數(shù)學模型第四版課后答案姜啟源版

1、數(shù)學模型作業(yè)答案第二章（1） （2012年12月21日）1 .學校共1000名學生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.學生們要組織一個 10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1） .按比例分配取整數(shù)的名額后 ，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者；（2） . § 1中的Q值方法；（3） .d ' Hondt方法：將A、B、C各宿舍的人數(shù)用正整數(shù) n=1,2,3,相除，其商數(shù)如下表：所得A235 117.5 78.3 58.75大至1JB333 166.5 111 83.2510個C432216 14410886.4席位12345將商數(shù)從小取

2、前（10為數(shù)），在數(shù)字下標以橫線，表中 A、B、C行有橫線的數(shù)分別為 2, 3, 5,這就是3個宿舍分配的席位.你能解釋這種方法的道理嗎?如果委員會從10個人增至15人，用以上3種方法再分配名額，將3種方法兩次分配的結果列表比較解：先考慮N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配結果為：n1 =3, n2 =3, n3 = 4方法二（Q值方法）9個席位的分配結果（可用按比例分配）為：第10個席位：計算Q值為Q3最大，第10個席位應給C.分配結果為n1 = 2,門2=3, %=5方法三（d' Hondt方法）此方法的分配結果為：n1 =2, n2 = 3, n3 = 53此方法的道理是

3、：記Pi和ni為各宿舍的人數(shù)和席位（i=1,2,3代表A、R C宿舍）.衛(wèi)是每席位代表的人數(shù),nii,旦盡量接近.ni取ni =1,2廠"從而得到的 正 中選較大者，可使對所有的再考慮N =15的分配方案，類似地可得名額分配結果.現(xiàn)將3種方法兩次分配的結果列表如下:宿舍(1)(2)(3)(1)(3)A322443B333555C455667總計1010101515152 .試用微積分方法，建立錄像帶記數(shù)器讀數(shù)n與轉(zhuǎn)過時間的數(shù)學模型.解：設錄像帶記數(shù)器讀數(shù)為 n時，錄像帶轉(zhuǎn)過時間為 t.其模型的假設見課本vdt = (r + wk r)2n kdn,兩邊積分，得考慮t到t + At時間

4、內(nèi)錄像帶纏繞在右輪盤上的長度，可得tnvdt =2二 k (r wkn)dn00數(shù)學模型作業(yè)解答第三章1 (2008年10月14日)1.在3.1節(jié)存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量.證明在不允許缺貨模型中結果與原來的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來結果減少.解：設購買單位重量貨物的費用為 k,其它假設及符號約定同課本.10對于不允許缺貨模型，每天平均費用為:令 dC=0 ,dT與不考慮購貨費的結果比較，T、Q的最優(yōu)結果沒有變.20對于允許缺貨模型，每天平均費用為:得到駐點:與不考慮購貨費的結果比較，T、Q的最優(yōu)結果減少.2.建立不允許

5、缺貨的生產(chǎn)銷售存貯木型.設生產(chǎn)速率為常數(shù)k,銷售速率為常數(shù) r , k >r .在每個生產(chǎn)周期T內(nèi)，開始的一段時間(0 <t <T° ) 一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間(T。< t <T)只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量 g(t)的圖形.設每次生產(chǎn)準備費為 c1,單位時間每件產(chǎn)品貯存費為c2,以總費用最小為目標確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論k . . r和k ： r的情況.解：由題意可得貯存量 g(t)的圖形如下:于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費用(單位時間內(nèi))為dC dTCiT2C2r(k -r)2k令 dC =0dT得 T 2cikc2r (k -r)易得函

6、數(shù)C(T)在T攻t取得最小值，即最優(yōu)周期為:2gkc2r(k -)當卜時，T*定 空.相當于不考慮生產(chǎn)的情況c2 r當k之r時，T 電.此時產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量第三章2 (2008年10月16日)3.在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度九與開始救火時的火勢 b有關,試假設一個合理的函數(shù)關系，重新求解模型解：考慮滅火速度九與火勢b有關，可知火勢b越大，滅火速度九將減小，我們作如下假設:(b)=分母b+仲的1是防止bT 0時九T 8而加的總費用函數(shù)Cx二色.飛8 D QtiMb ”2 2(kx- : b - ：) kx - ：b-：最優(yōu)解為*=能2 2c2b匕獷加1)(

7、,2c3k2k5.在考慮最優(yōu)價格問題時設銷售期為T,由于商品的損耗，成本q隨時間增長，設 q(t) = q0 + P t ,P為增長率.又設單位時間的銷售量為x = a_bp（p為價格）.今將銷售期分為0 <t <T，2和T4 <t <T兩段，每段的價格固定，記作Pi, P2 .求Pl, P2的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤最大.如果要求銷售期 T內(nèi)的總售 量為Qo ,再求Pi, P2的最優(yōu)值.解：按分段價格，單位時間內(nèi)的銷售量為又= q（t） = q0十P t .于是總利潤為T二(a -bpi).|Pit -qot -2t2 2 +(abp?) p?t q°tp

8、2Tqot3-T2一 _)Lio-PiTq°T -T2= (a-bpi)(-) (a-bp2)(令oo,-pi二p2得到最優(yōu)價格為在銷售期T內(nèi)的總銷量為于是得到如下極值問題：利用拉格朗日乘數(shù)法，解得:即為p1, p2的最優(yōu)值第三章3 （2。8年io月21日）6.某廠每天需要角鋼 ioo噸，不允許缺貨.目前每3。天定購一次，每次定購的費用為25。元.每天每噸角鋼的貯存費為o.i8元.假設當貯存量降到零時訂貨立即到達.問是否應改變訂貨策略？改變后能節(jié)約多少費用？解：已知：每天角鋼的需要量r=ioo（噸）;每次訂貨費ci = 25oo （元） 每天每噸角鋼的貯存費 c2 = o. i8 （

9、元）.又現(xiàn)在的訂貨周期 To = 3o （天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：C（T） cL - c2rT krT 2得：C(T)二交四 9T iook T.dC 一令=o ,解得: dT1 25oo 5o T .93由實際意義知：當 T5o5o （即訂貨周期為 ）時，息費用將取小33, *又 C(T )=3 250050c 50+ 9m一 +100k =300+ 100k 3C（T。廠第+ 9 M 30+100k =353 . 33+ 100k_ _ *C(T0) C(T )=(353. 33+ 100k) ( 300+ 100k) 、i.-*故應改變訂貨策略.改變后的訂貨策略（周期）為 T-=

10、53. 33.350 ,能節(jié)約費用約 53. 33元.3數(shù)學模型作業(yè)解答第四章（2008年10月28日）1.某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，一件甲產(chǎn)品用 A原料1千克，B原料5千克；一件乙產(chǎn)品用 A原料2千克，B原料4千克.現(xiàn)有A原料20千克，B原料70千克.甲、乙產(chǎn)品每件售價分別為20元和30元.問如何安排生產(chǎn)使 收入最大?解：設安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x件,乙產(chǎn)品y件，相應的利潤為 S 則此問題的數(shù)學模型為：max S=20x+30yx 2y <20s.t.5x + 4yE70x, y 之 0,x, y w Z這是一個整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進行求解l2y可行域為：由直線 11 : x+2y=20

11、, l2：5x+4y =70以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域易知：當l過l1與I2的交點時,直線l : 20x+30y=c在可行域內(nèi) 平行移動.S取最大值'x+2y=20'x=10由3解得*、5x + 4y = 70J = 5此時 Smax = 20M10 +30M5 = 350 (元)2.某廠擬用集裝箱托運甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤如下表:貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤（百元/箱）甲5220乙4510已知這兩種貨物托運所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過 13百斤.試問這兩種貨物各托運多少箱,使得所獲利潤最大，并求出最大利潤.解：設甲貨物

12、、乙貨物的托運箱數(shù)分別為x1,x2，所獲利潤為z .則問題的數(shù)學模型可表示為這是一個整線Ti規(guī)劃問題.用圖解法求解.可行域為：由直線12 ：2xi +5x2 =13 及 =0,X2 =0組成直線l :20 +10X2 =c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動.易知：當1過1 1與1 2的交點時，z取最大值5x1+4x2 =24'x1 =4由312解得3 12x1+5x2 =13x2=1zmax =20 x4 +10x1 =90.3.某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號的微波爐.已知每臺甲型、乙型微波爐的銷售利潤分別為3和2個單位.而生產(chǎn)一臺甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個單位，所

13、需工時分別為 4和2個單位.若允許使用原料為 100個單位，工時為120個單位，且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6臺和12臺.試建立一個數(shù)學模型，確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺數(shù)，使獲利潤最大.并求出最大利潤.解：設安排生產(chǎn)甲型微波爐x件，乙型微波爐y件,相應的利潤為 S.則此問題的數(shù)學模型為：max S=3x +2y2x 3yM 100s.t.4x + 2yW120x 之6,y >12,x, y = Z這是一個整線性規(guī)劃問題用圖解法進行求解可行域為：由直線 11： 2x+3y=100,12：4x+2y = 120及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域.直線1 : 3x+2y=c在此凸四邊形

14、區(qū)域內(nèi)平行移動.易知：當1過11與12的交點時，S取最大值.2x+3y =100、4x+2y =120解得'x=20J =20Smax = 3X20 +2 X20= 100.數(shù)學模型作業(yè)解答第五章1 （2008年11月12日）1.對于5.1節(jié)傳染病的SIR模型，證明：1 1小(1)右So > 一，則i(t)先增加，在S = 一處取大，然后減少并趨于零；S(t)單調(diào)減少至CT仃一 1 一， 一 、，一 ，一(2)右S0 Y 一,則i(t)單調(diào)減少并趨于苓，s(t)單調(diào)減少至Sr.解：傳染病的SIR模型(14)可寫成1(1)右So A.由s(t)單調(diào)減少.s(t)«s0.C

15、T11di(2)若 s0 Y2,則 st)Y1, 從而 bS-1 Y0.巴 Y0.:dta4.在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型(3)中，設乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為a =4.b初始兵力x0與y0相同.(1)問乙方取勝時的剩余兵力是多少，乙方取勝的時間如何確定.(2)若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r增援，重新建立模型，討論如何判斷雙方的勝負解：用x(t )y(t族示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù)，則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為：0- a I現(xiàn)求(1)的解：(1) 的系數(shù)矩陣為 A= |-b 0二(1的通解為，x(t y<y(t)>=ciJ 2 1 -T a abt eJ JC22、一L

16、bt再由初始條件，得又由(1用彳導dy =bx. dx ay其解為 ay2bx2=k, 而k=ay2-bx2(3)(1)當 x(t1)=0時，y(t1)=4 =同產(chǎn)即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為.32y0.又令xti =0,由得x_ 70 e.而1門過 y0 e硒1 =0.22注意到 xo = yo,得eab1 =x° 32y . e e2即=3,. 3 = Jn2.2yo 'Xy4b（2）若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率 r增援.則由（4 得 dx = a2-,即 bxdx = aydy - rdy.相軌線為 ay2 - 2ry - bx2 = k, dy - bx、產(chǎn)

17、 -、2k =ay2 -2ry0 -bx2）或a y - i -bx2 < aJ2r =k.此相軌線比書圖 ar11中的軌線上移了 一.乙萬取勝的條件a卜 bx。.a a,一、一r1為k>0,亦即yo-1<aJ第五章2 （2008年11月14日）6.模彳5 5.4節(jié)建立的二室模型來建立一室模型（只有中心室），在快速靜脈注射、恒速靜脈滴注（持續(xù)時間為T）和口服或肌肉注射 3種給藥方式下求解血藥濃度，并畫出血藥濃度曲線的圖形解：設給藥速率為f0（t）中心室藥量為x（t）血藥濃度為C（t）容積為V，中心室 ：；Ct ,xt快速靜脈注射：設給藥量為D。，則f0（t）=0,c（0）=D

18、°,解得c（t）=Me“t.Jk 排除（2）恒速靜脈滴注（持續(xù)時間為T）：設滴注速率為k0,則f0（t）=k0,C（0）=0,解得 V口服或肌肉注射：f0（t ）=k01D0e*1t （見5.4節(jié)（13）式）解得 3種情況下的血藥濃度曲線如下:第五章3 （2008年11月18日）8.在5.5節(jié)香煙過濾嘴模型中 設 M =800mg,11 =80mm,12 = 20mm,b = 0.02, B = 0.08,n= 50mm/s,a = 0.3求 Q和 Q1 /Q2.（2）若有一支不帶過濾嘴的香煙，參數(shù)同上，比較全部吸完和只吸到11處的情況下，進入人體毒物量的區(qū)別aw0Va/ba/bl1

19、v0.3 10 50e 500.7 0.020.7>0,02>80、 1-e50-2 229.857563（毫克）（其中 Wo =M /1i =10 ）,（2）對于一支不帶過濾嘴的香煙,全部吸完的毒物量為 Q3aw0 V只吸到11處就扔掉的情況下的毒物量為Q4 =aw0vbl2va'bl ” 1-e-v . J a4.在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭模型（3）中，設乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為a =4.b初始兵力x0與y0相同.(1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少，乙方取勝的時間如何確定(2)若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r增援，重新建立模型，討論如何判斷雙方的勝負解：用x(t

20、 )y(t族示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻 t的士兵人數(shù)，則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為0現(xiàn)求(1)的解：(1) 的系數(shù)矩陣為 A =- b二(1我通解為=C1C2再由初始條件,又由(1可彳導dy dxbxay其解為 ay2 -bx2 = k,2=ay。- bx。(1)當 x(h )=0時,yfti )=-22ay° -bx0=yoi-b3一 V0.2即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為.3 yyo-又令xti =0,由得包一 e而12 y0V。e炳1 =o.注意到 x0 = y0,得e2,abt1x0 +2y° e2v abt12 y0 一 x0=3,t1ln34b(2)若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備

21、部隊以不變的速率r增援.則dx ay r 一.由(4 得 =,即bxdx = aydy - rdy.相軌線為 aydy -bx2,-2ry - bx = k,k =ay2 -2ry0 -bx.2)或a；k aJ2rr=k.此相軌線比書圖11中的軌線上移了 .乙萬取勝的條件2, 一 、一 f r I為k m 0,亦即y0 i<a；bx2 二 a a數(shù)學模型作業(yè)解答第六章(2008年11月20日)21.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic 規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h.一 rx h =02(1)的解為:4Nh)當 h >rN / 4 , A<0 ,

22、(1)無實根，此時無平衡點;當 h =rN /4 , A=0 ,(1)有兩個相等的實根，平衡點為X0 - 2xrxF (x) = r (1)-NNX但 x x >x0 及 x -“x0 均有 F (x) =rx(1 N2rx一一 N ')-rN 04一', 、 一 F (X0)=0不目匕斷7E其穩(wěn)7E性.rr dX,即-0 .，r X0 不穩(wěn) TE；dt分別就hrN/4, h<rN/4, h=rN/4這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點及其穩(wěn)定狀況.如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結果與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同.解：設時刻t的漁場中魚的數(shù)量為 X(t ),則由題設條件知：X

23、(t固化規(guī)律的數(shù)學模型為、rX ,記 F (x) = rX(1 一 一) 一 hN(1) .討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性:X .由 F X =0,得 rX(1 -) -hNr即-xN當h c rN /4 , >0時，得到兩個平衡點:X1 =4hN - 1 - N，rN2X2 =4h N . 1 - N rN2( X2 ) ： 0曰'N易知：X1 < 一， X2N I>一，F(xiàn) (Xi ) >0 , F 2,平衡點X1不穩(wěn)定，平衡點 x2穩(wěn)定.(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學模型為X即 max h =rx (1 -), N* N. rN易得x0= 此時h=，24* N但x

24、0 = 一這個平衡點不穩(wěn)定.這是與2要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應使?jié)O場魚量.N2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長規(guī)律的是Gompertz模型：x(t)=rxln.其中r和N的意義x與Logistic模型相同.設漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為h = Ex .討論漁場魚量的平衡點及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)廣量hm及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度Em和漁場魚量水平 x° .解：x(t因化規(guī)律的數(shù)學模型為記 F (x) =rx ln - 一Ex x令 F(x )=0,得 rxlnN -Ex=0 xE二 x0 =Ne r , x =0 .N，平衡點為 xo, xi . 又.F

25、 (x )=rln r-E , x''F (xo )=r <0, F (x1)二s .二 平衡點x。是穩(wěn)定的，而平衡點 xi不穩(wěn)定.*xo得最大產(chǎn)量的捕撈強度Em =r .從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量hm =rN /e,此時漁場魚量水平3.設某漁場魚量 x(t)(時刻t漁場中魚的數(shù)量)的自然增長規(guī)律為:dx(t)dtx=rx(1 一一)N其中r為固有增長率，N、為環(huán)境容許的最大魚量.而單位時間捕撈量為常數(shù)h.10.求漁場魚量的平衡點，并討論其穩(wěn)定性2 0 .試確定捕撈強度Em，使?jié)O場單位時間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量Qm，求此時漁場魚量水平x0 .解：10. x(t)變化規(guī)律的數(shù)學模型為

26、dX.x .二rX(1 -一)- h dtN記 f (x) = rx(1 -h ,令rX(1 )-h=0X2 - rX h =0 N2 4rh4h.-： =r = r(r -)NN4hN _ . 1 N，rN(1)的解為：X1 2 =2當 V0時，(1)無實根，此時無平衡點;當 = 0時，(1)有兩個相等的實根，平衡點為丘猊一蜉"票f(X0)=0不能斷定其穩(wěn)定性.但 Vx >x0 及 x t；x0 均有 f (x) =rX(1 -rNdX- 0，即r 0X0 不穩(wěn)7E；4dt當AA0時，得到兩個平衡點:X2 =4h N N . 1 - rN2二平衡點X1不穩(wěn)定一 NX2萬二 f

27、'(X1)A0,f'(X2)Y0X2穩(wěn)定.20.最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學模型為:m aXis.t. f(X)=0X即 maX h =rX (1 )， N易得X0 =2rN ,此時 h=，但4*X0 =要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應使?jié)O場魚量N N , X一,且盡量接近 一，但不能等于22N、一這個平衡點不穩(wěn)定.2N.2數(shù)學模型第七章作業(yè)(2008年12月4日)1 .對于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題:(1)因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第 k+1時段的價格yk書由第k+1和第k時段的數(shù)量Xk書和Xk決定，如果仍設Xk書仍只取決于yk ,給出穩(wěn)定平衡的條

28、件，并與7.1節(jié)的結果進行比較.2 .已知某商品在k時段的數(shù)量和價格分別為Xk和丫 其中1個時段相當于商品的一個生產(chǎn)周期.設該商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為 yk = f （xk）和xk邛 =g（ yk + yk）.試建立關于商 2品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件.3 .已知某商品在k時段的數(shù)量和價格分別為Xk和yk,其中1個時段相當于商品的一個生產(chǎn)周期.設該商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為yk書=f（xkxk）和x« = g（yk）.試建立關于2商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件 .數(shù)學模型作業(yè)解答第七章（2008年12月4日）2.對于7.1節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：（

29、1）因為一個時段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第k+1時段的價格yk4由第k +1和第k時段的數(shù)量Xk#和Xk決定，如果仍設 Xk書仍只取決于yk ,給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7.1 節(jié)的結果進行比較.（2）若除了 丫卜4由Xk 卡和Xk決定之外，Xk中也由前兩個時段的價格 yk和yk確定.試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬.解：（1）由題設條件可得需求函數(shù)、供應函數(shù)分別為：在P0（X0, y0）點附近用直線來近似曲線 f ,h ,得到由（2）得 Xk 2 -X0 =Nyk.1 -y0）（3）Xk 1 , Xk、（1）代入（3）得 Xk 2 - X0 =- '

30、'（2 - X。）對應齊次方程的特征方程為2，2，- 0特征根為%,2當aP至8時，則有特征根在單位圓外，設 c（P <8,則即平衡穩(wěn)定的條件為口曰< 2與P207的結果一致 此時需求函數(shù)、供應函數(shù)在P0（X0, y0）處附近的直線近似表達式分別為:（6）由（5）得，2（xh3 X0） = B （y七一y0 + y y0）將（4）代入（6）,得對應齊次方程的牛I征方程為4 . 3 、:科2 2. - 0（7）代數(shù)方程（7）無正實根，且 血心二不是（7）的根.設（7）的三個非零根分別為 九1,配，九3,則24一 ， 小一 一. «P對（7）作變換：兒=N ,則12甘

31、1 1-2 - 21 8： 3-3 產(chǎn)2-、其中 p （N： 一工 q（_ ：）4124 126用卡丹公式：j 2 = wj_ 2 十鵑)2 + 呼3 + w2jq-J.2+g)32（p）3-q+.+T 此代+.1 i其中w =-2求出h, 2, h ,從而得到心，九2，入3 ,于是得到所有特征根|川 1的條件.2.已知某商品在 k時段的數(shù)量和價格分別為Xk和丫 其中1個時段相當于商品的一個生產(chǎn)周期.設該商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為yk = f （Xk）和Xk噌 = g （-yk一回）.試建立關于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論2穩(wěn)定平彳U條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為yk =

32、f （xk）和xk由=g（yk *yk）.2設曲線f和g相交于點P0（X0, y0）,在點P0附近可以用直線來近似表示曲線f和g ：yky(o =仔卜X0)p >0 (1)Xk X。=(yk +yi y0),0 >0 (2)2從上述兩式中消去 yk可得2Xkd2 +aP Xk書+aP Xk =2(1+uP )X0, k =1,2,， (3)上述（3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程為了尋求P0點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（ 3）對應的齊次差分方程的特征方程:容易算出其特征根為一二：,（-）2 -8-:11,2 二4當ap A8時，顯然有(4)(.：?.-

33、)2 -8-> - 、述=f 44(5)從而 % >2,鼠2在單位圓外.下面設 aP Y8,由（5）式可以算出要使特征根均在單位圓內(nèi)，即% 2 Y 1 ,必須 22.故Po點穩(wěn)定平衡條件為 aP Y 2 .3.已知某商品在 k時段的數(shù)量和價格分別為Xk和yk,其中1個時段相當于商品的一個生產(chǎn)周期.設該商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為丫卜書=f （xk* *Xk）和Xk由=g（yk）試建立關于商品數(shù)量的差分方程模型，并討2論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函數(shù)和供應函數(shù)分別為yk由=f（xk4 +xk）和xk =g（yk）2設曲線f和g相交于點Po （Xo , yo）,在點Po附近可以

34、用直線來近似表示曲線f和g ：Xk 1 Xk一yk由yo=-«(-Xo),a»o (1)2Xk4 Xo =P(yk -yo),p >0 (2)由(2)得 XkH2 Xo =P(yk+yo) (3)(1)代入(3),可得 Xk-2 -Xo = «B(一9- Xo)2- 2Xk七Xk+Xk =2Xo +2uPxo, k =1,2，（4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求Po點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應的齊次差分方程的特征方程：容易算出其特征根為刈注 士 J（：-）2 -8= -(4)4當c（P >8時，

35、顯然有2-2,九2在單位圓外.下面設ctp Y8,由（5）式可以算出要使特征根均在單位圓內(nèi)，即%,2 11 ,必須 aP V2.故Po點穩(wěn)定平衡條件為 aP Y 2 .數(shù)學模型作業(yè)解答第八章（2008年12月9日）1.證明8.1節(jié)層次分析模型中定義的n階一致陣 A有下列性質(zhì):（D A的秩為1,唯一非零特征根為 n ；（2） A的任一列向量都是對應于n的特征向量.證明： （1）由一致陣的定義知：A滿足a。五=aik , i, j,k =1,2,，n一 I . .，. aik一 .于是對于任意兩列i, j ,有 =a。，（k =1,2，n ）.即i列與j列對應分量成比例a jk從而對A作初等行變換

36、可得:初等行變換b120b1n0_00 0 _這里B /0.二秩（B ）=1 ,從而秩（A）=1再根據(jù)初等行變換與初等矩陣的關系知：存在一個可逆陣P,使PA = B，于是c1n工 00 0 APAP = BP =AcI A. A A. A A J-00 0 _易知C的特征根為G1,0J. ,0 （只有一個非零特征根）.又丫 AC ,二A與C有相同的特征根，從而A的非零特征根為C11 ,又對于任意矩陣有% + 兒2 +Kn =Tr (A ) = a11 +a22 +ann = 1 +1 +一 +1 = n .故 A 的唯一非零特征根為 n .（2）對于A的任一列向量 儂水e2匕，ank T ,

37、（k=1,2,1n）有 Aak,a2k,，ank|Z aj ajk jwnZ a2jajk jWnX ak jwn工a2k jMn&kna2 k=n(a1k,a2k,，ank Tn.二.anj ajk j 1nank j 1_nank此競賽圖的鄰接矩陣為S1 = Ae= 2,2,1,2,3T二A的任一列向量（a1k,a2k，” ,ank T都是對應于n的特征向量.7.右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當方法排 出5位選手的名次.解：這個5階競賽圖是一個 5階有向Hamilton圖.其一個有向Hamilton圈為3t1t 4T 5T 2

38、T 3.所以此競賽圖是雙等都是完全路徑.令e =（1,1,1,1,1 T ,各級得分向量為s ) = AS(1 ) =(4,324,5 T ,S3i； = AS2 i；=(7,6,4,7,9 TS 4 二 as3 = 13,11,7,13,17 T由此得名次為5, 1 （4） , 2, 3 （選手1和4名次相同）注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計算 A的最大特征根 兒和對應特征向量 S得到:九=1.8393, S =(0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769f數(shù)學模型作業(yè)（12月16日）解答解：目標層準則層越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟效益收岸間1.基于省時、收入、岸間商業(yè)、當?shù)?/p>

39、商業(yè)、建筑就業(yè)等五項因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設渡輪 這三個方案中選一個，畫出目標為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟效益”的層次結構圖層一一 建橋梁，修道 .FwO、M 一 F 人i , 2.簡述層次分析法的基本步驟 .問對于個即卜畢業(yè)的大¥生選片工作崗位的笆策問題要分成哪3個層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）.建立層次結構模型；（2）.構造成對比較陣；（3）.計算權向量并做一致性檢驗；（4）.計算組合權向量并做組合一致性檢驗.對于一個即將畢業(yè)的大學生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標層、準則層和方案層這3個層次.目標層是選擇工作崗位，方案

40、層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位3等，準則層一般為貢獻、收入、發(fā)展、聲譽、關系、位置等 3.用層次分析法時，一般可將決策問題分解成哪3個層次？試給出一致性指標的定義以及n階正負反陣A為-致陣的充要條件.答：用層次分析法時，一般可將決策問題分解為目標層、準則層和方案層這3個層次； 一致性指標的定義一一 n為：CI = .n階正互反陣 A是一致陣的充要條件為： A的最大特征根 Z=n.n -1第九章（2008年12月18日）1 .在9.1節(jié)傳送帶效率模型中，設工人數(shù)n固定不變.若想提高傳送帶效率 D, 一種簡單的方法是增加一個周期內(nèi) 通過工作臺的鉤子數(shù) m，比如增加一倍，其它條件不變.另一種方

41、法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤 子，其它條件不變，于是每個工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn) 品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣.試推導這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關系上說明這種 辦法比第一種辦法好.解：兩種情況的鉤子數(shù)均為2m.第一種辦法是 2m個位置，單鉤放置 2m個鉤子；第二種辦法是m個位置，成又t放置 2m個鉤子.由9.1節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當較小，n >> 1時，有 2mD =1 -E , E 上工4m下面推導第二種辦法的傳送帶效率公式：對于m個位置，每個位置放置的兩只鉤子稱為一個鉤對，考慮一個

42、周期內(nèi)通過的m個鉤對.1任一只鉤對被一名工人接觸到的概率是一；m1任一只鉤對不被一名工人接觸到的概率是1 -一 ；m一 1.1n .記p =，q =1 一 .由工人生產(chǎn)的獨立性及事件的互不相容性.得，任一鉤對為空的概率為q ,其空m m鉤的數(shù)為2m ；任一鉤對上只掛上1件產(chǎn)品的概率為npqn",其空鉤數(shù)為 m .所以一個周期內(nèi)通過的2m個鉤子中，空鉤的平均數(shù)為于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是2 m m(2qn + npqn-1 ),未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是n _（2m-m（2qn +npqn，）此時傳送帶效率公式為近似效率公式：由于1-1 mn nn-1 1 nn-1n-2 1兩種辦法的比較:E&

43、#39; = 1 D',則2E' j6m由上知：E&4m2 n E' 26mE'/EE,Y E.2n , 一 2n ,，當m > n時，一、1,3m3m所以第二種辦法比第一種辦法好.數(shù)學模型作業(yè)解答第九章（2008年12月23日）一報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣.已知每100份報紙報童全部賣出可獲利7元.如果當天賣不掉,第二天削價可以全部賣出，但報童每100份報紙要賠4元.報童每天售出的報紙數(shù)r是一隨機變量，其概率分布如下表:售出報紙數(shù)r （百份）012345概率P（r）0. 050.10.250.350.150.1試問報童每天訂購多少份報紙

44、最佳（訂購量必'須是100的倍數(shù)）?解：設每天訂購n百份紙，則收益函數(shù)為n收益的期望值為 G(n)=、(11r -4n)P(r) + 7n %. P(r)r =0r zn 1現(xiàn)分別求出n = 0,1,2,3,4,5時的收益期望值G(0)=0 ; G(1)= -4 X 0.05+7 X 0.1+7X ( 0.25+0.35+0.15+0.1) =6.45;G(2)= ( -8 0.05 3 0.1 14 0.25) 14 (0.35 0.15 0.1) =11.8;G(3)=( -12 0.05 -1 0.1 10 0.25 21 0.35) 21 (0.15 0.1) = 14.4G(

45、4)=(-16 0.05-5 0.1 6 0.25 17 0.35 28 0.15)28 0.1= 13.15G(5)= -20 0.05 -9 0.1 2 0.25 13 0.35 24 0.15 35 0.1 =10.25當報童每天訂300份時，收益的期望值最大 .數(shù)模復習資料第一章1 .原型與模型原型就是實際對象.模型就是原型的替代物.所謂模型，按北京師范大學劉來福教授的觀點：模型就是人們?yōu)槎ǖ哪康膶υ瓦M行的一個抽象.如航空模型、城市交通模型等如玩具、照片等 如某一試驗裝置 如某一操作如地圖、電路圖直觀模型 物理模型 I.模型思維模型抽象模型符號模型 數(shù)學模型2 .數(shù)學模型,稱為此實對

46、某一實際問題應用數(shù)學語言和方法，通過抽象、簡化、假設等對這一實際問題近似刻劃所得的數(shù)學結構d x際問題的一個 數(shù)學模型.例如力學中著名的牛頓第二定律使用公式F =m一片來描述受力物體的運動規(guī)律就是一個dt2成功的數(shù)學模型.或又如描述人口 N(t )隨時間t自由增長過程的微分方程dNt=rN t .dt3 .數(shù)學建模所謂數(shù)學建模是指根據(jù)需要針對實際問題組建數(shù)學模型的過程.更具體地說，數(shù)學建模是指對于現(xiàn)實世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題，為了一個特定的目的，運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象和簡化，建立一個近似描述這個系統(tǒng)或問題的數(shù)學結構(數(shù)學模型),運用適當?shù)臄?shù)學工具以及計算機技術來解模型，最后將其結果

47、接受實際的檢驗，并反復修改和完善.數(shù)學建模過程流程圖為:4 .數(shù)學建模的步驟依次為：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用5 .數(shù)學模型的分類數(shù)學模型可以按照不同的方式分類,常見的有:'人口模型交通模型環(huán)境模型(污染模型)a.按模型的應用領域分類數(shù)學模型生態(tài)模型城鎮(zhèn)規(guī)劃模型水資源模型，再生資源利用模型b.按建模的數(shù)學方法分類初等數(shù)學模型幾何模型微分方程模型數(shù)學模型圖論模型組合數(shù)學模型概率模型、規(guī)劃論模型c.按建模目的來分類數(shù)學模型'描述模型 分析模型 預報模型 ,優(yōu)化模型 決策模型 甘空制模型d.層次分析法的基本步驟：1.建立層次結構模型2.構造成

48、對比較陣 3.計算權向量并作一致性檢驗4.計算組合權向量并作組合一致性檢驗e. n階正互反正A是一致陣的充要條件為A的最大特征值為 nf.正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法：募法、和法、根法4.在“椅子擺放問題”的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，其余條件不變.試構造模型并求解.解：設椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為X軸，用中心點的轉(zhuǎn)角 日表示椅子的位置.將相鄰兩腳 A、B與地面距離之和記為f(6)；C、D與地面距離之和記為g®).并旋轉(zhuǎn)1800.于是，設f (0) >0,g(0) =0,就得到 gS 廠 0, f 5 )=0.數(shù)學模型：設f

49、儂)g® )是0,2冗上e的非負連續(xù)函數(shù).若&B w b,2n ,有f儂b® )=0 ,且g(0 )=0, f (0 廣 Qg(n 廣 0, f (n )=0，則 300 乞 0,2n 】,使 f(g 尸g00 )=0.模型求解：令 h(e)= f(e)g(9).就有 h(0) A0, h(n) = f (n) g(n) =0 g(n) Y 0.再由 f(9)g® )的連續(xù)性，得到h(6房一個連2函數(shù). 從而h® )是b,n】上的連續(xù)函數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：300 氣0,冗)使卜仲。)=0.即 300 三(0尸)，使 f(00 )-g(00

50、)=0.又因為 V0 = 0,2nl 有 f® g® )=0.故 f(%)=g(%)=0.9.(1)某甲早8: 00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午 5: 00到達山頂并留宿.次日早8: 00沿同一路徑下山，下午 5: 00回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點.為什么？(2) 37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束.問共需進行多少場比賽，共需進行多少輪比賽 .如果是n支球隊比賽呢？解：(1)方法一：以時間t為橫坐標，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐蘕為縱坐標，第一天的行程X(t)可用曲線(I

51、)表示，第二天的行程 X(t)可用曲線(I I)表示，(I) (II)是連續(xù)曲線必有交點p0(t0,d°)兩天都在t0時刻經(jīng)過d0地點.方法二：設想有兩個人，一人上山，一人下山，同一天同時出發(fā)，沿同一路徑，必定相遇.方法三：我們以山下旅店為始點記路程，設從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為f(t)(即t時刻走的路程為f(t),同樣設從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為g(t),并設山下旅店到山頂?shù)木嚯x為2( a >0).由題意知： f (8) =0, f (17) = a , g(8) = a , g(17) = 0.令 h(t) = f (t) g(t),則有 h(8) = f (8) g(8) = -a < 0 , h(17) = f(17) g(17) =a >0,由于f(t),g(t)都是時間t的連續(xù)函數(shù)，因此h(t)也是時間t的連續(xù)函數(shù) 由連續(xù)函數(shù)的介值定理，三t0乏8,1