差分方程模型

1、 差分方程模型差分方程模型第四講第四講 養(yǎng)老保險(xiǎn)養(yǎng)老保險(xiǎn) 第一講第一講 差分方程差分方程第二講第二講 蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型第三講第三講 商品銷售量預(yù)測(cè)商品銷售量預(yù)測(cè)1、差分方程簡(jiǎn)介、差分方程簡(jiǎn)介t 規(guī)定 只取非負(fù)整數(shù)，記 為變量在 點(diǎn)的取值，則稱 為 的一階向前差分，稱為 的二階差分。 由 、 及 的差分給出的方程稱為 的差分方程。其中含 的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階數(shù)。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式，例如二階差分方程 可以寫成ttytttyyy1tytttttttyyyyyyy12122)(tyttttytytyty02tttyyy012tttyyy 滿足一階差分方程的序列 稱為差分

2、方程的解，若解中含有獨(dú)立的常數(shù)的個(gè)數(shù)等于差分方程的階數(shù)時(shí)，稱此解為該差分方程的通解。 稱如下形式的差分方程 為 階常系數(shù)線性差分方程，其中 是常數(shù)， 。其對(duì)應(yīng)的齊次方程為ty)(110tbyayayatnntntnnaaa,1000a0110tnntntyayaya 求非齊次常系數(shù)線性差分方程的通解的步鄹： 1.先求解對(duì)應(yīng)的特征方程 2.根據(jù)特征根的不同情況，求解齊次方程的通解 若特征方程有 個(gè)不同的實(shí)根 ，則齊次方程的通解為 ； 若 是特征方程的 重實(shí)根，則齊次方程的通解為 ； 若特 征方程有單重復(fù)根 ，則齊次方程的通解為 ，其中 為 的模， 為 的幅角； 0110nnnaaann,1tnn

3、tcc11ktkktcc)(11itctcttsincos1122arctan 若特征方程有 重復(fù)根 ，則齊次方程的通解為 3.求非齊次方程的一個(gè)特解 ，若 為齊次方程的通解，則非齊次方程的通解為 。 對(duì)特殊形式的特解 可以使用待定系數(shù)法求非齊次方程的特解。例如 ， 為 的 次多項(xiàng)式時(shí)可以證明：若 不是特征根，則非齊次方程有形如 的特解， 也是 的 次多項(xiàng)式；若 是 重特征根，則非齊次方程有形如 的特解。進(jìn)而可以用待定系數(shù)法求出 ，從而得到非齊次方程的一個(gè)特解。kittccttcctkktkksin)(cos)(1111tytyttyy )(tb)()(tpbtbkt)(tpktkb)(tqb

4、kt)(tqktkbr)(1tqtbkrt)(tqk例例1. 1. 求解兩階差分方程求解兩階差分方程 解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，其特征根為 ，故齊次方程的通解為，原方程有形如 的特解，帶入原方程求得 ，所以原方程的通解為在應(yīng)用差分方程研究問題時(shí)，需要討論解的穩(wěn)定性。對(duì)常系數(shù)非齊次線性差分方程，若不論其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中的任意常數(shù)如何取值，當(dāng) 時(shí)， ，則稱方程的解是穩(wěn)定的。tyytt2012i2, 1tctcyt2sin2cos21bat 2/1, 2/1ba21212sin2cos21ttctct0ty2、常系數(shù)線性差分方程的、常系數(shù)線性差分方程的 變換解法變換解法 采用上述解析解法求

5、解常系數(shù)線性非齊次差分方程比較繁瑣，下面介紹 變換，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程去求解 設(shè)有離散序列 ，則 的 變換定義為其中 是復(fù)變量，上式右端的級(jí)數(shù)的收斂域是某個(gè)圓的外部 的 反變換記作 ZZ, 1 , 0),(kkx)(kxZ0)()()(kkzkxkxZzXz)(zXZ)()(1zXZkx幾個(gè)常用離散函數(shù)的幾個(gè)常用離散函數(shù)的 變換變換 (3) 單邊指數(shù)函數(shù) 的 變換( 為不等于1的正常數(shù))(1) 單位沖激函數(shù) 的 變換(2) 單位階躍函數(shù) 的 變換Z0011 )()(kkkkzzkkZ)(kZ)(kUZ) 1|(|11)()(00zzzzzkUkUZkkkkkakf)(Za)|(|0aza

6、zzzaaZkkkk(1)線性性質(zhì) 設(shè) ，則 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(2)平移性質(zhì)：設(shè) ，則Z)()(),()(2211zXkxZzXkxZ)()()()(2121zbXzaXkbxkaxZ)()(zXkxZ)0()()1(xzXzkxZ)()()(10NkkNzkxzXzNkxZ) 1()()1(1zxzXzkxZ)()()(1NkkNzkxzXzNkxZ例例2. 2. 求解齊次差分方程求解齊次差分方程 解 令 ，對(duì)差分方程取 變換得 對(duì)上式取 反變換，便得差分方程的解為1) 1 (, 0)0(, 0)(2) 1(3)2(xxkxkxkx)()(zXkxZZ0)(2)(3)(2zXzzXzzX

7、z2123)(2zzzzzzzzXZkkkx)2() 1()(1、問題的提出、問題的提出 在自由競(jìng)爭(zhēng)的社會(huì)中，很多領(lǐng)域會(huì)出現(xiàn)循環(huán)波動(dòng)的現(xiàn)象。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，可以從自由集市上某種商品的價(jià)格的變化看到如下現(xiàn)象：在某一時(shí)期，商品的上市量大于需求，引起價(jià)格下跌，生產(chǎn)者覺得該商品無利可圖，轉(zhuǎn)而經(jīng)營(yíng)其他商品，一段時(shí)間之后，隨著產(chǎn)量的下降，供不應(yīng)求又會(huì)導(dǎo)致價(jià)格上升，又會(huì)有很多生產(chǎn)商進(jìn)行該商品的生產(chǎn)，隨之而來的是商品過剩，價(jià)格下降。在沒有外界干預(yù)的情況下，這種現(xiàn)象會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。 如何從數(shù)學(xué)的角度來描述上述現(xiàn)象呢？2、模型假設(shè)、模型假設(shè) (1)設(shè) 時(shí)段商品數(shù)量為 ，其價(jià)格為 ，這里把時(shí)間離散化為時(shí)段，一個(gè)時(shí)期相當(dāng)于

8、商品的一個(gè)生產(chǎn)周期。 (2)同一時(shí)段的商品價(jià)格取決于該時(shí)段商品的數(shù)量，稱為需求函數(shù)。出于對(duì)自由經(jīng)濟(jì)的理解，商品的數(shù)量越多，其價(jià)格就越低。故可以假設(shè)需求函數(shù)為一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù)。 (3) 下一時(shí)段的商品數(shù)量由上一時(shí)段的商品價(jià)格決定，稱為供應(yīng)函數(shù)，由于價(jià)格越高可導(dǎo)致產(chǎn)量越大，所以可以假設(shè)供應(yīng)函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)。kkxky)(kkxfy )(1kkygx3、模型求解、模型求解 在同一坐標(biāo)系中同時(shí)做出供應(yīng)函數(shù)和需求函數(shù)的圖形，設(shè)兩條曲線相交于 則 為平衡點(diǎn)。因?yàn)榇藭r(shí) 若某個(gè) 有 ，則可推出即商品的數(shù)量保持在 ，價(jià)格保持在 。不妨假設(shè) 下面考慮 在圖上的變化如右圖所示。),(000yxP0P)(),

9、(0000 xfyygxk0 xxk), 1( ,00kklxxyyll0 x0y01xx kkyx ,當(dāng) 給定后，價(jià)格 由 上的 點(diǎn)決定，下一時(shí)段的數(shù)量 由 上的 點(diǎn)決定， 又可由 上的點(diǎn) 決定。依此類推，可得一系列的點(diǎn)圖上的箭頭表示求出 的次序，由圖知即市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定。1x1yf1P1P2xg2P2yff3P),(),(),(),(234223122111yxPyxPyxPyxPkPkP),(),(lim000yxPyxPkk并不是所有的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)都趨于穩(wěn)定，若給定的 和 的圖形如右圖所示，得到的就不趨于 ，此時(shí)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨于不穩(wěn)定。gfg,21PP0P圖1和圖2中的折線 形如蛛網(wǎng)

10、，故把這種模型稱為蛛網(wǎng)模型。在進(jìn)行市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析中， 取決于消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求程度及其消費(fèi)水平， 取決于生產(chǎn)者的生產(chǎn)、管理等能力。 當(dāng)已知需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)之后，可以根據(jù)和 的性質(zhì)判斷平衡點(diǎn) 的穩(wěn)定性。當(dāng)較小時(shí)， 的穩(wěn)定性取決于 和 在點(diǎn) 的斜率，即當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)不穩(wěn)定。,3221PPPPfgfg0P|01xx 0Pfg0P| )(| )(|00ygxf0P| )(| )(|00ygxf0P 這一結(jié)論的直觀解釋是，需求曲線越平，供應(yīng)曲線越陡，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。 設(shè) 在 點(diǎn)附近取 和 的線性近似，于是得從上兩式中消去 得 .| )(|1|,)(|00ygxf0Pfg)(00 xxy

11、ykk)(001yyxxkkky02231201201)1 ()()()()1)()()()1 (xxxxxxxxxkkkkkk以上 個(gè)式子相加，有若 是穩(wěn)定點(diǎn)，則應(yīng)有 ，所以 點(diǎn)穩(wěn)定的條件是同理 點(diǎn)不穩(wěn)定的條件是 01121022132)1 ()()()()1 ()()()(xxxxxxkkkkkkk011011)(1 )()()(1 )1 ()(xxxxxkkkkk0P0limxxkk0P10P14、模型修正、模型修正 在上述模型的基礎(chǔ)上，對(duì)供應(yīng)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。下面在決定商品的生產(chǎn)數(shù)量 時(shí)，不僅考慮前一時(shí)期的價(jià)格 ，而且考慮了價(jià)格 ，取 ，在 附近取線性近似，則有于是得將上述兩式整理得到二階

12、線性差分方程 1kxky1ky)2(11kkkyygx0P)2(20101yyyxxkkk)(00 xxyykk)(0101xxyykk), 3 , 2( ,)1 (22011kxxxxkkk其特征方程為經(jīng)計(jì)算得其特征根結(jié)論：若方程的特征根均在單位圓內(nèi)，則 為穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)，該特征方程有兩個(gè)實(shí)根，因則有 ，故此時(shí) 不是穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)，特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)根，共軛復(fù)根的模的絕對(duì)值為02248)(22, 10P8448)(222|20P824)(84)(|2/1222, 1要使 點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)只需 與前面的模型的結(jié)果相比， 的范圍擴(kuò)大了。這是由于經(jīng)營(yíng)管理者的水平提高帶來的結(jié)果。0P2,商品銷售量預(yù)測(cè)商

13、品銷售量預(yù)測(cè) 在利用差分方程建模究實(shí)際問題時(shí)，常常需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)并用最小二乘法來擬合出差分方程的系數(shù)。其系統(tǒng)穩(wěn)定性的討論要用到代數(shù)方程的求根。 例3 某商品前五年的銷售量見右表1?，F(xiàn)希望根據(jù)前五年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第六年起該商品在各季度中的銷售量。第一第一 年年第二第二 年年第三第三 年年第四第四 年年第五第五 年年1111213151621618224253252627303241214151517 由于該問題的數(shù)據(jù)少，用回歸分析效果不一定好。 如果認(rèn)為銷售量并非逐年等量增長(zhǎng)而是按前一年或者前幾年同期銷售量的一定比例增長(zhǎng)的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。以第一季度為例，以 表示第 年第一季度的銷

14、售量，建立形式如下的差分方程上述差分方程不一定能使所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。即選取 使得最小。根據(jù)這一方程可以迭代求解以后各年第一 季度銷售tyt32211ayayayttt321,aaa53232211ttttayayay量的預(yù)測(cè)值 。第7年銷售量預(yù)測(cè)值居然小于第6年的，稍作分析，不難看出，如分別對(duì)第一季度建立差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會(huì)相差甚大，但對(duì)同一種商品，這種差異應(yīng)當(dāng)是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)共用于各個(gè)季度的差分方程，為此，將季度編號(hào)為 ，令 ，利用全體數(shù)據(jù)來擬合求擬合得到最好的系數(shù)。即求 使得最小。于是得二階差分方

15、程為由此式可得 ，這個(gè)結(jié)果還是較為可信的。,19,2176yy20, 2 , 1t38241ayayayttt321,aaa209238241321),(ttttayayayaaaQ)21( ,6957. 01941. 08737. 084tyyyttt1676.19,5869.172521yy1、問題的提出、問題的提出 某保險(xiǎn)公司的一份材料指出，在每月交費(fèi)200元至59歲年底，60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老保險(xiǎn)金的約定下，男子若25歲開始投保，屆時(shí)月養(yǎng)老金2282元；假定人的壽命為75歲，是求出保險(xiǎn)公司為了兌現(xiàn)保險(xiǎn)責(zé)任，每月應(yīng)至少有多少投資收益率 （也就是投保人的實(shí)際收益率）？ 2、模型的建立與求解、模型的建立與求解 設(shè)投保人在投保后第 個(gè)月所交保險(xiǎn)費(fèi)及利息的累計(jì)總額為 ，那么得到數(shù)學(xué)模型為分段表示的差分方程其中 分別為60歲前所交月保險(xiǎn)費(fèi)和60歲起所領(lǐng)取的月養(yǎng)老金的數(shù)目（月）， 是所交保險(xiǎn)金獲得的利率， 分別是自投保起至停交保險(xiǎn)費(fèi)和至停領(lǐng)取養(yǎng)老金的時(shí)間（月），這里 ，可推出差分方程的解（這里 ），得 kkF1