七年級數(shù)學(xué)競賽試題精選四

1、初一數(shù)學(xué)競賽系列講座(10)應(yīng)用題（二）一、 知識要點1、工程類問題 工程類問題討論工作效率、工作時間和工作總量之間的相互關(guān)系。它們滿足如下基本關(guān)系式：工作效率工作時間=工作總量 解工程問題時常將工作總量當(dāng)作整體“1”2、溶液類問題 溶質(zhì)：能溶解到溶劑中的物質(zhì)。如鹽、糖、酒精等。 溶劑：能溶解溶質(zhì)的物質(zhì)。如水等。 溶液：溶質(zhì)和溶劑的混合體。如鹽水、糖水、酒精溶液等。 溶液的濃度：指一定量溶液中所含溶質(zhì)的量，經(jīng)常用百分數(shù)表示。濃度的基本算式是：二、 例題精講例1江堤邊一洼地發(fā)生了管涌，江水不斷地涌出，假定每分鐘涌出的水量相等，如果用兩臺抽水機抽水，40分鐘可抽完；如果用4臺抽水機抽水，16分鐘可

2、抽完，如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機 臺。(1999年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題)解：設(shè)開始抽水前管涌已經(jīng)涌出的水量為a立方米，管涌每分鐘涌出的水量為b立方米，又設(shè)每臺抽水機每分鐘可抽水c立方米，由條件可得： 解得如果要在10分鐘內(nèi)抽完水，那么至少需要抽水機的臺數(shù)為： 評注：本題設(shè)了三個未知數(shù)a、b、c，但只列出兩個方程。實質(zhì)上c是個輔助未知數(shù)，在解方程時把c視為常數(shù)，解出a，b(用c表示出來)，然后再代入求出所要求的結(jié)果。例2 甲、乙、丙三隊要完成A、B兩項工程。B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三隊單獨完成A工程所需的時間分別是20天、24天、30天。為了共同完

3、成這兩項工程，先派甲隊做A工程，乙、丙二隊做B工程；經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊與甲隊共同完成A工程。問乙、丙二隊合作了多少天？(第十四屆迎春杯決賽試題)解：設(shè)乙、丙二隊合作了x天，丙隊與甲隊合作了y天。將工程A視為1，則工程B可視為1+25%=5/4，由題意得：，由此可解得x=15答：乙、丙二隊合作了15天評注：在工程問題中，如果工作總量不是一個具體的量，常常將工作總量視為1。例3 牧場上的草長得一樣地密，一樣地快。70已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就可吃60天。如果要吃96天，問牛數(shù)該是多少？解：設(shè)牧場上原來的草的問題是1，每天長出來的草是x，則24天共有草1+24x，60天共有草1+

4、60x，所以每頭牛每天吃去分母得: 30(1+24x)=28(1+60x) 960x=2x=(頭)96天吃完，牛應(yīng)當(dāng)是例4 某生產(chǎn)小組展開勞動競賽后，每人一天多做10個零件，這樣8個人一天做的零件超過了200只。后來改進技術(shù)，每人一天又多做27個零件。這樣他們4個人一天所做的零件就超過勞動競賽中8個人做的零件。問他們改進技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動競賽前的幾倍？解：設(shè)勞動競賽前每人一天做x個零件，由題意得 解得 15x17因為 x是整數(shù)，所以x=16，而(16+37)163.3故改進技術(shù)后的生產(chǎn)效率約是勞動競賽前的3.3倍。評注：本題所列的是不等式組，不能列成方程。例5 某中學(xué)實驗室需要含碘2%的碘

5、酒，現(xiàn)有含碘15%的碘酒350克，問應(yīng)加純酒精多少克？分析：配比前后碘的含量相同。解：設(shè)稀釋時需加純酒精x克，則稀釋后有碘酒(350+x)克，由題意得： (350+x)2%=35015%解之得 x=2275答：應(yīng)加純酒精2275克。評注：濃度配比問題的相等關(guān)系一般是配比前后未發(fā)生改變的量，或溶質(zhì)量不變，或溶劑量不變。所列方程的一般形式是各分量=總量。例6在濃度為x%的鹽水中加入一定重量的水，則變成濃度為20%的新溶液，在此新溶液中再加入與前次所加入的水重量相等的鹽，溶液濃度變成30%，求x解：設(shè)濃度為x%的鹽水為a千克，加水b千克，則由題意得由(2)得 8 (a+b)=7 (a+2b) 即a=

6、6b代入(1)得 6bx=140b 答：x為例7 從兩個重量分別為7千克和3千克，且含銅百分數(shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把切下的每一塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩塊合金含銅百分數(shù)相等，求所切下的合金的重量是多少？解：設(shè)重量為7千克的合金的含銅百分數(shù)為x，重量為3千克的合金的含銅百分數(shù)為y，切下的合金的重量是z千克，由題意得：(21-10z) x=(21-10z) y (21-10z) (x-y)=0xy 21-10z=0 z=2.1答：所切下的合金的重量是2.1千克.例8 甲、乙、丙三個容器中盛有含鹽比例不同的鹽水。若從甲、乙、丙中各取出重量相等的鹽水，將它們混合后就成為含鹽10

7、%的鹽水；若從甲和乙中按重量之比為2：3來取，混合后就成為含鹽7%的鹽水；若從乙和丙中按重量之比為3：2來取，混合后就成為含鹽9%的鹽水。求甲、乙、丙三個容器中鹽水含鹽的百分數(shù)。分析：題設(shè)中有三種混合方式，但每種混合方式從各個容器中取出的鹽水的重量都是未知的，我們可以引進輔助未知數(shù)，將這些量分別用字母表示。解：設(shè)甲、乙、丙三個容器中鹽水含鹽的百分數(shù)分別為x%、y%、z%第一次混合從甲、乙、丙三個容器中各取出a克鹽水，則有a x%+ a y%+ a z%=3a10%從甲和乙中按重量之比為2：3來取鹽水時，設(shè)從甲中取鹽水2m克，從乙中取鹽水3m克，則有 2m x%+ 3m y%=(2m +3m)7

8、%從乙和丙中按重量之比為3：2來取鹽水時，設(shè)從乙中取鹽水3n克，從丙中取鹽水2n克，則有 3n y%+ 2n z%=(3n+2n)9%將上面三式消去輔助未知數(shù)得：答：甲、乙、丙三個容器中鹽水含鹽的百分數(shù)分別為10%、5%、15%評注：本題中我們假設(shè)的未知數(shù)a、m、n不是題目所要求的，而是為了便于列方程而設(shè)的，這種設(shè)元方法叫做輔助未知數(shù)法，輔助未知數(shù)在求解過程中將被消去。例9組裝甲、乙、丙3種產(chǎn)品，需用A、B、C3種零件。每件甲需用A、B各2個；每件乙需用B、C各1個；每件丙需用2個A和1個C。用庫存的A、B、C3種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品、r件丙產(chǎn)品，則剩下2個A和1個B，C恰好用

9、完。求證：無論怎樣改變生產(chǎn)甲、乙、丙的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C3種零件都恰好用完。（1981年全國高中數(shù)學(xué)競賽題）解：由已知，庫存的A、B、C3種零件的個數(shù)分別為：A種2p+2r+2件，B種2p+q+1件，C種q+r件。假設(shè)生產(chǎn)甲x件，乙y件，丙z件恰好將3種零件都用完，則由題意得：(1)+(3)-(2)得：3z=3r+1 它的左邊是3的倍數(shù)，而右邊卻是3的倍數(shù)加1，矛盾，不成立，所以不能把庫存的A、B、C3種零件都恰好用完。評注：本題列出方程組后，沒有解出x、y、z，而導(dǎo)出矛盾，而是巧妙地通過方程的加減得出矛盾式3z=3r+1，從而得出結(jié)論。所以有些數(shù)學(xué)問題應(yīng)從整體上來把握解法。三、

10、鞏固練習(xí)選擇題1、有酒精a升和水b升，將它們混合后取出x升，這x升混合液中含水( ) 升A、 B、 C、 D、2、一件工作，甲、乙、丙合作需7天半完成；甲、丙、戊合作需5天完成；甲、丙、丁合作需6天完成；乙、丁、戊合作需4天完成，那么這5人合作，( )天可以完成這件工作。A、3天 B、4天 C、5天 D、7天3、某工廠七月份生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量比六月份減少了20，若八月份產(chǎn)品要達到六月份的產(chǎn)量，則八月份的產(chǎn)量比七月份要增加（ ）A、20 B、25 C、80 D、754、兩個相同的瓶子中裝滿了酒精溶液，第一個瓶子里的酒精與水的體積之比為a:1，第一個瓶子為b:1，現(xiàn)將兩瓶溶液全部混和在一起，則混和溶

11、液中酒精與水的體積之比是( ) (安徽省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)A、 B、 C、 D、5、某計算機系統(tǒng)在同一時間只能執(zhí)行一項任務(wù)，且完成該任務(wù)后才能執(zhí)行下一項任務(wù)，現(xiàn)有U，V，W的時間分別為10秒，2分和15分，一項任務(wù)的相對等待時間為提交任務(wù)到完成該任務(wù)的時間與計算機系統(tǒng)執(zhí)行該任務(wù)的時間之比，則下面四種執(zhí)行順序中使三項任務(wù)相對等候時間之和最小的執(zhí)行是（ ）。（A）U，V，W （B）V，W，U（C）W，U，V （D）U，W，V6、咖啡A與咖啡B按x:y(以重量計)的比例混合。A的原價為每千克50元，B的原價為每千克40元，如果A的價格增加10%，B的價格減少15%，那么混合咖啡的價格保持不變。則x:

12、y為( )A、5：6 B、6：5 C、5：4 D、4：5填空題7、因工作需要，對甲、乙、丙三個小組的人員進行三次調(diào)整，第一次丙組不動，甲、乙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第二次乙組不動，甲、丙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第三次甲組不動，乙、丙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組，三次調(diào)整后，甲組有5人，乙組有13人，丙組有6人。則各組原有人數(shù)為 8、A、B、C、D、E五個人干一項工作，若A、B、C、D四人一起干，8天可完工；若B、C、D、E四人一起干，6天可完工；若A、E二人干，12天可完工，則A一個人單獨干 天可完工。 9、某車間共有86名工人，已知每人平均每天可加工甲種部件15個，或乙種部件12

13、個，或丙種部件9個，要使加工后的部件按3個甲種部件，2個乙種部件和1個丙種部件配套，則應(yīng)安排 人加工甲種部件， 人加工乙種部件， 人加工丙種部件。10、容積為V的容器盛酒精溶液，第一次倒出后，用水加滿。第二次倒出后，再用水加滿，這時它的濃度為20%，則原來酒精溶液的濃度為 11、若干克含鹽4%的鹽水蒸去一些水分后變成了含鹽為10%的鹽水，再加進300克含鹽4%的鹽水，混合后變成了含鹽6.4%的鹽水，則最初有4%的鹽水 克 12、一種滅蟲藥粉40千克，含藥率是15%，現(xiàn)在要用含藥率較高的同樣的滅蟲藥粉50千克和它混合，使混合后的含藥率在25%與30%之間(不包括25%和30%)，則所用藥粉含藥率

14、的范圍是 解答題13、甲、乙兩部抽水機共同灌溉一塊稻田，5小時可以完成任務(wù)的。已知甲抽水機3小時的抽水量等于乙抽水機5小時的抽水量，甲、乙抽水機單獨灌溉這塊稻田各需幾小時？14、有一水庫，在單位時間內(nèi)有一定量的水流進，同時也向外放水，按現(xiàn)在的進出水量，水庫中的水可使用40天，因最近在水源的地方降雨，流入水庫的水量增加20%，如果放水量增加10%，則仍可使用40天，如果按原來的放水量放水，可使用多少天？15、某作業(yè)組要在規(guī)定的時間內(nèi)恰好完成一項工程，如果減少兩名工人，則需增加4天恰好完成，如果增加3人，則可提前2天完成，且略顯輕松，又如果增加4人，則可提前3天完成，且略顯輕松。問這個作業(yè)組原有多少人，規(guī)定完成工作時間是多少天？16、現(xiàn)有男、女工人共22人，其中全體男工和全體女工在相同的時間內(nèi)可完成同樣的工作；若將男工人數(shù)與女工人數(shù)對調(diào)一下，則全體男工25天能完成的工作，全體女工要36天才能完成，問男、女工人各多少人。17、甲、乙兩容器內(nèi)都盛有酒精，甲有v1千克,乙有v2千克。甲中純酒精與水(重量)之比為m 1:n 1，乙中純酒精與水之比為m 2:n 2，問將兩者混合后所得液體中純酒精與水之比是多少？(1979年高考理科試題)18、已知：青銅含有80%的銅、4%鋅和16%錫，而黃銅是銅和鋅的合金。今有黃銅和青銅的