小學(xué)數(shù)學(xué)教師招聘考試專業(yè)知識(shí)

1、數(shù)學(xué)教師招聘考試 專業(yè)知識(shí)復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)要求（由于招考題目?jī)H為高考知識(shí)，所以本內(nèi)容以均為高考知識(shí)點(diǎn)）1、理解集合及表示法，掌握子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；2、掌握含絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，會(huì)熟練地轉(zhuǎn)化四種命題，掌握反證法；4、理解充分條件，必要條件及充要條件的意義，會(huì)判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；5、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、集合的概念：（ 1） 集合中元素特征，確定性，互異性，無(wú)序性；（ 2 ） 集合的分類： 按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無(wú)限集；按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集 y|y=x2，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)

2、集（x, y）|y=x2表示開口向上，以 y 軸為對(duì)稱軸的拋物線;（ 3） 集合的表示法：列舉法：用來(lái)表示有限集或具有顯著規(guī)律的無(wú)限集，如N+=0, 1, 2, 3,；描述法。2、兩類關(guān)系：（1）元素與集合的關(guān)系,用 或 表示；（2）集合與集合的關(guān)系，用，=表示，當(dāng) A B 時(shí)，稱 A 是 B 的子集；當(dāng) A B 時(shí)，稱 A 是 B 的真子集。3、集合運(yùn)算（1）交，并，補(bǔ)，定義： AnB=x|x A 且 x B, AUB=x|x A，或 x B , CuA= x|x U,且 x A，集合 U 表示全集；(2)運(yùn)算律，如 An(BUC) = (AnB)u(AnC), CU(AnB) =(CUA)

3、u(CUB),CU(AuB)=(CuA)n(CuB)等。4、命題：( 1 ) 命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題；(2)復(fù)合命題的形式：p 且 q, p 或 q,非 p；(3)復(fù)合命題的真假：對(duì) p 且 q 而言，當(dāng) q、p 為真時(shí)，其為真；當(dāng) p、q 中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì) p 或 q 而言，當(dāng) p、q 均為假 時(shí)，其為假；當(dāng) p、q 中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng) p 為真時(shí)，非 p 為假；當(dāng) p 為假時(shí)，非 p 為真。(3)四種命題：記“若 q 則 p”為原命題，則否命題為“若非 p 則非 q”，逆命題為“若 q 則 p “，逆否命題為”若非 q 則非 p “。其 中互為逆否的

4、兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。5、充分條件與必要條件(1)定義：對(duì)命題“若 p 則 q”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p 是 q 的充分條件，q 是 p 的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q 是 p 的充分條件，p 是 q 的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱p 是 q 的充要條件；(2) 在判斷充分條件及必要條件時(shí),首先要分清哪個(gè)命題是條件,哪個(gè)命題是結(jié)論,其次,結(jié)論要分四種情況說(shuō)明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p 的所有對(duì)象組成集合 A，滿足條件 q的所有對(duì)象組成集合 q，則當(dāng) A B 時(shí)，p 是 q 的

5、充分條件。B A 時(shí)，p 是 q 的充分條件。A=B 時(shí)，p 是 q 的充要條件；( 3) 當(dāng) p 和 q 互為充要時(shí),體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。6、反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法。會(huì)用反證法證明一些代數(shù)命題。7、集合概念及其基本理論是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一。學(xué)會(huì)用集合的思想處理數(shù)學(xué)問(wèn)題。三、典型例題例 1、已知集合 M=y|y=x2+1 , x R, N=y|y=x+1, x R，求 MnN。解題思路分析：在集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的特征。合，或者說(shuō)使集合的特征明朗化。M=y|y=x2+1 , x R=y|y 1, N=y|y=x+1 , x R=y|y R MnN=M=

6、y|y1說(shuō)明：實(shí)際上，從函數(shù)角度看，本題中的 M ,N 分別是二次函數(shù)和一次函數(shù)的值域。 一般地，集合y|y=f(x) , x A應(yīng)看成是函數(shù) y=f(x) 的值域，通過(guò)求函數(shù)值域化簡(jiǎn)集合。此集合與集合 (x, y) |y=x2+1 , x R是有本質(zhì)差異的，后者是點(diǎn)集，表示拋物線y=x2+1 上的所有點(diǎn)，屬于圖形范疇。集合中元素特征與代表元素的字母無(wú)關(guān)，例y|y 1=x|x 1。例 2、已知集合 A=x|x2-3X+2=0, B+x|x2-mx+2=0，且 AnB=B，求實(shí)數(shù) m 范圍。解題思路分析：化簡(jiǎn)條件得 A=1 , 2, AnB=B BA根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)集合 B 分類討論，B= ,

7、B=1或2 , B=1 , 2當(dāng) B= 時(shí)，二m2-8 2,求證 x、y 中至少有一個(gè)大于 1解題思路分析：假設(shè) x1 且 y1，由不等式同向相加的性質(zhì) x+y 2 矛盾 二假設(shè)不成立二 x、y 中至少有一個(gè)大于 1說(shuō)明；反證法的理論依據(jù)是：欲證“若 p 則 q”為真，先證“若 p 則非 q”為假，因在條件 p 下，q 與非 q 是對(duì)立事件（不能同時(shí)成立, 但必有一個(gè)成立），所以當(dāng)“若 p 則非 q”為假時(shí)，“若 p 則 q” 一定為真。例 4、若 A 是 B 的必要而不充分條件，C 是 B 的充要條件，D 是 C 的充分而不必要條件，判斷 D 是 A 的什么條件。解題思路分析：利用“ ”、“

8、”符號(hào)分析各命題之間的關(guān)系D C B A D A, D 是 A 的充分不必要條件說(shuō)明：符號(hào)“ ”、“ ”具有傳遞性，不過(guò)前者是單方向的，后者是雙方向的。例 5、求直線：ax-y+b=O 經(jīng)過(guò)兩直線1： 2x-2y-3=0 和2： 3x-5y+1=0 交點(diǎn)的充要條件。解題思路分析：從必要性著手，分充分性和必要性兩方面證明。2x 2y 3 0得3x 5y 10得過(guò)點(diǎn) P1711a4417a+4b=11充分性：設(shè) a, b 滿足 17a+4b=111117ab4代入方程：ax y丄竺04整理得：(y ) a(x ) 044而此點(diǎn)為1與2的交點(diǎn)充分性得證二綜上所述，命題為真說(shuō)明：關(guān)于充要條件的證明，一

9、般有兩種方式，一種是利用“”，雙向傳輸，同時(shí)證明充分性及必要性；另一種是分別證明必要性及充分性，從必要性著手，再檢驗(yàn)充分性。四、同步練習(xí)(一)選擇題1、設(shè) M=x|x2+x+2=0 , a=lg(lg10),則a與 M 的關(guān)系是A、a=MB、 M aC、 a MD、M a2、已知全集 U=R, A=x|x-a| 3, 且 AnB= ，貝臨的取值范圍是A、0, 2B、 (-2, 2)C、(0, 2D、(0, 2)3、已知集合 M=x|x=a2-3a+2,a R, N、x|x=b2-b, b R，則 M , N 的關(guān)系是A、M NB、M NC、M=ND、不確定4、設(shè)集合 A=x|x Z 且-10W

10、xw-1, B=x|x Z,且 |x| 5，貝UAUB 中的元素個(gè)數(shù)是此方程表明，直線恒過(guò)兩直線y1140，x14 0的交點(diǎn)(肚)9、方程 mx2+2x+仁 0 至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件是A、0mw1 或 m0C、m1D、mw110、 已知 p :方程 x2+ax+b=0 有且僅有整數(shù)解，q： a, b 是整數(shù)，則 p 是 q 的A、充分不必要條件B、必要不充分條件充要條件D、既不充分又不必要條件（二）填空題11、已知 M=m|七二Z, N=x| 亍N，貝yMnN=_。A、11B、10C、16D、155、集合 M=1 , 2, 3, 4, 5的子集是A、15B、16C、31D、326、 對(duì)于命

11、題“正方形的四個(gè)內(nèi)角相等”,下面判斷正確的是A、所給命題為假B、 它C、它的逆命題為真它的否命題為真7、是 COSa丸 OSB”充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件既不充分也不必要條件8 集合 A=x|x=3k-2 , k Z,B=y|y=3+1 , Z , S=y|y=6m+1 , m Z之間的關(guān)系是B、 S=B AC、S B=AD、 S B=AB、0mw112、在 100 個(gè)學(xué)生中，有乒乓球愛(ài)好者 60 人，排球愛(ài)好者 65 人，則兩者都愛(ài)好的人數(shù)最少是13、 關(guān)于 x 的方程|x|-|x-1|=a有解的充要條件是_。14、 命題“若 ab=0,則 a b 中至少有一個(gè)為零”的逆否

12、命題為 _ 。15、非空集合 p 滿足下列兩個(gè)條件：(1)p 1，2,3, 4, 5，(2)若元素 ap,則 6-ap，則集合 p 個(gè)數(shù)是_(三)解答題16、設(shè)集合 A=(x , y)|y=ax+1 , B=(x , y)|y=|x|，若 AnB 是單元素集合，求 a 取值范圍。17、已知拋物線 C: y=-x2+mx-1，點(diǎn) M (0, 3), N (3, 0),求拋物線 C 與線段 MN 有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件。18、設(shè) A=x|x2+px+q=0M,M=1, 3, 5, 7, 9, N=1 , 4 , 7 , 10，若 AnM= ,AnN=A，求 p、q 的值。19、已知a x2 1,

13、 b=2-X , c=x2-x+1 ,用反證法證明：a、b、c 中至少有一個(gè)不小于 1。函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求7、函數(shù)的定義及通性；2、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。人。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1 函數(shù)的概念：(1)映射： 設(shè)非空數(shù)集 A,B,若對(duì)集合 A 中任一元素 a,在集合 B 中有唯一元素 b 與之對(duì)應(yīng)，則稱從 A 到 B 的對(duì)應(yīng)為映射，記為 f: A - B, f 表示對(duì)應(yīng)法則，b=f(a)。若 A 中不同元素的象也不同，則稱映射為單射，若 B 中每一個(gè)元素都有原象與之對(duì)應(yīng)，則稱映射為滿射。既是單射又是滿射的映射稱為- 映射。(2)函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集 A, B 上的映射，此時(shí)稱數(shù)集 A 為定義域，象集

14、 C=f(x)|x A為值域。定義域，對(duì)應(yīng)法則， 值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素，從邏輯上講，定義域，對(duì)應(yīng)法則決定了值域，是兩個(gè)最基本的因素。逆過(guò)來(lái)，值域也會(huì)限制定義域。求函數(shù)定義域，通過(guò)解關(guān)于自變量的不等式(組)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。要熟記基本初等函數(shù)的定義域，通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的初等函數(shù)，其定義 域是每個(gè)初等函數(shù)定義域的交集。復(fù)合函數(shù)定義域，不僅要考慮內(nèi)函數(shù)的定義域，還要考慮到外函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的要求。理解函數(shù)定義域， 應(yīng)緊密聯(lián)系對(duì)應(yīng)法則。函數(shù)定義域是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。函數(shù)對(duì)應(yīng)法則通常表現(xiàn)為表格，解析式和圖象。其中解析式是最常見(jiàn)的表現(xiàn)形式。求已知類型函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，抽象 函數(shù)的解析式常用換元法

15、及湊合法。求函數(shù)值域是函數(shù)中常見(jiàn)問(wèn)題，在初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，直接法的途徑有單調(diào)性，基本不等式及幾何意義，間接法的途徑為函數(shù)與方程的思想，表現(xiàn)為法，反函數(shù)法等，在高等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，用導(dǎo)數(shù)法求某些函數(shù)最值(極值)更加方便。在中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分都存在著求取值范圍這一典型問(wèn)題，它的一種典型處理方法就是建立函數(shù)解析式，借助于求函數(shù)值域的方法。2、函數(shù)的通性(1)奇偶性：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是判斷函數(shù)奇偶性的必要條件，在利用定義判斷時(shí)，應(yīng)在化簡(jiǎn)解析式后進(jìn)行，同時(shí)靈活運(yùn)用定義域的變形，如f( x) f (x) 0,1(f(x)工 0)。f(x)奇偶性的幾何意義是兩種特殊的圖象對(duì)稱。函數(shù)的奇偶性是定義域上的普遍性

16、質(zhì)，定義式是定義域上的恒等式。禾 U 用奇偶性的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化判斷奇偶性的步驟。(2) 單調(diào)性：研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集。判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：定義法，即比差法；圖象法；單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì))；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則。函數(shù)單調(diào)性是單調(diào)區(qū)間上普遍成立的性質(zhì)，是單調(diào)區(qū)間上恒成立的不等式。 函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面，如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等。( 3)周期性：周期性主要運(yùn)用在三角函數(shù)及抽象函數(shù)中，是化歸思想的重要手段。求周期的重要方法：定義法；公式法；圖象法；利用重要結(jié)論：若函數(shù) f(x)滿足 f(a-

17、x)=f(a+x), f(b-x)=f(b+x) , aMb，則 T=2|a-b| .(4)反函數(shù)：函數(shù)是否是有反函數(shù)是函數(shù)概念的重要運(yùn)用之一，在求反函數(shù)之前首先要判斷函數(shù)是否具備反函數(shù)，函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x)的性質(zhì)與 f(x)性質(zhì)緊密相連，如定義域、值域互換，具有相同的單調(diào)性等，把反函數(shù)f-1(x)的問(wèn)題化歸為函數(shù) f(x)的問(wèn)題是處理反函數(shù)問(wèn)題的重要思想。設(shè)函數(shù) f(x)定義域?yàn)?A，值域?yàn)?C,則f-1f(x)=x , x Aff-1(x)=x, x C8、函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象既是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要方面，又能直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，在解題過(guò)程中，充分發(fā)揮圖象的工具作用。圖象作法：

18、描點(diǎn)法；圖象變換。應(yīng)掌握常見(jiàn)的圖象變換。4、本單常見(jiàn)的初等函數(shù)；一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)。在具體的對(duì)應(yīng)法則下理解函數(shù)的通性，掌握這 些具體對(duì)應(yīng)法則的性質(zhì)。分段函數(shù)是重要的函數(shù)模型。對(duì)于抽象函數(shù)，通常是抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式，利用賦值法(變量代換法)解題。聯(lián)系到具體的函數(shù)模型可以簡(jiǎn)便地找到解 題思路，及解題突破口應(yīng)用題是函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用的重要題型。審清題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，把握好模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。5、主要思想方法：數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)方程，化歸等。三、典型例題例 1、已知f(x)I，函數(shù) y=g(x)圖象與 y=f-1(x+1)的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱，求

19、g(11 的值。x 1分析：利用數(shù)形對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可知y=g(x)是 y=f-1(x+1)的反函數(shù)，從而化 g(x)問(wèn)題為已知 f(x)。Ty=f-1(x+1)二 x+1=f(y)二 x=f(y)-1二 y=f-1(x+1)的反函數(shù)為 y=f(x)-1即 g(x)=f(x)-1 g(11)=f(11)-仁3評(píng)注：函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，當(dāng)f(x)存在反函數(shù)時(shí)，若 b=f(a)，則 a=f-1(b)。例 2、設(shè) f(x)是定義在(-X,+X)上的函數(shù)，對(duì)一切 x R 均有 f(x)+f(x+2)=0，當(dāng)-1x 1 時(shí)，f(x)=2x-1，求當(dāng) 1x 3 時(shí)，函數(shù) f(x) 的解析式。

20、解題思路分析：利用化歸思想解題/ f(x)+f(x+2)=0二 f(x)=-f(x+2)/該式對(duì)一切 x R 成立二 以 x-2 代 x 得：f(x-2)=-f(x-2)+2二 f(x)當(dāng) 1xw3 時(shí)，-1x-2w1二 f(x-2)=2(x-2)- 1=2x-5二 f(x)=-f(x-2)=-2x+5二 f(x)=-2x+5 (12, bw-4 時(shí)，f(x)在-1, 2上為減函數(shù)-(f(x)minf(2) 2b 7二 2b+7=1bj4b 2.2(舍負(fù))(3)當(dāng)w-1, b 2 時(shí)，f(x)在-1, 2上為增函數(shù)(f(X)min=f(1)=4-b 4-b=1二 b=3/. f (x) x22

21、x 3，或f (x) x33x 3評(píng)注：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通常對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，是求值域的基本題型之一。在已知最值結(jié)果的條件下, 仍需討論何時(shí)取得最小值。例 4、定義在 R 上的函數(shù) y=f(x), f(0)工 0,當(dāng) x0 時(shí)，f(x)1，且對(duì)任意的 a、b R,有 f(a+b)=f(a)f(b),(1)求證：f(0)=1 ；(2)求證：對(duì)任意的 x R,恒有 f(x)0 ;(3)證明：f(x)是 R 上的增函數(shù)；(4)若 f(x) f(2x-x2)1，求 x 的取值范圍。7777(-1, 2), -4b0對(duì)任意 x R, f(x)0(3)任取 x2x1，貝 y f(x

22、2)0 , f(x1)0 , x2-xr0.f (X2)f (x2) f ( x1) f (x2x1) 1 f(X1).f(X2)f(Xj f(x)在 R 上是增函數(shù)(4)f(x) f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-X2+3X)又 1=f(0)，f(x)在 R 上遞增二 由 f(3x-x2)f(0)得：3x-x20f( x)1f(x)由已知 x0 時(shí)，f(x)10當(dāng) x0, f(-x)0f(x)1f( x)0 xbcB、 acbc、 bcaD、 cba2、方程loga(x 2)x(a0 且 az1)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是A、0B、1c、2D、33、y(1)|1x|的單調(diào)減區(qū)間是3A、(-

23、汽 1)B、(1,+x)c、(4,-1)U(1,+x)D、(-x,+x)9、函數(shù)y log1(x224x 12)的值域?yàn)锳、(-, 3B、(- , -3C、(-3,+x)D、(3,+x)1證明：對(duì)任意實(shí)數(shù) a, f(x)在(-o,+)上是增函數(shù)；10、函數(shù) y=log2|ax-1| (a b)的圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，貝 U a 等于A、12B、12C、2D、-26、有長(zhǎng)度為 24 的材料用一矩形場(chǎng)地，中間加兩隔墻，要使矩形的面積最大，貝 V 隔壁的長(zhǎng)度為(二)填空題7、已知定義在 R 的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+2)=-f(x)，且當(dāng) OWxw1 時(shí)，f(x)=x，則 謁)=_8 已知

24、 y=loga(2-x)是 x 的增函數(shù)，貝Ua 的取值范圍是 _ 。9、函數(shù) f(x)定義域?yàn)?, 3,貝 U f(x2+1)的定義域是 _。10、 函數(shù) f(x)=x2-bx+c 滿足 f(1+x)=f(1-x)，且 f(0)=3，貝 U f(bx)與 f(cx)的大小關(guān)系是 _。11、 已知 f(x)=log3x+3, x 1, 9,貝 U y=f(x)2+f(x2)的最大值是_。12、 已知 A=y|y=x2-4x+6, y N , B=y|y=-x2-2x+18, y N，則 AQB 中所有元素的和是 _ 。13、 若0(x), g(x)都是奇函數(shù)，f(x)=m x)+ng(x)+2

25、 在(0, +上有最大值，則 f(x)在(-, 0) 上最小值為 _14、函數(shù) y=log2(x2+1) (x0)的反函數(shù)是 _1 1 1a b a cb c b ac a c b1 x x 1 x x 1 x x(三)解答題16、若函數(shù)f(x)嚀 的值域?yàn)?1, 5,求 a, c。x c17、 設(shè)定義在-2, 2上的偶函數(shù) f(x)在區(qū)間0, 2上單調(diào)遞減，若 f(1-m)f(m)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍1&已知 0a 1)的圖象上有 A, B, C 三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t, t+2 , t+4(1)若厶 ABC 面積為 S,求 S=f(t);(2)判斷 S=f(t)的單調(diào)性；(

26、3)求 S=f(t)最大值。19、設(shè) f(x)=a嚴(yán),x RA、B、4C、6D、1215、求值:2 11(2)當(dāng) f(x)為奇函數(shù)時(shí)，求 a；(3)當(dāng) f(X)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k,解不等式L(x) log?1 x。k20、 設(shè) 0a3 ；(2)求 a 的取值范圍。、復(fù)習(xí)要求等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前 n 項(xiàng)和公式及性質(zhì);二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、數(shù)列，是按照一定順序排列而成的一列數(shù)，從函數(shù)角度看，這種順序法則就是函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，因此數(shù)列可以看作是一個(gè)特殊的函數(shù)，其特殊性在于：第一，定義域是正整數(shù)集或其子集；第二，值域是有順序的，不能用集合符號(hào)表示。研究數(shù)列，首先研究對(duì)應(yīng)法則一一通

27、項(xiàng)公式：an=f(n), n N+，要能合理地由數(shù)列前 n 項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式，其次研究前n 項(xiàng)和公式 前 n項(xiàng)和公式：Snnain(J)d旦旦;11、2、般數(shù)列的通項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和計(jì)算。Sn=a1+a2+兔，由 S 定義，得到數(shù)列中的重要公式:anS1Snn 1。般數(shù)列的 an及 sn,，除化歸為等差數(shù)列及等比數(shù)列外，Sn還有下列基本題型：列項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相消法。2 2(3)性質(zhì)：an=an+b，即a是 n 的一次型函數(shù)，系數(shù) a 為等差數(shù)列的公差；S.=an2+bn，即$是 n 的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；k若an，bn均為等差數(shù)列，貝Uan土 nn, aJkan+C( k，C 為常數(shù))均為等差數(shù)

28、列；i 1當(dāng) m+n二p+q 時(shí)，sm+an=ap+aq，特例：ai+an=a2+an-i=a3+a2二；當(dāng) 2n=p+q 時(shí)，2a=ap+aq；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，務(wù)_1=(2n-1)an； S奇=da中，S偶=3中。3、等比數(shù)列(1)定義： M=q (q 為常數(shù)，*工 0)； an2=an-i*+i(n2, n N+);an(2)通項(xiàng)公式：an=aiqn-1, an=amqn-m；naiq 1前n項(xiàng)和公式：Snai(1 qn) aianq TVq 1(3)性質(zhì)當(dāng) m+n=p+q 時(shí)，aman=apaq，特例：a1an=a2a1-1=a3an-2=，k當(dāng) 2n=p+q 時(shí)，an2=apSq，數(shù)

29、列ka., a：成等比數(shù)列。i 14、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用2、等差數(shù)列(1)定義，an為等差數(shù)列an+1-an=d (常數(shù))，n2sh=an-1+an+1(nA2,nN+);(2)通項(xiàng)公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d ;(1) 基本量的思想：常設(shè)首項(xiàng)、公差及首項(xiàng)、公比為基本量，借助于消元思想及解方程組思想等;(2) 靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算；(3) 若an為等差數(shù)列，則aan為等比數(shù)列(a0 且 aM1)；若an為正數(shù)等比數(shù)列，貝 U log為等差數(shù)列（a0 且 a 1）二、典型例題例 1、已知數(shù)列an為等差數(shù)列，公差 dM0,其中3k!,ak2

30、，akn恰為等比數(shù)列，若=1 , k?=5 , k3=17,求 ki+k2+匕解題思路分析：從尋找新、舊數(shù)列的關(guān)系著手 設(shè)an首項(xiàng)為 ai,公差為 dT q, 25，備成等比數(shù)列 2a5=3I3I7二（a1+4d）2=a1（a1+16d）ai=2d設(shè)等比數(shù)列公比為 q,則q蘭乩上3a1a1對(duì)akn項(xiàng)來(lái)說(shuō)，在等差數(shù)列中：akna1(knkn11)d2a1在等比數(shù)列中：ak、nagn 1a13n 1/.kn2 3n 11二k1k2kn(2 301)(2 311)(2 3n 11)2(133n 1) n3nn1注：本題把 k1+k2+kn看成是數(shù)列kn的求和問(wèn)題，著重分析kn 的通項(xiàng)公式。 這是解決

31、數(shù)列問(wèn)題的一般方法， 稱為“通項(xiàng)分析法”例 2、設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列,S.為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，已知Sz=7, 05=75,Tn為數(shù)列色的前 n 項(xiàng)和，求n解題思路分析:法一：利用基本元素分析法S7設(shè)an首項(xiàng)為印，公差為 d，則Sl5.a12d1二Sn2n(n 1)2Snn 1 n 5. -2n2 2 2此式為 n 的一次函數(shù) 為等差數(shù)列nTn法二：an為等差數(shù)列，設(shè) Q=An2+Bn2.S7A 727B 7 205 A 1515B75解之得:Sn丄n25n2 2注：法二利用了等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)例 3、正數(shù)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為$，且2.5 an 1，求:(1) 數(shù)列an的通項(xiàng)公

32、式;7ai15ai15 14d 752(2)設(shè)bn1，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)的和為 Bn,求證：Bn1.anan 12解題思路分析：(I )涉及到 an及 Sn的遞推關(guān)系，一般都用 ol=Sn-Sn_1( n2)消元化歸.rl2.Snan1二4S)=(an+ 1)2二 4Svi=(an-i+1)2( n2)- 4(SrS1)=(an+1)2-G-1+1)2 4a1=an2-o1-12+2an-2aV1整理得：(an-1+an)(an-an_1-2)=0 an0二an-an-1=2 an為公差為 2 的等差數(shù)列在2 Snan1中，令 n=1 , a1=1an=2 n-1)bn Jr1 1 1 1B

33、n-()(2 aa2a?11 1) ( )a3anan 11 1 12 2an 12注：遞推是學(xué)好數(shù)列的重要思想，例本題由4S.=(an+1)2推出 401=(an-1+1)2,它其實(shí)就是函數(shù)中的變量代換法。在數(shù)列中n-1,n+1 等去代替 n,實(shí)際上也就是說(shuō)已知條件中的遞推關(guān)系是關(guān)于n 的恒等式，代換就是對(duì) n 賦值例 4、等差數(shù)列an中，前 m 項(xiàng)的和為 77 (m 為奇數(shù))，其中偶數(shù)項(xiàng)的和為 33,且 升 am=18，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：利用前奇數(shù)項(xiàng)和和與中項(xiàng)的關(guān)系令 m=2n-1 , n N+血|S2n 1(2n 1)an77則S偶(n 1)an332n 177n 133 n=

34、4 m=7久=11a1+am=2an=22又ai-am=18a1=20 ,am=2 d=-3Oi=-3 n+23例 5、設(shè)an是等差數(shù)列，bn(!)an，已知 b1+b2+b3=21, b1b2b3=-，求等差數(shù)列的通項(xiàng) an。2 8 8解題思路分析：Van為等差數(shù)列 bn為等比數(shù)列從求解bn著手V0b3=b221an(2)nlog1bn2環(huán)=2n-3 或 Oi=-2n+5注：本題化歸為bn求解，比較簡(jiǎn)單。若用an求解，則運(yùn)算量較大。例 6、已知an是首項(xiàng)為 2,公比為1的等比數(shù)列，Sn為它的前 n 項(xiàng)和，2(1)用 Sn表示 Sn+1；(2)是否存在自然數(shù) c 和 k，使得 匯亠2成立。Sk

35、c解題思路分析：(1)VSn4(1+)2 1 1Sn 14(1荷)Sn2b23=1b2=lb b17 b1b31b1b24bib3blb212(4)13 2n2bn1n 1 2n 5-4 282n 123c (；Sk2)20( *)c Sk+1Sk又Sk4-由得：c=2 或 c=3當(dāng) c=2 時(shí)/ 0=2二當(dāng) k=1 , 2 時(shí)，CSk不成立二式不成立31333Sk2c,Sk2 Sk 122422Sk4(1二2Sk2)2 c Sk由Sk 2 時(shí)，2SkC,從而式不成立當(dāng) c=3 時(shí)， Si2, =3Sk 1CSkc|sk23S122二 k=1 時(shí)，c 3 時(shí)，|sk2 c，從而式不成立綜上所述

36、，不存在自然數(shù) c, k，使 Ac2成立Skc例 7、某公司全年的利潤(rùn)為 b 元，其中一部分作為資金發(fā)給 n 位職工，資金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相 等)從大到小，由 1 到 n 排序，第 1 位職工得資金衛(wèi)元，然后再將余額除以 n 發(fā)給第 2 位職工，按此方法將資金逐一發(fā)給每位職工，并n將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金。(1)設(shè)a( K kwn)為第 k 位職工所得資金額，試求 比，比，并用 k, n 和 b 表示a(不必證明)；(2)證明：ak0 , d=ig 2 0二an是遞減數(shù)列，且 Si 必為最大值ak0ak 102 (k 1)( lg 2)02 k( lg ,

37、2)0k 14.2k 13.2二 k=14二(Si)max=S14=14.35四、同步練習(xí)(一)選擇題1、已知 a, b, a+b 成等差數(shù)列，a, b, ab 成等比數(shù)列，且 0logmab1B、1m8D、0m82、設(shè) a0, b0 , a, x，x?, b 成等差數(shù)列，a, y，y?, b 成等比數(shù)列，貝 U X1+X2與丫刊2的大小關(guān)系是A、x1+x2y1+y2C、 x1+x2y1+y212、 已知 Sn是an的前 n 項(xiàng)和，Sn=Pn( PR, nN+),那么數(shù)列anA是等比數(shù)列B、當(dāng) PM0 時(shí)是等比數(shù)列C當(dāng) PM0, PM1 時(shí)是等比數(shù)列D、不是等比數(shù)列13、 an是等比數(shù)列，且

38、Sh0，a2a4+2a3as+a4a6=25，貝 U afe+as等于已知 a, b, c 成等差數(shù)列，則二次函數(shù) y=ax2+2bx+c 的圖象與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是C、27、若 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0 (aMb)的四個(gè)根可組成首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，貝 U a+b 的值為4A3Q11C 13pk 31B、C、D、82424728、在 100 以內(nèi)所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整數(shù)和是A、1557B、1473C、1470D、13689、 從材料工地運(yùn)送電線桿到 500m 以外的公路，沿公路一側(cè)每隔50m 埋栽一根電線桿，已知每次最多只能運(yùn)3 根，要完成運(yùn)載 2

39、0根電線桿的任務(wù)，最佳方案是使運(yùn)輸車運(yùn)行A11700mB、14700mC、14500mD、14000m10、 已知等差數(shù)列an中，|a3|=|a d，公差 d0，則使前 n 項(xiàng)和&取最大值的正整數(shù) n 是A、4 或 5B、5 或 6C、6 或 7D、8 或 9B、10C、15D、2014、15、設(shè) m N+, log2m 的整數(shù)部分用F(m)表示，則 F(1)+F(2)+F(1024)的值是A8204B、8192C、9218D、B、1C、 x1+x2y1+y2(二)填空題11、 已知數(shù)列an滿足 q+2a2+3a3+ +nan=n(n+1)(n+2)，則它的前 n 項(xiàng)和 Sn=_。12

40、、 設(shè)等差數(shù)列an共有 3n 項(xiàng)，它的前 2n 項(xiàng)之和為 100,后 2n 項(xiàng)之和為 200,則該等差數(shù)列的中間 n 項(xiàng)的和等于 _ 。13、設(shè)數(shù)列an，bn( bn0)，n N+滿足an-lgb1_lgb2匹(n N+),則為等差數(shù)列是bn為等比數(shù)列的條件。n14、 長(zhǎng)方體的三條棱成等比數(shù)列，若體積為216cm3，則全面積的最小值是 _ cm2。15、 若不等于 1 的三個(gè)正數(shù) a, b, c 成等比數(shù)列，貝 U (2-logba)(1+logca)=_ 。(三)解答題16、 已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為 1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為 170,求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)。(qM1)

41、,設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng) bn=an+1+an+2(n N+),數(shù)列an,bn的前 n 項(xiàng)和分別記為An, Bn,試比較 An與 Bn大小。1&數(shù)列an中，a1=8,比=2 且滿足 an+2=2an+1-an (n N+)(1)求數(shù)列an通項(xiàng)公式；(2)設(shè) Sn=|aj+|a2I+ +|an|，求 S ；17、已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為 a10，公比 q-1rrxy(3)設(shè)bn1(n N+) Tn=b1+b2+bn，是否存在最大的整數(shù) m,使得對(duì)于任意的 n N+，均有成立？若存在，求出 mn (12 an)32的值；若不存在，說(shuō)明理由三角函數(shù)一、復(fù)習(xí)要求16、 三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制

42、等概念；2、三角公式，包括誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等；3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、 角的概念的推廣。從運(yùn)動(dòng)的角度，在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進(jìn)負(fù)角及大于3600的角。這樣一來(lái)，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時(shí)，其大小不一定（通常把角的始邊放在x 軸正半軸上，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，下同）。為了把握這些角之間的聯(lián)系，弓I進(jìn)終邊相同的角的概念，凡是與終邊a相同的角，都可以表示成k 360+a的形式，特例，終邊在 x 軸上的角集合a a=k 1800, k Z，終邊在 y 軸上的角集合a a=k 180+90, k Z，終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 a a=k 900, k Z。

43、在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小?；《戎剖墙堑亩攘康闹匾硎痉ǎ苷_地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長(zhǎng)公式=|aR，扇形面積公式S丄R丄R2| I，其中a為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)。2 22、利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角函數(shù)定義是本章重點(diǎn)，從它可以推出一些三角公rrxy式。重視用數(shù)學(xué)定義解題。設(shè) P（X, y）是角a終邊上任一點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），記r |OP | .x2y2，則sin ,cos ,tan ,cot。利用三角函數(shù)定義，可以得到(1)誘導(dǎo)公式：即號(hào)t與a之間函數(shù)值關(guān)系(k

44、 Z),其規(guī)律是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”；(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系。3、 三角變換公式包括和、差、倍、半公式，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例，對(duì)公式要熟練地正用、 逆用、變用。如倍角公式：cos2a=2cos2a1=1-2si n2a,變形后得cos21_, sin2-_cos2，可以作為降冪公式使用。2 2三角變換公式除用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。4、 三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外，還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒(méi)有的周期性。周期性的定義：設(shè)T 為非零常數(shù)，若對(duì) f(x)定義域 中的每一個(gè) x,均有 f(x+T)=f(x)，則稱 T 為 f(

45、x)的周期。當(dāng) T 為 f(x)周期時(shí)，kT (k Z ,0)也為 f(x)周期。三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾何作圖法，熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法 則。5、本章思想方法(1)等價(jià)變換。熟練運(yùn)用公式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為熟悉的基本問(wèn)題；(2)數(shù)形結(jié)合。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象幫助解題；(3)分類討論。三、典型例題例 1、已知函數(shù) f(X)=log丄(sin x cosx)2(1)求它的定義域和值域；(2)求它的單調(diào)區(qū)間；(3)判斷它的奇偶性；(4) 判斷它的周期性。分析：(1) x 必須滿足 sinx-cosx0,利用單位圓中

46、的三角函數(shù)線及2k - x4函數(shù)值域?yàn)?(3)vf(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱 f(x)不具備奇偶性(4)vf(x+2n=f(x)二函數(shù) f(x)最小正周期為 2n注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可知，以I、H象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分以、山象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sin x+cosx 的符號(hào)，如圖。例 2、化簡(jiǎn)2 sin J2(1 cos),a(n,2n)2k,k Z二函數(shù)定義域?yàn)?2k4,2ksin x cosx . 2 sin(x4)0 sin x cosy log122；，2k-)時(shí)，0 sin(x -) 144sin x-cosx 的符號(hào);(2k分析：湊根號(hào)下為完全平方式

47、，化無(wú)理式為有理式2 2 21 sin sin cos 2sin cos (sin cos)2 2 2 2 2 22(1 cos )2(122 cos 2cos |21)4 cos222 | cos |2二原式=:2|sin2T a(n,2n )(,2 2)cos 02當(dāng)目，3時(shí) ,sincos0224222二原式=:2sin2當(dāng)3-32時(shí),sincos042222二原式=:2 si n24cos 22 - 5 sin(arctan 2)22 sin -3二原式=. 222、5 si n(arcta n2)22 2注：1、 本題利用了“ 1 ”的逆代技巧，即化1 為sin2? cos2：，是欲

48、擒故縱原則。一般地有vlsin 2| sin cos |，Jcos 2J2 | cos |，.1 cos2 2 |sin |。2、 三角函數(shù)式 asinx+bcosx 是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為.a2b2sin(x)(取arctan)是常用變形手段。特別是與a特殊角有關(guān)的 sin cosx， sinx3cosx,要熟練掌握變形結(jié)論。8sin 80 cos8016沁;16sin 160注：在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式過(guò)程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如本題平方差公式。例 4、已知 0a(390,且 sina,si nB是方程x2(. 2 cos40)x cos2400分析:由

49、韋達(dá)定理得 sina+sin薩屈c(diǎn)os4C, sinain薩cos240.2 sin 40又 sina+sin薩 2cos4Csin12 cos40. 2 sin 40) sin 852sin12 cos40. 2 sin40) sin 520 a仟90855例3、1)1cos21402 si n10分析:原式=3cos2140sin2140sin2140cos2140012si n100(.3cos14O0sin 140)( ,3cos140sin140)(sin40cos40)212si n104sin80sin200120-si n280412sin 10?=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 sin

50、(B5o)的值。二 Sin (3-sino=(sinsin )2. (sin2sin )4 sin sin. 2(1 cos240)二 sin( 3-5 a=sin60=注：利用韋達(dá)定理變形尋找與sinasi n3相關(guān)的方程組，在求出 si na,si n3后再利用單調(diào)性求a,3的值。例 5、( 1)已知 cos(2o+3+5cos3=0，求 tan(a+3 tana的值；(2)已知C05，求3cos2 4sin2的值。sin 3cos分析：(1)從變換角的差異著手。I2a+3=(a+3+a,=(a+3-a二 8cos(a3+a+5cos(a3-a=0展開得：13cos(a3cosa3sin(

51、aina=0同除以 cos(a+3)cosa得：tan(a+3)tanoF133(2)以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā). 2 sin cos2tan1sin 3 cos tan 32 ta n 1=tan 3tan9=22223(cos sin ) 8 si n cos 3 3ta n8ta n 73 cos 2 4 si n2222sin cos1 tan5注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降冪。i4Xi2X例 6、已知函數(shù)f(x)asin 2 sin(a (0, 1),求 f(x)的最值，并討論周期性，奇偶性，單調(diào)性。分析：對(duì)三角函數(shù)式降冪sin2-(1 sin2-)sin2 Xc

52、os2-2 2 2 2cos2x 1f(x)=a81cos 2x8則 y=au0a0，卩 0）,在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng) x=-時(shí)，ymax=2；當(dāng) x=-時(shí)，ymin=-2，則此函數(shù)解析式為8 8A、y2si n（舟-）B、y 2 si n（2x -）C、y 2 sin（x）D、y 2 sin（2x）484、已知 凹1=1998,則sec2 tan2的值為1 tanA、 1997B、 1998C、 1999D、 20005、 已知 tana,tanB是方程x23 3x 4 0兩根，且a,p（三，？），則a+B等于A、2B、2或-C、-或-D、-3333336、若xy貝 U sinx siny 的最小

53、值為A、-1B、-丄C、3D、-2447、函數(shù) f(x)=3si n(x+10)+5si n( x+700)的最大值是A、5.5B、6.5C、7D、88 若B(0, 2 尬 貝V使 sin cos cot tanB成立的。取值范圍是A、(-，-)B、( -,)C、(5,3) D、(1 ,2)4244249、下列命題正確的是A、若a,B是第一象限角，a B,則 sinasin(3B 函數(shù) y=sinx cotx 的單調(diào)區(qū)間是(2k-, 2k -), k Z2 2，C 函數(shù)y的最小正周期是 2nsin 2xD 函數(shù) y=sinxcos2&cosxsin2x 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 -2

54、410、函數(shù)f(x)log1(sin 2x3cos2x)的單調(diào)減區(qū)間是A、(k -, k-)B、(k -,k-4888B(k -,k8 )8D、(k - ,k8-)k Z8(二)填空題11、函數(shù) f(x)=sin(x+B+3cos(x-f)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則B=12、 已知a+ 薩，且 3 (tanotanf+c)+tana=0 (c 為常數(shù))，那么 tan 護(hù)_。313、 函數(shù) y=2sinxcosx j3(cox-sin2x)的最大值與最小值的積為 _ 。14、 已知(x-1)2+(y-1)2=1，貝 U x+y 的最大值為 _。15、 函數(shù) f(x)=sin3x 圖象的對(duì)稱中心是

55、 _ 。(三)解答題16、 已知 tan(a 3=1,tan 薩1,a,B (冗，0),求 2a- p的值。17、 是否存在實(shí)數(shù) a,使得函數(shù) y=sin2x+acosx+5a-在閉區(qū)間0,-上的最大值是 1?若存在，求出對(duì)應(yīng)的 a 值8 2 218、已知 f(x)=5sinxcosx-5 3cos2x+3(x R)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)單調(diào)區(qū)間；(3)求 f(x)圖象的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心。平面向量一、復(fù)習(xí)要求18、 向量的概念；2、向量的線性運(yùn)算：即向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義，運(yùn)算律；3、向量運(yùn)算的運(yùn)用二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1 向量是數(shù)形結(jié)合的典

56、范。向量的幾何表示法一一有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問(wèn)題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過(guò)程中，借 助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋，有時(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。向量運(yùn)算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義一一共線；定比分點(diǎn)基本圖形一一 起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。19、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn)算圖形語(yǔ)言付號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法trOA+OB=OCOB-OA=AB

57、記OA=(xi,yi),OB=(xi,y2)則OA+OB=(xi+X2,yi+y2)OB-OA=(X2-xi,y2-yi)OA+AB=OB實(shí)數(shù)與向量的乘積.-L ITAB=XaX取記a=(x,y)則Xa=(X,X)A B兩個(gè)向量的數(shù)量積% .ab=|a|b|COS記a=(xi,y1),b=(x2，y2)貝Uab=xiX2+yiy220、運(yùn)算律力口法：a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)實(shí)數(shù)與向量的乘積：入(a+b)=Xa+Xb； ( /+ ”a=Xa+ya，久ia)=(入)卩a兩個(gè)向量的數(shù)量積：ab=ba； (Xa) b=a (Xb)=Xab), (a+b) c=ac+bc說(shuō)明：根

58、據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)22算，例如(ab)2=a 2a b b21、重要定理、公式(1)平面向量基本定理；如果ei+e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)Xi,X,滿足a=Xei+Xe2，稱XeiX Xe2為ei,e2的線性組合。根據(jù)平面向量基本定理，任一向量a與有序數(shù)對(duì)(X，X)一一對(duì)應(yīng)，稱(X，X)為a在基底ei,e?下的坐標(biāo)，當(dāng)取ei,e?為單位正交基底 i,j時(shí)定義(X，X)為向量a的平面直角坐標(biāo)。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐

59、標(biāo)，即若A(x, y),則OA=(x,y)；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A (Xi，yJ, B ( X2M),則AB=(X2-Xi，y2-yJ(2)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：若a/b,a工0，貝 Ua=入b坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)a= ( Xi,yi) ,b=(X2,y2),則a/b(捲,)=饑必)，即Xl X2，或乂$2%=0y1y2在這里，實(shí)數(shù)入是唯一存在的，當(dāng)a與b同向時(shí)，入0 ；當(dāng)a與b異向時(shí)，入0。|4=回，入的大小由a及b的大小確定。因此，當(dāng)a,b確定時(shí)，入的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中入的幾何意義。|b|(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言

60、：a丄b ab=0坐標(biāo)語(yǔ)言:設(shè)a=(Xi,yi),b=(X2，y2),貝U a(4)線段定比分點(diǎn)公式女口圖，設(shè)PiP PF2貝V定比分點(diǎn)向量式：OP -OF1OP21 1P (X,y), Pi(Xi,yi), P2(X2$2)XiX2iyiy2iXiX2+y$2=0定比分點(diǎn)坐標(biāo)式：設(shè)向量AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A (Xi，yJ, B ( X2M),則AB=(X2-Xi，y2-yJ特例：當(dāng)4=i 時(shí)，就得到中點(diǎn)公式:xiX2實(shí)際上，對(duì)于起點(diǎn)相同，終點(diǎn)共線三個(gè)向量OP,OPi,OP2（O 與 P1P2不共線），總有OP=uOPi+vOP2, u+v=1，即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量，且系數(shù)和為1