條件概率公式與全概率公式

1、 鄭 永 冰數(shù) 學(xué) 與 數(shù) 量 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 院條件概率公式與全概率公式條件概率公式與全概率公式v一、條件概率v簡單地說，條件概率就是在一定附加條件之下的事件概率. v從廣義上看，任何概率都是條件概率，因?yàn)槿魏问录籍a(chǎn)生于一定條件下的試驗(yàn)或觀察。v但我們這里所說的“附加條件”是指除試驗(yàn)條件之外的附加信息，這種附加信息通常表現(xiàn)為“已知某某事件發(fā)生了” 。例例2 10個(gè)人為兩張球票抽簽，依次抽取，取后不個(gè)人為兩張球票抽簽，依次抽取，取后不放回，若已知第一個(gè)人抽到球票，求第放回，若已知第一個(gè)人抽到球票，求第2個(gè)人也個(gè)人也抽到球票的概率。抽到球票的概率。解解1：設(shè)：設(shè)A=“第第一個(gè)人抽到球票一個(gè)人抽到球

2、票”。B=“第第二個(gè)人抽到球票二個(gè)人抽到球票”。則所求為則所求為91記為記為)(ABP)()()|(APABPABP定義：).0)(,)()()|(BPBPABPBAP類似有類似有).0)(APBA發(fā)生的條件概率已發(fā)生的條件下，事件為在事件性性質(zhì)質(zhì)。因因此此它它具具備備概概率率的的一一切切也也是是概概率率，固固定定，可可證證把把作作為為條條件件的的事事件件)|(ABPA)|()|()|()|(CABPCBPCAPCBAP如).|(1)|(BAPBAP)|(1)|(CAPCAP但是，需要注意，一般地但是，需要注意，一般地1)|()|( BAPBAP)|()|()( | CAPBAPCBAPv例3

3、設(shè)在10個(gè)統(tǒng)一型號的元件中有7個(gè)一等品，從這些元件中不放回地連續(xù)取兩次，每次取一個(gè)元件，求在第一次取得一等品的條件下，第二次取得的也是一等品的概率。).|(2 , 112AAPiiAi，則所求為次取得的是一等品”，：“第解：設(shè)10721027CC)()(121APAAP)|(12AAP解法一：10791067.96.96)|(12AAP解法二：條件概率的一個(gè)重要應(yīng)用便是下面的乘法公式條件概率的一個(gè)重要應(yīng)用便是下面的乘法公式.v二、乘法公式)|()()|()()(BAPBPABPAPABP)|()()(21321321AAAPAAPAAAP).|()|()()(1112121nnnAAAPAAP

4、APAAAP)|()|()(213121AAAPAAPAP記甲取到正品為事件A,乙取到正品為事件B,則107)()|(BPABP由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)從問題的實(shí)際意義理解，就是說事件A和事件B出現(xiàn)的概率彼此不受影響.事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性例如例如 箱中裝有10件產(chǎn)品:7件正品,3件次品,甲買走1件正品,乙要求另開一箱,也買走1件正品.定義定義 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨(dú)立，簡稱A A與與B B獨(dú)立獨(dú)立。 推論推論1 A.B為兩個(gè)事件,若P(A)0, 則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 則A與B獨(dú)立等價(jià)于P(A

5、|B)=P(A).證明：證明：A.B獨(dú)立獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) P(B|A)=P(B)注意注意 從直觀上講,A與B獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受另一個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響.證明證明 不妨設(shè)A.B獨(dú)立,則)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他類似可證. 推論推論2 在 A 與 B, 與 B,A 與 ， 與 這四對事件中,若有一對獨(dú)立,則另外三對也相互獨(dú)立。AABB注意注意 判斷事件的獨(dú)立性一般有兩種方法: 由定義判斷,是否滿足公式; 由問題的性質(zhì)從直觀上去判斷.設(shè)有n個(gè)事件A1,A2,An,若對

6、任何正整數(shù)m(2mn)以及)()(),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（都有則稱這n個(gè)事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立.若上式僅對m=2成立,則稱這n個(gè)事件兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.注意注意 從直觀上講,n個(gè)事件相互獨(dú)立就是其中任何一個(gè)事件出現(xiàn)的概率不受其余一個(gè)或幾個(gè)事件出現(xiàn)與否的影響.定義定義 (n n個(gè)事件的相互獨(dú)立性）個(gè)事件的相互獨(dú)立性） 它們中的任意一部分事件換成各自事件的對立事 件后，所得的n個(gè)事件也是相互獨(dú)立的。性質(zhì)性質(zhì) 若n個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們積事件的概率等于每個(gè)事件概率的積.加法公式的簡化加法公式的簡化：若事件A1，A2，An相互獨(dú)立, 則 P(A1A2 An)1P(

7、A1)P(A2) P(An)例例1.2.3 三個(gè)元件串聯(lián)的電路中,每個(gè)元件發(fā)生斷電的概率依次為0.3,0.4,0.6,且各元件是否斷電相互獨(dú)立,求電路斷電的概率是多少?解解 設(shè)A1,A2,A3分別表示第1,2,3個(gè)元件斷電 , A表示電路斷電,則A1,A2,A3相互獨(dú)立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=)AAA(P1321)A(P)A(P)A(P1321=1-0.168=0.8321。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( |A)=0.4,則P(B)=( ).B練習(xí)v三 、全概率公式和貝葉斯(Bayes)公式v例4 設(shè)袋中有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，不放回抽取，每次

8、到一個(gè)，求第三次取出的是白球的概率。黑球一白球”：“前兩次取出的為一3B白球”：“前兩次取出的全為2A黑球”：“前兩次取出的全為1B兩兩互不相容、；則321321)2() 1 (BBBBBB兩兩互不相容、且321321321)(ABABABABABABBBBAAAv解：記 A：“第三次取出的是白球”2522CC)|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP)()()()(321ABPABPABPAP332523CC31251213CCC32101104101.53)|(ABPi為一事件，的一個(gè)劃分，為一般：設(shè)ABBn,1v貝葉斯(Bayes)公式)()(APABPi)

9、()|()(APBAPBPiinkKKiiBAPBPBAPBP1)|()()|()(“原因”nBB,1“結(jié)果”A全概率公式Bayes公式：“任取一件為廢品”解：設(shè)Av例5某工廠由三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)品占全廠產(chǎn)品的比例分別為25%、35%、40%；并且它們的廢品率分別是5%、4%、2%，今從該廠產(chǎn)品中任取一件，求是廢品的概率是多少？3 , 2 , 1iiBi個(gè)車間生產(chǎn)”：“產(chǎn)品由第的劃分為則321,BBB31)|()()(kKKBAPBPAP0.03452%40%4%35%5%253 , 2 , 1)|(iABPi需比較v若已知取出的一件產(chǎn)品是廢品，它最大可能是哪個(gè)車間生產(chǎn)的？)|(

10、1ABP)()(1APABP)()|()(11APBAPBP0345. 0%5%253623. 02319. 0)|(4058. 0)|(32BBPABPmax最大可能由第2個(gè)車間生產(chǎn)。課上練習(xí)課上練習(xí) 小王忘了朋友家電話號碼的最后一位小王忘了朋友家電話號碼的最后一位數(shù)數(shù), 故只能隨意撥最后一個(gè)號故只能隨意撥最后一個(gè)號, 求他至多撥三次求他至多撥三次由乘法公式由乘法公式設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“ “三次撥號至少一次撥通三次撥號至少一次撥通” ”AiA3,2, 1i表示表示“ “第第 i 次撥通次撥通” ”則3iiAA)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP)(AP7 . 08

11、798109. 3 . 0)(1)(APAP解解可撥通朋友家的概率。可撥通朋友家的概率。例例 小王忘了朋友家電話號碼的最后一位小王忘了朋友家電話號碼的最后一位數(shù)數(shù), 他只能隨意撥最后一個(gè)號他只能隨意撥最后一個(gè)號, 他連撥三次，他連撥三次，由乘法公式設(shè)iA3,2, 1i表示“第 i 次撥通”)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP1 .08198109解一求第三次才撥通的概率求第三次才撥通的概率. 解二125.081)(213AAAP從題目敘述看要求的是無條件概率從題目敘述看要求的是無條件概率. .產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細(xì)讀題，產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細(xì)讀題，未能分清條件概率與無條件概率的區(qū)別未能分清條件概率與無條件概率的區(qū)別. .本題若改敘為：本題若改敘為： 他連撥三次，已他連撥三次，已知前兩次都未撥通知前兩次都未撥通, ,求第三次撥通的概率求第三次撥通的概率. .此時(shí)，求的才是條件概率此時(shí)，求的才是條件概率. .例例 10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有3 件次品件次品, 從中任取從中任取 2 件件.在所取在所取 2 件中有一件是次品的條件下件中有一件是次品的條件下, 求求另一件也是次品的概率另一件也是次品的概率.解解1 1 設(shè)事件設(shè)事件 表示表示“ “所取所取 2 件中