平面平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

1、2、構(gòu)造兩個(gè)平面， 證能確定平面的元素同在這兩個(gè)平面內(nèi)（同一法）(X,平面、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用、平面的基本性質(zhì)回顧 ：包括三個(gè)公理、三個(gè)推論、其中公理3,推論1,推論2,推論3分別提供了構(gòu)造平面的四種:（1）選不共線的三點(diǎn)（2）選一條直線與直線外一點(diǎn)（3）選兩條相交直線（4）選兩條平行直線、證明共面的兩種方法：1、構(gòu)造一個(gè)平面，證相關(guān)元素在這個(gè)平面內(nèi);例 1 .已知 a/b, A a, B 6 b, C 6 b.求證：a,b及直線AB , AC共面。思路（1）:由a/b可確定平面 &再證ABACa;思路（2）:由a/b可確定平面 由直線AB , AC可確定平面 0。因?yàn)閍, 0都經(jīng)過

2、不共線的三點(diǎn) A、B、C,所以 a, 0重合。思路（3）:在思路（2）中的平面0,還可以由不共線的 A, B, C三點(diǎn)來構(gòu)造，或者由點(diǎn) A與直線b來構(gòu)造。另外，同學(xué)們在書寫證明過程的時(shí)候，一定要把公理及推論的題設(shè)交待清楚，建議同學(xué)們書寫時(shí)注明理由，如下所 示：寫法（一）：證明：: a/b （已知）a,b確定一個(gè)平面 a （推論3）a,A a, b 6 b, c6 b（已知）AC a, B 6 a, C 6 a 直線 AB直線 ACa （公理 1） a,b,AB,AC 共面。寫法（二）：證明：: a/b （知） a,b確定一個(gè)平面“（推3） ：, B 6 b, C b （已知）.a經(jīng)過 A,B,

3、C三點(diǎn)，ABn AC=A 直線 AB , AC確定一個(gè)平面0 （推論2） 0經(jīng)過 A, B, C三點(diǎn)，A6a,B6b, C b, a/b （已知） /. A,B, C 不共線 . a 與 0 重合（公理 3）.a, b, AB,AC共面。關(guān)于同一法證題的思路，請同學(xué)們再看一道例題。例2.如果三條互相平行的直線和同一條直線相交，求證：這四條直線共面 分析：這是一個(gè)文字命題，要求畫圖，寫出已知，求證，然后進(jìn)行證明。另外，在寫已知，求證時(shí)，要盡量忠實(shí)原文的意思已知：a/b/c, aCd=A , bA d=B , cP d=C求證：a,b,c,d共面。分析 由a/b可確定一個(gè)平面“；由b/c可確定一個(gè)

4、平面0。因?yàn)閍, B都經(jīng)過兩條相交的直線b和d,所以由推論2可知，a與0重合。（注意：a和B都經(jīng)過的元素，還可有其它的選取辦 法，請同學(xué)們自己試一試）。證明：: a/b （已知）a,b確定一個(gè)平面 a （推論3）b/c （已知）b,c確定一個(gè)平面B （推論3）A 6 a,B 6 b, A 6 a , B6 a ,直線 ABa （公理1）同理可證：dbAd=B .1. a與 B重合（推論 2）。三、證明三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線的方法1 .三線共點(diǎn)：證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上;2 .三點(diǎn)共線：證三點(diǎn)都是兩平面的公共點(diǎn)。例3:已知如圖，a A 0l, a求證：A l （或者a,b,l共點(diǎn)）分析：只

5、需證明A為a, 0的公共點(diǎn)證明：a A b=A, abB,即A為a, B的一個(gè)公共點(diǎn),l是a和B的交線，A 6 l.例 4 :如圖，已知延長 AABC 三邊，ABA a =D, BCA a =E, ACA a =F。 求證：D, E, F共線。證明：: A ABC頂點(diǎn)不共線，A, B, C可確定平面 0,D 6 a且 DC AB同理可證：E, F也是a, 0的公共點(diǎn)，D, E, F都在a, 0支線上，即D, E, F共線典型例題求證兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)已知：直線AB、BC、CA兩兩相交，交點(diǎn)分別為 A、B、C。求證：直線AB、BC、CA共面。證明：直線AB和AC相交于點(diǎn)

6、 A, 直線AB和AC確定一個(gè)平面 a推i2）.B AB,C AC, BCa 公理 1）.因此直線 AB、BC、CA都在平面a內(nèi)，即它們共面.說明：證明幾條直線共面，就是要找到一個(gè)平面，使得它們都在這個(gè)平面內(nèi)，關(guān)鍵是如何找到這個(gè)平面。也就是如何確定這個(gè)平面。（由公理3及它的三個(gè)推論我們知道確定平面有四種方法）.當(dāng)平面確定以后，再證明都在這個(gè)平面內(nèi)，即完成了這個(gè)證明.證明：如果一條直線和三條平行直線都相交，那么這四條直線在同一平面內(nèi)已知：直線 a、b、c、l,a/b/c,l na=A,inb=B, l nc=C.求證：a、b、c、l共面。證明： a/ b. a與b確定一個(gè)平面（推論3）.ina=

7、A,inb=B, AC a ,B6 a,直線 AB,即 l也就是a、b、l共面于ao 同法可證明b、c、l共面于B .這就是說b、l既在平面a內(nèi)又在平面 B內(nèi).而lAb=B.由公理3的推論2可知a ,反同一個(gè)平面. a、b、c、l在同一平面內(nèi).說明：當(dāng)確定一個(gè)平面后，說明其余直線也在這個(gè)平面內(nèi)發(fā)生困難后，往往可采用 間接法”證明.本題采用了 同一法”也可采用 反證法”來證明.三.已知：延長 ABC 三邊.ABA a =P,BCn a =Q,A8 a =R.求證：P、Q、R共線。證明：: ABC三頂點(diǎn)為不共線的三點(diǎn). A、B、C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面PC AB,AB又 ABA a =P，即 PC

8、a。PC a同理可證Q6l, RClP、Q、R共線。說明：在空間幾何中，證明幾點(diǎn)共線.往往要用到公理2.四.證明：三個(gè)平面兩兩相交得到三條直線.如果其中兩條直線交于一點(diǎn) ，那么第三條直線也過這點(diǎn) 如果其中兩條直線平行.那么第三條直線也和它們平行 已知：a A 3 =a, a A 丫 =b, 0 C = =C(1)若 aC b=0,求證:0 6 c. (2)若 a b b,求證:a C c, b C c。證明：(1) a n B =a, a n Y =b,ac b=0 0 6 & 0 6P而 B n Y =C：. 0 6 C(公理 2) o: a A 3 =a, 0= CB即a、c共面于

9、0。 a或c成平行或相交假設(shè)anc=P由（1）的結(jié)論可知 P6 b.即aA b=PM與a/ b矛盾,'假設(shè)不成立，故 a II c,同理可知 b/c。說明 :本題的結(jié)論是對三個(gè)平面兩兩相交,交線的位置關(guān)系的判定,它對今后的畫圖有著很重要的作用.應(yīng)給予重視. 習(xí)題 ：1. a,b,c交于同一點(diǎn) O,直線d與a,b,c分別交于 A, B, C三點(diǎn)。 求證：a,b,c,d共面2 .已知：平面 & 丫， a A p =a, a A 丫 =b,觸ra/b=M。 求證：a,b,c 三線共點(diǎn)。3 .已知：a n $,=aa ,bp ,a A b=A.t證:A 6 l.4 .如圖：aA$,A6

10、 a,氏a ,c 0試在0內(nèi)找一點(diǎn)D.使A、B、C、D四點(diǎn)為一梯形的四個(gè)頂點(diǎn)，這樣的點(diǎn)D共有幾個(gè)1 （提示：由a與d相交可知，a,d確定一個(gè)平面 電再證：b,c在“內(nèi)）2 提示 ：由于 a,b 的交點(diǎn)已經(jīng)存在，所以只需證M 點(diǎn)在 C 上即可。要證M 在 C 上，由于C是& 丫的交線，所以只需證 M同在& 丫內(nèi)3 .證明：:a A b=A,aa ,bp . .1. A6 a且 A 6 0 ,又 a A 3l =A 6 l.4.分析：因?yàn)樘菪问瞧矫鎴D形，所以D在A、B、C三點(diǎn)確定的平面 丫內(nèi)，但D又在0內(nèi)，所以D在平面0與丫的交線上, 因?yàn)閍與丫的交線AB與l交于點(diǎn)P,易知0與丫的

11、交線也過 P點(diǎn)，連CP,則D在直線CP上。連BC,在平面丫內(nèi)過A作AD II BC交CP于D.連AC,在平面丫內(nèi)過B作BD II AC交CP于D ,D< D'即為所求.這樣的點(diǎn)只有兩個(gè)。在線測試選擇題1 . A, B, C 為空間三點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)（）A.能確定一個(gè)平面B.能確定無數(shù)個(gè)平面C.能確定一個(gè)或無數(shù)個(gè)平面D.能確定一個(gè)平面或不能確定平面2 .空間交于一點(diǎn)的四條直線最多可以確定平面（）A. 4個(gè)B, 5個(gè)3.空間不共線四個(gè)點(diǎn) A, B, C, D,（），r ，C. 6 個(gè)-D. 7 個(gè)在同一平面內(nèi)的射影 A', B', C', D'在同一條直

12、線上，那么A, B, C, D可確定平面?zhèn)€數(shù)為A. 1 個(gè) ' B. 2 個(gè) 'C. 3 個(gè)D. 4個(gè)4 .四個(gè)平面互不平行，也不重合，則它們交線的數(shù)目不能是（）CC _ C _ C _A. 6B. 4C, 2D, 15 .過直線l外兩點(diǎn)作與直線l平行的平面，可以作（。A. 0個(gè) 'B. 1個(gè) ' C.無數(shù)個(gè)6 .空間四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面A.1個(gè).B.4個(gè)'C.無數(shù)個(gè)7 .三條直線兩兩相交，最多可以確定幾個(gè)平面A.1個(gè)LB.2個(gè)'C. 3個(gè)D. 0個(gè)，1個(gè)或無數(shù)個(gè)D.以上情況都可能D. 4個(gè)8 .三條直線兩兩平行，最多可以確定幾個(gè)平面A. 1個(gè)B

13、. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 1個(gè)或3個(gè)9 .下列幾種說法中，正確的是:A.空間的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面B.四邊形一定是平面圖形C.六邊形一定是平面圖形D.梯形一定是平面圖形答案與解析解析：1 .如果這三點(diǎn)不在一條直線，則可以確定一個(gè)平面；如果這三點(diǎn)在一條直線上，則不能確定平面。故本題應(yīng)選（D）。2 .確定最多平面的情況應(yīng)是每兩條直線所確定的平面都不重合，這樣若把四條直線依次編號(hào)，則相鄰兩號(hào)碼（1與4也看成相鄰）共確定4個(gè)平面，而相對兩號(hào)碼共確定 2個(gè)平面，最多時(shí)能確定 6個(gè)平面。故本題應(yīng)選（C）。3 .四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)的射影若在一條直線上，則這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，故這四個(gè)點(diǎn)所確定的平面是一個(gè)。故本題

14、應(yīng)選（A）。4 .若四個(gè)平面交于一條直線，則交線有一條，若四個(gè)平面中每三個(gè)平面共點(diǎn)，則共有交線C=6條。若四個(gè)平面交于一點(diǎn)，但無公共交線，則共有交線四條，所以不可能有2條交線。故本題應(yīng)選（C）。5 .若兩點(diǎn)連線與l相交，則可以作。個(gè)；若兩點(diǎn)連線與l平行，則可以作無數(shù)個(gè)；若兩點(diǎn)連線與l異面，則可以作1個(gè)。故本題應(yīng)選（D） o6 .四點(diǎn)若在同一直線上，經(jīng)過這四點(diǎn)可以有無數(shù)多個(gè)平面；四點(diǎn)若在同一平面內(nèi)，不論是否有三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，都只能確定一個(gè)平面；不在同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)可以確定四個(gè)平面，因此四個(gè)點(diǎn)確定平面的個(gè)數(shù)可能是1個(gè)、4個(gè)或無數(shù)多個(gè)，故本題應(yīng)選（D）。7 .三條直線兩兩相交，若共點(diǎn)且在同一平

15、面內(nèi)，只能確定一個(gè)平面；若共點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，能確定三個(gè)平面。若不共點(diǎn)，兩兩相交有三個(gè)公共點(diǎn)，只能確定一個(gè)平面。故最多可以確定三個(gè)平面，故本題應(yīng)選（C）。8 .三條直線兩兩平行，如果一條直線在其他兩平行直線確定的平面內(nèi)，這三條直線只能確定一個(gè)平面；如果三條平等線不在 同一平面內(nèi)，則可以確定三個(gè)平面，故最多可以確定三個(gè)平面，故本題應(yīng)選（C）。9 .若三個(gè)點(diǎn)在同一直線上，則可以有無數(shù)個(gè)平面，所以（A）不對。四邊形、六邊形不一定是平面圖形，所以（B）、（C）不對,故本題應(yīng)選（D）。事實(shí)上，由于梯形的一組對邊互相平行，所以確定一個(gè)平面，于是得四個(gè)頂點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，從而推知梯形的兩腰也在這個(gè) 平面內(nèi)，即

16、梯形是一個(gè)平面圖形。評注：從上述的分析和解答中可以看出，由已知條件找出確定平面的個(gè)數(shù)問題，其依據(jù)是確定平面的條件。分析問題時(shí)，首 先要在空間中考慮問題，并全面考慮所有可能出現(xiàn)的情況。平面的基本性質(zhì)平面的概念：是一個(gè)不加定義的基本概念，對于平面概念的理解主要應(yīng)注意兩個(gè)基本特征，即很平和可以無限延展。個(gè)平面遮住平面通常用一個(gè)平行四邊形來表示，畫兩相交平面時(shí)，一定要畫出它們的交線，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，要把被遮住的部分的線段畫成虛線或不畫，以增強(qiáng)立體感。平面的基本性質(zhì)：1.如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。該性質(zhì)是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)，用集合

17、符號(hào)表示為：a。依據(jù)直線在平面內(nèi)，可以判斷點(diǎn)在平面內(nèi)，即 A C,laA 6 tx.2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。該性質(zhì)是判定兩平面有交線以及確定交線位置的依據(jù)，用集合符號(hào)表示為：A 6 a, A 60a A 3旦aA 6 (Xo由此易知，如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面相交于由這兩點(diǎn)確定的條直線，即a n B =AB依據(jù)兩平面相交的意義，可以判斷點(diǎn)在直線上，即 A 6 a, A6 B,A (xoa A 3 = a3經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。4經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。5經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面

18、。6經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。上述四個(gè)性質(zhì)是確定一個(gè)平面的依據(jù)，確定平面是建立空間圖形的基礎(chǔ)，確定平面的條件對解題時(shí)引入輔助平面及作幾何體的截面起著重要作用。重點(diǎn)問題剖析如果直線上所有的點(diǎn)都在某一個(gè)平面內(nèi)，那么就稱這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，其判斷的依據(jù)是只要直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，這條直線上所有的點(diǎn)就都在這個(gè)平面內(nèi)，從而這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)。這是性質(zhì)1 給出的平面的一個(gè)基本性質(zhì)。利用性質(zhì)2 可以判定兩個(gè)平面是否相交或證明若干個(gè)點(diǎn)共線，其他性質(zhì)用于確定平面。確定平面是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件。準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)中的字母和符號(hào)，可以使命題的敘述和證明顯得簡捷明快，

19、符號(hào)語言、文字語言、圖形語言間的相互轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)能力的組成部分和重要體現(xiàn)。另外還要理解用反證法證明命題的思路，并會(huì)用反證法證明簡單命題。典型例題例題一：不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，求證這四條直線在同一平面內(nèi)。分析 不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，是指這四條直線沒有公共點(diǎn)，但其中每兩條直線都有一個(gè)交點(diǎn)，可分兩種情況來考慮。第一種情況，有三條直線共點(diǎn)，第二種情況沒有任何三條直線共點(diǎn)，證明這四條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)根據(jù)已知條件先確定一個(gè)平面，然后證明所有四條直線都在這個(gè)確定平面內(nèi)，文字?jǐn)⑹龅拿}應(yīng)先寫出已知和求證。已知 直線 a、 b、 c、 d 不共點(diǎn)，且兩兩相交，求證：a、 b、 c、 d 在同一平面內(nèi)。

20、證明： 第一種情況：a、 b、 c、 d 中有三條共點(diǎn)的情況，設(shè)直線a、 b、 c 相交于一點(diǎn)Q, Q 不在 d 上，直線d 與直線a、 b、 c 分別相交于M 、N 、 P ，如圖 1.d, 點(diǎn)Q與直線d確定一個(gè)平面a. M 6 d, M6”，又Q6 a , a同理可證ba , Ca、 b、 c、 d 在同一平面內(nèi)。第二種情況：a、 b、 C、 d 中沒有三條直線共點(diǎn)的情況。設(shè)直線c與直線a、b分別交于 M、N,如圖2 a、b是相交直線。a、b確定一個(gè)平面 a. 同理1 證明M 6 a, N 6 b, M 6 a , NE a ,M 6 C, N 6 C, : C可證d a , a、b、c、

21、d在同一平面內(nèi)。注意 證明幾條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)先由已知的直線或點(diǎn)，根據(jù)確定平面的條件確定一個(gè)平面，再由公理其余直線都在所確定的平面內(nèi)。例題二：已知直線 a/b,直線a與平面”相交于點(diǎn)A ,求證b與平面a必有一個(gè)公共點(diǎn)。分析利用a/b,巧妙地構(gòu)造輔助平面b,把有關(guān)元素集中使用，不僅創(chuàng)造了新的線面關(guān)系，而且將三維降至二維,使得平面幾何知識(shí)有了用武之地。證明 a/b, 可設(shè)直線a、b確定一個(gè)平面 0.又: an “ 二A1aB,A 6 B,由公理 2知，“nc,即有a、b、c在平面B內(nèi)，: a/b, a nc=Aj b與c必相交于一點(diǎn)，設(shè)為 B （平面幾何知識(shí)的應(yīng)用），又二B a , b與a有個(gè)

22、公共點(diǎn)B例題三：已知ABCD-A 1B1C1D1 是平行六面體，G 是三角形A1BD 的重心，求證：A、 G、 G1 三點(diǎn)共線。分析 ：要證三點(diǎn)共線，只要證明G 在 AC 1 上，進(jìn)一步證明平行六面體對角線AC 1 與三角形一條中線的交點(diǎn)就是重心即可。證明：連AC交BD于。，則。為BD的中點(diǎn)，重心 G必在AiO上，在平行六面體的對角面AA1C1C中，AiO與ACi必相交，設(shè)交點(diǎn)為 G',如圖1-11,由于對角面 AAiCiC是平行四邊形，故可證得： AG'OA AiG'Gi,且有重合，故A、G、Ci三點(diǎn)共線。注意 在證明若干點(diǎn)共線的時(shí)候，一般方法有：根據(jù)平面的基本性質(zhì)作

23、出輔助平面，并找出輔助平面與已知平面的交線，然后再判定這些點(diǎn)在交線上。第三點(diǎn)在前兩點(diǎn)所確定的直線上。例題四： 平行六面體 AC'中，A8 BD=M, DB'A 截面AD'C=N.求證：M、N、D'三點(diǎn)在同一條直線上 分析分別證M、N、D'是截面ACD'和截面BD'的公共點(diǎn)。截面 ACD' ，證明ACO BD=M,ACBD截面 BD' , M是截面 AD'C=N ,N6 截面 AD'C ,又 DB' 截面 BD', N 6 截面 BD', N是兩截面的公共點(diǎn)，又 D'也是截面

24、ACD'和截面BD'的公共點(diǎn)，. M、N、D'三點(diǎn)在截面 ACD'和截面 BD'的交線 D'M 上。因此，M、N、D'三點(diǎn)在同一條直線上。例題五：已知在四面體ABCD 中，點(diǎn)E、 F、 G、 H 、 M 、 N 分別為 AB 、 BC、 CD、 DA、 AC、 BD 的中點(diǎn)。求證 ： EG、 FH、 MN 三線共點(diǎn)。分析 本題先證EFGH 是平行四邊形，故EG與HF的交點(diǎn)為O,最后證MN也過O點(diǎn)BD. 同理連結(jié) EF、FG、GH、HE。EHFGBD. EHFG.故EFGH是平行四邊形，設(shè) EG與FH相交于O。所以EG經(jīng)過HF的中點(diǎn)O。連結(jié)

25、MF、FN、NH、HM。同理：MN經(jīng)過FH的中點(diǎn) O。故EG、FH、MN相交于一點(diǎn) O。課外練習(xí)判斷題答案正確的在括號(hào)內(nèi)打不正確的在括號(hào)內(nèi)打“X號(hào)。（ 1）兩條直線確定一個(gè)平面。（）（ 2）經(jīng)過一點(diǎn)的三條直線可以確定一個(gè)平面。（）（3）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，也在直線 a上，則直線 a在平面a內(nèi)。（）（4）平面a和平面0相交于不同在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C。（）（ 5）兩兩相交的三條直線不共面。分析與解答：（ 1）兩條直線能否確定平面，應(yīng)看這兩條直線的位置，不給出位置關(guān)系要分情況討論后，得出結(jié)論。兩條相交直線可確定一個(gè)平面，兩條平行直線可確定一個(gè)平面，除此之外的任何兩條直線, 不能確定平面。所以，

26、“兩條直線確定一個(gè)平面”這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)當(dāng)畫“X號(hào)。(2)經(jīng)過一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面，三條直線不能確定平面，應(yīng)畫“X號(hào)。(3)根據(jù)命題的條件，直線a上只有一個(gè)點(diǎn)在平面a內(nèi)，而根據(jù)公理1,直線a上必須有兩個(gè)點(diǎn)在平面直線a才能在平面 a內(nèi)，這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)畫“X號(hào)。(4)平面a和平面0的公共點(diǎn)一定在一條直線上，所以，平面a和平面0相交于不同在一直線上的三個(gè)點(diǎn)B、C是錯(cuò)的，應(yīng)畫 “X號(hào)。(5)三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時(shí)這三條直線必共面，應(yīng)畫“X號(hào)。高考題萃 例 1 用集合符號(hào)看圖填空： (1)如圖1-1 ，A_m, A_a, Bl, Ba, l_a, m_a=_.(2)如圖1-2，Aa,

27、Ab, Al, ab=_, ABb=_.分析 ：本例是圖形語言與符號(hào)語言間的相互轉(zhuǎn)化問題，認(rèn)真觀察圖形，用準(zhǔn)確的符號(hào)表示其意義。內(nèi)，A、解：（1） A 6 m, Al, B a, la,a, m A a=B. A a, Ab, Al,an b=l, AB n b=B.評注：用符號(hào)語言準(zhǔn)確表示圖形的實(shí)際意義是邏輯推理的基礎(chǔ)，同時(shí)它可以使推理過程十分簡捷。例2.判斷題(正確在括號(hào)內(nèi)打“v號(hào)，不正確的在括號(hào)內(nèi)打“X號(hào))(1)兩條直線確定一個(gè)平面。()(2)經(jīng)過一點(diǎn)的三條直線可以確定一個(gè)平面。()(3)點(diǎn)A在平面a內(nèi)，也在直線l上，則直線l在平面a內(nèi)。()(4)平面a和平面b相交于不同在一條直線上的三

28、個(gè)點(diǎn)A、B、C。()(5)三條直線兩兩相交則不共面。()(6)任何三個(gè)點(diǎn)都不在同一直線上的四點(diǎn)必不共面。()分析與解答：(1)應(yīng)對兩條直線的位置關(guān)系進(jìn)行討論。當(dāng)兩條直線相交或平行時(shí)可確定一個(gè)平面，除此之外的任何兩條直線不能 確定平面。所以，兩條直線確定一個(gè)平面 ”這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)打“X號(hào)。(2)經(jīng)過一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面，三條直線不能確定平面，應(yīng)打“X號(hào)。(3)由公理1知，一條直線上必須具備有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線才能在這個(gè)平面內(nèi)，而命題的條件是 直線a上只有一個(gè)點(diǎn)在平面 a內(nèi)，所以這個(gè)命題是錯(cuò)的，應(yīng)打“X號(hào)。(4)若平面a和平面b相交，則其公共點(diǎn)一定在一條直線上，所以，平面

29、a和平面b相交于不同在一條直線上的三 個(gè)點(diǎn)A、B、C是錯(cuò)的，應(yīng)打 “X號(hào)。(5)三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時(shí)這三條直線必共面，應(yīng)打“X號(hào)。(6)如矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，沒有任何三點(diǎn)在一條直線上，但四個(gè)頂點(diǎn)是共面的，故應(yīng)打“X號(hào)。評注：平面的基本性質(zhì)是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，必須準(zhǔn)確地掌握這些性質(zhì)的條件和結(jié)論，并能靈活運(yùn)用性質(zhì)分析解 答有關(guān)問題。例3.已知直線a/b/c,直線d和直線a、b、c分別相于點(diǎn) A、B、C (如圖)，求證: 條直線a、b、c、d共面。分析：要證明a/b,a,b確定一個(gè)平面，記為 a,A a, B b, A a, B a,又 A 6 d, B 6 d, da,C6 d, C6 a,

30、且 C面a, 平面a也是直線a和點(diǎn)C確定的平- C 6 c 且 c/a, ca,故直線a、b、c、d都在同一個(gè)平面 a內(nèi),即四條直線a、 b、 c、 d 共面。評注：通過上述的證明，可以把命題推廣為：與同一條直線相交的所有平行線都在同一個(gè)平面內(nèi)。a,例4.已知空間四點(diǎn) A、B、C、D不在同一個(gè)平面內(nèi)，求證：直線 AB和直線CD既不相交也不平行。分析：要證明直線 AB和直線CD既不相交也不平行， 可借助于反證法， 利用公理3的推論2、3來證明出矛盾即可。證明：（反證法） 假設(shè)直線AB和直線CD相交或平行，由公理 3的推論2和推論3知，這兩條直線確定一個(gè)平面。設(shè)這個(gè)平面為a,于是得ABCD由公理1

31、知人62, B6a, C6a, DC a,即四個(gè)點(diǎn) A、B、C、D同在平面a內(nèi)，這與已知矛盾。從而假設(shè)不成立，故 AB和CD既不相交也不平行。評注：在利用反證法證明問題時(shí)，要注意原結(jié)論相反的方面是只有一種情況還是有若干情況。如果只有一種情形， 那么只需就這種情形導(dǎo)出矛盾；如果有若干情形，那么必須針對每一種情形分別去導(dǎo)出矛盾。由此可知，若命題結(jié)論的 反面情形多于兩種時(shí)，用反證法就不適宜了。例5.已知空間四邊形 ABCD , E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，并且EFGH是平面圖形，試判斷 EH 和FG相交的交點(diǎn)位置。分析：由已知條件 EFGH是平面圖形且 EH和FG相交，依據(jù)平面的基

32、本性質(zhì)判斷交點(diǎn)的位置。解： ABCD是空間四邊形，AA、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上，可以確定一個(gè)平面ABD口同理，B、C、D三點(diǎn)也可以確定平面 BCDE B、D是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，/平面ABD和平面BCD相交于過B、D的一條直線，即直線BDB L產(chǎn)弋/亡由于 EH 和 FG 相交，設(shè)交點(diǎn)為P。 E、H兩點(diǎn)分別在 AB、DA 上，EH在平面 ABD內(nèi)交點(diǎn)P也在平面 ABD內(nèi)，同理，交點(diǎn)P 也在平面BCD 內(nèi)，即交點(diǎn)P 是平面 ABD 和平面 BCD 的公共點(diǎn)， 點(diǎn)P在BD上。評注： 在上述解答過程中，利用了平面的基本性質(zhì)。由公理2，兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn)都在同一條相交直線上，由公理1

33、，分別在這兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條相交直線的交點(diǎn)必是兩平面的公共點(diǎn)。因此，分別在兩相交平面內(nèi)的兩相交直線的交點(diǎn)必在兩平面的交線上，同時(shí)解答中要特別注意平面的無限延展性。課內(nèi)拓展題目一：三個(gè)正方形兩兩垂直，求過這三個(gè)正方形的中心的平面與三個(gè)正方形的交線。分析1連。1。2,由于。1、O2皆為正方形的中心，兩個(gè)正方形又都垂直于面 DF,所以可猜想 O1O2/平面DF。為了證明這個(gè)猜想，以便進(jìn)一步分析，不妨在平面AC內(nèi)作O1MLDC,則O1M=CB, OM，平面DF。同樣，可作出O2M=CB, O2NL平面 DF。于是得到矩形 O1O2NM.進(jìn)而得 O1O2/MN ,又能推出O1O2/平面DF。根據(jù)直線與

34、平面平行的性質(zhì)定理知，過。1、。2、O3的平面與平面DF的交線過O3且與O1O2平行，這樣的直線只能是DF,其它兩條顯然是 BD、BFo分析 2 許多人在解此題時(shí)，未必作過前面所做的詳細(xì)分析。人的思維是很“怪 ”的，在許多情況下，直覺將幫我們很大的忙，就以本題而言，當(dāng)人們看到已知的是這樣三個(gè)特殊點(diǎn)時(shí)，就很容易產(chǎn)生一個(gè)念頭：另外三個(gè)點(diǎn)也可能是特殊點(diǎn)。而圖中正好就有與 01、。2、03關(guān)系比較近的三個(gè)點(diǎn)B、D、F。對于平面幾何知識(shí)較熟的人來說，自然會(huì)正確地把它們連起來，從而得到解法。分析 3 前兩種分析，本質(zhì)上是一樣的：都是在面DF 內(nèi)找到一條交線，一下子便把問題解決了。所以不同的是，一個(gè)通過分析，一個(gè)通過“猜測 ”?，F(xiàn)在我們給自己提出任務(wù)：用其它方法試著在某個(gè)面內(nèi)再找一個(gè)除中心外的公共點(diǎn)。假定我們想在面 BF上找另一個(gè)公共點(diǎn)，這并不難，只要在O1O2上任取一點(diǎn)S （除。2）,過O3S的直線與平面 BF的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)。這種想法很好，但實(shí)際難以操作。主要是因?yàn)镾 是任取的點(diǎn)，所以無法確定直線O3S 與平面BF交點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。要解決這個(gè)問題，關(guān)鍵在要在OiO2上找一個(gè)牛I殊的 S點(diǎn)?？梢钥紤]，將 OiO2的點(diǎn)，