初中數學思想方法大全

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上初中數學思想方法大全 教學的本質到底是什么？很顯然，教學最本質的東西就是傳授知識，提高素質，培養(yǎng)能力。那么，數學教學的本質又是什么呢？眾所周知：“數學是思維的體操?！睌祵W思想方法是數學的精髓，它是數學中最本質最有價值的東西。它是知識轉化為能力的橋梁。所以從某種意義上說，數學教學的本質就是數學思想方法的教學，在數學教學中，教師除了基礎知識和基本技能的教學外，更應重視數學思想方法的參透，注意對學生進行數學思想方法的培養(yǎng)。一、數學思想方法是什么？數學思想方法是什么呢？其實它包換兩個方面，即思想和方法。所謂數學思想，是指人們對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學

2、的認識過程中提練上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是用數學解決問題的指導思想，它直接支配著數學的實踐活動。所謂數學方法，則是在數學提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）過程中，所采用的各種方式、手段、途徑等。它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們把它們合稱為數學思想方法。因此，在數學教學中，教師除了基礎知識和基本技能的教學外，還應重視數學思想方法的滲透，注重對學生進行數學思想方法的培養(yǎng)，這對學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響,使學生終生受益。正如波利亞強調：在

3、數學教學中“有益的思考方式、應有的思維習慣”應放在教學的首位。加強數學思想方法教學，必然對提高數學教學的質量起到至關重要的作用。二、初中階段主要的數學思想方法有哪些？縱觀初中新課標教材，涉及到的數學思想方法大體可分為三種類型。第一類是技巧型思想方法（也稱低層次數學思想方法），包括消元、降次、換元、配方、待定系數法等，這類方法具有一定的操作步驟。比較容易為學生所接受。第二類是邏輯型的思想方法（也稱較高層次數學思想方法），包括類比、抽象、概括、歸納、分析、綜合、演繹、特殊化方法、反證法等，這類方法都具有確定的邏輯結構，是普通適用的邏輯推理論證模型。第三類是宏觀型思想方法（也稱高層次數學思想方法），

4、主要包括用字母表示數、數形結合、分類討論、歸納猜想、化歸轉換、數學模型等，這類方法較多地帶有思想觀點的屬性，揭示數學發(fā)展中極其普遍的方法，對數學發(fā)展起導向功能。學生較難領悟，需要教師在平時的教學中反復滲透。用圖框表示是：數學思想和方法技巧型思想方法邏輯型思想方法宏觀型數學思想方法消元法、配方法、換元法、待定系數法、判別式法、割補法等 分析法、綜合法、歸納法、反證法等函數和方程思想、分類討論思想、數形結合思想、化歸思想等（一）、宏觀型思想方法1.化歸轉化思想方法不是對原來的問題直接解答，而是想方設法對它進行變形，直到把它轉化成某個（某幾個）已經解決了的問題為止。通過轉化可使原條件中隱含的因素顯露

5、出來，從而縮短已知條件和結論之間的距離，找出它們之間內在的聯系，以便應用有關方法將問題解決?；瘹w轉化思想是指在解決問題的過程中，對問題進行轉化，使之成為簡單、熟知問題的數學思想方法，它是使一種數學對象在一定條件下轉化為另一種數學對象的思想和方法。其核心就是將有待解決的問題轉化為已有明確解決程序的問題，以便利用已有的理論、技術來加以處理，從而培養(yǎng)學生用聯系的、發(fā)展的、運動變化的觀點觀察事物、認識問題、解決問題。（1）、轉化與化歸的原則：熟悉化原則：即陌生問題-熟悉問題，就是常說的通過舊知解決新知簡單化原則：即復雜問題-簡單問題具體化原則：即抽象問題-具體問題或直觀問題極端化原則：即運用極端化位置

6、或狀態(tài)的特性引出一般位置上或狀態(tài)下的特性，從而獲得解決問題的思路。和諧化原則：即對問題進行轉化時要注意把條件和結論的表現形式轉化為更具數、式和形內部固有和諧統(tǒng)一特點的形式，以幫助我們去確定解決問題的方法。（2）轉化與化歸的主要途徑有：正與反、一般與特殊的轉化；常量與變量的轉化；數與形的轉化。有些代數問題，通過構造圖形，化抽象為具體，借助直觀啟發(fā)思維，轉化為易解的幾何問題。有些不易解決的幾何題通過輔助線轉化為代數三角的知識來證明，實現轉化；數學各分支之間的轉化；相等與不相等之間的轉化；實際問題與數學模型的轉化.利用“換元”、“畫輔助線”、“消元法”、“配方法”，進行構造變形實現轉化。 （3） 轉

7、化與化歸的應用舉例：減法轉化成加法（減去一個數等于加上這個數的相反數）；除法轉化成乘法（除以一個不等于零的數等于乘以這個數的倒數）；多項式的先化簡再代入求值；單項式乘單項式可化歸為有理數乘法和同底數冪的乘法運算；單項式乘多項式和多項式乘多項式都可以化歸為單項式乘單項式的運算；將求負數的立方根轉化為求正數的立方根的相反數；實數近似運算中據問題需要取近似值，從而轉化為有理數計算；將異分母分式的加減轉化為同分母分式的加減；將分式的除法轉化成分式的乘法；將分式方程轉化為整式方程求解；將分子的次數不低于分母次數的分式用帶余除法轉化為整式部分和分式部分的和；將方程的復雜形式化為最簡形式；通過立方程把實際問

8、題轉化為數學問題；通過解方程把未知轉化為已知；把一元二次方程轉化為一元一次方程求解；把二元二次方程組轉化為二元一次方程組，再轉化為一元一次方程從而求解；通過轉化為解方程實現實數范圍內二次三項式的分解、方程中字母系數的確定；角度關系的證明和計算；平行線的性質和判定；把幾何問題向平行線等簡單的熟悉的基本圖形轉化；特殊化（特殊值法、特殊位置、設項、幾何中添輔助線等）；圖形的變換（軸對稱、平移、旋轉、相似變換）；解斜三角形（多邊形）時將其轉化為解直角三角形等。例1 如圖，“回”字形的道路寬為1米，整個“回”字形的長為8米，寬為7米，一個人從入口點A沿著道路中央走到終點B，他共走了 .8米7米BA思路和

9、解答 假設拖把的寬度是1米，某服務員拿著拖把沿著小路向前推，那人走遍小路相當于把整塊場地拖完了，而拖1的場地相當于那人向前走了1米，整塊場地面積是7×8=56（），所以那人從A走到B共走了56米，這樣我們就把求線段長度問題化歸成求面積問題了。下面是一個化幾何問題為代數問題的例題例2 如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色塊圖，由6個顏色不同的正方形組成，設中間最小一個正方形邊長為1，則這個矩形色塊圖的面積為 .思路和解答 設次小正方形邊長為x，則其余正方形的邊長依次1+x,2+x,3+x,根據題意得：（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）+（2+x）+（1+x）+2x】=1，解

10、得x=4. 所以矩形色塊圖的面積為13×11=143.注：如果對待這個問題時只考慮幾何的面積求法，很容易陷入分別求邊長的死胡同，從而一籌莫展，這里采用代數考慮，將問題用一個方程表達出來，進而求出次小正方形的邊長，進而求得解。這里又包含了整體思想、方程思想.2.數形結合的思想和方法數形結合思想是指將數（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略。著名數學家華羅庚先生說：“數形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合千般好，隔離分家萬事休?！边@充分說明了數形結合思想在數學研究和數學應用中的重要性。（1）數形結合的主要途徑：形轉化為數：用代數方

11、法研究幾何問題，這是解析幾何的基本特點.數轉化為形：即根據給出的“數式”的結構特點，構造出與之相應的幾何圖形，用幾何方法解決代數問題.數形結合：即用形研究數，用數研究形，相互結合，使問題變得直觀、簡捷、思路易尋.（2）數形結合的應用舉例：應用：A利用數軸確定實數的范圍；B幾何圖形與代數恒等式（或不等式）；C數與形相結合在平面直角坐標系中的應用；D利用函數圖像解決方程、不等式問題；E數與形相結合在函數中的應用；F構造幾何圖形解決代數問題例如：在數軸上表示數；用數軸描述有理數的有關概念和運算（相反數、絕對值等概念，比較有理數的大小，利用數軸探究有理數的加法法則、乘法法則等）；在數軸上表示不等式的解

12、集；代數的不等式（組）、方程和方程組，幾何的幾乎所有內容；函數方面（建立直角坐標系使點與有序實數對之間建立了一一對應關系，從而具備了數形轉化的重要工具；從解析式和圖像兩個方面來研究函數，能更清晰地把握函數的性質；用圖像解決代數問題如解不等式、解方程和用代數解決幾何問題如通過解析式確定拋物線的對稱軸、開口方向等）；運用代數、三角比知識通過數量關系的討論去處理幾何圖形的問題；能運用幾何、三角比知識通過對圖形性質的研究去解決數量關系的問題。數軸上的點與實數的一一對應的關系。平面上的點與有序實數對的一一對應的關系。函數式與圖像之間的關系。線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數來反映形。解三角形，

13、求角度和邊長，引入了三角函數，這是用代數方法解決幾何問題?！皥A”這一章中，賀的定義，點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系等都是化為數量關系來處理的。統(tǒng)計初步中統(tǒng)計的第二種方法是繪制統(tǒng)計圖表，用這些圖表的反映數據的分情況，發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數據扮布情況，發(fā)展趨勢等。實際上就是通過“形”來反映數的特征，這是數形結合思想在實際中的直接應用。例1、二元一次方程組的解的意義：二元一次方程組的解有三種情況： 無解；無數個解； 只有一個解。這三種情況可以轉化為兩條直線a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三種位置關系：平行；重合； 相交。方程組的解轉化為兩條直線的交點。當a1

14、：a2=b1：b2c1：c2時，兩條直線的斜率相同，y軸上的截距不同。此時兩條直線平行，無交點，因而方程組無解。當a1：a2=b1：b2=c1：c2時，兩條直線的斜率相同，y軸上的截距相同。此時兩條直線重合，有無數個公共點，因而方程組有無數個解。當a1：a2b1：b2時，兩條直線的斜率不相同，兩條直線相交，只有一個交點，因而方程組只有一個解。例 2x+y+3=0，方程組無解。直線2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置關系：平行4x+2y+1=0，方程組只有一個解。直線2x+y+1=0、x+2y=0的位置關系：相交。，方程組有無數個解。兩直線2x+4y=0、x+2y=0的位置關系：重合。cb

15、0ax例2、圖形隱含條件：例：在數軸上的位置如圖，化簡：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c。例3、如圖，是連接在一起的兩個正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍。問：若只許剪兩刀應如何裁剪，使之能拼成一個新的大正方形？（1）（2）（1）（2）對于這一問題學生往往采取實驗的方法，這里裁一刀，那里試一剪，但卻極少有人能在短時間內拼湊好。如果對題目認真加以分析，我們不難發(fā)

16、現，從已知到結論，圖形雖然變了，但其中卻還有沒變的東西面積，若設小正方形的面積為1，則其邊長就是1，大正方形的變長是2，新大正方形的邊長為 ， 這樣一來，我們僅需沿著圖4中邊長為的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的線段沒有幾條，于是很快就能找到答案。3.分類討論的思想和方法由于數學研究對象的屬性不同,或者由于在研究問題過程中出現了不同情況,從而對不同情況進行分類研究的思想,我們稱之為分類討論思想,其實質是把問題“分而治之，各個擊破”。是一種邏輯劃分的思想。從思維策略上看,它是把要解決的數學問題,分解成可能的各個部分,從而使復雜問題簡單化,使“大”問題轉化為“小”問題,便于求解。（1） 分類的要點

17、方法：分類是按一定的標準進行的，分類的標準不同，分類的結果也不相同；要注意分類的結果既無遺漏，也不能交叉重復；分類要逐級逐次地進行，不能越級化分。（2）分類討論的步驟同一性、互斥性、層次性三原則僅僅保證合理分類,是分類討論中的核心步驟,解題中,分類討論一般分為四步：第一，確定討論的對象以及討論對象的取值范圍；第二，正確選擇分類標準,合理分類；第三，逐類、逐段分類討論；第四，歸納并做出結論.（3）分類思想應用舉例：應用：A對問題的題設條件需分類討論；B對求解過程中不便統(tǒng)一表述的問題進行分類討論；C從圖像中獲取信息進行分類討論；D對圖形的位置、類型的分類討論；E對字母、未知數的取值范圍分不同情況討

18、論。例子:有理數的分類；絕對值的討論；有理數的加法法則、乘法法則、有理數乘法的符號法則、乘方的符號法則；整式分類；研究平方根、立方根時，把數按正數、0、負數分類；按定義或按大小對實數進行分類；例1絕對值概念是一個需要分類討論的概念，要講清這一概念應從絕對值的幾何意義說起，也就是一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點與原點的距離。學生自然而然的會得出絕對值的三種分類討論情況，也就是: a ( a>0)|a| = 0 ( a = 0 ) -a ( a<0 )例2 甲、乙兩人分別從相距30km的A、B兩地同時相向而行，經過3h后相距3km，再經過2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程

19、的2倍，求甲、乙兩人的速度。(分析：題中“經過3h后相距3km”有兩種情況，一種是沒相遇距3km；一種是相遇后距3km。)解：當3h后甲、乙兩人未相遇時，設甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，則（1） 解得 （2） 解得 答：甲的速度為4Km/h，乙的速度為5Km/h 或甲的速度為16/3Km/h，乙的速度為17/3Km/h。4、數學建模思想數學模型指根據所研究的問題的一些屬性、關系，用形式化的數學語言（概念、符號、語言等）表示的一種數學結構（如多項式、方程式、不等式、函數式以及圖形等）。實際問題數學模型數學模型的解實際問題的解 把實際應用題中的等量關系構建在方程組

20、的模式，或其他模式，找到一種解決問題的數學方法。數學模型是對客觀事物的空間形式和數量關系的一種反映，它可以是方程、函數或其他數學式子，也可以是一個幾何基本圖形。利用數學模型解決問題的一般數學方法就是數學模型方法。它的基本步驟如上圖所示：數學中的建模思想是解決數學實際問題用得最多的思想方法之一，初中數學中常用的數學模型有：方程模型，函數模型，幾何模型，三角模型，不等式模型和統(tǒng)計模型等等。數學模型方法，指先根據研究的問題建立數學模型，再通過對數學模型的探索進而達到解題目的的方法。此法多用于解決一些實際問題或較繁瑣的數學題。應用：A建立幾何模型（合理、正確地畫出幾何圖形）；B建立方程、函數模型解決實

21、際問題；C在解決實際問題（如物體運動規(guī)律、銷售問題、利潤問題、方案設計、幾何圖形變化問題等）時，先抽象出一次函數或二次函數關系式的數學模型（即建模），再用函數的知識來解決這些實際問題。 函數與方程思想方程思想（方程模型）就是從分析問題的數量關系入手，適當設定求知數，利用已知條件、公式、定理中的已知結論把所研究問題中已知量和未知量之間的數量關系轉化為方程或方程組等數學模型，從而使問題得到解決的思維方式。 函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系建函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決.這種思想方法在于揭示問題的數量關系的本質特征，重在對問題的變量的動態(tài)研究，從變量的運動

22、變化，聯系和發(fā)展角度拓寬解題思路要確定變化過程的某些量。函數思想與方程思想的聯系十分密切。解方程f(x)0就是求函數yf(x)當函數值為零時自變量x的值；求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個數就是求函數yf(x)與y=g(x)的圖象的交點或交點個數；正是這些聯系，促成了函數與方程思想在數學解題中的互化互換，所以將二者統(tǒng)稱為函數方程思想。方程與函數思想應用舉例：應用：求最大（?。┲?；解決有關方程、不等式、圓的問題；解決大量的實際問題；例如：立方程（組）解應用題；利用判別式和韋達定理確定一元二次方程中待定系數（字母系數）；二次三項式的因式分解；利用韋達定理解形如韋達定理的二元二次方程組；5、抽

23、象和概括思維方法抽象：是人們在感性認識的基礎上，通過比較、歸納、分析、綜合等方法，透過現象，深入里層，從所研究的問題中排開那些與轉化無關的表面因素，只抽取出與研究有關，直接作用于轉化機制的本質屬性、內部聯系和規(guī)律，從而達到理性認識的思維方法，為解答問題提供某種科學依據或一般原理。概括：即把抽象出來的若干事物的共同屬性歸納出來進行考察的思維方法。概括是人們追求普遍性的認識方式，是一種由個別到一般的思維方法。概括是以抽象為基礎，抽象度愈高，則概括性愈強，高度的概括對事物的理解更具有一般性，則獲得的理論或方法就有更普遍的指導性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以僅涉及一個對象，而概括則涉及一類對象。從

24、不同角度考察同一事物會得到不同性質的抽象，即不同的屬性。而概括則必須從多個對象的考察中尋找共同相通的性質。抽象思維側重于分析、提練；概括思維則側重于歸納、綜合。數學中的每一個概念都是對一類事物的多個對象通過觀察和分析，抽象出每個對象的各種屬性，再通過歸納、概括出各個對象的共同屬性而形成的。在解決數學問題方面，得出數學的模型、模式，總結出解題的規(guī)律和方法，都是通過分析、比較、抽象、歸納等思維環(huán)節(jié)，最后進行理論概括的結果。幾何圖形都是由現實事物去其物理性質，而只考慮其形狀、大小、位置抽象出來的，這也是解決現實生活中問題的一個途徑。6、整體思想將問題中的某些元素或組合看成一個完整的整體，把注意力和著

25、眼點放在問題的整體結構和結構改造上，從整體上把握問題的內容和解題的方向和策略，從而化繁為簡，化難為易。整體思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握已知和所求之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理來解決問題的方法.利用整體思想往往能夠避免局部思考帶來的困惑.例1 解方程組分析：如果選用代入法解答，比如由得，x= ,再代入，得2003×（）+2002y=2004解答起來十分麻煩. 如果選用加減法，比如，×2003- ×2002，可以消去x，得2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 200

26、4×2002形式也很復雜，不易求解. 注意到兩個方程的系數正好對調這一特征，先將兩方程相加，+，得4005x + 4005y = 4005化簡，得 x+y=1 再將兩方程相減， - ，得 -x + y = - 3 即x-y=3 由、組成方程組，得解這個方程組得 .例2 如圖，矩形ABCD被兩條對角線分成四個小三角形，如果四個小三角形的周長的和為86cm，一條對角線長是13cm，那么矩形的面積是多少？ABCDO分析 本題要求矩形的面積，根據面積公式S=AB·BC,只需求出AB·BC即可。解 根據題意，有AB+BC+CD+DA=86-2（AC+BD）=86-4

27、5;13=34.AB+BC=17.兩邊平方，得AB+2AB·BC+BC=289, 又AB+BC=AC=169,兩式相減，得2AB·BC=120, AB·BC=60（）.7、系統(tǒng)化系統(tǒng)化，就是將各種有關材料編成順序，納入一定體系之中進行研究的一種思維方法。它是與比較、分類、抽象、概括、具體化等思維方法緊密聯系在一起的。運用系統(tǒng)化方法，有助于從整體上把握事物的內在聯系，系統(tǒng)、深刻地掌握知識；有助于抓住核心，了解來龍去脈。例如，在學習了兩角和與差的三角函數的公式，倍角、半角的三角函數公式，萬能公式以及三角函數的積化和差與和差化積公式之后，應及時指導學生把這許多公式的內在

28、聯系和推導的線索用繪制圖表的方法進行系統(tǒng)的整理，這將大大有助于學生理解、記憶和掌握這些公式，這是學好三角函數公式的關鍵。又如，在學習了橢圓、雙曲線、拋物線的內容之后，也應指導學生把這三種圓錐曲線的幾何條件（定義）、標準方程、圖形、性質制成圖表，進行比較，并形成系統(tǒng)化的知識。（二）、邏輯型思想方法1、演繹推理演繹推理是從一般原理推出個別結論的思維方法。即一般到特殊的推理方法。其特點是：在推理的形式合乎邏輯的條件下，運用演繹法從真實的前提一定能推出真實的結論。演繹推理是邏輯證明的工具，整個歐幾里得幾何就是一個演繹推理系統(tǒng)，19世紀數學家們由對歐幾里得第五公設的獨立性的試證導致發(fā)現非歐幾何。三段論是

29、演繹推理的主要形式，所謂“三段論”就是由大前提、小前提、結論三部分組成。例如，凡同邊數的正多邊形都是相似的，這兩個正多邊形的邊數是相同的，所以這兩個正多邊形也是相似的。這里有三個判斷，第一個判斷提供了一般的原理原則，叫做三段論的大前提；第二個判斷指出了一個特殊場合的情況，叫做小前提；聯合這兩個判斷，說明一般原則和特殊情況間的聯系，因而得出的第三個判斷，叫做結論。2、歸納與猜想在解決數學問題時，從特殊的、簡單的、局部的例子出發(fā)，通過觀察類比聯想進而猜想結果的思想方法，是通過對一系列特殊問題的研究，概括出一類問題的一般性規(guī)律的思維方法。數學歸納法數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種

30、推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n1(或n0)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在nk時命題成立，再證明nk1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數（或nn0且nN）結論都正確”。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬于完全歸納。運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。3、比較的思維方法、比較

31、是一種判斷性的思維活動，是確定所研究的對象的相同點和差異點的思維方法。它不遵循邏輯思維的規(guī)律，但是卻能獲得研究發(fā)現，是確定解題方法的線索。應用：A概念的比較；B從不同圖形中尋找相同進行比較；C將問題延伸，從中尋找規(guī)律進行比較。例子：同類項；通過角的形態(tài)的比較，形成對對頂角、鄰補角、“三線八角”的鮮明對照，在區(qū)別上明鑒，在聯系上溝通；（1）. 類比方法據事物與事物之間在某些方面（如特征、屬性、關系）的相似之處進行比較，通過聯想和預測，推出它們在其他方面也可能相似，從而去建立猜想和發(fā)現真理的方法。所謂類比，就是兩個對象都有某些相同的屬性，并且其中一個對象還有另外的某些屬性作為前提，進而判斷出另一個

32、對象也有這些屬性的思維形式。一些數學問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學生由此及彼，靈活應用所學知識。例如：合并同類項與合并同類二次格式類比；二次根式的和相乘與多項式乘法類比；通過與分數的類比來研究分式的概念、基本性質、通分、約分、運算等；由假分數化成帶分數繼而化為整數部分和分數部分的和，聯想到在分子的次數不低于分母次數的分式中可以用帶余除法將分式轉化為整式部分和分式部分的和；通過與等式基本性質的類比來學習不等式的基本性質；學習一元一次不等式的解法，應將其與一元一次方程的解法進行類比；（2）.對比方法把兩個幾何圖形的特征加以對比，才能發(fā)現它們的區(qū)別和聯系才能深刻地理解，才能識別。例如

33、：線段的中點和角平分線的區(qū)別和聯系；例1、已知：，若 符合前面式子的規(guī)律， 則 a + b = 解析：觀察已知的四個等式我們發(fā)現：等式的左邊是一個整數與分數的和，且整數與分數的分子相同，分數的分母等于整數的平方減1，等式的右邊是左邊的整數的平方與左邊的分數的積，從上述規(guī)律可以得到式子中，所以.4、舉反例證明假命題的方法（反駁）反駁是用已知為真的命題去揭露或證實另一個命題的虛假性的邏輯方法。反駁與證明不同，證明是確定某一判斷的真實性，反駁是確定對方論題的虛假性或不能成立；證明的作用在于探求真理，闡明真理，反駁的作用則在于揭露謬誤，捍衛(wèi)真理。反駁與證明又是密切聯系的，如果確定了一個判斷的真實性，同

34、時也就意味著確定了與之相矛盾的判斷的虛假性。反之，如果確定了一個判斷的虛假性，同時也就意味著確定了與之相矛盾判斷的真實性。所以，證明與反駁是相輔相成的，它們都是人們探索真理、發(fā)展真理不可缺少的思維形式和邏輯方法。常用的反駁法有以下三種：構造一反例。即舉出一個例子，說明它具備命題的全部條件，但不具有命題的結論。假定命題成立，推出荒謬結果，從而證明了該命題是虛假的。例如，證明“零可以作除數”是錯誤的。證明：因為2-2=3-3即2(1-1)=3(1-1)，若零可以作除數，則推出2=3這一結果，顯然荒謬。所以，“零可以作除數”是錯誤的。論證與該命題相矛盾的命題是真實的，根據矛盾律則推出原命題是虛假的數

35、學中，要認定一個命題是真命題，必須就一般情況給出嚴格的推理證明，而要認定一個命題是假命題，只需舉出一個反例就可以了。舉反例是證明一個命題是假命題的一般方法。反證法反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于

36、/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括：“若肯

37、定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同

38、時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論 推導出矛盾 結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此

39、通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接

40、證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。5、“從特殊到一般” 認識規(guī)律又“從一般到特殊”運用知識的方法、在由幾個簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律、性質或公式，再由一般的規(guī)律、性質或公式去得出簡單的、個別的、特殊的情況。如公式推導、圖形性質等。例子：研究冪的運算規(guī)律；從具體例子，并歸納二次根式的性質；運用二次根式的性質化簡二次根式；6、分析法和綜合法分析法：執(zhí)果索因，從未知看已知，逐步推向已知。從要證的結論出發(fā)，反過來找出使結論成立的條件，每一步的目的明確，容易找到證題思路，但表達啰嗦。綜合法：由因導果，從已知看未知，逐步推向未

41、知。從已知條件出發(fā)，逐步向結論推進，表達直截了當、簡單清晰，但有時不容易把握方向，找不準證題思路。所以，研究數學問題時，一般總是先用分析法去想，在分析的基礎上用綜合法寫出來。例如：立方程解應用題；（三）、操作技巧型思想方法數學基本方法是做好題、迅速做題、準確做題的關鍵。1.分解因式法因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。是進行分式運算的關

42、鍵（通分、約分、去分母時一般都需先分解因式）；解一元二次方程、二元二次方程組；2.通分分式運算；3.約分分式運算；4.去分母分式運算；5. 配方法配方，就是用恒等變形的方法把一個解析式中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪和的形式。通過配方解決數學問題的方法角配方法。其中用得最多的是配成完全平方式。是數學中一種重要的恒等變形的方法。配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數學式

43、子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(ab)a2abb，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。應用：因式分解；化簡根式；證

44、明等式和不等式；解一元二次方程；一元二次方程求根公式的推導；一元二次方程根的判別式的應用；韋達定理的應用；將二次函數的一般式轉化為頂點式，進而求得拋物線的頂點坐標（或最大、最小值）和對稱軸；求函數的極值和解析式；推導拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點A(x1,0)、B(x2,0)之間的距離公式（資料包P234）；6.消元法解方程組的基本思想是消元，將多元逐步變?yōu)槎?、一元方程來解決。代入消元法：解一元二次方程、二元二次方程組；加減消元法把兩方程相乘或相除；7.降次法因式分解降次法：解一元二次方程、二元二次方程組；8.換元法：在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原

45、來的式子，把它簡化，使問題易于解決。解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法

46、有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現。例如解不等式：4220，先變形為設2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖捣匠痰膯栴}。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數y的值域時，易發(fā)現x0,1，設xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時，則可作三角代換xrcos、yr

47、sin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和0,。如：解可化為一元二次方程的分式方程、分式方程組；二次三項式的因式分解；例1分解因式（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72分析：注意題目的形式特征，把某一部分（比如x2-3x+2）看作一個整體，運用整體換元，把原方程化為形如x2+px+q的二次三項式，進一步用十字相乘法，最后注意分解要徹底。設x2-3x+2=t 則（x2-3x+2）(x2-3x-4

48、)-72=t（t-6）-72=t-6t-72=（t+6）（t-12）= (x2-3x+2+6)（x2-3x+2-12）=（x2-3x+8）（x2-3x-10）=（x2-3x+8）（x-5）（x+2）. 如果把（x2-3x+2）與(x2-3x-4)相乘，將得到一個四次多項式，這時再分解就困難了。例2 解方程3x2-6x-2+4=0分析：如果先移項，兩邊平方，方程變形為一個四次方程，題目就難解了注意到，3（x2-2x），設為y,原方程變形為3y2-2y-8=0,再從中解得y回代得x。9.待定系數法在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于

49、待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式

50、，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。使用待定系數法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式；第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對應系數相等列方程； 由恒等的概念用數值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其

51、中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。求函數解析式的重要方法（據已知自變量和函數值或者點的坐標來確定函數的解析式）；10. 特殊化方法在探索某問題的過程中，先拋開其一般的情形，而抓住其個別的、局部的特殊情形，并通過對特殊情形（如圖形的特殊位置，度量的特殊值或圖形的特殊形狀等）的研究洞察出一般情形所具有的性質，進而達到發(fā)現或驗證待求結果，或者發(fā)現或驗證解題方法的目的的一種思維方法。這種方法主要依據的是一般規(guī)律蘊含于特殊情形之中，特殊情形是一般規(guī)律的外在形態(tài)，因而對

52、于一個問題，當探索其一般性結論較為困難時，可先研究其特殊情形，再推到一般。應用：A運用取“特殊值”或“特殊位置”的方法發(fā)現結論；B由特殊圖形推廣到一般圖形尋求規(guī)律。特殊值法和輔助線的添加11.幾何變換法平移、旋轉變換，軸對稱，相似變換在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利于對圖形本

53、質的認識。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。12.面積法幾何中的面積公式以及由面積公式推出的面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積法。它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在于如何添加適當的輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添輔助線，即使需要添輔助線，也很容易想到。應用：利用面積法求線段的長；利用面積法證線段等式；利用面

54、積法證線段不等式；利用面積法求線段的比13.割補法、分解組合思想能把在內容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具備的條件不完全一樣的數學問題，通過對問題的分解、拆割，或者合成、拼補等手段，將問題轉化為符合公式、定理所要求的形式，并運用公式、定理來加以解決。1、因式分解： ；2、將兩塊三角板如圖放置，其中求重疊部分的面積。14.分解圖形法復雜的圖形都是由簡單的基本圖形組成，故可以將復雜圖形分解成幾個基本圖形，從而使問題簡化。15.定義法所謂定義法，就是直接用數學定義解題。數學中的定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性

55、來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法。16.公式法17.比較法比差法；比商法18. 構造法在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。19. 判別式法與韋達定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于

56、R，a0）根的判別，=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。20. 逆向變換的方法例如:公式和法則的逆向運用；21. 參數法參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發(fā)生聯系的新變量（參數），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數方程都是用參數法

57、解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯系，從而發(fā)現事物的變化規(guī)律。參數的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題。22.用字母表示數會用字母表示數，進行式的運算和討論一些數學問題。如會列方程解應用題，會用換元法，利用整體思想達到化簡解題過程或解決問題的目的等。用字母表示數的思想是數學轉化思想的具體體現。在代數第一冊第一章“代數初步知識”中，主要體現了這種思想。例如：設甲數為a，乙數為b，用代數式