第三章 平穩(wěn)時間序列分析

1、第三章 平穩(wěn)時間序列分析本章結(jié)構(gòu)方法性工具ARMA模型 平穩(wěn)序列建模序列預測 方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測3.1 方法性工具 n差分運算n延遲算子n線性差分方程方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測差分運算n一階差分n 階差分 n 步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx例如：原數(shù)列例如：原數(shù)列1 2 5 10 17 26 37一階差分一階差分 1 3 5 7 9 11二階差分二階差分2 2 2 2 2 方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測延遲算子n延遲算子類似于一個時間指針，當前序列值乘以一個延遲算子，就相當于把當前序列值的時間向過去撥了一個時刻

2、n記B為延遲算子，有 1,pxBxtppt方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測延遲算子的性質(zhì)n n n n n ，其中 10B為任意常數(shù)cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxBiniinnnBCB0) 1()1 ()!( !ininCin方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測用延遲算子表示差分n例如，三階差分3221112121122312301233313233 ()() =(2) =2()() =33 =CCCCttttttttttttttttttttttttxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 333300( 1)( 1)iiii

3、it itiiC xC B x3(1)tBx方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測用延遲算子表示差分運算n 階差分 n 步差分pkitpiipptptpxCxBx0) 1()1 (tkkttkxBxx)1 ( 方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測線性差分方程 n線性差分方程n齊次線性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz齊次線性差分方程的解n特征方程n特征方程的根稱為特征根，記作n齊次線性差分方程的通解n不相等實數(shù)根場合n有相等實根場合n復根場合02211ppppaaap,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctc

4、cz111121)(tpptititttccececrz3321)(02211ptptttzazazaz1234,iipaibreaibre 為互不相等的實根方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測非齊次線性差分方程的解 n非齊次線性差分方程的特解n使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解n非齊次線性差分方程的通解n齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和tttzzz tz )(2211thzazazazptpttt tz方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測本章結(jié)構(gòu)方法性工具ARMA模型 平穩(wěn)序列建模序列預測 方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測3.2 ARMA模型的性

5、質(zhì) nAR模型（Auto Regression Model） nMA模型（Moving Average Model） nARMA模型（Auto Regression Moving Average model）方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測AR模型的定義n具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階自回歸模型，簡記為n特別當 時，稱為中心化 模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt, 0, 0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測 AR(P)序列中心化變換n稱 為 的中心化序列 ，令p101ttxytytx方法性工具A

6、RMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測自回歸系數(shù)多項式n引進延遲算子，中心化 模型n又可以簡記為 n自回歸系數(shù)多項式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(1122-=tttptptxxxx方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測AR模型平穩(wěn)性判別 n判別原因nAR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的 方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx 12(3)0.5ttttxxxttttxxx115 . 0)4(例3.1平穩(wěn)序列時序圖1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx

7、例3.1非平穩(wěn)序列時序圖1(2)1.1tttxx ttttxxx115 . 0)4(方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測AR模型平穩(wěn)性判別方法 特征根判別法平穩(wěn)域判別法方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測1122121212( )0,-=0-=0ttttptppppppB xxxxx 即的特征方程為特征根為 ， ，11221212121212122-=0-=0=,2jjtttptppppppdiwiwjjjjddpmxxxxdr er empdm 設齊次線性差分方程的特征方程有p個特征根， ，其中為 個相等實根為 對共軛復根為個互不相等的實根11221212121212122-=0

8、-=0=,2jjtttptppppppdiwiwjjjjddpmxxxxdr er empdm 設齊次線性差分方程的特征方程有p個特征根， ，其中為 個相等實根為 對共軛復根為個互不相等的實根112221112111-=0+()jjtjtttptppmdmitwitwjtttjjjjjjj djxxxxxc tcr c ec e 那么齊次線性差分方程的通解為12()()0(B)0111(B)0tpAR pBx可以證明，模型的自回歸系數(shù)多項式的根是齊次差分方程的特征根的倒數(shù)，即， ，是的根2121221212( )11111( )11 =()0pppppppppBBBB 而自回歸系數(shù)多項式那么1

9、1221212( )0,-=0-=0ttttptpppppB xxxxx 事實上，即的特征方程為1122-= ( )=tttptptttxxxxB xx設非齊次線性差分方程的一個特解為1( )( )=(1)piiBBB根據(jù)以上性質(zhì)可以因子分解成111( )=(1)=( )(1)(1)ptittipttittpiiiiB xB xkxBBB即，那么1122211121111-=+()(1)jjjtttptpttttpmpdmitwitwjtttijjjjjtjj djiixxxxxxxkc tcr c ec eB 那么齊次線性差分方程的通解為1212( ),(1,2,),lim0,| 1,1,2

10、,2| 1,1,2,( )pmjjttiiAR pccccjmxipmrimAR pp要使得模型平穩(wěn)，即對任意的實數(shù)有該式成立的條件是即要求模型的 個特征根都在單位圓內(nèi)。方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測AR模型平穩(wěn)性判別方法n特征根判別nAR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內(nèi)n根據(jù)的自回歸特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價判別條件是該模型系數(shù)多項式(B)=0的根都在單位圓外n平穩(wěn)域判別 n平穩(wěn)域,21單位根都在單位圓內(nèi)p方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測AR(1)模型平穩(wěn)條件11平穩(wěn)域 1特征根111AR(1),-=0tttxx 模型特征方程為A

11、R(2)模型平穩(wěn)條件n平穩(wěn)域21121211224242特征根11,12221，且1122212AR(2)+,-=0ttttxxx 模型特征方程為AR(2)模型平穩(wěn)條件n平穩(wěn)域21121211224242特征根11,12221，且1122212AR(2)+,-=0ttttxxx 模型特征方程為1211平穩(wěn)性條件方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測例3.1平穩(wěn)性判別8 . 010.81 . 111.1 211i212i221210.5,0.5,1.5 23112312221210.5,1.5,0.5 模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)方法性工具ARMA

12、模型平穩(wěn)序列建模序列預測平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)n均值n方差n協(xié)方差n自相關系數(shù)n偏自相關系數(shù)方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測均值 n如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有n根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有n推導出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,t方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測21211221212()1-=(B)0,()()0111,(B)0pptttptpttppBBBBxxxxxAR pB齊次差分方程即的特征根是模型的自回歸系數(shù)多項式的根的倒數(shù)，即， ，是的根方差：借助格林函數(shù)計算 1122-= ( )=tttptpttxx

13、xxB x非齊次線性差分方程1( )( )=(1)piiBBB根據(jù)以上性質(zhì)可以因子分解成111( )=(1)=( )(1)(1)ptittipttittpiiiiB xB xkxBBB即，那么方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測Green函數(shù)定義nAR模型的傳遞形式其中系數(shù) 稱為Green函數(shù)011,1,2,pjjiiiGGkj1100100()( )1ppjtittiitiijipjjiitjjtjjtjijjkxkBBBkGG B 0( ),( )jjttjG BG BxG B記=那么方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測Green函數(shù)遞推公式n原理pkpkjGGGkkkjjkk

14、j, 0, 2 , 1110其中，( )( ) ( )( )ttttttB xB G BxG B 2121( )11ppkpkkBBBBB 101)()pkjkjttkjBG B上式寫成(101)()pkjkjttkjBG B上式寫成(方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測方差n平穩(wěn)AR模型的傳遞形式n兩邊求方差得函數(shù)為GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0Green函數(shù)遞推公式n原理n待定系數(shù)法n得遞推公式pkpkjGGGkkkjjkkj, 0, 2 , 1110其中，( )( ) ( )( )ttttttB xB G BxG B 2121( )11ppkpkkBBB

15、BB 101)()pkjkjttkjBG B上式寫成(111+-)jjjkj kttjkGGB整理得(（1-0,1,2,jjkj kkGGj方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式n平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為nGreen函數(shù)為itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測求平穩(wěn)AR(1)模型的方差n平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為nGreen函數(shù)為n平穩(wěn)AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj2122021021)()(jjtjjtVarGxVar方法性工

16、具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測協(xié)方差函數(shù)n在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘 ，再求期望n根據(jù)n得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk22111122tttptptxxxx方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測例:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差n遞推公式n平穩(wěn)AR(1)模型的方差為n協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為0111kkk212011,12121kkk方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差n平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為21)1)(1)(1 (12

17、211201122121220kkkk，方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測自相關系數(shù)n自相關系數(shù)的定義n平穩(wěn)AR(P)模型的自相關系數(shù)遞推公式0kk1122kkkpkp 方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測常用AR模型自相關系數(shù)遞推公式nAR(1)模型nAR(2)模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkk方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測平穩(wěn)AR(p)模型自相關系數(shù)的性質(zhì)n解下面的微分方程11221=1,(1,2,)kkkpkppkkiiiicip 得通解其中，為該差分方程的特征根AR模型自相關系數(shù)的性質(zhì)nAR模型自相關系數(shù)的表達式是一個齊次差分方程， 它的通解形式為n呈復指數(shù)衰減n拖尾性1pkkiiic1,ipcc1,且不能恒等于零10pkikiiic111,ppkkiiiccck 不能恒等于零不會恒等于零,某個常數(shù)方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測例3.5:考察如下AR模型的自相關圖ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (方法性工具ARMA模型平穩(wěn)序列建模序列預測例3.5n