概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-ppt課件

1、第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布 本次課講授第二章第五節(jié)、第六節(jié)、第七節(jié)、第八節(jié) 下次課講授第二章第八節(jié)、第九節(jié)、第十節(jié)、第十一節(jié) 下次上課時(shí)交作業(yè)P17P18 重點(diǎn)：延續(xù)隨機(jī)變量的密度、分布及其關(guān)系 難點(diǎn)：同上一、延續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布一、延續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布1.延續(xù)型隨機(jī)變量產(chǎn)生的背景延續(xù)型隨機(jī)變量產(chǎn)生的背景0,0)(,021000 PtttxXPbxaxXXba時(shí)時(shí)刻刻等等到到人人的的時(shí)時(shí)間間等等人人，。再再如如：則則上上投投點(diǎn)點(diǎn)，若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為例例如如：在在區(qū)區(qū)間間如何描畫延續(xù)型隨機(jī)變量如何描畫延續(xù)型隨機(jī)變量X X的概率分布

2、呢？的概率分布呢？背景1：假設(shè)樣本空間為區(qū)域，那么區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的概率為零1)(,1 iixXPP 則則不不滿滿足足連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)域域樣樣本本的的若若像像離離散散變變量量那那樣樣定定義義 背景2：假設(shè)樣本為一延續(xù)區(qū)間，那么定義隨機(jī)變量為樣本的一子區(qū)間，那么隨機(jī)變量的概率與密切相關(guān)密切相關(guān)或或)()(cXPcXP 第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布)(),(,1)(,bXcPbadcdcXbXaPbaXba 上上的的概概率率為為點(diǎn)點(diǎn)落落在在區(qū)區(qū)間間則則上上：定定義義在在即即隨隨機(jī)機(jī)變變量量若若abcdLLdXcPabcd )(由由幾幾何何概概型型： )()(,

3、 0)()(dXcPdXcPdXPcXPabcdabacabadcXPdXPdXcP )()()(又又：)()()()(cXPdXPdXcPdXcP dX cX cd）的概率差）的概率差和和因此，區(qū)間的概率又是因此，區(qū)間的概率又是dXPcXP ()(第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布件件的的概概率率以以外外的的概概率率為為不不可可能能事事點(diǎn)點(diǎn)落落在在所所以以，因因?yàn)闉?baXba 2.概率的分布函數(shù)的定義：概率的分布函數(shù)的定義：)()(xXPxF稱稱：上上的的連連續(xù)續(xù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，并并稱稱為為樣樣本本空空間間）的的函函數(shù)數(shù)取取值值于于實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域（如

4、如區(qū)區(qū)間間)(wXX 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X=X(w)X=X(w)的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)或分布的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)或分布)()()(2112xXxxXxX )()()(2112xXxPxXPxXP )()()(1221xXPxXPxXxP )()(12xFxF 證：證：3.區(qū)間上的概率分布：區(qū)間上的概率分布：)()()(1221xFxFxXxP 2xX 1xX 1x2x第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布)()()()()()(aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP 由于延續(xù)隨機(jī)變量中，點(diǎn)的概率為零，所以：由于延續(xù)隨機(jī)變量中，點(diǎn)的概率為零，

5、所以：。時(shí)時(shí)即當(dāng)即當(dāng)）概率函數(shù)單調(diào)不減，）概率函數(shù)單調(diào)不減，)()(2(2121xFxFxx 4.4.分布函數(shù)的性質(zhì)：分布函數(shù)的性質(zhì)：,(1)0( )1() F x-x間間，概概率率介介于于 10)()(xXPxF )()(0()()(122112xFxFxXxPxFxF 。）(3) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間a , b上的隨機(jī)變量上的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)0)(0)()(,)()( xXbPbxaxXPxFaxbaXxXPxF時(shí)時(shí)，同同理理：屬屬不不可可能能事事件件時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，xXbabxX第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布1)()()()(

6、, xXbPbxPxXPxFbx時(shí)時(shí)即即：xXbabxXbX 1)(, 0)(1)(0)(,1 FFxbbxaxFaxxFba顯顯然然分分段段函函數(shù)數(shù)定定義義：上上的的概概率率分分布布函函數(shù)數(shù)可可用用所所以以，定定義義在在區(qū)區(qū)間間5.5.離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義：離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義： 利用延續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義可以定義離散型利用延續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義可以定義離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義。請(qǐng)留意離散型隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義。請(qǐng)留意離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率分布或與概率函數(shù)是不同的概念。函數(shù)與概率分布或與概率函數(shù)是不同的概念。第五講第五講 以密度為根底的

7、隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布 xaixaiiiPaxPxXPxFxXXxXPxF）（包括若干個(gè)點(diǎn)，即：包括若干個(gè)點(diǎn)，即：離散，則離散，則，若，若)()()()( xaaxapaxappaxapaxxFnnnnii10)(11132212111此式可寫成分段函數(shù)：此式可寫成分段函數(shù)：其分布函數(shù)的圖形是右延續(xù)的階梯曲線如以下圖其分布函數(shù)的圖形是右延續(xù)的階梯曲線如以下圖第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布iakkiippppaXPaFi 21)()(1210)()(lim)0( iiaxipppaxXPxFaFi而而且且iiiipaFaFaXP

8、 )0()()(x1 xFO1a2a.1p21pp 3a第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布例例5-1-1的的分分布布函函數(shù)數(shù)？可可否否是是。試試問問）的的可可能能值值充充滿滿區(qū)區(qū)間間（如如果果連連續(xù)續(xù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量XexFXx 12)()0 ,)(2().,(1解：利用函數(shù)的解：利用函數(shù)的0 0，1 1與遞增這三個(gè)性質(zhì)判別與遞增這三個(gè)性質(zhì)判別1)(, 2112lim12lim)(lim1 FeexFxxxxx不不符符合合）（ 的的分分布布函函數(shù)數(shù)上上不不是是在在XexFx),(12)( 1)0(, 0112lim12lim)(1120), 0()0 ,

9、(2 FeeFexxxxxxx且且時(shí)時(shí)，）（第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布義義單調(diào)增加。所以只要定單調(diào)增加。所以只要定, 0)( xF的的分分布布就就是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量XxFxxexFx)(,11012)( 例例5-1-2)0 ,)(2(),(1112 ）充充滿滿空空間間（的的可可能能值值的的分分布布函函數(shù)數(shù)，如如果果可可否否是是連連續(xù)續(xù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)XXx布布）函函數(shù)數(shù)不不單單調(diào)調(diào)，不不是是概概率率（分分解解：)()1(2)(),(,11)()1(222xFxxxFxxxF 單單調(diào)調(diào)增增加加，時(shí)時(shí)，）（, 0)(0)1(2)(222 x

10、FxxxxF第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布, 1)0(, 011lim)(2 FxFx 01011)(2xxxxF重重新新定定義義的的分分布布函函數(shù)數(shù)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則XxF)(知知求求X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)FX(x)。P-1230.20.50.3X例例5-1-3第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布解解 xXPxFX1 x, 021 x, 2 . 032 x, 5 . 02 . 0 3 x, 3 . 05 . 02 . 0 2 . 07 . 01-11230 xxiixpxXPxF)()()(第五講第五講

11、 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布例例5-1-4的概率分布列。的概率分布列。試求試求的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XxxxxxFX 31318 . 0114 . 010)(來求來求的離散分布，應(yīng)用的離散分布，應(yīng)用斷點(diǎn)為斷點(diǎn)為解：這是一個(gè)有斷點(diǎn)（解：這是一個(gè)有斷點(diǎn)（)0()()()3 , 1 , 1 iiiaFaFaXP2 . 08 . 01)03()3()3(4 . 04 . 08 . 0)01()1()1(4 . 0)01()1()1( FFXPFFXPFFXPxp2 . 04 . 04 . 0311第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以

12、密度為根底的隨機(jī)變量概率分布第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布二二. .概率密度函數(shù)的概念概率密度函數(shù)的概念1.概率密度函數(shù)定義：概率密度函數(shù)定義：xxxXxP)(0) x設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 落在區(qū)間落在區(qū)間 ),(xxx 上的概率為上的概率為: )(xxXxP那么比值那么比值即，記作平均概率密度極限存在時(shí)且，若上的平均概率密度。而在稱為),(0,xfxxxxXxxxXxPxfx )(lim)(0處的概率密度在為隨機(jī)變量則稱xXxf)(第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布 )()(limlim)(00 xfxxx

13、XxPxxFxxFxFxx)()(xfxF)()(1xfxF求）由（)(),(2xFxf求）若已知（dttftdFdxxfxdFxfxF)()(,)()(),()(xxxxdttfxFFdttfFxFdttftdF）即：）兩邊積分：()(, 0)()()(,()( ydttfyF）同同理理()(第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布 xXPxF xdxxf X延續(xù)型隨機(jī)變量延續(xù)型隨機(jī)變量 落在區(qū)間落在區(qū)間 21,xx內(nèi)的概率為：內(nèi)的概率為： 122121xFxFdxxfxXxPxx 或或 ,21xx 21,xx ,21xx12)()()()()(1221xx

14、dttfdttfxFxFxXxP211211)()()()(xxxxxxdttfdttfdttfdttf 122121xFxFdxxfxXxPxx xdxxfxFFXxPxXP)()()()()(特特殊殊地地，第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布2.概率密度的性質(zhì)：概率密度的性質(zhì)： ; 0 xf注注: xfy 概率密度的圖形概率密度的圖形 通常叫做通常叫做 分布曲線。分布曲線。 1)(0)(0)()( babbaadxxfdxdxxfdxdxxfF十十分分重重要要。何何時(shí)時(shí)為為時(shí)時(shí)，注注意意求求因因此此，用用0)()()(xfxFxf021xXPxXP x

15、fy x xfO2x1x 21xXxP 假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X的一切能夠值都位于區(qū)間的一切能夠值都位于區(qū)間a , b內(nèi)內(nèi),那么那么:0)(,:1)()(, 1)( xfbxaxdxxfbXaPbXaPba時(shí)時(shí)，且且此此時(shí)時(shí)認(rèn)認(rèn)為為即即第五講第五講 以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布以密度為根底的隨機(jī)變量概率分布例例5-2-1 (柯西分布柯西分布)設(shè)延續(xù)隨機(jī)變量設(shè)延續(xù)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為.,arctan)( xxBAxF 求求: (1)系數(shù)系數(shù) A 及及 B ; (2) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度的概率密

16、度. 解解 (1) xBAxFxxarctanlim)(lim , 02 BA ( )limlim+ arctan xxF xABx, 12 BA 解得解得 .1,21 BA. ,arctan121)( xxxF (2) 11 XP 11 FF4121 4121 .21 xFxf (3) . ,112 xx 解解(1)20, 1sinxdx只需定義：只需定義： ., 0;20,sin其其它它xxxf即可即可. (2), 12sin0 xdx不是不是. (3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 23,x, 0sin x與與 矛盾矛盾, 0 xf不是不是. 函數(shù)函數(shù) 可否是隨機(jī)變量可否是隨機(jī)變量X 的概率密度的概率密度

17、, 假設(shè)假設(shè)X 的能夠值的能夠值 xsin充溢區(qū)間充溢區(qū)間: .23, 03 ;, 02 ;2, 01 例例5-2-20)(2, 0 xfxx時(shí)時(shí)注注意意： 第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布例例5-2-3 (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) 延續(xù)隨機(jī)變量延續(xù)隨機(jī)變量X 的概率密度為的概率密度為 . , xAexfx求求: (1)系數(shù)系數(shù) A ; (2) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 落在區(qū)間落在區(qū)間(0,1)內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解解 (1) dxAedxxfx 00dxedxeAxxA2 . 1 .21 A(2)

18、10 XP . ,21 xexfx 1021dxex.21ee (3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 x xdttfxF xtdte21.21xe 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0 x xdttfxF 021dtet xtdte021.211xe 第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布講授下例前，引見常用的伽瑪函數(shù)的定義：講授下例前，引見常用的伽瑪函數(shù)的定義： 01dxexx 0 伽瑪函數(shù)的性質(zhì)：伽瑪函數(shù)的性質(zhì)： ;1 .21)!1()( nn . 0,211; 0,21xexexFxx21! 021)1(21)121()23( 例例如如：第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率

19、分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1222kAk 即：即：2212kAk012212dtetAtkk解解 dxxf0212dxexAxk1令令,2tx 得得 ,2dtdx 012)2(dtetktk令例例5-2-4 5-2-4 設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量X X 的概率密度為的概率密度為 . 0 , 0;0,212xxeAxxfxk當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中其中 k 為正整數(shù)，求系數(shù)為正整數(shù)，求系數(shù) A 的值。的值。 0)(, 0 xfx注注意意第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布三、均勻分布與指數(shù)分布三、均勻分布與指數(shù)分布1.均勻分布：均勻分布：定義定義設(shè)延

20、續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量 X 的一切能夠值充溢某一個(gè)有限區(qū)的一切能夠值充溢某一個(gè)有限區(qū)并且在該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)有一樣的概率密度，即：并且在該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)有一樣的概率密度，即： ,baxCxf 那么這種分布叫做均勻分布或等概率分布。那么這種分布叫做均勻分布或等概率分布。, ,ba間間abC1 100)()( abCdxdxCdxdxxfFbbaaOabab1 xfx第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 . , 0;,1bxaxbxaabxf或或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) xXPxFxaadxabdx10abax 當(dāng)當(dāng) axb時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) xa時(shí)，時(shí)， ; 0 xXPxF當(dāng)

21、當(dāng) xb時(shí)，時(shí)， 1)()()( xbbaadxxfdxxfdxxfxXPxF第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布均勻分布的概率密度及分布函數(shù)的圖形分別如下：均勻分布的概率密度及分布函數(shù)的圖形分別如下：Oab1 xFx 0 ;0 ; ;1 .1 .xax -aF xaxbb -axb第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 dxxf 0 dxex10 xe 顯然顯然指數(shù)分布指數(shù)分布 e的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 2.指數(shù)分布指數(shù)分布定義定義2 2 . 0 , 0 ; 0, xxexfx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 其中其中 0 為常數(shù)。

22、為常數(shù)。設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)延續(xù)型隨機(jī)變量X X 的概率密度的概率密度此類分布為指數(shù)分布，此類分布為指數(shù)分布， . eX假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布 , e記作記作0)(0 xfx時(shí)時(shí)注意：注意：10)()(000 xxtxtxeedtedtdttfxF 第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布O xfxO1 xFx ,;,. 1000 xexF xx 即：即：第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布因隨機(jī)變量因隨機(jī)變量 X 在在2,5上服從均勻分布上服從均勻分布,那么那么 X 的

23、概率密度的概率密度:解解: ,.1230,xfx 其其它它獨(dú)立觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè),試求至少有試求至少有2次觀測(cè)值大于次觀測(cè)值大于3的概率的概率.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在2,5上服從均勻分布上服從均勻分布,現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì) X 進(jìn)展進(jìn)展3次次例例5-3-1(1989)觀測(cè)值大于觀測(cè)值大于3的概率的概率:+3(3) =( )p = P Xf x dx .5312=33dx22333321220(2) =( )( ).33327p mCC 3次觀測(cè)中有次觀測(cè)中有2次觀測(cè)值大于次觀測(cè)值大于3的概率為的概率為:第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布解解 1000 XP.3

24、68. 01e1000100010001dxex知某電子管的壽命知某電子管的壽命X X 小時(shí)服從指數(shù)分布：小時(shí)服從指數(shù)分布： . 0 0;0100011000 xxexfx求這種電子管運(yùn)用求這種電子管運(yùn)用1000小時(shí)以上的概率。小時(shí)以上的概率。例例5-3-2 某儀器裝有某儀器裝有3只獨(dú)立任務(wù)的同型號(hào)電子元件只獨(dú)立任務(wù)的同型號(hào)電子元件,其壽命其壽命(單位單位:h)都服從同一指數(shù)分布都服從同一指數(shù)分布,概率密度為概率密度為:例例5-3-3(1989)：第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 ;.6001060000 x-exf xx 試求試求:在儀器運(yùn)用的最

25、初在儀器運(yùn)用的最初200小時(shí)內(nèi)至少有一只元件損壞的概率小時(shí)內(nèi)至少有一只元件損壞的概率 . 解解設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X表示電子元件的壽命表示電子元件的壽命(單位單位:h),P(A)=P( 0 X 200 )20060001600 xedx .1-31- e2000133 XAA壽命為壽命為為每次電子元件損壞即為每次電子元件損壞即次的概率，其中次的概率，其中至少發(fā)生至少發(fā)生次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)概率，即求概率，即求個(gè)元件至少一個(gè)損壞的個(gè)元件至少一個(gè)損壞的求求)0(1)1(33PmP 1331031031)()1(1 eeeC第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)

26、的概率分布四、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布四、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)設(shè) g(x) 是定義在隨機(jī)變量是定義在隨機(jī)變量X 的一切能夠值的一切能夠值 x 的集合上的函數(shù)的集合上的函數(shù),假設(shè)存在隨機(jī)變量假設(shè)存在隨機(jī)變量Y，當(dāng)變量當(dāng)變量X 取值取值 x 時(shí)，時(shí)， Y 有獨(dú)一值有獨(dú)一值 y = g (x)與與之對(duì)應(yīng)，那么稱之對(duì)應(yīng)，那么稱Y Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 X X 的函的函數(shù)數(shù))(XgY ( (一離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布一離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布1.1.定義：設(shè)隨機(jī)變量定義：設(shè)隨機(jī)變量X X 的概率分布為：的概率分布為：X1x)(1xp2xnx)(ixXP )(nxp)(2xp那么隨機(jī)變量函數(shù)那

27、么隨機(jī)變量函數(shù) XgY 的概率分布是：的概率分布是： Y)(11xgy )(1yp)(iyYP )(nyp)(2yp)(22xgy )(nnxgy 第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布2.定義闡明：定義闡明：最最關(guān)關(guān)鍵鍵式式的的分分布布，所所以以定定義義中中等等）函函數(shù)數(shù)分分布布就就是是自自變變量量（., 2 , 1),()()(1 ixPxgYPyYPxiiii)(, 2 , 1),()(, 2 , 1),(.21ijkjijiiijiijiixPkjxgyPyPkjxgyxyxyY 則則如果如果可能對(duì)應(yīng)多個(gè)可能對(duì)應(yīng)多個(gè)即一個(gè)即一個(gè)值不一定唯一，值不

28、一定唯一，對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的）由定義，每一個(gè)）由定義，每一個(gè)（第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布例例5-4-1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的概率分布為：的概率分布為：-2 -2 -1 -1 01230.100.20 0.250.200.150.10求：求：(1)隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y1= - 2X的概率分布；的概率分布；(2)隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y2=X 2的概率分布。的概率分布。XP(X=xi )解解 1 由知有由知有)(1iyYP 420-2 -2 -4 -4 -6 -6 0.100.20 0.250.200.150.10XY21 把隨機(jī)變量的能夠值由小到大陳列

29、把隨機(jī)變量的能夠值由小到大陳列的概率分布為的概率分布為XY21 第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布)(1iyYP -6 -6 -4 -4 -2 -2 0 240.100.150.200.250.200.101Y2 顯然有：顯然有： iyYP 24101490.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.1022XY iyYP 201490.250.400.250.102Y整理得整理得的概率分布的概率分布2Y第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 的概率分布。的概率分布。 XY2sinX

30、 ixXP 12n21221n21例例5-4-2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為：的概率分布為：X解解由于由于2sin n,43nk, 1, 2nk, 0, 4 -1nk, 1, , 1 2 3k所以，隨機(jī)變量函數(shù)所以，隨機(jī)變量函數(shù) 只需三個(gè)取值只需三個(gè)取值-1，0，1。 XY2sin）, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPYP第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1YPk37411112224321121,152) 14()7()3(, 14 , 7 , 3( 1)2sin(1kxPxPxPkxPxPYP） 0 YP 1 YP同理可解

31、：同理可解：第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 0 YPk2422121212221121,31 1 YP54 -3111222k421121,158整理得整理得 的概率分布的概率分布 Y iyYP Y-1-10115231158第五講第五講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布二延續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布二延續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布)()(yYPyFY)(yXgP設(shè)設(shè)X是延續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是延續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 ,又又x的函數(shù)的函數(shù) 存在反函數(shù)存在反函數(shù) ，那么函數(shù)，那么函數(shù) 也是一個(gè)延續(xù)型隨機(jī)變量，也是一個(gè)延

32、續(xù)型隨機(jī)變量，且：且：)(1xg)(xgY )(xgY )(xf1.定義：定義：)()( yYPyFY )(yXgP )(1)(ygXdxxf2.定義闡明定義闡明(1) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) g(x) 單調(diào)添加單調(diào)添加, 那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù) x = g -1( y ) 也單調(diào)添加也單調(diào)添加. )(1ygXP )()(yFyfYY 義義：由由密密度度與與分分布布的的關(guān)關(guān)系系定定 xgy xyO yg1 y第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布)()()()()(1)(1 FygFdyddttfdydyFyfygxYY將將上上式式代代入入，即即： )()(

33、)()()()(11111 ygygFygxFdydyfyxygxFdydygFdydY）的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的中中間間變變量量是是關(guān)關(guān)于于 )()( )()( )()()()(1111 ygygfygxfygxxFyfxgyY單單調(diào)調(diào)增增加加時(shí)時(shí)：即即(2) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xg是單調(diào)減函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，那么它的反函數(shù)函那么它的反函數(shù)函數(shù)數(shù) )(1ygx 也是單調(diào)減函數(shù)。也是單調(diào)減函數(shù)。第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布)()(yYPyFY )(yXgP )(1ygXP dxxfygX)()(1 ) )()() )()()()(111 ygxf

34、ygygxFyFyfYY xgy xyO yg1 y第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布)()()(11ygxFygxFF 的的密密度度的的一一般般方方法法求求的的密密度度已已知知)()(. 3XgYxfXX 例例6-3-3 .0)(都都是是常常數(shù)數(shù)及及的的概概率率密密度度，其其中中，求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 babXaYxfXX解解)()()( ybXaPyYPyFYyY 的的分分布布函函數(shù)數(shù)，隨隨機(jī)機(jī)變變量量對(duì)對(duì)于于任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨

35、機(jī)變量函數(shù)的概率分布無無窮窮區(qū)區(qū)間間上上）都都在在全全與與的的開開區(qū)區(qū)間間（注注意意區(qū)區(qū)間間確確定定區(qū)區(qū)間間：由由求求YXYXY)1(的分布。的分布。密度積分再轉(zhuǎn)化成密度積分再轉(zhuǎn)化成的的轉(zhuǎn)化成區(qū)間轉(zhuǎn)化成區(qū)間的分布。通過區(qū)間概率的分布。通過區(qū)間概率的分布轉(zhuǎn)化成的分布轉(zhuǎn)化成將將XXXY)2(對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的區(qū)區(qū)間間。或或）將將斷斷點(diǎn)點(diǎn)分分配配到到（的的密密度度；的的分分布布導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的求求對(duì)對(duì)104)3(yYybxay 為單調(diào)函數(shù)，為單調(diào)函數(shù)，,bayx .1bx 單調(diào)遞減單調(diào)遞增，0, 0bb，則有，則有設(shè)設(shè)0 )1( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()()()( ba

36、yfbbbayfdxxfdydyFyfXXbayXYY，則有，則有設(shè)設(shè)0 )2( b)()( bayXPyFY bayXdxxf)()(11)()( bayfbbbayfyfXXY )(|1)( bayfbyfXY 的的概概率率密密度度為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)bXaY 第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布解解:,的的分分布布函函數(shù)數(shù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量對(duì)對(duì)于于任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)Yy yYPyFY , 0 的的取取值值區(qū)區(qū)間間是是因因?yàn)闉閄 .1 , 0的的取取值值區(qū)區(qū)間間是是所所以以Y1yyxo1x2x 例例6-3-4：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間

37、在區(qū)間 服從均勻分布，即概率密度服從均勻分布，即概率密度,001)( 其其它它 xxfX.sin的的概概率率密密度度求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量XY , 0; 0)(,0 )1( yFyY時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng); 1)(,1 )2( yFyY時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)如如圖圖，有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),10 )3( y yXP sin YFy0sinPXarcy sinParcyX 第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布的的分分布布函函數(shù)數(shù)所所以以，隨隨機(jī)機(jī)變變量量 Y . 1, 1; 10,arcsin2;0, 0)(yyyyyFY 上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，即得求導(dǎo)數(shù)，即得Y 的概率密度的概率密度

38、,;,2201( )10Yyfyy 其其它它. .011arcsinyarcsinydxdx.arcsin2y 第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布解解1:,的的分分布布函函數(shù)數(shù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量對(duì)對(duì)于于任任意意的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)Yy yYPyFY 2= P Xyyxoyy, 0y 當(dāng)當(dāng) 0YFy =;, 0y 當(dāng)當(dāng) YFy2= P Xy( )y-y=f x dx= PyXy .01y-y-x=e dx-e例例6-3-5：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度的概率密度:,0( )0-xXexfx 其其它它求求: 的概率密度的概率密度.2=YX 1000-yY-e

39、yFyy 10200.-yYeyyfyy 第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布例例6-3-6(1988)：設(shè)隨機(jī)變量：設(shè)隨機(jī)變量 X 在在1,2上服從均勻分布上服從均勻分布,2XYe求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)( ).Yfy解解1: 因隨機(jī)變量因隨機(jī)變量 X 在在1,2上服從均勻分布上服從均勻分布: ;.1120Xxfx 其其它它對(duì)恣意實(shí)數(shù)對(duì)恣意實(shí)數(shù) y ,隨機(jī)變量隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:2( )()()XYFy = P Yy = P ey 當(dāng)當(dāng) y 0 時(shí)時(shí),分布為不能夠事件概率分布為不能夠事件概率( )0,YFy =

40、當(dāng)當(dāng) y 0 時(shí)時(shí),21ln2( )()1 =(ln ) =( )2XYyXFy = P eyP Xyfx dx 第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,1ln2( ) =00yYFydx = 當(dāng)當(dāng) 0 y 時(shí)時(shí),2e當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),4e( ) = 1.YFy1ln2,2y224401( )ln 121 YyeF y =y-eyeye.2412( )0Yeyeyfy =其其它它第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布四、部分習(xí)題講解四、部分習(xí)題

41、講解例6-4-197年研7分從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是2/5，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律概率分布和分布函數(shù)。種種情情況況的的概概型型。遇遇到到紅紅燈燈）是是否否發(fā)發(fā)生生兩兩試試驗(yàn)驗(yàn)每每次次事事件件是是三三次次獨(dú)獨(dú)立立相相互互獨(dú)獨(dú)立立，因因此此，本本題題分分析析：三三個(gè)個(gè)崗崗遇遇到到紅紅燈燈(A即：即：其概率函數(shù)為：其概率函數(shù)為：則則個(gè)崗遇到紅燈的次數(shù)，個(gè)崗遇到紅燈的次數(shù)，為為解：設(shè)解：設(shè). 3 , 2 , 1 , 0,)53()52().52, 3(333 kCkXPBXXkkk第六講第六講 概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布概率密度與隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布.1258)3(,12536)2(,12554)53()52()1(,12527)53()5