高師院校同步數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)踐與探索

1、高師院校同步數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)踐與探索蔣曉云1，2 （1 南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)院 江蘇 南京 210097； 2 桂林師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系 廣西 桂林 541001）【摘要】師范生在未來的數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作中肩負(fù)著培養(yǎng)中小學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和創(chuàng)造能力的重任，高師院校的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兼而負(fù)有一種特殊任務(wù):讓高師學(xué)生學(xué)會怎樣在IT環(huán)境下“學(xué)數(shù)學(xué)”和“教數(shù)學(xué)”。高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的課程開發(fā)具有特殊性。【關(guān)鍵詞】信息技術(shù)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；師范性；課程。Practice and exploratio of mathematical experiment class in normal univers

2、itiesJiang Xiao-yun1,2（1 Department of Mathematics and Computer Science, Nanjing Normal University, Nanjing 210097,China 2 Department of Mathematics and Computer Science ,Guilin Teachers College, Guangxi 541001,China）Abstract:The students of normal university hold a great responsibility of mathemati

3、cs inquiry ability and creative ability for training primary and middle school students on the mathematics teaching in the future .The mathematical experiment of normal universities hold a special duty that is teaching students how to “l(fā)earn mathematics” and “teach mathematics” under the IT environm

4、ent. The curriculum development of mathematical experiment class has a special character in the normal universities. Key words: information technology, mathematical experiment,teachers-training quality, curriculum.1995年在原國家教委組織實(shí)施的“高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革”計劃中，就把“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”列為高校非數(shù)學(xué)類專業(yè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一。目的是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的基本思

5、想和方法，借助于計算機(jī)通過學(xué)生親自設(shè)計和動手，體驗(yàn)解決問題的過程，從實(shí)驗(yàn)中去學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。很多高校將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為精品課程或重點(diǎn)課程來建設(shè)，取得了許多成果。我國新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程全面實(shí)施，全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)立了“課題學(xué)習(xí)”，要求教師結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識背景，引導(dǎo)學(xué)生以自主探索與合作交流的方式，理解數(shù)學(xué)，發(fā)展解決問題的策略，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的學(xué)習(xí)活動，并分別對它們提出了具體要求。從某個層面上要求我們從事數(shù)學(xué)教育的教師們要攜數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)課堂。目前大多數(shù)高師院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)課程中數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)建模比較薄

6、弱；知識講授型教學(xué)方式仍然上占主導(dǎo)地位，這與中學(xué)數(shù)學(xué)新課程形成了強(qiáng)烈反差。因此，在高師院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)課程中引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課刻不容緩。1 高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的特殊地位和價值基金項目：高師數(shù)學(xué)專業(yè)同步實(shí)驗(yàn)課程教材建設(shè)研究與實(shí)踐，新世紀(jì)廣西高等教育教學(xué)改革工程立項課題；同步數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，廣西高等學(xué)校重點(diǎn)教材立項項目。作者簡介：蔣曉云（1963），男，廣西桂林人，南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)院訪問學(xué)者，桂林師專副教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育和計算機(jī)密碼學(xué)高師院校的數(shù)學(xué)專業(yè)課片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)重視演繹推理的一面，教師通常是沿著“定義-假設(shè)-定理-證明-推論”這么一條演繹的道路進(jìn)行教學(xué)，展示給學(xué)生的是“已組織好的數(shù)學(xué)系

7、統(tǒng)”，片面強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯推理的形式化。學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)重、枯燥乏味、學(xué)習(xí)積極性不高，一直困擾著高師數(shù)學(xué)教育。G·波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！倍嗌倌陙?，數(shù)學(xué)教育工作者一直在呼喚：應(yīng)當(dāng)給學(xué)生以“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)”的教育，要讓學(xué)生除了演繹推理之外，還會使用歸納推理、“合情推理”等非演繹手法，體驗(yàn)完整的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程-從操作、觀察、歸納、概括、猜想，到分析與論證的全過程。這是幾代數(shù)學(xué)教育家的理想之夢。張奠宙先生說過“知識系統(tǒng)有兩種形態(tài):學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)。綜合

8、大學(xué)的教育，只要使學(xué)生掌握知識的學(xué)術(shù)形態(tài)就可以了。但是師范大學(xué)的教學(xué)則在了解知識的學(xué)術(shù)形態(tài)之后，還必須幫助學(xué)生掌握知識的教育形態(tài)。這種轉(zhuǎn)換是一種特殊的能力，需要加以培養(yǎng)。”，高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將被分成兩種類型:學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和教育形態(tài)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)更多地關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教育價值，將它界定為一種教學(xué)手段，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)手段從直觀、想象到發(fā)現(xiàn)、猜想，然后給出驗(yàn)證及理論證明，從而使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建構(gòu)過程，逐步掌握認(rèn)識事物、發(fā)現(xiàn)真理的方式、方法，是引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題的有效途徑。高師學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)牚握和運(yùn)用基于信息技術(shù)的中小學(xué)數(shù)學(xué)自主探究式教

9、學(xué)模式；學(xué)會怎樣在IT環(huán)境下“教數(shù)學(xué)”的現(xiàn)代教育技術(shù)。我們提倡學(xué)生在高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)會制作數(shù)學(xué)CAI課件。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)CAI課件，它是數(shù)學(xué)產(chǎn)品，因?yàn)樗鼇碜詳?shù)學(xué)環(huán)境，用于數(shù)學(xué)目的，表現(xiàn)數(shù)學(xué)思維，表達(dá)數(shù)學(xué)真理，具有純正意義上的數(shù)學(xué)味道。嚴(yán)格意義下的數(shù)學(xué)課件或數(shù)學(xué)CAI制品，是不能沒有由數(shù)學(xué)軟件生成的數(shù)學(xué)CAI素材，在高師數(shù)學(xué)教育中，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來培養(yǎng)學(xué)生這方面的制作能力是十分必要的。從教和學(xué)的角度，高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，以利學(xué)生以積極的心態(tài)調(diào)動原有知識和經(jīng)驗(yàn)，嘗試解決問題，同化新知識并建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生不僅學(xué)到數(shù)學(xué)知識及理論體系，并且學(xué)會數(shù)學(xué)的思考方法，提高動手能

10、力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中歸納方法與實(shí)驗(yàn)手段的交互作用。從方法論的角度看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種全新的科學(xué)研究方法，借助實(shí)驗(yàn)手段，尤其是計算機(jī)提供的平臺，使數(shù)學(xué)研究方法發(fā)展到計算機(jī)技術(shù)加思維的模式，為數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的應(yīng)用提供廣闊的應(yīng)用前景。從應(yīng)用價值看，高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅是高新技術(shù)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的強(qiáng)大武器，也有極重要的教育價值，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還提供了一種全新的數(shù)學(xué)教學(xué)手段和模式，使數(shù)學(xué)教學(xué)從單純的教師講課，學(xué)生聽練的模式發(fā)展到利用現(xiàn)代信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)師生共同參與的學(xué)習(xí)活動模式，這與當(dāng)前倡導(dǎo)的課程教學(xué)改革理念完全一致，因而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)手段和數(shù)學(xué)教師的職業(yè)技能受到大中小學(xué)廣泛的關(guān)注。因此，高師數(shù)學(xué)教育專業(yè)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有

11、其特殊的地位和價值：在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，經(jīng)受獲取感性認(rèn)識和數(shù)學(xué)信息活動教育的同時，得到如何指導(dǎo)別人在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的職業(yè)技能。2 高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程開發(fā)高校非數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成功經(jīng)驗(yàn)無疑給我們提出了許多可資借鑒的有益啟示，多數(shù)院校將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)置為一門獨(dú)立的課程，以介紹數(shù)學(xué)應(yīng)用方法為主，偏重于利用計算機(jī)應(yīng)用數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)理論進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決一些經(jīng)過簡化的實(shí)際問題的能力。高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)除了重視數(shù)學(xué)應(yīng)用方法（數(shù)學(xué)建模），更要重視以探索數(shù)學(xué)的理論和內(nèi)容（數(shù)學(xué)探究），用計算機(jī)“做數(shù)學(xué)”、“表現(xiàn)數(shù)學(xué)”，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)。因此，把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與高師數(shù)學(xué)專業(yè)課的教學(xué)隔離開來，

12、設(shè)置為一門獨(dú)立的課程，這是高師“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教學(xué)的一個誤區(qū)。我們的做法是把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課作為數(shù)學(xué)專業(yè)課的輔助課程，與數(shù)學(xué)專業(yè)課程同步開設(shè)，這樣也不必重復(fù)數(shù)學(xué)專業(yè)課程講述的基本內(nèi)容，而選擇數(shù)學(xué)專業(yè)課中的重點(diǎn)問題進(jìn)行理論的深化、應(yīng)用的具體化和計算的現(xiàn)代化，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用與建模能力的培養(yǎng)。2.1 高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教材建設(shè)對于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這樣一門新課，正式出版發(fā)行的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教材雖有好幾本，但多數(shù)是針對高等院校本科非數(shù)學(xué)類專業(yè)，其目的和內(nèi)容與我們設(shè)計的高等師范同步數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有較大的區(qū)別，并不適合師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的學(xué)生。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為數(shù)學(xué)專業(yè)課的輔助課程，與數(shù)學(xué)專業(yè)課同步開設(shè)，在教材內(nèi)容的選擇上將突出：理論問題的

13、深化與具體化；數(shù)學(xué)的應(yīng)用與建模能力的培養(yǎng)。高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為六篇：數(shù)學(xué)分析實(shí)驗(yàn)、高等代數(shù)實(shí)驗(yàn)、解析幾何實(shí)驗(yàn)、微分方程實(shí)驗(yàn)、概率統(tǒng)計實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模綜合實(shí)驗(yàn)。前五篇都是選擇一些重點(diǎn)問題作為“實(shí)驗(yàn)專題”，課程教學(xué)內(nèi)容是通過實(shí)驗(yàn)專題來體現(xiàn)的，每個專題有相對的完整性和獨(dú)立性。毎個實(shí)驗(yàn)專題由“計算實(shí)驗(yàn)”、“探究實(shí)驗(yàn)”、“應(yīng)用實(shí)驗(yàn)”組成。計算實(shí)驗(yàn)：我們選用簡單易學(xué)的Mathematica數(shù)學(xué)軟件作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的計算平臺，每個實(shí)驗(yàn)專題均安排計算實(shí)驗(yàn)，用來熟悉Mathematica軟件的基本的使用方法，完成公式演算、數(shù)值計算、圖形繪制等操作。探索實(shí)驗(yàn)：以探索數(shù)學(xué)的理論和內(nèi)容為主，目的是通過實(shí)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)學(xué)中較為

14、抽象或復(fù)雜的內(nèi)容。應(yīng)用實(shí)驗(yàn)：注重培養(yǎng)初步的建立數(shù)學(xué)模型和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。下面是我們設(shè)計的數(shù)學(xué)分析實(shí)驗(yàn)“級數(shù)”專題的教學(xué)內(nèi)容。計算實(shí)驗(yàn)：介紹Mathematica數(shù)學(xué)軟件求有限及級數(shù)和的命令，指導(dǎo)完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)：1判定下列級數(shù)的斂散性，對收斂的級數(shù)求出和式。 1）  2） 3）  4）  5） 2.設(shè)f(x)= x2, 0x1 ,將f(x)做偶延拓和奇延拓并在-3,3上畫出相應(yīng)的延拓圖形。3.將f(x)=cos(x/2)在-,上展開為傅氏級數(shù)，并分別取展開式的前兩項和前三項比較其展開的逼近效果。探索實(shí)驗(yàn)：探索調(diào)和級數(shù)的發(fā)散

15、特點(diǎn)。應(yīng)用實(shí)驗(yàn)：1某人為支持教育事業(yè)，一次性存入一筆助學(xué)基金，用于資助某校貧困生。假設(shè)該校每年末支取10，000元，已知銀行年利率為5%，如果該基金供學(xué)校支取的期限為20年，問：此人應(yīng)存入多少資金？如果該基金無期限地用于支持教育事業(yè)，此人又應(yīng)該存入多少資金？2研究分形幾何中的Koch雪花問題。在有單位邊長的正三角形中，將每一條邊三等份，再以每一條邊的中間一段為邊向外做等邊三角，然后再對每一條邊重復(fù)這樣的操作，如此下去產(chǎn)生的圖形稱為Koch雪花。試討論當(dāng)邊n不斷增多趨于無窮大時，產(chǎn)生圖形的周長和面積的極限。2.2 高師數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)模型教學(xué)模式是指在一定的教育思想、教學(xué)理論和學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)下，在某

16、種教學(xué)環(huán)境和資源的支持下的教與學(xué)活動中各要素之間穩(wěn)定的關(guān)系和活動進(jìn)程結(jié)構(gòu)。2.2.1 探索實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)以“創(chuàng)設(shè)情境提出問題實(shí)驗(yàn)觀察歸納猜想推理論證拓展提高”的基本模式展開的，它的理論基礎(chǔ)和基本思想是建構(gòu)主義教學(xué)理論和現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀及數(shù)學(xué)教學(xué)觀。案例：探索調(diào)和級數(shù)：的發(fā)散特點(diǎn)。（1）創(chuàng)設(shè)情境數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生于數(shù)學(xué)情境，培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力離不開數(shù)學(xué)情境的精心創(chuàng)設(shè)，探索實(shí)驗(yàn)情境的創(chuàng)設(shè)其素材往往源于數(shù)學(xué)自身，在此過程中通過給學(xué)生呈現(xiàn)刺激性的數(shù)學(xué)材料信息，達(dá)到激發(fā)學(xué)生好奇心和發(fā)現(xiàn)欲，引起認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想的目的。數(shù)學(xué)分析教材中，講解收斂級數(shù)概念后，研究收斂級數(shù)的性質(zhì)，證明了

17、如下一個定理：級數(shù)收斂，則?，F(xiàn)在的問題是：若一個級數(shù)滿足，這個級數(shù)收斂嗎？我們自然想到了自然數(shù)的倒數(shù)組成的數(shù)列：1，1/2，1/3，1/n，稱為調(diào)和數(shù)列，且，現(xiàn)在來討論一個非常熟悉的特殊級數(shù)調(diào)和級數(shù)：我們把它的前n項各數(shù)列記作（2）提出問題： 學(xué)生可能會提出如下問題：a) 我們能化簡H(n)的表達(dá)式嗎？能用簡單表達(dá)式表示H(n)嗎？(困難)b) 如果不能用簡單表達(dá)式表示，我們還有哪些方法可以判斷其斂散性？c) H（n）收斂嗎？若收斂，它的極限值等于多少？若它發(fā)散，它發(fā)散的特點(diǎn)是什么？我們可以用些什么方法來研究？（3）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生按照實(shí)驗(yàn)要求，親自用電腦完成相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，努力去發(fā)現(xiàn)與所

18、研究問題相關(guān)的一些數(shù)據(jù)中反映出的規(guī)律性，對實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出清楚的描述，它是整個教學(xué)過程中的核心環(huán)節(jié)。我們借助于Mathematica數(shù)學(xué)軟件畫出H(n)的散點(diǎn)圖來觀察它的變化情況（如圖）。Hn_:=Nsum1/k,k,1,nt=Tablen,Hn,n,1,100ph1=ListPlott 圖1H（n）散點(diǎn)圖圖H(n)與ln(x)的圖象的比較仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)的圖象，思考一下它與哪一種已知函數(shù)圖象很近似？（對數(shù)函數(shù)y=ln x）我們作出對數(shù)函數(shù)y=ln x的圖象與H(n)的數(shù)據(jù)圖象作比較（如圖）plog=PlotLogx,x,1,100Showph1,plog根據(jù)圖象比較的結(jié)果可以看出，當(dāng)n很大時，H(n

19、)的圖象與ln x的圖象非常相似，但它們大致差一個常數(shù)，這個常數(shù)約為：CH(10000)-ln(10000)0.577。我們將ln(x)+C的圖象與H(n)的數(shù)據(jù)圖像作比較。C=H10000-Log10000ph2=PlotLogx+C,x,1,100圖Showph1,ph2現(xiàn)在可以看到圖象幾乎完全重合（如圖）。 （4）歸納猜想提出猜想是指學(xué)生在理解了學(xué)習(xí)課題后，通過直觀觀察、實(shí)驗(yàn)分析、數(shù)學(xué)靈感等各種途徑和方式，根據(jù)已有的信息或新得到的信息，提出解決課題的假說。本環(huán)節(jié)整個教學(xué)過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的高潮階段。同時也是培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的過程。猜想1：調(diào)和級數(shù)的前n項和H(n)是發(fā)散的，

20、它的數(shù)值與Ln(n)+C很接近。猜想2：H(n)-ln(n)是收斂的。為了發(fā)現(xiàn)證明猜想的思路，我們再研究C(n)=H(n)-ln(n)和D(n)=H(n)-ln(n+1)的圖象（如圖、圖）并作比較（如圖）。cn=Tablen,Hn-Logn,n,1,100cnp=ListPlotcndn=Tablen,Hn-Logn+1,n,1,100dnp=ListPlotdn 圖C(n)的散點(diǎn)圖圖D(n) 的散點(diǎn)圖Showcnp,dnp圖C(n)與D(n)的散點(diǎn)圖的比較我們觀察到下列事實(shí)：猜想3. C(n)是單調(diào)遞減數(shù)列，D(n)是單調(diào)遞增數(shù)列；(5) 推理論證驗(yàn)證猜想是指在提出猜想之后，通過演繹推理的方

21、法來驗(yàn)證猜想的正確性或通過舉出反例的方法來否定猜想。這是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不可缺少的環(huán)節(jié)，是我們獲得正確結(jié)論的關(guān)鍵步驟，是對實(shí)驗(yàn)成功與否的判斷。驗(yàn)證猜想的過程實(shí)際上是培養(yǎng)學(xué)生求實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Φ倪^程。利用導(dǎo)數(shù)建立函數(shù)單調(diào)性判別法，可以證明下列不等式： (x1)利用這個不等式可以證明：a. 數(shù)列單調(diào)遞減且有下界。b. 數(shù)列單調(diào)遞增且有上界。c. cn dnd. 的極限存在且相等。 我們得出了結(jié)論：的極限存在，這個極限值記為C，C0.577，稱為歐拉（Euler）常數(shù)。(6) 拓展提高教師啟發(fā)學(xué)生從以下幾方面分析，將有助于尋找更美的數(shù)學(xué)解答。a) 看解題過程多走了哪些思維回路，通過刪除、合并

22、來體現(xiàn)簡潔美。b) 看能否用更一般的原理去代替現(xiàn)存的許多步驟，以提高整個解題的觀點(diǎn)和思維的層次。c) 看能否用更特殊的技巧去代替現(xiàn)有的常規(guī)步驟，以體現(xiàn)解題的奇異美。還可以對本節(jié)課的主題“調(diào)和級數(shù)研究”做更深入的探討：a) 如何估算H(n)=的近似值？b) 還可以用那些方法證明調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性？數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（下冊）（劉玉璉等編）給出了五種證法。c) 如何衡量調(diào)和級數(shù)的發(fā)散速度？提示：調(diào)和級數(shù)發(fā)散（趨近于+）的速度極慢，歐拉曾計算H(1000)=7.48,H(1000000)=14.39d) 是否存在有比調(diào)和級數(shù)發(fā)散得更慢的正項級數(shù)？是否存在發(fā)散最慢的正項級數(shù)？ 2.2.1 應(yīng)用實(shí)驗(yàn)教學(xué)

23、模式應(yīng)用實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)以“創(chuàng)設(shè)情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”的基本模式展開。高校非數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)已有很多成果，本文不詳細(xì)闡述這一模式。（1）創(chuàng)設(shè)情境：應(yīng)用實(shí)驗(yàn)的情境應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)（生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)）。（2）建立模型：以數(shù)學(xué)建模為線索貫穿整個課程，通過一些經(jīng)過簡化的實(shí)際問題解決，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識和能力。（3）解釋、應(yīng)用與拓展：將結(jié)果回到實(shí)際問題進(jìn)行分析、討論、評價或推廣。3 實(shí)施成果及亟待解決的問題 實(shí)踐證明，基于計算機(jī)信息技術(shù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的引入，給高師數(shù)學(xué)教育專業(yè)課注入了許多活力，更能給予學(xué)生一個“完整的數(shù)學(xué)”。讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可大大增強(qiáng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)其探索和創(chuàng)造的欲望，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，變?yōu)樽约簞邮謱?shí)驗(yàn)、觀察發(fā)現(xiàn)、猜想驗(yàn)證、合情推理、動腦設(shè)計等的親身經(jīng)歷。因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是讓學(xué)生在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，去發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)新知識的。保證了教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)了學(xué)生素質(zhì)的發(fā)展。學(xué)生針對老師設(shè)置的問題或自提的問題的模擬實(shí)驗(yàn)，有了更為廣闊的空間，由此發(fā)現(xiàn)并證明了許多迷人的結(jié)論，誕生了許多“真正”的