07-09年海南省高考數(shù)學卷平面幾何試題分析及教學對策

1、07-09年海南省高考數(shù)學卷平面幾何試題分析及教學對策 由選修系列4的“幾何證明選講” 、“坐標系與參數(shù)方程”、“不等式選講”各命制1個解答題，考生從3個題中任選1題作答，若多選，則按題號最前的一題給分。關(guān)于“幾何證明選講”，要求：（1）理解相似三角形的定義和性質(zhì)，了解平行截割定理。（2）會證明和應(yīng)用以下定理：直角三角形射影定理；圓周角定理；圓的切線判定定理與性質(zhì)定理；相交弦定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理；切割線定理。-摘自供2009年海南省使用的高考大綱說明 2004年，廣東、山東、海南、寧夏四個省區(qū)第一批進入新課改實驗。2007年起海南省采用全國高考數(shù)學課標卷。下面是07-09年海

2、南省高考數(shù)學卷平面幾何試題及其評析：07年試題：如圖，已知是圓O的切線，為切點，是圓O的割線，與圓O交于兩點，圓心在的內(nèi)部，點是的中點（I）證明四點共圓；（II）求的大小考查目的本題主要考查圓的切線的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)以及垂徑定理等相關(guān)知識。試題的選取注重平面幾何最基本的定理的運用。解題思路連結(jié)OP，OM,由切線的性質(zhì)及垂徑定理等相關(guān)知識即可解得。答案 （）證明：連結(jié)因為與圓O相切于點，所以因為是圓O的弦的中點，所以于是由圓心在的內(nèi)部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓（）解：由（）得四點共圓，所以由（）得由圓心在的內(nèi)部，可知所以試題評價作為新課改后的第一次高考，平面幾何選考

3、題起點較低。考生只需掌握平面幾何最基本的知識：垂徑定理，四點共圓的條件（即圓的內(nèi)接四邊形判定定理），切線的性質(zhì)，圓周角定理，即可解答。考題要求明顯低于數(shù)學課本選修41幾何證明選講。08年試題如圖，過圓O外一點M作它的一條切線，切點為A，過A作直線AP垂直直線OM，垂足為P。（1）證明：OM·OP = OA2；（2）N為線段AP上一點，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點。過B點的切線交直線ON于K。證明：OKM = 90°。_K_B_P_A_O_M_N 考查目的本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)、射影定理和相似三角形的判定，考查幾何直觀能力和推理論證能力。解題思路利用切線的性質(zhì)在

4、中，由射影定理知。證明得。_K_B_P_A_O_M_N答案 （）證明：因為是圓的切線，所以，又因為，在中，由射影定理知；（）證明：因為是圓的切線，同有：，又，所以，即，又，所以，故。試題評價作為新課改后的第二次高考，此選考題的要求明顯提高。如果說第一問實質(zhì)是比較直接地考查直角三角形射影定理的應(yīng)用的話，那么第二問明顯地在圖形的變化，定理的選擇等方面設(shè)置了難點。圖形中共出現(xiàn)了8個直角三角形，思維指向那一個？撲朔迷離！有一定的挑戰(zhàn)性。當注意到半徑OA=OB,轉(zhuǎn)機才得以出現(xiàn)！等積式的獲得，或在一念之間（數(shù)學解題中靈感是存在的），或歷經(jīng)苦苦追尋。靈感觸發(fā)也罷，苦苦追尋也罷，都只是數(shù)學的知識，方法，能力日

5、積月累，厚積薄發(fā)的不同形式。試題的設(shè)計強調(diào)平面幾何基本定理的應(yīng)用，以考查學生的觀察，探索，發(fā)現(xiàn)的能力和邏輯推理能力。FE HDCBA09年試題如圖，已知的兩條角平分線和相交于H，F(xiàn)在上，且。 （I） 證明：B,D,H,E四點共圓：（II） 證明：平分?？疾槟康谋绢}考查三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的判定定理（即四點共圓的條件），等腰三角形的性質(zhì)定理，圓周角性質(zhì)等最基本的平面幾何知識以及靈活運用這些知識解決有關(guān)問題的能力。解題思路要證B,D,H,E四點共圓，只需證EBD+EHD=180°即證EHD=120°，這可由已知B=60°及三角形內(nèi)角和定理和內(nèi)角平分線

6、性質(zhì)得到；而由等腰三角形性質(zhì)和圓周角性質(zhì)，可得CEF=CED=30°， CE平分DEF。 w。w。wEF HDCBA答案 （）在ABC中，因為B=60°，所以BAC+BCA=120°。因為AD，CE是角平分線，所以HAC+HCA=60°，故AHC=120°。 w。w。w。k。s。5。u。c。o。m 于是EHD=AHC=120°。因為EBD+EHD=180°，所以B,D,H,E四點共圓。（）連結(jié)BH,則BH為ABC的平分線，得HBD=30°由（）知B,D,H,E四點共圓，所以CED=HBD=30°。又AHE

7、=EBD=60°，由已知可得EFAD，可得CEF=30°。所以CE平分DEF。 w。w。w。k。s。5。u。c。o。m 試題評價本題將問題設(shè)置在一個“特殊”的三角形背景下。這一“特殊”既不是等腰三角形或等邊三角形，也不是直角三角形，而是。這時BAC，BCA的大小未定，其和卻為定量。這看似簡單，然而能否“識破”這點，決定成??！這也正印證了：最基本的也就是最重要的。事實上，對任何三角形（如圖），由三角形外角定理，=。不難看到，試題將這一結(jié)論移植于含60°的三角形中，于是，“四點共圓”便是水到渠成的了。第二問，的作用仍然至關(guān)重要。CEF，CED兩個角相等，是以為媒介的。

8、試題對考生設(shè)置了一個似曾相識，實則陌生的情景，體現(xiàn)了高考的公平性。以下談?wù)勂矫鎺缀芜x考題對中學數(shù)學教學的啟示。1 要充分重視教材的基礎(chǔ)作用和示范作用數(shù)學教材是數(shù)學基礎(chǔ)知識的載體，形成基本技能的藍本。與平面幾何選考題相對應(yīng)的數(shù)學教材選修4-1幾何證明選講（人教版），其第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)和第二講直線與圓的位置關(guān)系，涵蓋平行線等分線段、平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)、圓周角、圓的內(nèi)接四邊形、圓的切線、弦切角、與圓有關(guān)的線段間的度量關(guān)系等內(nèi)容。教材將這些知識溶為一體，對相關(guān)定理進行了嚴格論證，并注重知識的應(yīng)用。兩講共介紹定理（含推論）33條，設(shè)置例題26道，習題41道，探究（含觀察

9、）18處。通過這些內(nèi)容的教學，特別是定理的推導過程和例題的求解（證明）過程，鞏固和發(fā)展學生基本的數(shù)學思想和方法（如從特殊到一般，化歸思想，分類思想，運動變化思想 ，猜想與證明等思想方法）。另外，選考題題型采用的是平面幾何常用的證明題，難度也控制在教材習題的中等難度之內(nèi)。因此，要充分重視教材的基礎(chǔ)作用和示范作用，花大力氣研究課本，務(wù)使學生理解實質(zhì)，真正掌握。2 要充分發(fā)揮考試大綱和考試大綱的說明的指導作用FMCDBO M MAA考試大綱是為課程標準實驗?。ㄖ陛犑?，自治區(qū)）高考而編制的，考試大綱的說明則根據(jù)各地的高考方案，教學水平不同而制定。海南省考試大綱的說明從我省實際情況出發(fā)，對考試大綱進一步

10、細化，對試卷結(jié)構(gòu)和使用的題型進行具體說明。首先應(yīng)注意考試大綱的說明規(guī)定了我省僅考考試大綱中幾何證明選講中的前3項（共8項），旨在突出強調(diào)那些最常見的，最重要的，適用面廣的知識和方法。其次考試大綱的說明中的題型示例，為大綱及其說明做了直接具體的詮釋，應(yīng)引起足夠的重視。請看07-09三年都被使用的幾何證明選講的一個題型示例：如圖，是的直徑，為上的點，是的角平分線。過點作，交的延長線于點，垂足為點。()求證：DC是的切線；()求證：AM·MB=DF·DA。只要仔細將三個年份的考題和此示例作比較，我們不難發(fā)現(xiàn)其中的“共圓”，“切線”“射影定理”“角平分線”等這些重要概念是如此“和諧

11、”地共存于示例和考題中。我們有理由認為，充分發(fā)揮考試大綱和考試大綱的說明的指導作用，認真研究示例和考題的關(guān)系，今后的高考備考工作必收事半功倍之效！3對幾何證明選講教學的一點建議幾何證明選講安排的教學時間為14學時（前兩講），另加復習課時間6學時，選考題分值10分且難度適中（屬容易題或中等題），如略去其他因素，其分值學時比高達0.5!事實上，選考題(包括坐標系和參數(shù)方程,不等式證明選講)早已成為考生一個重要的得分點。我校素有數(shù)學競賽強校之美譽，師生平面幾何研討的風氣濃郁，底蘊深厚。我們要充分利用這一優(yōu)勢，精心組織，積極引導，強調(diào)教師之間、師生之間、生生之間的互動和溝通。要確保選考內(nèi)容的教學時數(shù)。在高三復習階段，要使學生在掌握教材