前項和為4、【2021年高考全國I卷理數(shù)】記工為等比數(shù)列猴的前項和.假設：=/,那么$5=.5、【2021年高考全國m卷理數(shù)】記S為等差數(shù)列的前項和,W0,%=3可,那么?=.6、【2021年高考全國I卷理數(shù)】

4、記S為數(shù)列2的前項和,假設S.=2%+1,那么S$=.7、【2021年高考江蘇卷】己知集合4=可1=2-1,£1<,6=x|x=2",eN*.將AU8的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列“.記S為數(shù)列4的前項和,那么使得S.>12.曲成立的的最小值為.8、【2021年全國1卷】.設/是公比不為1的等比數(shù)列,%為生,%的等差中項.(1)求4的公比；(2)假設%=1,求數(shù)列牝的前項和.9、【2021年全國3卷】設數(shù)列&滿足%=3,4f+1=341f.1計算即,.3,猜測%的通項公式并加以證實;2求數(shù)列2%的前項和S.10、【2021年天津卷】?,為等差數(shù)列

5、,2為等比數(shù)列,?=%=1,%=5.一.3,4=4%-4.I求4和也的通項公式；H記的前項和為s,求證：S£+2VS3"WN*；%2%,"為奇數(shù),III對任意的正整數(shù),設C'=44+2求數(shù)列匕的前2項和.2,為偶數(shù).屹近11、【2021年山東卷】公比大于1的等比數(shù)列4滿足/+?=20嗎=8.1求/的通項公式；2記J為4在區(qū)間0,阿eN.中的項的個數(shù),求數(shù)列£的前100項和5100.12、【2021年高考全國H卷理數(shù)】數(shù)列8“和九滿足.廣1,4=0,4.“+=3.“+4,4%=3年一/一4.(1)證實:詼+4是等比數(shù)列,斯-兒是等差數(shù)列;(2)求務

6、和兒的通項公式.13、【2021年高考天津卷理數(shù)】設4是等差數(shù)列,%是等比數(shù)列.%=48=6,b、=2a22也=2%+4.(I)求凡和也的通項公式;(II)設數(shù)列c“滿足Cl=l,cn=*,2A<其中kwN,.也,=2",的通項公式;r內(nèi)(ii)求fqq(nGN*)./=114、【2021年高考浙江卷】設等差數(shù)列“的前項和為S“,%=4,%=Ss,數(shù)列"滿足：對每個gN*凡+b“,Sg+b,S“+2+b成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列?a的通項公式;(2)記證實：c1+c+-+cti<2>/n,neN*.15、【2021年高考全國HI卷理數(shù)】等比數(shù)列/中,q=l,

7、%=4%.(1)求4的通項公式；記S為“的前項和.假設S,“=63,求16、【2021年高考浙江卷】等比數(shù)列斯的公比4>1,且.3+內(nèi)+死=28,5+2是.3,的的等差中項.數(shù)歹lj兒滿足8=1,數(shù)列(bn+lF)的前項和為2?+.(1)求q的值；(2)求數(shù)列兒的通項公式.題型一、數(shù)列的通項1、2021屆山東省德州市高三上期末對于數(shù)列4,規(guī)定Mj為數(shù)列4的一階差分數(shù)列,其中q,=a+4eN*,對自然數(shù)&4之2,規(guī)定%“為數(shù)列依的k階差分數(shù)列,其中"為=.假設?=1,且%“-為+1+4=-2"£N",那么數(shù)列aH的通項公式為A.an=n2x2

8、n'1B,%=x2"tC.an=+lx2'l2d.a=2-1x2nl2、2021浙江學軍中學高三3月月考函數(shù)數(shù)列的前項和為S“,且滿足%=g,4+1=/5,那么以下有關數(shù)列的表達正確的選項是A.%<|4生一3./B.a7<a3c.ai0>1D.5100>263、2021屆江蘇省南通市如皋中學高三下學期3月線上模擬己知數(shù)列4£N*是等差數(shù)列,S“是其前項和.假設?生+4=13,S9=18,那么q的通項公式4=4、2021屆山東師范大學附中高三月考設等差數(shù)列前項和為S,滿足1=451,%=17.1求數(shù)列.“的通項公式；2設數(shù)列a滿足

9、9;+二+勾=1一3,求數(shù)列"的通項公式aia2an,5、2021屆山東省棗莊、滕州市高三上期末等比數(shù)列q滿足a1,生,%-%成等差數(shù)列,且&為=%；等差數(shù)列也的前項和S=包詈%.求：凡也;2數(shù)列也也,的前項和乙.6、2021屆浙江省溫州市高三4月二模等差數(shù)列%,和等比數(shù)列也滿足:?="=l,b"£N*,a1+a4+a9=3b3,3a%="-30.求數(shù)列為和也的通項公式;/求數(shù)列卜的前項和S.Uq+J7.2021屆江蘇省海安中學、金陵中學、新海高級中學高三12月聯(lián)考數(shù)列?滿足：%=生=%=攵常數(shù)k>0,見+1="之3,&

10、#163;N".數(shù)列0滿足：b“=一匕eN*.an-2a>i+l1求4,a的值；2求數(shù)列也的通項公式；3是否存在上使得數(shù)列%的每一項均為整數(shù)？假設存在,求出女的所有可能值；假設不存在,請說明理由.題型二、數(shù)列的求和1、北京市房山區(qū)2021-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題等差數(shù)列中,假設4+/%=6,S“為牝的前項和,那么$7=A.28B.21C.14D.72、北京市北京師范大學附屬實驗中學2021-2021學年上學期期中S是等差數(shù)列£N*的前項和,且S5>S6>S,以下有四個命題：數(shù)列an中的最大項為510數(shù)列q的公差dv0®Sn<0其

11、中正確的序號是A.®B.®C.D.3、北京市西城區(qū)第八中學2021-2021學年上學期期中設等差數(shù)列%的前n項和為$,假設SmT二-2,Sm=0,S/m+1=3那么7=A.3B.4C.5D.64、2021屆山東省濟寧市高三上期末設等比數(shù)列4的公比為名其前項和為S,前n項積為7；,并滿足Q1條件?>1,.?必0,0>1,3<0,以下結論正確的選項是2021-1A.S：2021Vs2021B.2021.20211<0C.八020是數(shù)列1中的最大值D.數(shù)列1無最大值5、2021屆山東省九校高三上學期聯(lián)考數(shù)列4中,其前項和S滿足S；_atSn4-an0>

12、;2,那么a2=：S.=-6、2021屆江蘇省海安中學、金陵中學、新海高級中學高三12月聯(lián)考設S“為數(shù)列q的前項和,假設S“=nutl31gN*,且%=11,那么S的值為.7、2021屆浙江省嘉興市3月模擬等比數(shù)列“的相鄰兩項是方程$-2"x+c'=0£N*的兩個實根,記是數(shù)列£,的前項和,那么雹=.8、2021屆山東省濰坊市高三上期末各項均不相等的等差數(shù)列%的前4項和為10,且可,生,見是等比數(shù)列也的前3項.I求凡也;(2)設c"="+,求%的前項和s.9、(2021屆山東省泰安市高三上期末)己知等差數(shù)列“的前項和為S,生+%=12,

13、S4=16.(1)求凡的通項公式；(2)數(shù)列也滿足"=方匕,為數(shù)列也的前項和,是否存在正整數(shù)如k(l<m<k),使得襄=37；：?假設存在,求出孫女的值；假設不存在,請說明理由.10、(2021屆山東省煙臺市高三上期末)數(shù)列?,的前項和S“滿足2s+且?=2.(1)求數(shù)列q的通項公式；(2)設或=(.一1)2"",求數(shù)列0的前項和T.11、(2021屆山東省九校高三上學期聯(lián)考)數(shù)列%+"是等比數(shù)列,4=1且,4+2,%成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列q的通項公式；(2)設勿二叫"",求數(shù)列也的前項和S“.12、(2021屆山東省棗

14、莊市高三上學期統(tǒng)考)設等差數(shù)列%的前項和為S,且S4=4S%=%+1(£N)(I)求數(shù)列的通項公式；(II)設籃=9/,求數(shù)列或的前次項和卻2環(huán)713、(2021浙江高三)等比數(shù)列©(其中£尸),前項和記為S,滿足：S3=,log2*=-l+logza,16(1)求數(shù)列飆的通項公式；(2)求數(shù)列dogMj(WN*)的前項和.14、江蘇省如皋市2021-2021學年度高三年級第一學期教學質(zhì)量調(diào)研三在公差不為零的等差數(shù)列?,中,=1,a2,a4,%成等比數(shù)列.1求數(shù)列q的通項公式；2設勿=.-2,S“=b+瓦+,+",求S.解析附后考點19數(shù)列通項與求和與通

15、項i.掌握數(shù)列通項的幾種常用方法:歸納法、累加法、累積法、轉(zhuǎn)化法等方法來求數(shù)列的通項公式.2.掌握數(shù)列求和的幾種常用方法:公式法、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法,能熟練地應用這些方法來求數(shù)列的和.三年高考情況分析)數(shù)列的求和是高考重點考查的內(nèi)容之一,考查的形式往往是表達在綜合題型中,作為考查的內(nèi)容之一.近幾年主要考察了運用錯位相減法求數(shù)列的和.數(shù)列的通項公式是數(shù)列的本質(zhì)屬性之一,它是研究數(shù)列的相關性質(zhì)的一個重要支撐點,因此,學習數(shù)列首要的就是要能根據(jù)不同的條件求數(shù)列的通項公式;數(shù)列的前n項和既是數(shù)列的根本問題之一,同時,也與數(shù)列的通項存在著必然的聯(lián)系,也是學習數(shù)列時,必須要掌握

16、的重要知識點.關于數(shù)列的通項公式,學習中要緊緊圍繞著求通項的方法進行,求數(shù)列的通項,大致可有以下四類：1 .應用不完全歸納法,即根據(jù)數(shù)列的前幾項來尋找規(guī)律,歸納通項或其中某項；2 .應用Sn與an的關系,求解通項；3 .應用“累加法“累積法等課本上常見方法求解通項；4 .構造新數(shù)列,即把其他數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來加以解決,此種方法在很多考題中都有所表達關于數(shù)列的前n項和的求解,要緊緊抓住通項,分析其特征,由此來選擇適當?shù)那蠛头椒?把問題轉(zhuǎn)化成最根本的數(shù)列求和.常考的求和方法有:等差數(shù)列和等比數(shù)列的公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等1、【2021年北京卷】在等差數(shù)列4中,&

17、=-9,%=1記I=?華(=12),那么數(shù)列優(yōu)().A.有最大項,有最小項B.有最大項,無最小項C.無最大項,有最小項D.無最大項,無最小項【答案】B【解析】由題意可知,等差數(shù)列的公差"=冬二3=?=2,5-15-1那么其通項公式為：凡=?+(1).=一9+(-1)乂2=2-11,注意到q%見.4牝0.6=1%,且由q0知7；0(,之6,iwN),T由h=?1(,之7/wN)可知數(shù)列4不存在最小項,由于q=-9,a2=-7,a3=-59a4=-3,a5=-l,a6=1,故數(shù)列1中的正項只有有限項：7；=63,1=63x15=945.故數(shù)列4中存在最大項,且最大項為4.應選：B.2、【

18、2021年全國2卷】數(shù)列中,?=2,am+n=a,“.,假設以+1+ak+2hf4+1.=2、-2-(1-2*6)S6=-'=-63,故答案是63.,那么左=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】在等式中,令加=1,可得a*=?臼=2%,.等=2,所以,數(shù)列q是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列,那么%=2x2"t=2",4+喂+-+限=邛3=斗3=2"0.-1)=2,僅.-1),.-.2*+1=25,那么+1=5,解得無=4.應選：c.3、【2021年山東卷】將數(shù)列2-1與3-2的公共項從小到大排列得到數(shù)列斯,那么4“的前項和為【答案】3/r-2n

19、【解析】由于數(shù)列2-1是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列3,2是以1首項,以3為公差的等差數(shù)列,所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列4是以1為首項,以6為公差的等差數(shù)列,所以4的前項和為小1+假設2-6=32-2,故答案為：3/-2.4、【2021年高考全國I卷理數(shù)】記S“為等比數(shù)列詼的前項和.假設.：=/,那么$5=.小小、121【答案】3【解析】設等比數(shù)列的公比為9,由所以(343=；夕5,又qwO,所以4=3,所以Q3(1_35)_121.D=1-q1-33【名師點睛】準確計算,是解答此類問題的根本要求.此題由于涉及鬲的乘方運算、繁分式的計算,局部考生易出現(xiàn)運算錯誤.5、【2021

20、年高考全國111卷理數(shù)】記*為等差數(shù)列如的前項和,4±0,生=3?,那么?=.【答案】4【解析】設等差數(shù)列色的公差為410x910q+所以學=因2=3q,所以q+d=3q,即2?=d,7、【2021年高考江蘇卷】集合4=引1=26=x|x=2",eN*.將AU8的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列“.記S“為數(shù)列/的前項和,那么使得S.>12.出成立的的最小值為.【答案】27【解析】所有的正奇數(shù)和2"(£N")根據(jù)從小到大的順序排列構成%,在數(shù)列|q中,25前面有16個正奇數(shù),即.21=2.38=2,.當=1時,S=1<122=2

21、4,不符合題意；當n=2時,52=3<12«3=36,不符合題意；當=3時,&=6<12%=48,不符合題意；當=4時,54=10<125=60,不符合題意；當n=26時,21x(1+41)+2x0-2)=441+62=503cM=516,不符合題意；當=27時,"21-2=22x11+43)+2x(12)=484+62=546>12=540,符合題意.故使得S>12an+l成立的的21-2最小值為27.8、【2021年全國1卷】.設/是公比不為1的等比數(shù)列,為為生,%的等差中項.(1)求/的公比；(2)假設?=1,求數(shù)列的前項和.【答

22、案】(1)-2：(2)$=1一.+3")(2)9【解析】(1)設為的公比為9,%為生,為的等差中項,2%=%+%,%*0,/.q2+q-2=0,/gW1,q=-2；(2)設/前項和為S.,4=1,%=(一2)1,S“=1x1+2x(-2)+3x(-2)z+(-2尸,-2Sw=1x(-2)+2x(-2)2+3x(-2)3+(-1)(一2嚴+(一2)",-得,3s.=1+(-2)+(一2>+(2)t一(一2)"=1一(一2廠(_2)“J一(1+3)(-2)“1-(-2)3,<_1一(1+3)(一2)n99>2021年全國3卷】設數(shù)列«：滿足

23、ai=3,an+l=3a-4n.(1)計算G,6,猜測斯的通項公式并加以證實；(2)求數(shù)列2"的前項和工.【答案】(1)生=5,%=7,%=2+1,證實見解析；5=(2»-1)-2,+1+2.【解析】(1)由題意可得%=3可-4=9-4=5,/=33-8=15-8=7,由數(shù)列q的前三項可猜測數(shù)列?,是以3為首項,2為公差的等差數(shù)列,即為=2+1,證實如下：當=1時,?=3成立；假設=女時,%=2k+l成立.那么=%+1時,4+=34-4%=3(2%+1)-4%=2女+3=2(4+1)+1也成立.那么對任意的“wN*,都有凡=2+1成立；(2)由(1)可知,an2n=(2n+

24、l)-2nSn=3x24-5x22+7x23+-+(2n-l)-2fl-I+(2n+l)-2n,2Sn=3x22+5x23+7x24+.+(2H-l)-2n+(2n+l)-2n+1,由一得：-5“=6+2*(2、23+2")(2+1>2行=6+2x2X°2)-(2/?+i).2h+1=(1-2).2,+1-2,1-2即5.=(2-1)-2%2.10、【2021年天津卷】?,為等差數(shù)列,低為等比數(shù)列,?=4=1,%=5(4-.3),4=4(%-4).求4和也的通項公式;(II)記仇的前項和為S,求證：SnS+2vS；+/iwN*卜(III)對任意的正整數(shù),設C.二X2為

25、奇數(shù),?4+2求數(shù)列匕,的前2項和.2,為偶數(shù).IA+1【答案】I%=,bn=2"-1；II證實見解析；III4"6,+54【解析】【設等差數(shù)列q的公差為d,等比數(shù)列也的公比為?由可=1,%=5(%),可得d=L從而q的通項公式為對=.由a=1,4=4包一",又g和,可得q2-4q+4=0,解得q=2,從而也的通項公式為4=2T.1【證實：由【可得=.；1故S£+?=,(+1)(+2)5+3),S：H=:(+1)2(+2,從而SS"+>S：+i=一;(+1)(+2)<0.所以ss.+2<s："HI當奇數(shù)時,%=(3%

26、-2也_(3-2)212n+12"-1ana/l+2n(n+2)+2n當"為偶數(shù)時,=瞥n-12對任意的正整數(shù),有=£k=lk=L22A22k2、12k+12k1,22n2/7+i-1G"2k-l135和畢=二.丁不+b2,-32n-li4"-i4111135由得=不+不+不+2n-32n-l144"+i12/-144,+1-3g1222/7-l由得z=不+不+/一尸小工4由于一12n-l22112n-l156n+5I44/,+1xx-=334"44"4123x4"+】,G56+5從而得：X=9-7因此,

27、£,=5?%_+£,2上=/r=l46+542n+l9x49所以,數(shù)列%的前2項和為/L2+16n+549x4-511、【2021年山東卷】公比大于1的等比數(shù)列4滿足/+?=20嗎=8.1求/的通項公式；2記J為4在區(qū)間0,阿eN*中的項的個數(shù),求數(shù)列£的前100項和5100.aYq+a4=20aq1-8【答案】1.“=2"：,0G=480.【解析】1由于數(shù)列?,是公比大于1的等比數(shù)列,設首項為名,公比為夕,依題意有解得解得q=2國=2,或q=32,g=g舍,所以勺=2",所以數(shù)列4的通項公式為%=2.2由于21=2,2?=4,23=8,2,=

28、16,25=32,2,=64,2,=128,所以4對應的區(qū)間為：0,1,那么4=0：區(qū)也對應的區(qū)間分別為：0,2,0,3,那么"="=1,即有2個1：我也也也對應的區(qū)間分別為:0,4,0,5,0,6,0,7,那么=4="=4=2,即有r個2：以也,也對應的區(qū)間分別為：0,8,0,9.,0,15,那么%=玄=45=3,即有2、個3；九也,也1對應的區(qū)間分別為:0,16,0,17,0,31,那么/=%=&=4,即有24個4：心也3,也3對應的區(qū)間分別為：0,32,0,33,0,63,那么%=七=九=5,即有2,個5；心也5,%對應的區(qū)間分別為：0,64,0,6

29、5,0,100,那么a4=b65=3=boo=6,即有37個6.所以5=1x2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=480.12、【2021年高考全國n卷理數(shù)】數(shù)列斯和兒滿足©=1,b0,4.“+=3.“4+4,地+】=3bn-a“-4.1證實：飆+瓦是等比數(shù)列,.廣瓦是等差數(shù)列；2求斯和4的通項公式.【答案】1見解析：2a=4-n,bn-.2222【解析】1由題設得4.小+=2.+",即可+1+或+】=；4+或.又由于m+,=l,所以“+4是首項為1,公比為g的等比數(shù)列.由題設得4/+】-%+J=4.一.+8,即-bll+l=%4+2.又由于內(nèi)-4=1,所以

30、?,4是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.<2由知,.+以二尸,凡一a=2"L所以q=；+4+q或=白+g,b.,=；%+£_“_"=/一+；13、【2021年高考天津卷理數(shù)】設4是等差數(shù)列,或是等比數(shù)列.4=4,4=6,b,=2a,-2,=2a$+4.I求4和也的通項公式;II設數(shù)列,滿足q=Lq=<1,2A<<2人",其中AeN*.4,=2,i求數(shù)列%/c邛一1的通項公式;(ii)求(£N*)./=1【答案】an=3n+l；"=3x2"(2)(i)*Ql)=9x41(ii)邛6q=6+2d,6寸=12

31、+4",立£(77gN*)=27X22,-1+5X2n-1-n-12(hgN*)1=1【解析】l設等差數(shù)列?,的公差為d,等比數(shù)列也的公比為g.依題意得d=3'故a=4+(/?-l)x3=3+1,或=6x2"t=3x2.q=2,所以,4的通項公式為a“=3+L我的通項公式為"=3x2".(2)旬&-1)=%(瓦-1)=(3x2"+D(3x2-1)=9x4"L所以,數(shù)列4.(c2-1)|的通項公式為外“(c2-l)=9x4n-l.2"2"2nn<皿?(q-1)=WX+ZX,(&

32、Ti=lZ=1j=1Z=1=2"x4+;%3+£(9x4,-1)Zz=i=(3x22n-1+5x2,-1)+9x4(14)n1-4=27x22/,-1+5x2n-1-7?-12(“eN).14、【2021年高考浙江卷】設等差數(shù)列q的前項和為S“,%=4,a4=S5,數(shù)列"滿足：對每個£N",S“+bn,S什1+bn,Sn+2+b.成等比數(shù)列.1求數(shù)列“,4的通項公式;證實：q+c2+-+ctl<2yfn,neN*.【答案】(1)a=2(n-l),瓦=(+1)；證實見解析.【解析】(1)設數(shù)列/的公差為d,由題意得4+2d=4,?+3d=3

33、?+3d,解得=0,d=2.從而a“=2n-2,neN".所以5=J/一,£N*,由Sn+bn,S“+bn,S“+2+bn成等比數(shù)列得解得或=,(s；+-s“s).所以或=2N*.q=我們用數(shù)學歸納法證實.(i)當=1時,Ci=0<2,不等式成立；(ii)假設=%(%£N")時不等式成立,即q+G+Q<2jT.那么,當=1+1時,G+&+-2«+而鼠2；<2內(nèi)卮<2k+I=2yk+2(Jj+1->k)=lyjk+l.y/k+l+y/k即當"二女+1時不等式也成立.根據(jù)(i)和(11),不等式G+C

34、2+c“<2而對任意eN*成立.15、【2021年高考全國HI卷理數(shù)】等比數(shù)列/中,勾=1,牝=4%.(1)求&的通項公式；記S"為"的前項和.假設鼠=63,求也.答案】(案.“=(一2)1或可=2"t；(2)m=6.【解析】(析設4的公比為q,由題設得.=q"T.由得/=4爐,解得夕=0(舍去),q=2或夕=2.故?,=(2嚴或.“=2"t.(2)假設為=(2嚴,那么S,=由5m=63得(-2)=-188,此方程沒有正整數(shù)解.假設“=2"t,那么5“=2"-1.由5,=63得2"'=64,解

35、得陽=6.綜上,m=6.【名師點睛】此題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前項和公式,屬于根底題.16、【2021年高考浙江卷】等比數(shù)列飆的公比4>1,且.3+內(nèi)+死=28,5+2是的的等差中項.數(shù)歹lj兒滿足8=1,數(shù)列(bn+lF)的前項和為2?+.(1)求q的值；(2)求數(shù)列出“的通項公式.【答案】4=2；(2)=15(4+3)g)-2.【解析】此題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等根底知識,同時考查運算求解水平和綜合應用水平.(1)由.4+2是.3,%的等差中項得/+.5=2.4+4,所以.3+6+.5=3(+4=28,解得=8.由.3+.5=20得8(夕+,)=20,q由于夕&g

36、t;1,所以4=2.(2)設%=("+-,數(shù)列qj前項和為S.由5S/=l,S一ST,之2.由(1)可知見=2"：所以加一瓦=(4-1),嚴,故=(4-5).($)"N2,=依-%)+(%-*)+(&-幻+(4-a)=(4-5)(；)"7+(49)(；)"7+7g+3.設7>3+7.；+11夕+(4-5).(1-2,之2,1,=3.；+7.(夕+-+(4n-9)(1r2+(4-5).(；尸所以;7；=3+4；+4-弓)2+4(37-(4-5>弓)1,因此7；=14(4+3)弓廠25>2,又4=1,所以"=15

37、-(4+3)(?"7.題型一、數(shù)列的通項1、2021屆山東省德州市高三上期末對于數(shù)列4,規(guī)定Mj為數(shù)列4的一階差分數(shù)列,其中q,=a+4eN*,對自然數(shù)&4之2,規(guī)定%“為數(shù)列依的k階差分數(shù)列,其中%=-"&.假設q=1,且為“一?出+a“=一2"£N",那么數(shù)列a的通項公式為A.an=n2x2n'1B.=x2tC.an=+lx2'l2d.an=21x2nl【答案】B【解析】根據(jù)題中定義可得&-Mm+.“=(M"+.“=-2"gNj,即可一3=%-(H)=24-.=-2,即%=2an+

38、2n,等式兩邊同時除以2叫得爵喙+卜,蔚-/吟二(所以,數(shù)列是以5為首項,以之為公差的等差數(shù)列,.N=!+!(i)=g,2J222"222因此,見=小2叫應選：B.2、(2021浙江學軍中學高三3月月考)函數(shù)/(1)=/一工一1,數(shù)列的前項和為s“,且滿足4=；,.“+1=/伍“),那么以下有關數(shù)列的表達正確的選項是()A.5<|4生-3.|B.a7<a3c.alQ>1D.5100>26【答案】A【解析】由e'Nx+1知,an+l=f(an)=-an-l>Q,故%為非負數(shù)列,又見+】=/(%),即/+i=e'-4一1,所以小7-an=e&

39、quot;"-2a-1,設g(x)=e*-2x-1,那么g'(x)=e*-2,易知g(x)在0,ln2)單調(diào)遞減,且gvl21n2«g(x)<0,又0cq=gvln2,所以,0«生<?=g,從而一3<凡乜一凡<0,所以凡為遞減數(shù)列,且Owl“：,故B、C錯誤；又見二一；一1二於一!信故當>2時,有凡<；,所以500=<00q+?=?,故D錯誤；又見而3114.？3./=|1之5,故A正確.應選：A.3、(2021屆江蘇省南通市如皋中學高三下學期3月線上模擬)數(shù)列a.(wN*)是等差數(shù)列,S“是其前n項和.假設+%=

40、13,$9=18,那么.“的通項公式a=【答案】-n+1a.(a,+4d)+a.+5d=13a.=6【解析】設數(shù)列公差為d,由得-J,c,解得,9q+36d=18a=-l*ctn=6(ji-1)=7-ti.故答案為：一+7.4、2021屆山東師范大學附中高三月考設等差數(shù)列前項和為S“,滿足1=4§2,%=17.1求數(shù)列4的通項公式;,b.b,b,1,2m-12設數(shù)列a滿足在+廣+肅=1-m,求數(shù)列出的通項公式【答案】(1)an=2n-l.(2)bn=【解析】1設等差數(shù)列4首項為©,公差為d.4a.+6d=Sa.+4d由得T-+8d二17'叫于是%=1+2(-1)=2

41、-1.111當1時,-廣旌當"N2時,3=Q一£一.一擊=卷當n=l時上式也成'Z.于吟十故""=ra,x2/?-125、2021屆山東省棗莊、滕州市高三上期末等比數(shù)列q滿足a1,生,%-%成等差數(shù)列,且&為=%；等差數(shù)列也的前項和s=+l：og?.求:(2)數(shù)列?白的前項和7；.【答案】(1)an=T,b,t=n(2)7；,=(n-1)-2,+1+2【解析】(1)設q的公比為g.由于4,生,心一可成等差數(shù)列,所以2/=%+(生一q),即2a2=%.由于a,wO,所以q=%=2.-a2由于?生=.4,所以可=幺=夕=2.因此%=401=2

42、.由題意,=(+1).可=如也.22所以4=S=1,4+4=S=3,從而b2=2.所以或的公差d=a_a=2-1=1.所以或=4+(-1)"=1+(-1)1=".(2)令%=.也,那么c"=2".因此7L=Ci+G+q=lx»+2x22+3x23+(-1>2t+小2.又27；=1x22+2x23+3x24+(-1)2"+2"+i兩式相減得一1=2+2?+23+2二小=工2-小2m1-2=2n+1-2-n-2n+1=(l-n)-2,+1-2.所以雹=(_1)-2血+2.6、2021屆浙江省溫州市高三4月二模等差數(shù)列網(wǎng),和

43、等比數(shù)列2滿足:%=4=1也gN*,%+q+%=3&,3縱=b5-30./求數(shù)列q和也的通項公式;0求數(shù)列?:的前項和S.Uq+J【答案】/.“=21,£=3"t：乙I乙,IJLI【解析】(/)?=4=lg+4+%=34,3詢=4-30,故.3+12d=3q231+5-1=/-30d=2解得.,故.=21,b“=L14=3n2n2n2111()=：=,a,r«r+i(2/7-1)(2/7+1)4/72-144(2-1>(2+1)11(11、-a1(,1、48(2-12n+lJ4812n+lJn2+n2(277+1)7、2021屆江蘇省海安中學、金陵中

44、學、新海高級中學高三12月聯(lián)考己知數(shù)列qj滿足：?=%=%=k常數(shù)人0,.用k+4%w>3>eN").數(shù)列或滿足：=(ngN*).a>i+i1求4,a的值;求數(shù)列也的通項公式;(3)是否存在k,使得數(shù)列4的每一項均為整數(shù)？假設存在,求出女的所有可能值；假設不存在,請說明理2為奇數(shù)空二為偶數(shù)："'2由.+1【答案】(1)=2,/?,=：(2)"=<k【解析】(1)由己知得,%=女+1,.a.+a,c.ay+a,k+k+12k+1所以4=-=2,b2=-=a2a3kk(2)由條件可知:an+lan_2=k+anan_l(n>3),

45、所以見«/-1=%+4+M(,之2).一得%+M,t-4心可_|=一/+M即：凡+M-2+4+4=4%+“可一+七%2k+1故b“=b“_2(/?>3),又由于a=2,b2-,2為奇數(shù)所以"=回,為偶數(shù)3假設存在上使得數(shù)列“的每一項均為整數(shù),那么為正整數(shù).%+1=2/“一生,1由(2)知42k+l(=1,2,3)%"?"+1-ain2由q=kwZ,a6=k+4+-eZf所以女二1或2,k檢驗：當k=l時,=3為整數(shù),k利用可,a2,%£Z結合,4各項均為整數(shù)；%+1=2%一%1當k=2時變成(5(=1,2,3.)2“+2=a2n+l-ai

46、n消去.2+i,2n-l得：a2n+2=3°2n一°2n-2(之2)由"a4eZ,所以偶數(shù)項均為整數(shù),而小+2=.2"+.2,所以生“+1為偶數(shù),敵%=k=2,故數(shù)列“是整數(shù)列綜上所述,上的取值集合是1,2.題型二、數(shù)列的求和1、北京市房山區(qū)2021-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題等差數(shù)列"中,假設可+/+%=6,S“為的前項和,那么§7=A.28B.21C.14D.7【答案】C【解析】等差數(shù)列凡中,假設q+/+%=6,那么34=6,.二.4=2那么S?=7%=14應選：C2、北京市北京師范大學附屬實驗中學2021-2021學年上

47、學期期中S是等差數(shù)列£N*的前項和,且S5>S6>S,以下有四個命題：數(shù)列an中的最大項為510數(shù)列q的公差dv0,0>0®Sn<0其中正確的序號是A.®B.®C.D.【答案】B【解析】*.*S5>S6>SA,：.a60,6+7.,工七.,d<0,數(shù)列%中的最大項為S5,10可+須llq+qj=01025o/1120正確的序號是應選B3、北京市西城區(qū)第八中學2021-2021學年上學期期中設等差數(shù)列的前n項和為$,假設SmT二-2,Sm=0,S/m+1=3那么7=A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】%是等差

48、數(shù)列ma.+,s=_5_i_r2=>q=-am=一0-S“t=-2又am+l=Sm+Sm=3,公差d=q“+_4n=l,3=牝,+1=?+機=-2+？nm=5,應選c4、2021屆山東省濟寧市高三上期末設等比數(shù)列4的公比為名其前項和為S,前n項積為7；,并滿足Q1條件?>1,.?必0,0>1,3<0,以下結論正確的選項是2021-1A.S：2021Vs2021B.2021.20211<0C.八020是數(shù)列1中的最大值D.數(shù)列1無最大值【答案】AB【解析】當4Vo時,/019aM0=,.19%<0,不成立；Q1當時,4m921,以.,.>1,皿,|<

49、;0不成立;故0<1,且見019<1,故S“20>Sm9,A正確；生019.2.21-1=.202-1<°,故B正確：4H9是數(shù)列1中的最大值,8錯誤；應選：AB5、(2021屆山東省九校高三上學期聯(lián)考)數(shù)列4中,q=g,其前項和S滿足S：-%S“+q,=0(N2),那么?=：S9=.【答案】一!熹62021【解析】(1)由題：S：-aS“+a“=0(之2),令=2,-a2S2+a2=0,(a2+i)2-a2(a2+)+a2=0,311得：一,十一=0,所以,=；2-46(2)由題S：-a£+a=0(N2),=S-Sff_1(n>2)s：-Si

50、)S+S“S,T=o(n>2),化簡得:S£t+S“一S,T=0(/?>2),14=0,=1,(>2)STSS“S“T,1、不是一個以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,=77+1,S=,S12021故答案為：(1).-(2).一620216、(2021屆江蘇省海安中學、金陵中學、新海高級中學高三12月聯(lián)考)設S“為數(shù)列q的前項和,假設S=3/?(7?1)(/?eN*)»且.2=11,那么S20的值為.【答案】1240【解析】當=2時,$2=.1+.2=2生-3x2(2-l),生=11,可得?=5,當之2時,由勺=Sn-Sn_,得an=43(一1)一-1)%-3

51、(一1)(2),工(1)“一(l)aT=6(-1),即4=6(N2,£N),數(shù)列為是首項=5,公差為6的等差數(shù)列,20x19/.S,.=20x5hx6=1240.-°2故答案為：1240.7、2021屆浙江省嘉興市3月模擬等比數(shù)列“的相鄰兩項是方程W-2"x+c'=0£N*的兩個實根,記是數(shù)列,的前項和,那么雹=.Q【答案】4n-l.【解析】由于凡,/+1是方程/一2"工+與=0£"*的兩個實根,那么由韋達定理得,=2,4,.+1=Cn,a+a2由于數(shù)列4是等比數(shù)列,那么數(shù)列4的公比4=r=2,又+%=%l+q=2,

52、所以an-l+an99首項?=；,故與=q.q"T=：2"T092所以舞=.9=丁2"-312=§4"-1Q故數(shù)列%是以§為首項,4為公比的等比數(shù)列,所以7=婦2=34-1-"1-427'78故答案為：18、2021屆山東省濰坊市高三上期末各項均不相等的等差數(shù)列%的前4項和為10,且可,生,見是等比數(shù)列或的前3項.1求.也；2設丁6+,求應,的前項和名.【答案】14=也=2"t.Sn=2n一一77+1【解析】設數(shù)列凡的公差為d,4x(41)由題意知：.+生+.3+.4=4.十-d=4a1+6d=10又由于q

53、,3,4成等比數(shù)列,所以+d)2=q.(q+3d),d-=atd,又由于drO,所以q=d.由得q=Ld=1,所以,a=1,b2=a2=2,q=/=2,bn=2t.(2)由于=2"-】+1心+1)=2n-1+f-所以S=2°+>+.+2"TJillI1+111112"1=+11-2n+1=2"-n+171+1所以數(shù)列q,的前“項和S=2一9、2021屆山東省泰安市高三上期末己知等差數(shù)列“的前項和為S,生+%=12,S4=16.1求凡的通項公式;2數(shù)列也滿足=蠟二J,1為數(shù)列也的前項和,是否存在正整數(shù)如k<m<kY使得7；=3.2?假設存在,求出機,左的值；假設不存在,請說明理由.【答案】1“=2LwN*2存在,m=2,k=12【解析】1設等差數(shù)列%的公差為d,2a.+5a=12c.,解得V2a,+3d=8m+%=12由3=16.,.a“=l