第一講(電子的粒子性和波動(dòng)性)

1、鍵合、晶體結(jié)構(gòu)、電子能量結(jié)構(gòu)是鍵合、晶體結(jié)構(gòu)、電子能量結(jié)構(gòu)是理解和理解和創(chuàng)新創(chuàng)新一種材料的物理性能的理論基礎(chǔ)。一種材料的物理性能的理論基礎(chǔ)。原原 子子 間間 鍵鍵 合合晶晶 體體 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu)固 體 的 電 子能量結(jié)構(gòu)和狀態(tài)材材 料料物理性能物理性能其中電子的能量結(jié)構(gòu)最為復(fù)雜。其中電子的能量結(jié)構(gòu)最為復(fù)雜。19271927年年1010月，第五屆索爾維會(huì)議月，第五屆索爾維會(huì)議 Jx-+B0所產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為霍耳場(chǎng)，用霍耳系數(shù)來(lái)所產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為霍耳場(chǎng)，用霍耳系數(shù)來(lái)表征。表征。0HHxERJ BJx-+B0霍耳場(chǎng)強(qiáng)度霍耳場(chǎng)強(qiáng)度xJvne0 xB JEne霍耳場(chǎng)霍耳場(chǎng)表達(dá)式表達(dá)式0 xHJ BEne0001

2、1xHHxxJ BERJ BJ Bnene0HHxERJ B00NNnZZMM2Em Ch 式中：式中：m m為粒子質(zhì)量。為粒子質(zhì)量。v v為自由粒子運(yùn)動(dòng)為自由粒子運(yùn)動(dòng)速度。速度。 由上式計(jì)算的波長(zhǎng)，稱為由上式計(jì)算的波長(zhǎng)，稱為。 2;hhEmChpm在相對(duì)論力學(xué)中運(yùn)動(dòng)物體的相對(duì)質(zhì)量在相對(duì)論力學(xué)中運(yùn)動(dòng)物體的相對(duì)質(zhì)量m m、靜止質(zhì)、靜止質(zhì) 量量m m0 0及速度及速度v v間存在如下關(guān)系：間存在如下關(guān)系：0221mmC0hm2201hhhpmmC德布羅意關(guān)于德布羅意關(guān)于物質(zhì)波物質(zhì)波的的假設(shè)，在假設(shè)，在19271927年被美國(guó)年被美國(guó)貝爾電話實(shí)驗(yàn)室的戴維貝爾電話實(shí)驗(yàn)室的戴維森森(Davisson)(

3、Davisson)和革末和革末(Germer) (Germer) 的電子衍射的電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。電子槍電子槍探測(cè)器探測(cè)器54vNi500KGBDUsin,1dkkdd電子槍電子槍探測(cè)器探測(cè)器500Ni54v100102.15 10sin501.65 10( )m探測(cè)器探測(cè)器sin,1dkkdd電子槍電子槍50054vNi再看由物質(zhì)波波長(zhǎng)方程式計(jì)算電子的波長(zhǎng)：再看由物質(zhì)波波長(zhǎng)方程式計(jì)算電子的波長(zhǎng)：電子質(zhì)量電子質(zhì)量 m m9.19.1 1010-31 -31 kgkg，電子能量，電子能量E E54e54eV V，則電子動(dòng)量：則電子動(dòng)量： 式中：式中：1.61.6 1010-19-19

4、為電子伏特向焦耳的轉(zhuǎn)換因子。為電子伏特向焦耳的轉(zhuǎn)換因子。1/23119 1/224(2)(2 9.1 1054 1.6 10)3.97 10(/ )pmEkg m s212PmEm3424106.6210/ 3.97101.6610()hmp比較兩個(gè)結(jié)果基本一致，說(shuō)明德布羅意假設(shè)的正比較兩個(gè)結(jié)果基本一致，說(shuō)明德布羅意假設(shè)的正確性。確性。 19281928年以后的進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)證明：不僅電子具有波年以后的進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)證明：不僅電子具有波性，自然界中的性，自然界中的一切微觀粒子一切微觀粒子，不論它們的靜止，不論它們的靜止質(zhì)量是否為零，都具有波粒二象性質(zhì)量是否為零，都具有波粒二象性 ，包括如原子、，包括如

5、原子、分子、質(zhì)子等都微觀粒子，其波長(zhǎng)與分子、質(zhì)子等都微觀粒子，其波長(zhǎng)與 =h/p=h/p計(jì)算出計(jì)算出來(lái)的完全一致，從而肯定了來(lái)的完全一致，從而肯定了物質(zhì)波物質(zhì)波的假說(shuō)。的假說(shuō)。波粒二象性波粒二象性是一切物質(zhì)是一切物質(zhì)( (包括電磁場(chǎng)包括電磁場(chǎng)) )所具有所具有的普遍屬性。的普遍屬性。 例：一質(zhì)量例：一質(zhì)量m m=0.05=0.05kgkg的子彈，以速率的子彈，以速率=300m/s=300m/s運(yùn)動(dòng)，其德布羅意波長(zhǎng)為多少運(yùn)動(dòng)，其德布羅意波長(zhǎng)為多少? ? 由此可見(jiàn)，對(duì)于一般的宏觀物體，其物質(zhì)波由此可見(jiàn)，對(duì)于一般的宏觀物體，其物質(zhì)波波長(zhǎng)是很小的，很難顯示波動(dòng)性。波長(zhǎng)是很小的，很難顯示波動(dòng)性。 343

6、56.63 104.4 10( )0.05 300hmm34311930126.6210229.1101.610200102.7410()0.0274()hhpmEmA納米金剛石納米金剛石Si Si 薄膜薄膜透射電鏡透射電鏡22,dWdvdWCdv 2*CdVCdV21CdV2說(shuō)說(shuō) 明明 波波 函函 數(shù)數(shù) 要要滿足歸一化條件滿足歸一化條件21dVC222電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)：7個(gè)電子100個(gè)電子底片上出現(xiàn)一個(gè)個(gè)的點(diǎn)子底片上出現(xiàn)一個(gè)個(gè)的點(diǎn)子電子具有粒子性。電子具有粒子性。來(lái)源于來(lái)源于“一個(gè)電子一個(gè)電子”所具有的波動(dòng)性，所具有的波動(dòng)性，而不是電子間相互作用的結(jié)果。而不是電子間相互作用的

7、結(jié)果。隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣30007000020000如何理解電子的波粒二象性？如何理解電子的波粒二象性？電子一個(gè)一個(gè)發(fā)射，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果衍射花紋不變；電子一個(gè)一個(gè)發(fā)射，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果衍射花紋不變；單個(gè)電子也具有單個(gè)電子也具有“波動(dòng)性波動(dòng)性”。單個(gè)電子入射每次集中于一點(diǎn)，出現(xiàn)在屏上；單個(gè)電子入射每次集中于一點(diǎn)，出現(xiàn)在屏上；電子在屏上的落點(diǎn)是隨機(jī)分布的，多次積累以后電子在屏上的落點(diǎn)是隨機(jī)分布的，多次積累以后出現(xiàn)衍射花紋；出現(xiàn)衍射花紋；外界條件一定，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果衍射花紋不變；外界條件一定，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果衍射花紋不變；電子是一個(gè)完整的顆粒，不可分割。電子是一

8、個(gè)完整的顆粒，不可分割。在測(cè)量前具有不確定性，但在測(cè)量前具有不確定性，但是有一定的統(tǒng)計(jì)性。是有一定的統(tǒng)計(jì)性。電子在空間的統(tǒng)計(jì)分布是一定的。電子在空間的統(tǒng)計(jì)分布是一定的。而不是電子間相互作用的結(jié)果。而不是電子間相互作用的結(jié)果。經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化; ; 波意味著波意味著 2 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。粒子性（粒子性（不是經(jīng)典的粒子）不是經(jīng)典的粒子） ：“原子性原子性”或或“顆粒顆粒性性”。即具有。即具有不與不與“粒子有確切的軌道粒子有確切的軌道”的概念相聯(lián)的概念相聯(lián)系。系。 波動(dòng)

9、性波動(dòng)性（不是經(jīng)典的波）：波的（不是經(jīng)典的波）：波的“疊加性疊加性”，并不與并不與某種實(shí)際的物理量在空間的分布相聯(lián)系。某種實(shí)際的物理量在空間的分布相聯(lián)系。 經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ; 粒子意味著粒子意味著 2 2有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定 位置和速度。位置和速度。2e 1uuTT角頻率角頻率圓頻率圓頻率 波數(shù)波數(shù)角頻率角頻率 0cos()yAtxy oxp簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是一個(gè)與時(shí)間簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是一個(gè)與時(shí)間t t 和位置和位置 x x 的相的相關(guān)的函數(shù)，原點(diǎn)關(guān)的函數(shù)，原點(diǎn)O O的

10、振動(dòng)方程可表示為：的振動(dòng)方程可表示為：波線上距離波線上距離O O點(diǎn)點(diǎn)x x距離的某點(diǎn)距離的某點(diǎn)P P的的相位落后于相位落后于O O點(diǎn)點(diǎn) ，則，則P P點(diǎn)在時(shí)點(diǎn)在時(shí)刻刻t t的波動(dòng)方程表示為：的波動(dòng)方程表示為：0cos()yAt2x而初始相位差初始相位差2 2、t t一定時(shí)，令一定時(shí)，令t t= =t t1 1，則質(zhì)點(diǎn)位移，則質(zhì)點(diǎn)位移y y僅是僅是x x的函數(shù)。的函數(shù)。得到一余弦曲線，它是得到一余弦曲線，它是t t1 1時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻波線上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線。偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線。1 1、x x 一定時(shí)，令一定時(shí)，令x x= =x x1 1，

11、則質(zhì)點(diǎn)位移，則質(zhì)點(diǎn)位移y y僅是時(shí)間僅是時(shí)間t t的的函數(shù)。函數(shù)。10cos2xyAt10cos2xyAtxyu0cos()yAt0000cos()cos2 ()cos()cos()2xyAtAxAtKxAtt 2x而22,K2()0(,)xityxtye0(,)c o s 2()xyxtythhpm0cos2 ()xyAt 對(duì)于對(duì)于2EmCh在此，不考慮在此，不考慮初始相位差。初始相位差。01(,)c o s 2()yxtytxEh1PhhpEhPh0(,)c o s 2()EPyx tytxhh02( , )cos()y x tyEtPxh2h令令01( , )cos()x tEtPx 1

12、2()0(,)itxyxtyeEh1PhhpEhPh2h令令()0( , )iEtpxx te ()0( , )it Kxx te 一維自由粒子的波函數(shù)為：一維自由粒子的波函數(shù)為：()0( , )iEtpxx te 2222px 對(duì)位移求二階偏導(dǎo)：對(duì)位移求二階偏導(dǎo)：0( , )iiEtpxx tee 20220222( , )()()( , )iiEtpxiiEtpxx tiippeexpeepx t 一維自由粒子的波函數(shù)為一維自由粒子的波函數(shù)為：()0( , )iEtpxx te 對(duì)時(shí)間求一階偏導(dǎo)對(duì)時(shí)間求一階偏導(dǎo)： 0( , )iiEtpxx tee 0( , )()( , )iiEtpxx

13、 tiEeetiEx t iEt這就是一維自由粒子（含時(shí)間）這就是一維自由粒子（含時(shí)間）薛定諤方程薛定諤方程。iEt 2222px 2222imxt 2222( , )( , )x tix tPtEt 212Emv根據(jù)根據(jù) ，Pmv212EPm即：即：22PEm得：得：如果如果電子電子在確定的在確定的勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其薛定諤方程也中運(yùn)動(dòng)，其薛定諤方程也可用可用類(lèi)似的方法類(lèi)似的方法建立起來(lái)。在有勢(shì)力場(chǎng)中粒子的建立起來(lái)。在有勢(shì)力場(chǎng)中粒子的總能量為：總能量為：212EmvU將將P=mvP=mv帶入，得：帶入，得：22PEUm212EPUm 2222Uimxt 2222Px iEt勢(shì)場(chǎng)勢(shì)場(chǎng)中中一維一維

14、運(yùn)運(yùn)動(dòng)粒子動(dòng)粒子薛定諤方程薛定諤方程2222Px iEt 基于基于一維一維粒子的薛定諤方程，對(duì)于在勢(shì)場(chǎng)中作粒子的薛定諤方程，對(duì)于在勢(shì)場(chǎng)中作三三維維運(yùn)動(dòng)的粒子的薛定諤方程可以寫(xiě)成為：運(yùn)動(dòng)的粒子的薛定諤方程可以寫(xiě)成為：2222222()2Uimxyzt 令：令： ，稱為拉普拉斯算，稱為拉普拉斯算符，上式可以寫(xiě)成符，上式可以寫(xiě)成：2222222xyz 222Uimt 在在定態(tài)問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)不是時(shí)間的函數(shù)定態(tài)問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)不是時(shí)間的函數(shù)，即，即U U可寫(xiě)成可寫(xiě)成U U( (x,y,zx,y,z) )，故上式可以寫(xiě)成：，故上式可以寫(xiě)成：22( , )2U x y zimt 這就是這就是勢(shì)場(chǎng)中勢(shì)場(chǎng)中三維三維運(yùn)

15、動(dòng)粒子的運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)薛定諤方程。( , , )( , )( )x y z tx y z f t依據(jù)分離變量法，依據(jù)分離變量法，波函數(shù)可以表示為：波函數(shù)可以表示為：2211( )( , )2( , )( )f tU x y zimx y zf tt得：得：2222( )( )22Uf tUf tmm 左邊：左邊：( )f tiitt右邊：右邊：2211( )( , , )2( , , )( )f tU x y zimx y zf tt方程的左邊只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，右邊只是時(shí)間方程的左邊只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，右邊只是時(shí)間的函數(shù)，只有兩邊都等于一個(gè)常數(shù)時(shí)，等式才能的函數(shù)，只有兩邊都等于一個(gè)常數(shù)時(shí)，等式才能成立，令常數(shù)