小學(xué)數(shù)學(xué)問題研究(二)圖形與幾何部分

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流小學(xué)數(shù)學(xué)問題研究(二)圖形與幾何部分.精品文檔.第二部分 關(guān)于“圖形與幾何”的問題研究一、 圖形的認(rèn)識(shí)1“幾何學(xué)”、“圖形”與“空間”各指什么？【幾何學(xué)】數(shù)學(xué)中最古老的一門學(xué)科，據(jù)說起源于古代埃及尼羅河泛濫后為整修土地而產(chǎn)生的測(cè)量法?！皫缀螌W(xué)”一詞的外國(guó)語(yǔ)言名稱就有土地測(cè)量的意思。埃及產(chǎn)生的幾何學(xué)傳到希臘，逐步發(fā)展為理論的數(shù)學(xué)。幾何學(xué)是研究圖形性質(zhì)的一門數(shù)學(xué)分科。所謂“圖形”是指點(diǎn)、線、面、體以及它們的組合。我國(guó)對(duì)幾何學(xué)的研究有著悠久的歷史。在三千多年前制作的陶器上已經(jīng)有了正方形和菱形等圖案的花紋。三千四百多年前的著作墨子給圓所下的定義比歐幾

2、里得的定義要早一百多年?！緢D形】圖形是數(shù)學(xué)的分支學(xué)科幾何學(xué)的研究對(duì)象?！皥D形”曾經(jīng)被解釋為“點(diǎn)、線、面、體以及它們的組合?！爆F(xiàn)在則可解釋為“點(diǎn)的集合”（點(diǎn)集）。因?yàn)椤熬€、面、體”都可以看做點(diǎn)的集合?！酒矫鎴D形】【立體圖形】【空間圖形】如果圖形中所有的點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么這樣的圖形叫做平面圖形，如果圖形中的點(diǎn)不全在同一個(gè)平面內(nèi)，則叫做立體圖形，又稱空間圖形，幾何學(xué)中研究平面圖形的分支學(xué)科叫平面幾可，研究立體圖形的叫立體幾何或空間幾何?！痉瞧矫鎴D形】有些版本的教科書還引進(jìn)了“非平面圖形”的概念。他們把非平面圖形定義為“所有的點(diǎn)不全在同一平面內(nèi)的圖形”，而將“平面圖形”與“非平同圖形”統(tǒng)稱“立體圖形

3、”?！編缀误w】【體】在幾何學(xué)中所研究的圖形包括體、面、線、點(diǎn)以及它們的組合。一個(gè)物體如果只研究它的形狀和大小，而不管它的其它性質(zhì)，那么這樣的物體就叫做幾何體，簡(jiǎn)稱為體。可見，體是對(duì)客觀世界中的物體進(jìn)行抽象的產(chǎn)物。同樣大小的鉛球和壘球，作為幾何體是沒有區(qū)別的?！久妗矿w是由面圍成的。例如，長(zhǎng)方體是由六個(gè)長(zhǎng)方形的平面部分圍成的；球體是由一個(gè)球面圍成的，面有平面和曲面。球面就是一種曲面。幾何里的面是沒有厚度的?！揪€】面和面相交于線，線可以分為直線和曲線。如刀面和西瓜的表面交于曲線。在圓柱中，側(cè)面和底面交于一個(gè)圓。幾何里的線是沒有粗細(xì)的?！军c(diǎn)】線和線相交于點(diǎn)，幾何里的點(diǎn)只有位置，沒有大小。幾何學(xué)里的點(diǎn)、

4、線、面、體都是對(duì)生活里的某些事物（現(xiàn)實(shí)原型）進(jìn)行理想化抽象的結(jié)果，體現(xiàn)了有限與無限對(duì)立統(tǒng)一。【歐幾里得空間】設(shè)R是實(shí)數(shù)域，V是R上的三維向量空間。即設(shè)x=，y=。定義x與y的內(nèi)積（x，y）=則內(nèi)積滿足下列條件：（x，y）=（y，x）（xy，z）=(x，y)（y，z）（ax，y）=a（x，y）（x，x）0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，（x，x）=0其中，x，y，z是V是任意向量，a是任意實(shí)數(shù)。定義了內(nèi)積的實(shí)數(shù)域上的向量空間稱為“歐幾里得”空間。【拓?fù)淇臻g】【空間】拓?fù)淇臻g是歐幾里得空間的推廣。給定集X，它的子集族F如果滿足以下三個(gè)條件：空集和X是F的元；F內(nèi)任意有限多個(gè)元的交仍然是F的元；F內(nèi)任意有限多個(gè)

5、元的并仍然是F的元。則F就稱為X上的一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)稱拓?fù)洹＜疿連同它上面的一個(gè)拓?fù)銯構(gòu)成了一個(gè)拓?fù)淇臻g，簡(jiǎn)稱空間。在哲學(xué)上，“空間”與“時(shí)間”構(gòu)成運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)存在的兩種基本形式，都具有不依賴于人的意識(shí)的客觀性，它們同運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)是不可分割的，“空間”和“時(shí)間”是無限和有限的統(tǒng)一。就宇宙而言，“空間”無邊無際，“時(shí)間”無始無終；就每一具體的事物而言，“空間”和“時(shí)間”都是有限的。在自然語(yǔ)言中，“空間”是物質(zhì)存在的一種客觀形式，由長(zhǎng)度、寬度和高度表現(xiàn)出來。參考書1中國(guó)大百科全書 數(shù)學(xué)中國(guó)大百科全書出版社，1988年版P497；686。2辭海上海辭書出版社，1989年版縮印本，P2017。3現(xiàn)代漢

6、語(yǔ)詞典商務(wù)印書館，1983年第2版P646。2.小學(xué)生形成“直線”的概念應(yīng)該包括哪些要點(diǎn)？怎樣幫助學(xué)生逐步進(jìn)行理想化抽象，認(rèn)識(shí)直線的無限延伸性？“直線”是初等幾何的一個(gè)原始概念，是定義其它幾何概念最初的出發(fā)點(diǎn)。在公理化幾何體系中，直線是從現(xiàn)實(shí)原型中直接抽象出來的不定義的概念。它的基本性質(zhì)是用一組公理來表述的。事實(shí)上“直線”概念的教學(xué)有三個(gè)要素：直；無粗細(xì)可言和無限延伸性。其中，“直”可以通過教具演示、通過與“曲”的對(duì)比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)?！盁o粗細(xì)可言”也可以借助典型事例的觀察和分析讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到。如教室墻面的淺色區(qū)域和深色區(qū)域的分界線，就是沒有粗細(xì)的線的例子。只有“無限延伸性”難以通過直觀教學(xué)使學(xué)生懂

7、得。因?yàn)槲覀冋也坏竭@樣的實(shí)際事例。“無限的東西”我們是拿不出來的。能拿出來的，只能是“有限的東西”。于是，這種無限延伸性只能由教師告訴學(xué)生。結(jié)果，學(xué)生往往是將信將疑。于是，有人提出如下教學(xué)方案：用直尺在黑板上的兩點(diǎn)間畫線。讓學(xué)生在作業(yè)本上的兩點(diǎn)間畫線。指出：這樣畫的線都是線段。讓學(xué)生討論、交流，最后明確：線段是直的（而不是彎曲的）；線段有兩個(gè)端點(diǎn)；在連接兩點(diǎn)的線中，線段最短；要使學(xué)生注意到：數(shù)學(xué)上所說的“線段”是沒有粗細(xì)的。（可以舉出有關(guān)的事例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理想化抽象）出示畫有各種線的卡片，讓學(xué)生辨別：其中哪些是線段、哪些不是線段。讓學(xué)生從周圍的環(huán)境里找出線段。讓學(xué)生將畫出的線段向一方延長(zhǎng)，再

8、延長(zhǎng)，。告訴學(xué)生：線段向一方無限延長(zhǎng)得到的圖形叫做射線；線段向兩方無限延長(zhǎng)得到的圖形叫做直線。從而認(rèn)識(shí)：射線是向一方無限延伸的，射線有一個(gè)端點(diǎn)。直線是向兩方無限延伸的，直線沒有端點(diǎn)。這樣，小學(xué)生就可以先通過直觀教學(xué)，認(rèn)識(shí)有限的圖形；然后在此基礎(chǔ)上，通過畫圖操作和想象，進(jìn)行理想化抽象，認(rèn)識(shí)無限的圖形。無限的東西，運(yùn)用直觀教學(xué)是難以奏效的，只有引導(dǎo)學(xué)生通過想象來把握。3 說“直線可以無限延長(zhǎng)”、“線段不能無限延長(zhǎng)”為什么不對(duì)？“直線”、“線段”和“射線”有什么區(qū)別和聯(lián)系？因?yàn)樵趲缀卫碚擉w系中所說的“直線”，本來就是向兩方無限延伸著的，它不需要延長(zhǎng)，也不可能再延長(zhǎng)，而“線段”是直線上兩點(diǎn)間的部分。它

9、不是向兩方無限延伸著的，因而可以向一方或者向兩方延長(zhǎng)，或者無限延長(zhǎng)。說“延長(zhǎng)直線AB”或“直線可以無限延長(zhǎng)”等，實(shí)質(zhì)上表示這樣說的人對(duì)“直線”概念還沒有確切地認(rèn)識(shí)。“直線”、“線段”和“射線”之間的區(qū)別和聯(lián)系如下表所示：線 段 射 線直 線圖 形··· 共同點(diǎn)都是直的，都沒有粗細(xì)可說。差異有兩個(gè)端點(diǎn)，有一定的長(zhǎng)度有一個(gè)端點(diǎn)，向一方無限延伸著。沒有端點(diǎn)，是向兩方無限延伸著的?？梢韵騼煞窖娱L(zhǎng)或無限延長(zhǎng)可以反向延長(zhǎng)或無限延長(zhǎng)不能也不需要延長(zhǎng)或無限延長(zhǎng)其它在聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短兩點(diǎn)確定一條直線4 研究點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、直線與直線、點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，

10、如何定性分類與定量刻劃？幾何學(xué)研究的是“圖形的性質(zhì)”。所謂“圖形”指體、面、線、點(diǎn)以及它們的組合；所謂“性質(zhì)”指圖形的形狀、大小和位置關(guān)系。研究位置關(guān)系時(shí)，既可以按照某種標(biāo)準(zhǔn)將位置關(guān)系分類，分成幾種情況，分門別類地研究，也可以就此位置關(guān)系引入某種幾何量，用以定量地刻劃這種位置關(guān)系。它們分別對(duì)應(yīng)于位置關(guān)系的定性分類和定量刻劃。而定性研究和定量研究的相互聯(lián)系，則反映了“從量變到質(zhì)變”的辯證規(guī)律。如直線與直線的位置關(guān)系可以首先根據(jù)這兩條直線是否在同一個(gè)平面內(nèi)（即是否存在經(jīng)過它們的平面）分為“共面”和“異面”兩種情形，然后，共面兩直線又可以根據(jù)它們是否有公共點(diǎn)分為“相交”和“平行”；對(duì)于兩條相交直線，

11、還可以根據(jù)它們是否相交成直角分為“垂直”和“斜交”。如下表所示。 垂直相交兩條直線的位置關(guān)系 共面 斜交 平行異面是否相交成直角是否有公共點(diǎn)是否在同一平面內(nèi)為了進(jìn)一步定量地刻劃兩條平行線的位置關(guān)系，人們引入了幾何量“兩條平行線間的距離”；為了刻劃兩條相交直線的位置關(guān)系，引入了“兩條相交直線所成的角”；而為了定量地刻劃兩條異面直線的位置關(guān)系，人們引入了兩個(gè)幾何量：“兩條異面直線所成的角”和“兩條異面直線間的距離”。有了這些幾何量，我們就可以把對(duì)于兩條直線的位置關(guān)系的定性研究提升為定量研究。至于點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系的分類、定量研究引入的幾何量以及兩者之間的關(guān)系大致

12、如下表所示。位置關(guān)系定性分類定量刻劃兩者的關(guān)系點(diǎn)與點(diǎn)重合不重合連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度d叫做這兩點(diǎn)間的距離如果d=0，則兩點(diǎn)重合；如果d0，則兩點(diǎn)不重合。點(diǎn)與直線點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度d叫做這點(diǎn)到這條直線的距離如果d=0，則點(diǎn)在直線上；如果d0，點(diǎn)在直線外。點(diǎn)和圓點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓外設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d。如果d=r，則點(diǎn)在圓上；如果dr，則點(diǎn)在圓內(nèi)；如果dr，則點(diǎn)在圓外。直線和圓直線和圓相交直線和圓相切直線和圓相離設(shè)圓的半徑為r，直線到圓心的距離為d。如果dr，則直線和圓相交如果d=r，則直線和圓相切如果dr，則直線和圓相離不等的兩個(gè)圓兩圓外離兩圓外切兩圓相交

13、兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含兩圓同心設(shè)兩圓的半徑分別為r1，r2（r1r2）兩圓的圓心距為d。如果dr1+r2，則兩圓外離；如果d=r1+r2，則兩圓外切；如果r1r2dr1+r2，則兩圓相交；如果d=r1r2，則兩圓內(nèi)切；如果0dr1r2，則兩圓內(nèi)含；如果d=0，則兩圓同心。注：關(guān)于相等的兩圓的位置關(guān)系。這時(shí)r1=r2，如果dr1+r2，則兩圓外離；如果d=r1+r2，則兩圓外切；如果0dr1+r2則兩圓相交；如果d=0，則兩圓重合，內(nèi)切和內(nèi)含兩種情況不會(huì)出現(xiàn)。5 說“角的大小與邊的長(zhǎng)短沒有關(guān)系”錯(cuò)在哪里？因?yàn)榻堑倪吺巧渚€，射線是向一方無限延伸的，是沒有長(zhǎng)短可說的。因此，說“角的大小與邊的長(zhǎng)短沒有關(guān)系”

14、是荒唐的。從邏輯學(xué)的角度來分析，在這里所犯的是“自相矛盾”的邏輯錯(cuò)誤。一方面承認(rèn)角的邊是射線，射線是向一方無限延伸的，是沒有長(zhǎng)短的；另一方面又說角的邊有長(zhǎng)短。自相矛盾。上述錯(cuò)誤最初出現(xiàn)在20世紀(jì)八十年代流傳很廣的一種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，根據(jù)老師的批評(píng)意見，這個(gè)錯(cuò)誤很快地得到了改正。但這種錯(cuò)誤說法在一些老師的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中以及一些教輔圖書中繼續(xù)廣泛流傳，一直到現(xiàn)在。至今，這一錯(cuò)誤說法我們還會(huì)經(jīng)常地在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中以及教輔圖書中看到。在教學(xué)“角的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，所謂“角”，還只是日常語(yǔ)言中的詞匯，并且常常是作為具體事物的組成部分而存在著。三角板中的三個(gè)角，課本面上的四個(gè)角和時(shí)針、分針?biāo)傻慕堑取?/p>

15、教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)小學(xué)生從日常語(yǔ)言中的“角”逐步過渡到數(shù)學(xué)概念的“角”，在相關(guān)事物的“角”的表象的基礎(chǔ)上形成“角”的數(shù)學(xué)概念。對(duì)此，可以先從實(shí)物中觀察角，過渡到用圓紙片折角。紙片雖然也是實(shí)物，但其形態(tài)已比另一些實(shí)物簡(jiǎn)單得多。從中獲得的角的表象將更為清晰。進(jìn)一步，出現(xiàn)用兩根木條做成的角的活動(dòng)模型和表示角的圖形，于是“角”被演化為“一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊”的結(jié)構(gòu)。畫角的兩邊時(shí)，可以告訴學(xué)生：“隨便畫多長(zhǎng)都行”。暗示角的兩邊的無限延伸性。教學(xué)“角的大小”的意義，可以結(jié)合兩塊三角板中角的大小比較，并且用類比的方法進(jìn)行。（和“線段大小”的意義類比）最后得出結(jié)論：要比較三角板中兩個(gè)角的大小，只需把這兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合

16、，角的一邊也重合，看角的另一邊，另一邊在外面的角較大。（圖2-1（1）（2）BDA（C）BDA（C）O（1） 圖2-1 （2）6 “平行線”是指“平行的直線”還是指“平行的線段”？【平行線】【兩條直線互相平行】在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做“平行線”，或者說“這兩條直線互相平行”?？梢?，根據(jù)定義，“平行線”是指兩條平行的直線。【兩條線段互相平行】不過，在幾何學(xué)的語(yǔ)言中，常常出現(xiàn)諸如“平行四邊形的對(duì)邊平行”之類的句子。這里所說的“平行四邊形的對(duì)邊”當(dāng)然是指兩條線段。那么“兩條線段平行”又是什么意思呢？顯然，把“兩條線段平行”定義為“同一平面內(nèi)不相交的兩條線段”是錯(cuò)誤的。因?yàn)榧词雇黄矫鎯?nèi)的兩條

17、線段不相交，它們所在的兩條直線仍然有可能相交。（如梯形的兩腰）因此，我們只能這樣定義“兩條線段平行”：如果兩條線段所在的兩條直線互相平行，我們就說這兩條線段互相平行。也就是說，我們可以用“兩直線平行”的概念來給“兩線段平行”下定義。教學(xué)時(shí)，應(yīng)該首先讓小學(xué)生明確“兩直線平行”的意義，然后，再選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，讓小學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“兩條線段平行”的意義。不要一上來就把它們同時(shí)呈現(xiàn)在學(xué)生的面前?；蛘甙褍烧呋鞛橐徽劇！酒叫小俊局本€和平面平行】【平面和平面平行】“平行”一詞最初是用來描述兩條直線的一種特定的位置關(guān)系。然后，又用來刻劃兩條線段的位置關(guān)系。不僅如此，在立體幾何中，“平行”還被用來刻劃直線和平面以

18、及兩平面的位置關(guān)系。如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，就說這條直線和這個(gè)平面互相平行。如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，就說這兩個(gè)平面互相平行。可見，對(duì)“平行”一詞的意義如何理解，要看這個(gè)詞用于什么場(chǎng)合，用于什么樣的集合。在教學(xué)中，首先要毫不含糊的、確定無疑地用“平行線”來表述“兩條平行的直線”。以便于學(xué)生建立起清晰的“平行線”的概念。7 “三角形的穩(wěn)定性”、“平行四邊形的不穩(wěn)定性”是不是這些圖形特有的屬性？它們的確切含義是什么？【性質(zhì)】【關(guān)系】【屬性】在客觀世界中，每一個(gè)事物都有許多性質(zhì)（如形狀、顏色等）。一個(gè)事物和其它事物之間都存在各種各樣的關(guān)系（如大小關(guān)系、位置關(guān)系等）。性質(zhì)和關(guān)系統(tǒng)稱屬性。事物和

19、屬性是分不開的。事物總是有屬性的事物；屬性也都是事物的屬性。事物正是按其屬性的異同歸類的。【特有屬性】 一類事物都具有、而別的事物都不具有的屬性叫做這類事物的“特有屬性”?！胺€(wěn)定性”不但是三角形的屬性，而且是三角的特有屬性。因?yàn)槿切沃獾钠渌噙呅味疾痪哂蟹€(wěn)定性。平行四邊形的不穩(wěn)定性則不然。“不穩(wěn)定性”僅僅是平行四邊形的一種屬性，而不是平行四邊形的特有屬性，因?yàn)槠渌倪呅我约拔暹呅?、六邊形、也都具有“不穩(wěn)定性”。【三角形的穩(wěn)定性】【四邊形、五邊形、的不穩(wěn)定性】這里所說的“穩(wěn)定性”和“不穩(wěn)定性”，并不是日常語(yǔ)言中的詞語(yǔ)，它們的確切含意必須作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的專業(yè)名詞來解釋。如果三角形三邊的長(zhǎng)度給定

20、了，那么這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定了。這就叫三角形的穩(wěn)定性，三角形的這種特性在實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。而四邊形、五邊形、，既使各邊的長(zhǎng)度完全給定，這個(gè)圖形的形狀和大小仍然可能在一定的范圍內(nèi)變化。研究和掌握這種變化規(guī)律，就可以設(shè)計(jì)出適合我們需要的、具有某種特定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的機(jī)構(gòu)。如蒸汽機(jī)車中所用的平行四連桿機(jī)構(gòu)、各種農(nóng)業(yè)機(jī)械中所用的機(jī)構(gòu)等?！胺€(wěn)定性”和“不穩(wěn)定性”初看起來，似乎是對(duì)立的東西，但它們都可以用來為人類服務(wù)，用來滿足人們?cè)诓煌瑘?chǎng)合下的不同需要。8. 小學(xué)生認(rèn)識(shí)“三角形兩邊之和大于第三邊”時(shí)，要不要論證？根據(jù)這個(gè)真命題可以進(jìn)一步推出哪些真命題？在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“論證”，只能是局部的、

21、有限度的、小學(xué)生能夠理解的。所謂“論證”，就是揭示學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已經(jīng)學(xué)習(xí)過的某些真命題和當(dāng)前新學(xué)的真命題之間的必然的邏輯聯(lián)系，從前者推出后者。ABBCA如學(xué)習(xí)“三角形兩邊之和大于第三邊”時(shí)，可以先復(fù)習(xí)“在連接兩點(diǎn)的線中，線段最短”。（圖2-2 ）然后，將這個(gè)真命題用于圖2-3，推出：圖22 圖23ABAC+BC， ACAB+BC， BCAB+AC把這些結(jié)果歸結(jié)為一句話，那就是“三角形兩邊之和大于第三邊”或者“三角形的任何一邊小于另兩邊的和?！睋?jù)此，還可以進(jìn)一步推出“多邊形的任何一邊小于另幾邊的和。”培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，離不開培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。應(yīng)該抓住時(shí)機(jī)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行論證推理的訓(xùn)練

22、。不能滿足于學(xué)生僅僅使用動(dòng)手操作的實(shí)驗(yàn)方法以及歸納、類比的合情推理。9. 三角形的“高”究竟指的是特定的“線段”，還是指該“線段的長(zhǎng)度”？（姚春香）在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常會(huì)讓學(xué)生畫出某個(gè)三角形或平行四邊形或梯形的高。這時(shí)的“高”指的是一條垂直線段。它是一種圖形，而在計(jì)算面積時(shí)，我們又會(huì)用到高，這時(shí)“高”指的是一條線段的長(zhǎng)度，是一種數(shù)量。那么，“高”究竟是圖形還是長(zhǎng)度？還是兩種說法都可以。【高】【高線】【底】在三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的“高線”，簡(jiǎn)稱“高”。垂足所在的邊叫做這個(gè)高對(duì)應(yīng)的“底”。從平行四邊形任意一條邊上的任意一點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，

23、這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。在梯形里，互相平行的一組對(duì)邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底）；從上底的一點(diǎn)到下底引一條垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做梯形的高。事實(shí)上，通常也把三角形、平行四邊形或梯形的“高”理解為從底部到頂部（頂點(diǎn)或平行線）的垂直線段的長(zhǎng)度。也就是說，“高”有兩種不同的含義：表示一個(gè)圖形（符合特定條件的一條線段）；或者指一個(gè)數(shù)量（該線段的長(zhǎng)度）。根據(jù)上下文，一般都可以判定其中所說的“高”指的哪一種意義。比如說：“梯形的高有無數(shù)個(gè)”，這里的“高”指的是上、下、底的公垂線段；說：梯形的高是唯一的，平行四邊形的高一般有兩

24、個(gè)。其中的“高”指的是梯形的兩底之間或平行四邊形的對(duì)邊之間的公垂線段的長(zhǎng)度。當(dāng)我們說“三角形的三條高交于一點(diǎn)”時(shí)，這里的“高”指的是三條線段所在的直線；而說“三角形的面積等于底×高的積的一半”時(shí)，這里的“高”又是指三角形某邊上的垂線段的長(zhǎng)度。ABDC由于在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，僅僅是將“高”定義為圖形中的垂直線段。因此教師可以在教學(xué)求積公式時(shí)，補(bǔ)充說明：公式里的“高”實(shí)際上是指垂線段的長(zhǎng)度。讓學(xué)生對(duì)“高”有一個(gè)更完整的認(rèn)識(shí)。圖24【幾何量】 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們也經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情形：一個(gè)符號(hào)既可以用來表示某個(gè)圖形，也可以用來表示某個(gè)數(shù)量。如在平行四邊形 ABCD中，當(dāng)我們說“ABDC”時(shí)，

25、“AB、DC”表示的是兩條線段或線段所在的直線；而說“AB=DC”時(shí)，“AB、DC”則表示這兩條線段的長(zhǎng)度。雖然“AB”既可以表示一條線段，又可以表示這條線段的長(zhǎng)度。但“線段”和“線段的長(zhǎng)度”畢竟是兩個(gè)不同的概念：前者是一個(gè)幾何圖形，后者則是這個(gè)圖形的一種可以比較大小的屬性，一種幾何量。10. 能不能說“三角形和平行四邊形都是特殊的梯形”？【折線】【封閉折線】【多邊形】【多角形】ABCDEABCDEF一系列的點(diǎn)以及每相鄰兩點(diǎn)連成的線段組成的圖形叫做“折線”。其中第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)叫做折線的“端點(diǎn)”。每相鄰的兩點(diǎn)連成的線段叫做折線的“邊”。如圖28。圖28 圖29兩個(gè)端點(diǎn)重合的折線叫做“封閉折

26、線”。封閉折線又叫“多邊形”，有時(shí)也可以稱之為“多角形”。（圖29）【三角形】【四邊形】【五邊形】多邊形的邊數(shù)最少為三。按照邊數(shù)，可以把多邊形分為三角形、四邊形、五邊形、。也可以說“三邊形”、“四角形”、“五角形”、?！酒叫兴倪呅巍俊咎菪巍慷噙呅稳切挝暹呅瘟呅嗡倪呅纹叫兴倪呅翁菪蝺山M對(duì)邊都不平行的四邊形按邊數(shù)分 類按每一組對(duì)邊是否平行分類其中，四邊形可以按照它的每一組對(duì)邊是否平行分為以下三類：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做“平行四邊形”；一組對(duì)邊平行。另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做“梯形”；兩組對(duì)邊都不平行的四邊形自然被稱之為“兩組對(duì)邊都不平行的四邊形”。上述多邊形的分類可用表說明如下：按照這

27、樣的分類，三角形、平行四邊形與梯形等概念的關(guān)系都是反對(duì)關(guān)系（或者說并列關(guān)系），而不是屬種關(guān)系（一般和特殊的關(guān)系）。主張“三角形和平行四邊形都是特殊的梯形”的人提出的理由是：“三角形可以看作是上底縮小為一點(diǎn)的梯形”；“而平行四邊形則可看作是上底延長(zhǎng)到和下底相等時(shí)的梯形?！蔽覀儠翰环治鋈粘５脑~語(yǔ)“可以看作是”究竟具有什么樣的邏輯意義，也不否認(rèn)梯形的上底的確是可以伸長(zhǎng)或縮短的。當(dāng)它縮小為一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)梯形確實(shí)變成一個(gè)三角形；當(dāng)它伸長(zhǎng)達(dá)到和下底相等的長(zhǎng)度時(shí)，這個(gè)梯形也的確變成了平行四邊形。但這些事實(shí)只是說明了事物“由量變到質(zhì)變”的辯證規(guī)律。事物A發(fā)生質(zhì)變后，變成了另一事物B，這反映了它們之間存在由量變到

28、質(zhì)變的辯證關(guān)系。并不意味著B是A的特例，并不表示A、B之間存在形式邏輯的屬種關(guān)系。另一些人提出的理由是：在梯形的面積公式中，以上底=0代入，就可以用來計(jì)算三角形的面積；以上底=下底代入，梯形的面積公式就變成了平行四邊形的面積公式。事實(shí)上，如果圖形A是圖形B的特例，那么我們就可以用B的面積公式來計(jì)算A的面積（如正方形和長(zhǎng)方形）。如果可以用B的面積公式來計(jì)算A的面積，就斷定A是B的特例，那是上述真命題的逆命題。而一個(gè)真命題的逆命題不一定是真的。譬如，我們可以用長(zhǎng)方體的體積公式“V=底面積×高”來計(jì)算棱柱和圓柱的體積，但不能由此而斷定棱柱和圓柱都是“特殊的長(zhǎng)方體”。事實(shí)上，長(zhǎng)方體也是一種棱

29、柱，棱柱和圓柱都是“柱體”的特例?！暗酌娣e×高”本來就是柱體的體積公式。11. 為什么小學(xué)生往往不承認(rèn)“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”？怎樣防止小學(xué)生產(chǎn)生這樣的誤解？為什么讓小學(xué)生思考“長(zhǎng)方形和正方形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)”是不妥當(dāng)?shù)?？有些小學(xué)生弄不清長(zhǎng)方形和正方形的屬種關(guān)系，不承認(rèn)正方形是特殊的長(zhǎng)方形。和中學(xué)數(shù)學(xué)要求建立的幾何圖形的概念系統(tǒng)矛盾。究其原因，有以下幾點(diǎn)：（1）在一年級(jí)直觀認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形階段，學(xué)生對(duì)“長(zhǎng)方形”和“正方形”的感受從一開始就是：它們是從不同的事物抽象出來的不同的圖形。對(duì)于這些圖形僅僅是通過直觀地感知來積累表象，并且通過整體地辨認(rèn)作出判斷。既不分析它們的特征，更談不

30、上去研究它們的邏輯關(guān)系。（2）對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的第二輪認(rèn)識(shí)一般安排在二、三年級(jí)。現(xiàn)行教科書往往是引導(dǎo)學(xué)生用折一折、量一量、比一比等實(shí)驗(yàn)的方法分別研究長(zhǎng)方形和正方形的特征，并且分別概括成下表，使小學(xué)生初步獲得長(zhǎng)方形和正方形的概念：長(zhǎng)方形正方形有四條邊，對(duì)邊相等； 有四條邊，全都相等；有四個(gè)角，都是直角。 有四個(gè)角，都是直角。這時(shí)，教科書往往要求學(xué)生思考：“長(zhǎng)方形和正方形有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？”導(dǎo)致學(xué)生誤認(rèn)為它們是并列的兩個(gè)概念（反對(duì)關(guān)系），而不是要求學(xué)生先概括出長(zhǎng)方形的特征，然后，對(duì)照被稱之為“正方形”的那一類圖形，研究：長(zhǎng)方形的每一項(xiàng)特征，正方形是不是都具有？（都具有）既然長(zhǎng)方形的每一項(xiàng)特征，

31、正方形都具有，那么我們可以對(duì)這兩種圖形的關(guān)系作出什么結(jié)論？（正方形是特殊的長(zhǎng)方形；正方形是長(zhǎng)等于寬的長(zhǎng)方形）。然后給出下面的分類表和歐拉圖。（圖212）使學(xué)生明確長(zhǎng)方形和正方形的屬種關(guān)系。正方形長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形長(zhǎng)等于寬的長(zhǎng)方形（即正方形）長(zhǎng)、寬不等的長(zhǎng)方形按照長(zhǎng)是否等于寬分類 圖212（3）現(xiàn)行教科書在教學(xué)長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算時(shí)。用同樣的方法去推導(dǎo)兩個(gè)面積公式。沒有強(qiáng)調(diào)：因?yàn)檎叫问翘厥獾拈L(zhǎng)方形，所以長(zhǎng)方形的面積公式對(duì)正方形的面積計(jì)算同樣適用。因此，我們可以根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推導(dǎo)出正方形的面積公式。如果在教學(xué)中注意了以上幾點(diǎn)，使小學(xué)生認(rèn)識(shí)“正方形是特殊的長(zhǎng)方形”不會(huì)太困難，從而做好中、小學(xué)數(shù)

32、學(xué)教學(xué)的銜接。12. 說“長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形”對(duì)嗎？在這6個(gè)長(zhǎng)方形中，可不可能只有一個(gè)正方形？可不可能只有2個(gè)正方形？可不可能只有4個(gè)正方形？可不可能都是正方形？幫助學(xué)生探究和認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的特點(diǎn)，主要還是讓學(xué)生觀察、測(cè)量，同時(shí)適當(dāng)應(yīng)用空間想象和邏輯推理，自已悟出長(zhǎng)方體的面、棱、頂點(diǎn)的特點(diǎn)，特別是“長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形”；“每?jī)蓚€(gè)相對(duì)的面完全相同”。并由此推出：“在長(zhǎng)方體的6個(gè)面中，如果有正方形，那么必然有偶數(shù)個(gè)正方形。”進(jìn)而推知：“長(zhǎng)方體的6個(gè)面中，如果有2個(gè)面是正方形，那么其它4個(gè)面就一定是完全一樣的長(zhǎng)方形”，“如果有4個(gè)面是正方形，那么另2個(gè)面必然也是正方形?！币虼?，作為長(zhǎng)方體的6

33、個(gè)面的6個(gè)長(zhǎng)方形中，只可能出現(xiàn)以下三種情況：（1）6個(gè)面都是長(zhǎng)與寬不等的長(zhǎng)方形。這時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高兩兩不等；（2）6個(gè)面中有且只有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形。另4個(gè)面是完全相同的、長(zhǎng)、寬不等的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方體的長(zhǎng)=寬高。（3）6個(gè)面都是正方形。這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)=寬=高，實(shí)際上是一個(gè)正方體。13. 說“圓就是360°的扇形”對(duì)嗎？用量角器以圓心為頂點(diǎn)畫一個(gè)60°的角，我們就可以在這個(gè)圓中畫出一個(gè)60°的扇形。（圖213）實(shí)質(zhì)上也就是把這個(gè)圓面分成了兩部分：一個(gè)是60°的扇形，另一個(gè)是300°的扇形。于是有人說：整個(gè)圓就是360°的扇形?？墒?，

34、我們能說：“半徑為r的圓”就是半徑為r的360°扇形嗎？詞語(yǔ)“圓”和“360°扇形”所表示的都是“圖形”。兩個(gè)圓形怎樣才能說它們“相同呢”？因?yàn)槿魏螆D形都可以看作“點(diǎn)的集合”，所以，問題的實(shí)質(zhì)在于：兩個(gè)“點(diǎn)的集合”在什么情況下才是相同的集合？比較一下圖214和圖215就不難作出結(jié)論。r··60°rO·圖213 圖214 圖215 半徑為r的圓 半徑為r的360°扇形因?yàn)樗鼈儾皇窍嗤狞c(diǎn)集，所以也就不是相同的圖形。14. “圓”和“球”有什么相同點(diǎn)、不同點(diǎn)和相互聯(lián)系？【球面】【球體】【球】平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是

35、“圓”。定點(diǎn)叫做這個(gè)圓的圓心，定長(zhǎng)叫做這個(gè)圓的半徑。在空間到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做“球面”。定點(diǎn)稱為球心，定長(zhǎng)稱為球的半徑。球面所圍成的空間部分叫做球體，簡(jiǎn)稱球?！緢A和球面的比較】圓和球面都是“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”。但前者是就一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)而言，后者則以整個(gè)三維空間作為論域（全集）。關(guān)于圓和球面，可以類比的知識(shí)點(diǎn)很多，用表舉例如下：圓球 面定義在一個(gè)平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓在空間到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面各部分名稱這個(gè)定點(diǎn)叫做圓心定長(zhǎng)叫做圓的半徑圓所圍的平面部分叫做圓面這個(gè)定點(diǎn)叫做球心定長(zhǎng)叫做球的半徑球面所圍的空間部分叫做球體基本性質(zhì)同一

36、個(gè)圓的半徑都相等；直徑都相等，并且等于半徑的兩倍同一個(gè)球面的半徑都相等；直徑都相等，并且等于半徑的兩倍相互聯(lián)系半圓繞直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面就是球面。（如圖216，半圓孤上的點(diǎn)是該半平面內(nèi)到圓心O的距離等于半徑r的所有的點(diǎn)。當(dāng)半平面繞它的邊線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就把空間到圓心O的距離等于r的所有點(diǎn)包括在內(nèi)）球面與平面相交于圓（設(shè)此球面的半徑是R，球心O到該平面的垂線段是OO1，OO1=d，則球面與此平面的交線就是這個(gè)平面內(nèi)與點(diǎn)O1的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合）rOO1OdRO圖216 圖21715. 小學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)圖形后，在辨認(rèn)形體時(shí)作出肯定或否定的判斷，需不需要他們說明理由？一年級(jí)小學(xué)生最初

37、認(rèn)識(shí)的幾何形體是長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球。學(xué)習(xí)時(shí)通過對(duì)典型的實(shí)例的觀察，整體感知，積累表象，作為判斷一個(gè)物體的形狀是不是長(zhǎng)方體、的依據(jù)。由于這時(shí)不分析各種幾何形體的特征，不講各種形體的定義，所以學(xué)生在判斷一個(gè)物體的形狀時(shí)，主要依靠整體觀察和儲(chǔ)備的表象對(duì)照，直覺地作出判斷。不論是作出肯定判斷，還是否定的判斷，都不需要講理由，也不可能講出令人信服的理由。特別是讓學(xué)生舉例，學(xué)生舉出的實(shí)例不當(dāng)，教師需要加以調(diào)整時(shí)，就更加困難了。如舉長(zhǎng)方體的實(shí)例，如果學(xué)生舉出了“文具盒”，那么教師可以這樣調(diào)整：“應(yīng)該說，有些文具盒的形狀大致是長(zhǎng)方體?！比绻麑W(xué)生舉起自己的鉛筆，作為圓柱體的實(shí)例時(shí)，教師可以舉出事先準(zhǔn)備好的

38、沒有削過的、新的圓柱形鉛筆，說：“這樣的鉛筆才是圓柱體”；然后舉出削好的圓鉛筆，指出：“削尖的圓鉛筆的形狀不是圓柱體”；再舉出六棱柱形的新鉛筆，說：“這樣的新鉛筆的形狀也不是圓柱體?！苯處熢谡{(diào)整或修改學(xué)生的答案時(shí)，當(dāng)然不能不講理由。但學(xué)生暫時(shí)無法理解這些理由。這就不得不借助直觀教學(xué)的手段。教師在課前應(yīng)準(zhǔn)備好，可能用到的直觀教具。16. “面積”概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中的說明和在中學(xué)數(shù)學(xué)中的定義有什么不同？（郭靜提）【面積】小學(xué)數(shù)學(xué)教科書對(duì)“面積”概念一般是這樣說明的：物體的表面或平面封閉圖形所圍的平面部分的大小叫做它們的面積。關(guān)于面積概念有兩點(diǎn)基本特征：（應(yīng)該通過具體事例使學(xué)生逐漸領(lǐng)會(huì)這些特征）（1）

39、可以完全疊合的兩個(gè)平面封閉圖形的面積相等。（簡(jiǎn)單地說就是“全等形等積”。）（2）把一個(gè)平面部分分成兩塊，那么這個(gè)平面部分的面積等于兩塊的面積的和。（“面積的可加性”）在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“簡(jiǎn)單多邊形的面積”定義如下：對(duì)應(yīng)于一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形、且具有下列性質(zhì)的正數(shù)叫做這個(gè)多邊形的面積：（1）與合同的（即全等的）多邊形對(duì)應(yīng)的是相等的正數(shù)。（2）兩個(gè)多邊形之和對(duì)應(yīng)的正數(shù)等于這兩個(gè)多邊形對(duì)應(yīng)的正數(shù)的和?？梢?，“面積”概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中的說明和在中學(xué)數(shù)學(xué)中的定義基本上是一致的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中往往強(qiáng)調(diào)通俗性和可接受性，但這種通俗性和可接受性應(yīng)以不損害科學(xué)性為原則。所以在教學(xué)中，在面積概念的表述較為直觀、籠統(tǒng)時(shí)，需要

40、另行安排一些數(shù)學(xué)活動(dòng)，以突出“全等形等積”和“面積的可加性”。如果連這種籠統(tǒng)的、直觀的說明都從教科書中刪去，而僅僅是對(duì)生活實(shí)際中的一些物體表面的大小進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)性的討論，那么小學(xué)生將很難形成“面積”這一數(shù)學(xué)概念。師生交流的語(yǔ)言也只能是反映生活經(jīng)驗(yàn)的日常語(yǔ)言，難以提升為反映數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，增加中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接的矛盾。參考書：大百科全書，數(shù)學(xué)，P339注：對(duì)于“簡(jiǎn)單多邊形”我們暫時(shí)作出這樣的解釋：所謂“簡(jiǎn)單多邊形”就是邊與邊沒有內(nèi)部公共點(diǎn)的多邊形。17. 用數(shù)方格的辦法求一個(gè)圖形的面積，它的理論根據(jù)是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)教科書在引入面積單位后，就出現(xiàn)了許多將一個(gè)封閉圖形分成許多單位小方塊，通過數(shù)方塊

41、來求這個(gè)圖形的面積的題目。例 圖218的兩個(gè)圖形的面積各是多少平方厘米？在小組里交流一下你的算法（每小格表示1cm2）圖218通過數(shù)方格，我們知道：這兩個(gè)圖形的面積分別是12cm2和10cm2。用這種數(shù)方格的辦法來求圖形面積的理論根據(jù)有兩點(diǎn)：（1）因?yàn)槊總€(gè)小方格表示的正方形和表示1cm2的單位正方形全等，所以它們的面積都相等，即每個(gè)方格表示的面積都是1cm2。（2）因?yàn)閳D218分別是由12個(gè)和10個(gè)這樣的正方形拼成的，所以它們的面積分別等于12和10個(gè)正方形面積的和，即為12cm2和10cm2?！厩竺娣e的直接計(jì)量法的理論根據(jù)】通過將封閉圖形所包圍的平面部分分成若干個(gè)單位正方形，然后用數(shù)方格的辦

42、法來求面積的方法，屬于求面積的直接計(jì)量法。如上所說，用直接計(jì)量法求面積的理論根據(jù)是關(guān)于面積概念的兩個(gè)公理：“全等形等積”和“面積的可加性”。所以在教學(xué)“面積單位”前，教學(xué)“面積”概念時(shí)，就應(yīng)該設(shè)計(jì)一些教學(xué)活動(dòng)，幫助小學(xué)生理解和運(yùn)用關(guān)于面積的上述兩個(gè)公理。18. 用數(shù)方格的辦法求面積時(shí)，為什么不滿一格的一律按半格計(jì)算？用數(shù)方格的辦法求一個(gè)封閉圖形的面積時(shí)，可能會(huì)在靠近邊界的地方遇到一些不完整的方格。如圖218。這時(shí)，可以首先考慮：是否可以把它們拼成完整的方格。因?yàn)閳D218中的不完整的方格都是小方格的一半。所以每?jī)蓚€(gè)這樣的方格可以拼成1個(gè)完整的方格?；蛘呙堪敫穸伎梢宰鳛榛?.5計(jì)算?？墒牵诟嗟?/p>

43、情況下，邊界處的不完整的方格無法拼成完整的方格。這時(shí)，我們?cè)撊绾斡?jì)算面積呢？當(dāng)然，我們似乎可以參照截取近似數(shù)的“四舍五入”法，將那些達(dá)到或超過半格的不完整的方格算作1；而將那些不足半格的不完整的方格算作0。具體操作時(shí)，可以先將每格內(nèi)的一小段邊線通過等積變換轉(zhuǎn)化為直線線段；再看小正方形的中心位于何處，（如圖219）從而判斷不完整的方格是否達(dá)到或超過了半格。 (超過了半格) （沒有達(dá)到半格）圖219但如此操作較為繁瑣。因此約定：在對(duì)結(jié)果的精確度要求不高的條件下，我們將每個(gè)不完整的方格一律按半格計(jì)算。19. 面積的“直接計(jì)量法”與“間接計(jì)量法”有什么不同？【面積的直接計(jì)量法】“直接計(jì)量法”就是將被量

44、的量和計(jì)量單位直接比較（如用卷尺量?jī)筛噜彽碾娋€桿之間的距離），得出被量的量是計(jì)量單位的多少倍，從而用量數(shù)和計(jì)量單位來表示被量的量的大小?！懊娣e的直接計(jì)量法”就是把需要量的一塊面積和面積單位直接比較，得出被量的面積是面積單位的多少倍。因?yàn)槊娣e單位通常被定義為邊長(zhǎng)為長(zhǎng)度單位的正方形的面積，所以在進(jìn)行面積的直接計(jì)量時(shí)，我們總是設(shè)法將需要量其面積的封閉圖形盡可能分成若干個(gè)邊長(zhǎng)為長(zhǎng)度單位的小方格，每格的面積是1個(gè)面積單位。數(shù)一數(shù)被量面積的圖形包含了多少單位小方格，就可以知道該圖形的面積是多少個(gè)面積單位?？梢姡ㄟ^數(shù)方格求面積，就是用直接計(jì)量法求面積?！久娣e的間接計(jì)量法】直接計(jì)量不是在任何情況下都能做到

45、的。如計(jì)量地球與月球之間的距離，就無法用直接計(jì)量法進(jìn)行。但我們可以用激光測(cè)距，這時(shí)計(jì)量的實(shí)際上是激光在地、月間傳播一個(gè)來回的時(shí)間，它和激光傳播速度的乘積，就是我們所要求的地、月之間的距離的兩倍。這就是所謂“間接計(jì)量法”先計(jì)量與被量的量相關(guān)的其它的量。再按一定的公式計(jì)算，得出被量的量的大小。求面積的問題大多是用間接計(jì)量法來解決的。如求長(zhǎng)方形（或三角形、或梯形、）的面積時(shí)，一般不是先把這個(gè)圖形分成單位小方格，然后數(shù)小方格的個(gè)數(shù)。而是先用對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度單位去量某些線段，然后根據(jù)量得的這些線段的量數(shù)，按一定的公式計(jì)算，以得出該圖形的面積?？梢?，用公式計(jì)算求面積，實(shí)質(zhì)上是用間接計(jì)量法求面積。多種圖形的面積公

46、式就是在我們從面積的直接計(jì)量法過渡到間接計(jì)量法時(shí)應(yīng)運(yùn)而生的。間接計(jì)量法和面積公式的運(yùn)用大大地簡(jiǎn)化了求面積的操作。但直接計(jì)量法在求某些不規(guī)則圖形的面積時(shí)，仍有其不可替代的作用。如圖220。例 估計(jì)圖220中圖形的面積大約是多少平方厘米（每小格表示1cm2）圖220因?yàn)檫@個(gè)圖形包含7個(gè)完整的方格和17個(gè)不完整的方格，所以它的面積大約是1×7+0.5×17=15.5（cm2）20. 怎樣得出常見圖形的面積公式？在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中，多邊形面積公式的編排順序大致如下。首先，根據(jù)面積概念、面積單位以及長(zhǎng)方形的特征推出長(zhǎng)方形的面積公式。對(duì)于邊長(zhǎng)是整數(shù)的具體的長(zhǎng)方形來說，面積公式的正確性可

47、以用直接計(jì)量法（數(shù)方格）來證實(shí)。然后，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式運(yùn)用演繹推理推出正方形的面積公式。面積概念和面積單位長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬平行四邊形的面積=底×高梯形的面積=（上底+下底）×高÷2正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)三角形的面積=底×高÷2并且根據(jù)化歸的思想，運(yùn)用割補(bǔ)的方法，將平行四邊形等積變換為長(zhǎng)方形，從而根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推出平行四邊形的面積公式。為了進(jìn)一步推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式，教科書將兩個(gè)全等的三角形（或梯形）拼成一個(gè)平行四邊形。有人把這種等積變換稱之為“雙拼”。事實(shí)上，我們也可以將三角形等積變換為長(zhǎng)方形，將梯形

48、變換為三角形或長(zhǎng)方形來推導(dǎo)出它的面積公式。解決了多邊形的面積計(jì)算問題后，就可以進(jìn)一步去推導(dǎo)圓的面積公式。圖221r推導(dǎo)圓的面積公式，需要實(shí)現(xiàn)曲和直、有限和無限、近似和精確的轉(zhuǎn)化。在這個(gè)過程中，不但運(yùn)用了變換的思想和方法，而且還運(yùn)用了極限思想和極限方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通常是先用半徑將圓平均分為16，32，64，等份，然后用分得的圖形另行拼成近似的長(zhǎng)方形、或平行四邊形，讓學(xué)生觀察和比較幾種有限分割的割拼情況，注意分割的份數(shù)倍增時(shí)拼成的圖形的變化趨勢(shì)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生想象：等分的份數(shù)無限倍增時(shí)的“終極狀態(tài)”，從而經(jīng)歷一個(gè)直覺的極限過程，確認(rèn)推得的圓面積公式的準(zhǔn)確性。除此以外，也有人提出用“微元法”在

49、圓周長(zhǎng)公式的基礎(chǔ)上這樣推導(dǎo)圓面積公式：用半徑將圓等分為n個(gè)扇形。n足夠地大，以致于分得的每一份幾乎就是高為r的等腰三角形（圖221）。因此，它們面積是如上所述，面積公式的推導(dǎo)，是從長(zhǎng)方形的面積公式開始的。所以在教學(xué)長(zhǎng)方形的面積公式時(shí)，要引導(dǎo)好從面積的直接計(jì)量法到間接計(jì)量法的過渡，使學(xué)生弄清楚各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈，把握知識(shí)體系，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。應(yīng)用圓面積公式的練習(xí)應(yīng)當(dāng)是多種多樣的，并且包括推理和計(jì)算等方面。除根據(jù)半徑求面積外，還可以根據(jù)直徑或圓周長(zhǎng)求面積，并且可以在生產(chǎn)或生活的實(shí)際情境中出現(xiàn)這樣的算題。21. 是怎樣算出來的？【圓周率】圓的周長(zhǎng)與直徑的長(zhǎng)度的比叫做“圓周率”。1737年，L歐

50、拉建議：用希臘字母表示圓周率。由此可以推導(dǎo)出圓的周長(zhǎng)公式：圓周率是人類認(rèn)識(shí)到的第一個(gè)特殊的常數(shù)。在古希臘歐幾里得的幾何原本中已提到圓周率是常數(shù)。中國(guó)的古代算書也早有“徑一周三”的記載，即認(rèn)為圓周率是常數(shù)3。在九章算術(shù)第一章“方田”中求圓田的面積時(shí)，有“半圓半徑相乘得積步”。這就是說，以邊長(zhǎng)為與的長(zhǎng)方形的面積作為圓的面積。（圖2- 22）rrr圖2-22可見，要計(jì)算圓周長(zhǎng)或圓面積，都需要先知道圓周率的值。根據(jù)史料記載，公元前1650年左右在古埃及留傳下來的萊因德紙草書上，取得到這個(gè)數(shù)，可能是用的經(jīng)驗(yàn)的方法（實(shí)驗(yàn)的方法）。公元前240年，古希臘的阿基米德從計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形與圓外切正多邊形的周長(zhǎng)來

51、確定圓周率。他從正六邊形開始，逐步算到正96邊形，得到公元150年，C托勒密根據(jù)圓心角所對(duì)弦的長(zhǎng)度推算，得出1427年，阿拉伯的卡西通過計(jì)算正3×228邊形的周長(zhǎng)，得出了的精確到17位有效數(shù)字的近似值中國(guó)古代算書九章算術(shù)記有“徑一周三”，即取=3，稱之為古率。東漢張衡（公元78139）計(jì)算球的體積時(shí)，采用。公元263年，三國(guó)時(shí)魏人劉徽在注九章算術(shù)時(shí)提出了“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的面積逐步逼近圓面積的方法，從圓內(nèi)接正六邊形開始，成倍增加邊數(shù)，逐步算到正192邊形，得到。還說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！斌w現(xiàn)了他的極限思想。南北朝時(shí)的祖沖之（

52、429500）則用“綴術(shù)”（已失傳）求出了圓周率的8位近似值3.14159263.1415927。比卡西早了九百多年。祖沖之還提出了圓周率的“約率”和“密率”。公元1767年，JH朗伯證明了圓周率是無理數(shù)，它不能表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家FVon林德曼證明了是超越數(shù)，即不是任何有理系數(shù)的一元n次方程的根。1655年，英國(guó)數(shù)學(xué)家J沃利斯將表示為無窮級(jí)數(shù)的乘積：1673年GW萊伯尼茲將表為無窮級(jí)數(shù)的和：此后，人們發(fā)現(xiàn)的可用來計(jì)算的無窮級(jí)數(shù)越來越多。想要得到更精確的值，只要取無窮級(jí)數(shù)前面更多的項(xiàng)計(jì)算即可。1948年，DF弗格森和JW小雷恩聯(lián)合發(fā)表了808位準(zhǔn)確的值。電子計(jì)算機(jī)

53、發(fā)明以后，值的計(jì)算得到了飛速的發(fā)展。1949年算到2037位，1959年計(jì)算到16167位，1967年算到50萬位，1974年算到100萬位，1983年計(jì)算到223（800多萬）位。20世紀(jì)90年代初，用先進(jìn)的電子計(jì)算機(jī)“克雷-2”28小時(shí)就算出了2936萬位的值，創(chuàng)下了當(dāng)時(shí)最新的世界記錄。參考書1中國(guó)大百科全書 數(shù)學(xué)中國(guó)大百科全書出版社1988年版P820-8212小學(xué)數(shù)學(xué)問答手冊(cè)，劉夢(mèng)湘、黃文選主編，北京師范大學(xué)出版社1993年3月第1版P376-3783中學(xué)數(shù)學(xué)教師手冊(cè)上海教育出版社1986年5月第1版P1-30330522. 平行四邊形是不是軸對(duì)稱圖形？關(guān)于這個(gè)問題，回答“平行四邊形是

54、軸對(duì)稱圖形”不對(duì)；回答“平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形”也不對(duì)。 （1） （2） （3）圖229因?yàn)橛行┢叫兴倪呅尾皇禽S對(duì)稱圖形（圖229（1），所以說“（所有）平行四邊形都是軸對(duì)稱圖形”是錯(cuò)誤的；同樣，由于有些平行四邊形是軸對(duì)稱圖形（圖229（2）（3），所以說“（所有）平行四邊形都不是軸對(duì)稱圖形”也是錯(cuò)誤的。答案應(yīng)該是“有些平行四邊形是軸對(duì)稱圖形，有些平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形。”確切地說，答案應(yīng)該是“鄰邊相等或垂直的平行四邊形是軸對(duì)稱圖形；鄰邊不等并且不垂直的平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形。”事實(shí)上，“平行四邊形”和“軸對(duì)稱圖形”是兩個(gè)概念?！捌叫兴倪呅问禽S對(duì)稱圖形”和“平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形”這兩個(gè)判斷的真假取決于這兩個(gè)概念之間的關(guān)系。因?yàn)椤捌叫兴倪呅巍迸c“軸對(duì)稱圖形”之間既不是圖230（1）所表示的“種屬關(guān)