分式方程的無解與增根

1、分式方程的無解與增根專題分式方程的無解與增根專題1.1.如果如果 有增根有增根, ,那么增根是那么增根是_.xxx21321223242kxxx可能是可能是_2.2.如果如果 有增根有增根, ,那么增根那么增根知識回顧知識回顧:(3:(3分鐘分鐘) )學習目標學習目標:(1:(1分鐘分鐘) )1.1.掌握分式方程的增根與無解這兩個概念；掌握分式方程的增根與無解這兩個概念； 2.2.掌握增根與無解有關題型的解題方法；掌握增根與無解有關題型的解題方法；自學指導一自學指導一:(4:(4分鐘分鐘) ) 分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整

2、式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數(shù)的了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值等它指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值等它包含兩種情形：包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為卻使原方程的分母為0 0，它是原方

3、程的增根，從而原方，它是原方程的增根，從而原方程無解程無解例例1 1 解方程：解方程： 解：方程兩邊都乘以（解：方程兩邊都乘以（x+2x+2）（）（x-2x-2），得），得 2 2（x+2x+2）-4x=3-4x=3（x-2x-2） 解這個方程，得解這個方程，得x=2x=2經(jīng)檢驗：當經(jīng)檢驗：當x=2x=2時，原分式方程無意義，時，原分式方程無意義，所以所以x=x=是原方程的增根是原方程的增根所以原方程無解所以原方程無解( (分式方程有增根的解題格式分式方程有增根的解題格式) )2344222xxxx【說明】顯然，方程中未知數(shù)x的取值范圍是x2且x-2而在去分母化為方程后，此時未知數(shù)x的取值范圍

4、擴大為全體實數(shù)所以當求得的x值恰好使最簡公分母為零時，x的值就是增根本題中方程的解是x2，恰好使公分母為零，所以x2是原方程的增根，原方程無解例例2 2 解方程：解方程：解：去分母后化為解：去分母后化為x x1 13 3x x2 2（2 2x x） 整理得整理得0 x0 x8 8因為此方程無解，所以原分式方程無解因為此方程無解，所以原分式方程無解22321xxxx【說明】此方程化為整式方程后，本身就無解，當然原分式方程肯定就無解了由此可見，分式方程無解不一定就是產(chǎn)生增根例例3 3 若方程若方程 = = 無解，則無解，則m=m=解：原方程可化為解：原方程可化為 = = 方程兩邊都乘以方程兩邊都乘

5、以x x2 2，得，得x x3=3=m m解這個方程，得解這個方程，得x=3x=3m m因為原方程無解，所以這個解應是原方程的增根因為原方程無解，所以這個解應是原方程的增根即即x=2x=2，所以，所以2=32=3m m，解得，解得m=1m=1故當故當m=1m=1時，原方程無解時，原方程無解【說明說明】因為同學們目前所學的是能化為一元一次方程的分因為同學們目前所學的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個根，所以如果這個根是式方程，而一元一次方程只有一個根，所以如果這個根是原方程的增根，那么原方程無解但是同學們并不能因此原方程的增根，那么原方程無解但是同學們并不能因此認為有增根的分

6、式方程一定無解，隨著以后所學知識的加認為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學知識的加深，同學們便會明白其中的道理，此處不再舉例深，同學們便會明白其中的道理，此處不再舉例32xx32xx2mx2mx例例4 4： 當當a a為何值時，關于為何值時，關于x x的方程的方程 會產(chǎn)生增根？會產(chǎn)生增根？解：方程兩邊都乘以（解：方程兩邊都乘以（x+2x+2）（）（x-2x-2），）， 得得2 2（x x2 2）axax3 3（x x2 2） 整理得（整理得（a a1 1）x x10 10 若原分式方程有增根，則若原分式方程有增根，則x x2 2或或2 2是方程的根是方程的根把把x x2 2或或2 2代入方

7、程中，解得，代入方程中，解得，a a4 4或或6 6223242axxxx【說明】做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值若將此題若將此題“會產(chǎn)生增根會產(chǎn)生增根”改為改為“無解無解”，即：，即：當當a a為何值時，關于為何值時，關于x x的方程的方程 無解？無解？ （此時還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（此時還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a a1 1）x x1010本身無解本身無解的情況，解法如下：）的情況，解法如下：）解：方程兩邊都乘以（解：方程兩邊都乘以（x+2x+2）（）（x-2x-2），），得得2

8、2（x x2 2）axax3 3（x x2 2）整理得（整理得（a a1 1）x x10 10 若原方程無解，則有兩種情形：若原方程無解，則有兩種情形：（1 1）當）當a a1 10 0（即（即a a1 1）時，方程為）時，方程為0 x0 x1010，此方程無，此方程無解，所以原方程無解。解，所以原方程無解。（2 2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解原方程若有增根，增根為方程無解原方程若有增根，增根為x x2 2或或2 2，把，把x x2 2或或2 2代入方程中，求出代入方程中，求出a a4 4或或6 6綜上所述，綜上所述，

9、a a1 1或或a a一或一或a a6 6時，原分式方程無解時，原分式方程無解223242axxxx結論：弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系結論：弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系, ,能幫助我們提高解分式方程的正確性能幫助我們提高解分式方程的正確性, ,對判斷方程對判斷方程解的情況有一定的指導意義解的情況有一定的指導意義自學檢測自學檢測1：1.1.如果分式方程如果分式方程 有增根，那么增有增根，那么增根可能是根可能是_._.2110525xx2.2.當當m m為何值時為何值時, ,方程方程 會產(chǎn)生增會產(chǎn)生增根根. . 234222xxmxx3.3.當當k k為何值時為何值時, ,分式方程分式方程 無解無解. .xxxkxx3) 1(16_131axxaxx則無解的方程關于4.自學指導二自學指導二: :分式方程的應用分式方程的應用1.1.若分式方程若分式方程 的根為的根為x=3x=3， 求求a a2 2-5-5的平方根。的平方根。5 52 21)1)a(xa(xa)a)2(x