相似三角形習(xí)題課

1、相似三角形習(xí)題課相似三角形習(xí)題課一、基本圖形一、基本圖形 幾何圖形大都是由基本圖形復(fù)合而成，因此熟悉三角形相似的基本圖形，有助于快速準確地識別相似三角形，從而順利地找到解題的思路和方法。平行平行ABCDE如圖，若如圖，若DEBC，則，則ADEABC.A型型X型型ABCED 例例1 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中，E是是AB延長線上一點，連結(jié)延長線上一點，連結(jié)DE，交，交AC于于點點G,交交BC于點于點F，則圖中相似三角形，則圖中相似三角形（不含全等三角形）共有（不含全等三角形）共有 對。對。AGFECBD5如圖，若如圖，若 ，則，則AEDABC.EDCBAAED=BADE=

2、CABAEACADEDCBA 例例2 如圖，如圖，D、E分別為分別為ABC的邊的邊AC、AB上的點，上的點，BD、CE相交于點相交于點O，且，且ABD=ACE，試問，試問ADE與與ABC相似嗎？相似嗎？如果相似，請說明理由如果相似，請說明理由.OEDCBAEDCBA(E)DCBADCBA如圖，若如圖，若 ，則，則ACDABC.ACD=BADC=ACBACADACABACACAD2即：DCBA 例例3 如圖，如圖，ABC=ACD，AD=8，BD=6，則，則AC= . 例例4 如圖，已知如圖，已知CD是直角是直角ABC斜邊斜邊上的高，求證：上的高，求證：ABCACDCBD.ABCDABCDABCA

3、CDABCCBDACDCBDBCABBDBCACABADACCDADBDCDBDADCD2ABADAC2ABBDBC2射影定理：射影定理：若若CD是是RtABC斜邊斜邊上的高上的高,則：則：射影圖：射影圖： 例例5 如圖，如圖，RtABC中，中，CAB= AEBC于點于點E，BE：EC=1:3，AB=4，求求BC的長的長.090ECBAEDCBAEDCBAEDCBABCAAEAAD如圖，如圖， ，若，若 ，則，則AEDABC.BAD=CAED=CE=B 例例6 如圖，如圖，1=2，3=4，試說明試說明ABCDBEEDCBA4321一、基本圖形一、基本圖形 通常能在復(fù)雜圖形中辨認出上述基本圖形，

4、或能通常能在復(fù)雜圖形中辨認出上述基本圖形，或能根據(jù)問題需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，根據(jù)問題需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，就能使問題得以解決就能使問題得以解決.ABCDEABCEDEDCBAEDCBADCBAABCDEDCBA二、判定三角形相似的二、判定三角形相似的解題思路解題思路 根據(jù)已知條件，靈活運用相似三角形的六種判定方法解題.1) 1)先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等( (對平行線型找平行線對平行線型找平行線) )；2)2)再找一對內(nèi)角對應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否成比例再找一對內(nèi)角對應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否成比例( (對直角三角形也可看斜邊和一組直角邊是否成比

5、例對直角三角形也可看斜邊和一組直角邊是否成比例) )； 3) 3)若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊是否成比例若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊是否成比例. .a)已知一對等角找另一對等角(判定定理3)找夾邊成比例找夾邊成比例(判定定理2)b)己知兩邊成比例找夾角相等找夾角相等(判定定理2)找第三邊也成比例找第三邊也成比例(判定定理1)c)已知一對直角找另一對等角(判定定理3)找兩邊成比例找兩邊成比例(判定定理3或4)d)兩等腰三角形找頂角或底角相等(判定定理3)找底和腰成比例找底和腰成比例(判定定理1) e)e)相似形的傳遞性相似形的傳遞性 若若1 12 2，2 23 3，則，則1 13 3

6、三、證明比例式或三、證明比例式或等積式的方法等積式的方法三點定形法等線代換法等比代換法等積代換法（一）三點定形法（一）三點定形法l即由有關(guān)線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個比的前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定”。（一）三點定形法（一）三點定形法例例1 1：已知：已知: :如圖如圖,ABC,ABC中中,CEAB,BFAC.,CEAB,BFAC.求證求

7、證: : （判斷（判斷“橫定橫定”還還是是“豎定豎定”？ ）例例2 2：如圖，如圖，CD是是RtABC的斜邊的斜邊AB上的高，上的高，BAC的平分線分別交的平分線分別交BC、CD于點于點E、F，ACAE=AFAB嗎？說明理由。嗎？說明理由。分析方法：分析方法：1 1）先將積式化成）先將積式化成_2 2）_（ “ “橫定橫定”還是還是“豎定豎定”？ ）（一）三點定形法（一）三點定形法例例3 3：已知：如圖，：已知：如圖，ABCABC中，中，ACB=90ACB=900 0，ABAB的的垂直平分線交垂直平分線交ABAB于于D D，交，交BCBC延長線于延長線于F F。求證：求證：CDCD2 2=DE

8、=DEDFDF。 分析方法：分析方法：1 1）先將積式）先將積式化為化為_2 2）_（ “ “橫定橫定”還是還是“豎定豎定”？ ）（一）三點定形法（一）三點定形法（二）等線代換法（二）等線代換法l遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例例4：如圖：如圖3，A

9、BC中，中，AD平分平分BAC， AD的垂直平分線的垂直平分線FE交交BC的延長線于的延長線于E求證：求證：DE2BECE（二）等線代換法（二）等線代換法（三）等比代換法（三）等比代換法l當(dāng)用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。（三）等比代換法（三）等比代換法例例5：如圖：如圖4，在，在ABC中，中，BAC=90，ADBC，E是是AC的中點，的中點，ED交交AB的的延長線于點延長線于點F求證：求證：（四）等積

10、代換法（四）等積代換法l思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。（四）等積代換法（四）等積代換法例例6：如圖：如圖5，在，在ABC中，中，ACB=90，CD是斜邊是斜邊AB上的高，上的高，G是是DC延長線上一點，延長線上一點，過過B作作BEAG，垂足為，垂足為E，交，交CD于點于點F求證：求證：CD2DFDG四、相似三角形中的輔四、相似三角形中的輔助線助線 作平行線作垂線作延長線作中線（一）作平行線

11、（一）作平行線例1：如圖，D是ABC的BC邊上的點，BD：DC=2：1，E是AD的中點,連結(jié)BE并延長交AC于F,求BE：EF的值.DABCEFDABCEFn解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pn2kkyy4y?yBE：EF=5：1.則，1AEDEFEPE, 2DCBDPFBPPE=EFBP=2PF=4EF，所以所以BE=5EFDABCEFnn解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Q2kk?y2y5yyBE：EF=5：1.，則2EADAEFDQ, 3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn?y5yy2kk2

12、kDABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，T2k2ky?y5y，則DCCTDT21BD=2DC，BE：EF=5：1.，DCBT25；TCBTEFBE（二）作垂線（二）作垂線l例2：如圖從平行四邊形ABCD頂點C向AB和ADl的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，l求證：2ACAFADAEABABCFDEABCFDENMABMACEACABAEAMAMACAEABADNACFACADAFANANACAFAD)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN2)(ACCMAMACAFADAEAB證明：過B作BMAC于M，過D作DNAC于N （1） （2） 又

13、AN=CM 又 （1）+（2）（三）作延長線（三）作延長線l例5. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCDl的平分線CHAB于點H，BH=3AH，且四邊形lAHCD的面積為21，求HBC的面積。分析：因為問題涉及四邊形分析：因為問題涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比加以解決?；癁橄嗨迫切蔚拿娣e比加以解決。 解：解：延長BA、CD交于點P CHAB，CD平分BCD CB=CP，且BH=PH BH=3AH PA：AB=1：2 PA：PB=1：3 ADBC PADPBC：SSPADPBC 19SSPCHPBC12：四邊形SSPADAHCD 27四邊形SAHCD 21SPAD 6SPBC 54SSHBCPBC1227（四）作中線（四）作中線l例4：如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在ACl邊上，若BD=DC=E