山東省2014屆理科數(shù)學一輪復習試題選編：數(shù)列的綜合問題(教師版)

1、山東省2014屆理科數(shù)學一輪復習試題選編：數(shù)列的綜合問題一、選擇題 （山東省德州市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題）已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足,且(x)g(x),若有窮數(shù)列的前n項和等于126,則n等于（）A4B5C6D7【答案】C （山東省煙臺市2013屆高三3月診斷性測試數(shù)學理試題）已知函數(shù)f(x)=,把函數(shù)g(x)=f(x)-x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列,則該數(shù)列的通項公式為（）AB CD【答案】B 若0x1,則1x10,得f(x)=f(x1)+1=2x1, 若1x2,則0x11,得f(x)=f(x1)+1=2x2+1 若2x3,則1x12,得f(x)

2、=f(x1)+1=2x3+2 若3x4,則2x13,得f(x)=f(x1)+1=2x4+3 以此類推,若nxn+1(其中nN),則f(x)=f(x1)+1=2xn1+n, 下面分析函數(shù)f(x)=2x的圖象與直線y=x+1的交點 很顯然,它們有兩個交點(0,1)和(1,2), 由于指數(shù)函數(shù)f(x)=2x為增函數(shù)且圖象下凸,故它們只有這兩個交點. 然后將函數(shù)f(x)=2x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位即得到函數(shù)f(x)=2x1和y=x的圖象, 取x0的部分,可見它們有且僅有一個交點(0,0). 即當x0時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=0. 取中函數(shù)f(x)=2x1和y=x圖象1x0

3、的部分,再同時向上和向右各平移一個單位, 即得f(x)=2x1和y=x在0x1上的圖象,顯然,此時它們?nèi)匀恢挥幸粋€交點(1,1). 即當0x1時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=1. 取中函數(shù)f(x)=2x1和y=x在0x1上的圖象,繼續(xù)按照上述步驟進行, 即得到f(x)=2x2+1和y=x在1x2上的圖象,顯然,此時它們?nèi)匀恢挥幸粋€交點(2,2). 即當1x2時,方程f(x)x=0有且僅有一個根x=2. 以此類推,函數(shù)y=f(x)與y=x在(2,3,(3,4,(n,n+1上的交點依次為(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程f(x)x=0在(2,3,(3,4,(n,n+1上的

4、根依次為3,4,n+1. 綜上所述方程f(x)x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為 0.,1,2,3,4, 其通項公式為,選B 二、填空題 （山東省濟南市2013屆高三上學期期末考試理科數(shù)學）根據(jù)下面一組等式 可得 _.【答案】 【 解析】;,由歸納推理可知. （山東省煙臺市2013屆高三3月診斷性測試數(shù)學理試題）對大于l的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”:23,仿此,若m3的“分裂數(shù)”中有一個是59,則m的值為_.【答案】8 即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,m增加1,累加的奇數(shù)個數(shù)便多1,我們不難計算59是第30個奇數(shù),若它是m的

5、分解,則1至m-1的分解中,累加的奇數(shù)一定不能超過30個,故可列出不等式,進行求解,由且,解得. （山東省濟寧市2013屆高三第一次模擬考試理科數(shù)學 ）對大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解式:22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+1124=7+9此規(guī)律,54的分解式中的第三個數(shù)為 _【答案】125 【解析】由題意可知,所以54的分解式中的第三個數(shù)為. （山東省實驗中學2013屆高三第一次診斷性測試數(shù)學（理）試題）對正整數(shù)n,設(shè)曲線在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為,則的前n項和是_.【答案】 【解析】曲線,曲線導數(shù)為,所以切線效率為,切點為,

6、所以切線方程為,令得,即,所以,所以,是以2為首項,為公比的等比數(shù)列,所以. （山東省淄博市2013屆高三復習階段性檢測（二模）數(shù)學（理）試題）如圖,一個類似楊輝三角的數(shù)陣,請寫出第行的第2個數(shù)為_.【答案】 每行的第二個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列,由題意知,所以 ,等式兩邊同時相加得 , 所以. （2011年高考（山東理）設(shè)函數(shù),觀察:,根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:當且時,_.【答案】解析:, ,以此類推可得. 答案應填: 三、解答題 （山東省濰坊市2013屆高三第二次模擬考試理科數(shù)學）(本小題滿分】2分)某工廠為擴大生產(chǎn)規(guī)模,今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線,該生產(chǎn)線在使用過程中的維護費用會逐年增

7、加,第一年的維護費用是4萬元,從第二年到第七年,每年的維護費用均比上年增加2萬元,從第八年開始,每年的維護費用比上年增加25%(I)設(shè)第n年該生產(chǎn)線的維護費用為,求的表達式;()若該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護費用大于12萬元時,需要更新生產(chǎn)線,求該生產(chǎn)線前n年每年的平均維護費用,并判斷第幾年年初需要更新該生產(chǎn)線?【答案】 （2011年高考（山東理）等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前項和.【答案】解析:()由題意可知,公比, 通項公式為; () 當時, 當時 故 另解:令,即 則 故 . （山

8、東省菏澤市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)f(x)=ax的圖象過點(1,),且點(n-1,)(nN*)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)令bn=an+1-an,若數(shù)列bn的前n項和為Sn,求證:Sn5.【答案】(1)函數(shù)f(x)=ax的圖象過點(1,), a=,f(x)=()x. 又點(n-1,)(nN*)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上,從而=,即an=. (2)證明:由bn=-=得, (3)Sn=+, 則Sn=+, 兩式相減得:Sn=+2(+)-, Sn=5-, Sn5 （2013年山東臨沂市高三教學質(zhì)量檢測考試理科數(shù)學）已知數(shù)列的前n項和滿足

9、,設(shè).(I)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(II)按以下規(guī)律構(gòu)造數(shù)列,具體方法如下:,第n項bn由相應的中2n-1項的和組成,求數(shù)列的通項.【答案】 （山東省濰坊市2013屆高三第一次模擬考試理科數(shù)學）已知數(shù)列的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,是的前n項和,且( I )若數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已知,求的值;()設(shè),當時,對任意,不等式恒成立,求t的取值范圍.【答案】解: ()為等差數(shù)列,設(shè)公差為 設(shè)從第3行起,每行的公比都是,且, 1+2+3+9=45,故是數(shù)陣中第10行第5個數(shù), 而

10、() 令, 當時上為減函數(shù), 為遞減數(shù)列,的最大值為 不等式變?yōu)楹愠闪?設(shè) 則,解得 （山東省青島市2013屆高三上學期期中考試數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)的圖象是曲線,點是曲線上的一系列點,曲線在點處的切線與軸交于點. 若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且.()分別求出數(shù)列與數(shù)列的通項公式;()設(shè)為坐標原點,表示的面積,求數(shù)列的前項和.【答案】解:(), 曲線在點處的切線方程: 令, 該切線與軸交于點, （山東省菏澤市2013屆高三5月份模擬考試數(shù)學（理）試題）已知數(shù)列an的首項為a1=5,前n項和為Sn,且.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列;(2)令是函數(shù)的導函數(shù),令,求數(shù)列 的通項公式;(3)若成立,試求n

11、的最大值.【答案】 （山東省2013屆高三高考模擬卷（一）理科數(shù)學）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列為等差數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)若,求的值.【答案】【解析】(1)由題意得, 當時, 又,所以 設(shè)等差數(shù)列的公差為.由, 可得,解得. 所以,所以. (2)由(1)得,當時,當時, 所以當時,; 當時, . 記, , -得, 故, 則. 因為,所以. （2013山東高考數(shù)學（理）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,且,.()求數(shù)列的通項公式;()設(shè)數(shù)列前n項和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項和.【答案】解:()設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為, 由,得 , 解得, 因此 ()由題意知: 所

12、以時, 故, 所以, 則 兩式相減得 整理得 所以數(shù)列數(shù)列的前n項和 （山東省青島市2013屆高三第一次模擬考試理科數(shù)學）已知,數(shù)列滿足,數(shù)列滿足;又知數(shù)列中,且對任意正整數(shù),.()求數(shù)列和數(shù)列的通項公式;()將數(shù)列中的第項,第項,第項,第項,刪去后,剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列,求數(shù)列的前項和.【答案】解:, 又由題知:令 ,則, 若,則,所以恒成立 若,當,不成立,所以 ()由題知將數(shù)列中的第3項、第6項、第9項刪去后構(gòu)成的新數(shù)列中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列,首項分別是,公比均是 （山東省濟寧市2013屆高三4月聯(lián)考理科數(shù)學）已知數(shù)列中,(1)求數(shù)列的通項公式(2)若數(shù)列滿足數(shù)列的

13、前項和為若不等式對一切恒成立,求的取值范圍.【答案】 （山東省德州市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學（理）試題）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,已知a1=2,a5=512,Tn是數(shù)列l(wèi)og2an的前n項和.(I)求數(shù)列an的通項公式;()求Tn;()求滿足的最大正整數(shù)n的值.【答案】 所以數(shù)列是以為首項,公比為4的等比數(shù)列 （山東省淄博市2013屆高三復習階段性檢測（二模）數(shù)學（理）試題）等比數(shù)列滿足的前n項和為,且(I)求;(II)數(shù)列的前n項和,是否存在正整數(shù)m,使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,請說明理由.【答案】(本小題滿分12分) 解: (),所以公比 得 所以 ()由(

14、)知 于是 假設(shè)存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列,則 , 可得, 所以 從而有, 由,得 此時. 當且僅當,時,成等比數(shù)列 （山東省濱州市2013屆高三第一次（3月）模擬考試數(shù)學（理）試題）某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利元的前提下,可賣出千克.若做廣告宣傳,廣告費為()千元時比廣告費為()千元時多賣出千克.()當廣告費分別為1千元和2千元時,用表示銷售量;()試寫出銷售量與的函數(shù)關(guān)系式;()當時,要使廠家獲利最大,銷售量和廣告費分別應為多少?【答案】 （山東省煙臺市2013屆高三3月診斷性測試數(shù)學理試題）已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和Sn,且滿足:a2a4=65,a1+a5=18.(1)若

15、1i21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項,求i的值;(2)設(shè),是否存在一個最小的常數(shù)m使得b1+b2+bnm對于任意的正整數(shù)n均成立,若存在,求出常數(shù)m;若不存在,請說明理由.【答案】 （2009高考(山東理)）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立【答案】解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,當時,又因為為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當b=2時，, 則,所以下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立. 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設(shè)當時不等式

16、成立,即成立.則當時,左邊=所以當時,不等式也成立.由、可得不等式恒成立. （山東省臨沂市2013屆高三5月高考模擬理科數(shù)學）已知數(shù)列滿足(為常數(shù)),成等差數(shù)列.()求p的值及數(shù)列的通項公式;()設(shè)數(shù)列滿足,證明:.【答案】解:()由 得 成等差數(shù)列, 即得 依題意知, 當時, 相加得 又適合上式, 故 ()證明: 若則 即當時,有 又因為 故 ()法二:要證 只要證 下面用數(shù)學歸納法證明: 當時,左邊=12,右邊=9,不等式成立; 當時,左邊=36,右邊=36,不等式成立. 假設(shè)當時,成立. 則當時,左邊=43k+1=343k39k2, 要證39k29(k+1)2 , 只要正3k2(k+1)2 , 即證2k2-2k-10. 而當k即且時,上述不等式成立. 由可知,對任意,所證不等式成立. （山東省臨沂市2013屆高三第三次模擬考試 理科數(shù)學）已知當時,二次函數(shù)取得最小值,等差數(shù)列的前n項和,.()求數(shù)列的通項公式;()數(shù)列的前n項和為且,證明.【答案】()當時, 當時, 又適合上式,得 . 由已知 解方程組得 . (), -得 , . 則, , , 當時, , 綜上,得. （2011年高考（山東理） 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計要求容器的容積為立方米,且.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積