2014年西南財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽賽題——生產(chǎn)與庫存問題

1、2014年西南財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽賽題生產(chǎn)與庫存管理問題生產(chǎn)與庫存管理問題【摘要】現(xiàn)代造船模式是以統(tǒng)籌優(yōu)化模型為指導(dǎo)，應(yīng)用成組技術(shù)原理，以中間產(chǎn)品為導(dǎo)向組織生產(chǎn)，在空間上分道，時(shí)間上有序，實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)、生產(chǎn)、管理一體化，均衡、連續(xù)的總裝化造船。本文借助MATLAB、LINGO等數(shù)學(xué)軟件，對現(xiàn)有的條件進(jìn)行約束，通過建立不同的規(guī)劃模型，得到了企業(yè)的最小規(guī)模、最大生產(chǎn)能力、生產(chǎn)資源的浪費(fèi)、企業(yè)的年最大收益及年預(yù)期銷售量等值，也對企業(yè)的人員配置、設(shè)備配置、庫存管理策略給予了分析，給出了最優(yōu)的策略。針對問題一的（1）中，我們通過求生產(chǎn)每個(gè)零件所需要的時(shí)間的最小公倍數(shù)，根據(jù)附錄2，考慮均衡連續(xù)生產(chǎn)的條件。算出

2、企業(yè)的最小生產(chǎn)周期為144小時(shí)，再根據(jù)附錄3中，給出的該企業(yè)現(xiàn)有生產(chǎn)資源狀況，運(yùn)用LINGO軟件，對工人數(shù)，工程師數(shù)，設(shè)備數(shù)進(jìn)行約束，再結(jié)合均衡連續(xù)生產(chǎn)的條件，求出其最小生產(chǎn)規(guī)模為：工人 2409人 ，工程師366人，設(shè)備數(shù)447臺(tái)。而在（2）中，結(jié)合第一題算出來的最小生產(chǎn)周期，再結(jié)合均衡連續(xù)生產(chǎn)的條件，根據(jù)附錄3中，給出的該企業(yè)現(xiàn)有生產(chǎn)資源狀況，對工人數(shù)，工程師數(shù)，設(shè)備數(shù)進(jìn)行約束，運(yùn)用LINGO軟件規(guī)劃得出企業(yè)最大生產(chǎn)能力為一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)72臺(tái)A0。同時(shí)根據(jù)附錄2中，各個(gè)產(chǎn)品生產(chǎn)一件所需的資源，計(jì)算得出，生產(chǎn)資源中，浪費(fèi)工人數(shù)為2476人，工程師138人，設(shè)備224臺(tái)。在（3）中，結(jié)合附錄2

3、，我們考慮了均衡的條件之后，計(jì)算得出生產(chǎn)各個(gè)產(chǎn)品所用的工人與設(shè)備的時(shí)間的比值。同時(shí)，表示出所有設(shè)備的總時(shí)間和生產(chǎn)各個(gè)產(chǎn)品的設(shè)備工作的時(shí)間，通過兩者的相等關(guān)系。再通過LINGO數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行整數(shù)規(guī)劃求解，最后得出在不要求連續(xù)生產(chǎn)的前提下， 在一周的時(shí)間內(nèi)，最大生產(chǎn)能力為91臺(tái)，同時(shí)浪費(fèi)資源：工人1673人，工程師16人，設(shè)備75臺(tái)。針對問題二，我們根據(jù)周銷售量與初始庫存和需求量之間的關(guān)系及初始庫存與銷售量之間的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)移方程。在考慮了均衡連續(xù)生產(chǎn)的條件，企業(yè)對原材料的進(jìn)貨與庫存管理方式之后，我們運(yùn)用MATLAB進(jìn)行編程求解，求得其年預(yù)期銷售量為銷售1674臺(tái)，并求得其每周的銷售量，見表1.針對問題三

4、，在問題二的條件下，新增加的條件為，企業(yè)效益預(yù)期應(yīng)達(dá)到最大時(shí)。在考慮了均衡連續(xù)生產(chǎn)的條件之后，我們確定了其周最大生產(chǎn)量只能為18、36、54中的某一個(gè)值。因此，我們運(yùn)用第二題的程序?qū)⑦@三個(gè)值對應(yīng)的總銷售量算出。再根據(jù)附錄5中，工人加班的限制，利用LINGO程序進(jìn)行規(guī)劃，并得到最優(yōu)的工人數(shù)、工程師數(shù)以及其分別的加班時(shí)間，再根據(jù)所得，以及附錄5的條件，計(jì)算出不同周最大產(chǎn)量情況下的企業(yè)的效益，經(jīng)比較得，當(dāng)周最大產(chǎn)量為36時(shí)，企業(yè)效益預(yù)期最大，此時(shí)的年預(yù)期銷售量為1602。針對問題四，我們根據(jù)附錄6，生成了具有相同分布的一組隨機(jī)數(shù)（見表3），作為企業(yè)預(yù)測的下一年的需求量，同時(shí)再結(jié)合附錄5和7中給出的不

5、同費(fèi)用的條件，運(yùn)用MATLAB軟件，編寫多重循環(huán)的定步長求解的程序。最終得到其每周的生產(chǎn)量和銷售量（見表4、表5），并求得優(yōu)化后的企業(yè)原材料進(jìn)貨與庫存管理方式：1，周日一次性進(jìn)貨，2，若庫存達(dá)到能滿足36艘輪船生產(chǎn)的原料數(shù)量是，不進(jìn)貨，否則進(jìn)貨，原材料的進(jìn)貨量為：使庫存量正好達(dá)到滿足91艘輪船生產(chǎn)的原料數(shù)量。此時(shí)的銷售量為1476臺(tái)?！娟P(guān)鍵字】 MATLAB軟件 LINGO軟件 生產(chǎn)與庫存管理 整數(shù)規(guī)劃 成組技術(shù)一、問題重述某造船企業(yè)生產(chǎn)某型輪船。中間產(chǎn)品、最終產(chǎn)品的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)見附錄1。其中，A0為最終產(chǎn)品：輪船，A1A7為中間產(chǎn)品，表中數(shù)據(jù)表示表示生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品Ai（行）需要消耗的產(chǎn)品Aj（

6、列）的數(shù)量，例如：生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品A0需要消耗的產(chǎn)品A1的數(shù)量為4。注：中間產(chǎn)品不對外銷售。1、在現(xiàn)有資源下，企業(yè)工作人員每天工作不超過八小時(shí)，設(shè)備可不停歇的方式進(jìn)行生產(chǎn)。（1）若企業(yè)要求均衡連續(xù)生產(chǎn)，該產(chǎn)品的最小生產(chǎn)規(guī)模是多少？最小生產(chǎn)周期為多少？（2）若企業(yè)要求均衡連續(xù)生產(chǎn)，該企業(yè)的最大生產(chǎn)能力為多少？生產(chǎn)資源的浪費(fèi)為多少？（3）若企業(yè)只要求均衡生產(chǎn)，不要求連續(xù)生產(chǎn)，生產(chǎn)周期為一周，請你求出該企業(yè)的最大生產(chǎn)能力為多少？生產(chǎn)資源的浪費(fèi)為多少？ 其中：最大生產(chǎn)能力是指生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)的最終產(chǎn)品的最大數(shù)量。均衡生產(chǎn)是指一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品之間生產(chǎn)與消耗正好匹配。連續(xù)生產(chǎn)是指設(shè)備不停歇地生產(chǎn)一種固定

7、產(chǎn)品。中間產(chǎn)品有足夠的備件，所以不用考慮產(chǎn)品生產(chǎn)的先后次序關(guān)系。2、通過調(diào)研，得到該企業(yè)產(chǎn)品未來一年的市場需求見附錄4。若企業(yè)每周生產(chǎn)6天，各周生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量采用見訂單生產(chǎn)的方式，即周內(nèi)產(chǎn)量不得超過需求量。產(chǎn)量達(dá)不到需求量的部分將丟失銷售機(jī)會(huì)，即不能推到下一周生產(chǎn)。一周內(nèi)采取均衡連續(xù)生產(chǎn)的方式，周日為設(shè)備檢修與原材料進(jìn)貨時(shí)間，不進(jìn)行生產(chǎn)。各周之間生產(chǎn)規(guī)?？梢圆幌嗤Ｈ羝髽I(yè)對原材料的進(jìn)貨與庫存管理方式為：周日一次性進(jìn)貨，若庫存達(dá)到能滿足40艘輪船生產(chǎn)的原料數(shù)量時(shí)，不進(jìn)貨，否則進(jìn)貨，原材料的進(jìn)貨量為：使庫存量正好達(dá)到滿足80艘輪船生產(chǎn)的原料數(shù)量。請你在此庫存策略下，求出未來一年企業(yè)的年預(yù)期銷售量。

8、3、在上一問（問題2）條件下，由于該企業(yè)的生產(chǎn)資源存在浪費(fèi)現(xiàn)象，企業(yè)決定調(diào)整人員和設(shè)備的數(shù)量。請你確定企業(yè)保留的人員和設(shè)備的數(shù)量，使企業(yè)效益預(yù)期達(dá)到最大，并給出企業(yè)此時(shí)的年預(yù)期銷售量。4、若該企業(yè)每周市場需求是完全隨機(jī)的，未來一年銷售量未知，現(xiàn)收集到過去一年該企業(yè)產(chǎn)品的部分市場需求見附錄6。該企業(yè)在上一問（問題3）保留的人員和設(shè)備的數(shù)量的基礎(chǔ)上，決定重新確定對原材料的進(jìn)貨與庫存管理方式。企業(yè)仍采用一周內(nèi)均衡連續(xù)生產(chǎn)的方式，周日為設(shè)備檢修與原材料進(jìn)貨時(shí)間，不進(jìn)行生產(chǎn)。但每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)產(chǎn)量可以超過銷售量，超過部分在下一期銷售，但超過部分的數(shù)量最多為5。每周可銷售產(chǎn)品數(shù)量達(dá)不到需求量的部分將丟失銷售

9、機(jī)會(huì)。請你優(yōu)化企業(yè)原材料進(jìn)貨與庫存管理方式，使企業(yè)效益預(yù)期達(dá)到最大，并給出企業(yè)此時(shí)的年預(yù)期銷售量。二、問題分析及建模思路問題一1.（1）此問要求求出在企業(yè)均衡連續(xù)生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品的最小生產(chǎn)規(guī)模。因?yàn)樯a(chǎn)每種產(chǎn)品所需要的資源是固定的，因此在企業(yè)均衡連續(xù)生產(chǎn)的情況下，所用資源比例是固定的。所用設(shè)備總量最小時(shí)，工人總數(shù)和工程師總數(shù)也達(dá)到了最小，此時(shí)生產(chǎn)規(guī)模達(dá)到最小。對生產(chǎn)規(guī)模的約束有企業(yè)的均衡連續(xù)生產(chǎn)和每種生產(chǎn)資源的總量限制。我們以所用設(shè)備總量最小為目標(biāo)函數(shù)，建立整數(shù)規(guī)劃模型，用lingo求解，解出所用設(shè)備總量的最小值，進(jìn)而得到工人總數(shù)和工程師總數(shù)的最小值，即得到了最小生產(chǎn)規(guī)模。 （2）此問在與前一小問

10、相同的前提條件下，求最小生產(chǎn)周期。我們依然可用整數(shù)規(guī)劃求解。目標(biāo)函數(shù)變?yōu)榍笾芷诘淖钚≈?。由題目中附錄二可得，生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需時(shí)間的最小公倍數(shù)為144，因?yàn)楫a(chǎn)品數(shù)量必須為正整數(shù)，所以生產(chǎn)周期必須為144的正整數(shù)倍。其他約束與（1）問基本相同。2.此問要求先求出在均衡連續(xù)生產(chǎn)情況下的最大生產(chǎn)能力即一個(gè)周期內(nèi)所生產(chǎn)A0的最大產(chǎn)量。我們先由第一問的結(jié)果經(jīng)過分析后得到應(yīng)取的生產(chǎn)周期為144個(gè)小時(shí)，然后以一個(gè)周期內(nèi)的A0的產(chǎn)量的最大值為目標(biāo)函數(shù)，用數(shù)學(xué)規(guī)劃求解。得出最大產(chǎn)量與所用生產(chǎn)資源的狀況，最后由題目中附錄三現(xiàn)有生產(chǎn)資源的狀況，算出此時(shí)生產(chǎn)資源的浪費(fèi)。3.此問中，企業(yè)只要求均衡生產(chǎn)，不要求連續(xù)生產(chǎn)，即

11、每個(gè)周期內(nèi)每種產(chǎn)品的生產(chǎn)與消耗相同，每臺(tái)設(shè)備一個(gè)周期內(nèi)一直連續(xù)生產(chǎn)，但是一臺(tái)設(shè)備可以生產(chǎn)多種產(chǎn)品，即比如生產(chǎn)A0的設(shè)備可以中途轉(zhuǎn)去生產(chǎn)其他的產(chǎn)品。建立整數(shù)規(guī)劃模型，以一周生產(chǎn)的A0的最大數(shù)量為目標(biāo)函數(shù)，找出設(shè)備數(shù)、工人數(shù)、工程師數(shù)與產(chǎn)品生產(chǎn)量的關(guān)系，由現(xiàn)有生產(chǎn)資源的限制找出約束條件，求出最優(yōu)解。然后利用（1）的結(jié)果，求得利用的生產(chǎn)資源的量，解得生產(chǎn)資源的浪費(fèi)問題二此問求當(dāng)滿足題目中所要求庫存策略的條件下，未來一年企業(yè)的年預(yù)期銷售量。由未來一年確定的每周需求量及企業(yè)的庫存策略，我們可以得到每周銷售量與初始庫存和需求量之間的關(guān)系及初始庫存與銷售量之間的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)移方程，未來一年的年預(yù)期銷售量為每周銷售

12、量之和?？删帉懗绦?，運(yùn)用MATLAB求解。問題三此問求在問題二的條件下，當(dāng)企業(yè)效益預(yù)期最大時(shí)，應(yīng)保留的人員和設(shè)備的數(shù)量，并求出此時(shí)的年預(yù)期銷售量。在問題二條件下，我們可以得出每周的生產(chǎn)量等于銷售量，且只能為18,36,54或72.當(dāng)最大生產(chǎn)量保留為72時(shí)，每周都會(huì)有資源的浪費(fèi)，肯定不是最佳安排。所以，保留的最大生產(chǎn)量只能為18，36或者54.對其中一個(gè)進(jìn)行分析，則用同樣方法可以得到另外兩個(gè)的情況。我們選36進(jìn)行分析。先利用問題中附錄4的數(shù)據(jù)，進(jìn)行MATLAB編程求解出每周的銷售量及年銷售額。進(jìn)而可以求出保留的設(shè)備總量和總的設(shè)備費(fèi)用。工人的費(fèi)用和工程師的費(fèi)用互不影響，當(dāng)他們的費(fèi)用都達(dá)到最小時(shí)，總

13、的效益最大?？梢詫λ麄兎謩e建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，用lingo求解出他們的最小值，則可以求解出在最大生產(chǎn)力為36的情況下的最大效益。同樣再求出另外兩種情況下的最大效益，選取三種情況中的最大值，找出相應(yīng)的人員、設(shè)備數(shù)量和此時(shí)的年預(yù)期銷售量即為所求。問題四 此問是求在問題三的所保留的人員和設(shè)備的條件下，當(dāng)企業(yè)的效益預(yù)期最大時(shí)，最優(yōu)的原材料進(jìn)貨和庫存管理方式及此時(shí)的年預(yù)期銷售量。首先我們對前一年的需求數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，找出數(shù)據(jù)分布規(guī)律，然后對未來一年每周的需求量進(jìn)行隨機(jī)模擬，生成52個(gè)隨機(jī)數(shù)表示未來一年每周的需求量，則需求量已確定下來。企業(yè)的最大生產(chǎn)能力已確定為36。當(dāng)滿足進(jìn)貨條件的庫存臨界值和最大庫存量確定

14、后，可以求出企業(yè)的預(yù)期年效益。因?yàn)榇祟}是求效益最大時(shí)滿足進(jìn)貨條件的庫存臨界值和最大庫存量，我們可以以滿足進(jìn)貨條件的庫存臨界值和最大庫存量作為兩個(gè)變量，做二重循環(huán)，用定步長搜索找出當(dāng)年效益最大時(shí)的庫存臨界值和最大庫存量。三、基本假設(shè)與符號(hào)說明3.1 基本假設(shè)1.假設(shè)所有工人、工程師都在正常情況下（不允許請假離職）工作；2.假設(shè)設(shè)備正常工作時(shí)不會(huì)因故障停止工作；3.假設(shè)在初始時(shí)企業(yè)的產(chǎn)品庫存為最大容量，即可以滿足第一周的最大產(chǎn)出量；4.假設(shè)企業(yè)會(huì)將只保留需要用到的設(shè)備、工人、工程師；5.假設(shè)企業(yè)的原材料進(jìn)貨與庫存管理方式均為：在庫存量低于某一固定值時(shí)進(jìn)貨，進(jìn)貨使原材料達(dá)到某一固定值的數(shù)量；6.假設(shè)

15、市場需求是完全隨機(jī)，可完全根據(jù)過去一年部分市場需求，隨機(jī)產(chǎn)生；7.假設(shè)企業(yè)可銷售產(chǎn)品數(shù)量達(dá)不到需求量的部分將丟失銷售機(jī)會(huì)；8.假設(shè)企業(yè)銷售產(chǎn)品獲得的利潤最大時(shí)，企業(yè)效益預(yù)期最大；9.假設(shè)企業(yè)在確定了最優(yōu)工人數(shù)、設(shè)備數(shù)、工程師數(shù)之后不會(huì)中途改變數(shù)量；10.假設(shè)可留在下一期銷售的成品不存在庫存費(fèi)用；3.2符號(hào)說明T:為產(chǎn)品生產(chǎn)的周期；xi:為同時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品Ai的設(shè)備數(shù)量，其中：i=0,1,27；m1:為生產(chǎn)過程中需要的工人總數(shù)； m2:為生產(chǎn)過程中需要的工程師總數(shù)； gi:為生產(chǎn)每件Ai所需要的工人數(shù)，其中：i=0,1,27； si：為生產(chǎn)每件Ai需要的設(shè)備數(shù)，其中：i=0,1,27； ci：為生產(chǎn)

16、每件Ai需要的工程師數(shù)，其中：i=0,1,27； ti：為生產(chǎn)每件Ai需要的時(shí)間，其中：i=0,1,27； bij:為生產(chǎn)Aj需要的Ai數(shù)量，其中：i=0,1,27，j=0,1,27, ij ai:為一周期內(nèi)生產(chǎn)出的產(chǎn)品Ai的數(shù)量，其中：i=0,1,27； fm1:為生產(chǎn)過程中未利用的工人數(shù)；fm2:為未利用的工程師數(shù)；fs:為未利用的設(shè)備數(shù)；yi:為一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)Ai的設(shè)備總數(shù)； S:為未來一年的年預(yù)期銷售總量； xqi:為第i周的產(chǎn)品市場需求量，其中：i=0,1,27；xsi:為第i周的產(chǎn)品銷售量，其中：i=0,1,27；chi:為第i周的產(chǎn)品期初庫存量，其中：i=0,1,27；ws:為設(shè)

17、備總共消耗的費(fèi)用； x :為運(yùn)行的設(shè)備總數(shù)；t11:為所有工人不屬于加班工作的總時(shí)間；t21:為所有工人總的加班時(shí)間；wn1:為工人的總酬金； n1:為保留下來的總工人數(shù)；t12 :為所有工程師不屬于加班工作的總時(shí)間；t22 :為所有工程師總的加班時(shí)間wn2:為工程師的總酬金；n2:為保留下來的總工程師數(shù)； lr:為一年的預(yù)期效益； spi:為第i周企業(yè)剩余的已完工的A0成品的個(gè)數(shù)，其中：i=1,252； pi:為第i周企業(yè)生產(chǎn)出的A0的成品個(gè)數(shù)，其中：i=1,252； levelj:為在庫存量不足j+35時(shí)，企業(yè)會(huì)選擇進(jìn)貨，其中：j=1,245； imi:為第i周企業(yè)進(jìn)貨的套數(shù)，其中，i=1

18、,252； k :為一年中企業(yè)進(jìn)貨的次數(shù)； mci:為第i周企業(yè)購進(jìn)貨物所花的費(fèi)用，其中，i=1,252； ici :為第i周企業(yè)所花費(fèi)的庫存費(fèi)用，其中，i=1,252； sai:為第i周企業(yè)銷售產(chǎn)品所獲得的收入，其中，i=1,252； Imc:為企業(yè)一年因?yàn)檫M(jìn)貨次數(shù)所花的費(fèi)用； ws:為企業(yè)一年用于設(shè)備的費(fèi)用； A:為企業(yè)每一次補(bǔ)足庫存時(shí)，達(dá)到的庫存量；四、模型建立與求解4.1問題一4.1.1 問題一第1問（一）最小生產(chǎn)規(guī)模的求解1.模型建立此問要求求出在企業(yè)均衡連續(xù)生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品的最小生產(chǎn)規(guī)模。由前面的問題分析可知，應(yīng)該用整數(shù)規(guī)劃模型先求出均衡連續(xù)生產(chǎn)時(shí)，運(yùn)行的設(shè)備總數(shù)的最小值。再利用工人數(shù)

19、、工程師數(shù)與設(shè)備總數(shù)的固定比例關(guān)系求出他們的最小值，由此得到了最小的生產(chǎn)規(guī)模。（1） 目標(biāo)函數(shù)的確定運(yùn)行的最小設(shè)備總數(shù)為： min i=07xi其中xi是同時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品Ai的設(shè)備數(shù)量。工人總數(shù)和工程師總數(shù)的確定：因?yàn)槠髽I(yè)均衡連續(xù)生產(chǎn)，設(shè)備每天的運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間為24小時(shí)，工人和工程師每天的工作時(shí)間只為8小時(shí)。由附錄二可得：m1=i=073*gi*xisim2=i=073*ci*xisi m1為需要的工人數(shù)，m2為需要的工程師數(shù)，gi為生產(chǎn)每件Ai所需要的工人數(shù)，ci為生產(chǎn)每件Ai需要的工程師數(shù)，si為生產(chǎn)每件Ai需要的設(shè)備數(shù)。（2）約束條件的確定均衡連續(xù)生產(chǎn)的約束設(shè)備每天24小時(shí)不停歇地固定生產(chǎn)一種產(chǎn)品

20、，而且一個(gè)周期內(nèi)每種產(chǎn)品的消耗量和生產(chǎn)量相同，由題目中附錄一可得：xigi*Tti=j=07bij*xjgj*Ttj , i=0,1,27, ijT為生產(chǎn)周期，xi是同時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品Ai的設(shè)備數(shù)量，ti為生產(chǎn)每件Ai需要的時(shí)間，bij為生產(chǎn)Aj需要的Ai數(shù)量。生產(chǎn)資源總量的約束由題目中附錄三可得，工人總數(shù)不能超過12112人，工程師總數(shù)不能超過1602人，使用設(shè)備不能超過2012臺(tái)，即i=073*gi*xisi<12112;i=073*ci*xisi<1602;i=07xi<2012.（3）最終模型min = i=07xi,s.t. xigi*Tti=*xjgj*Ttj , i=

21、0,1,27 *xisi<12112, <1602, <2012, xi si為正整數(shù)， i=0,1,27 m1=i=073*gi*xisim2=i=073*ci*xisi2.模型求解將上述模型用lingo求解，求解程序見附錄一，解得目標(biāo)函數(shù)值為447，即若想滿足均衡連續(xù)生產(chǎn)，最少需要投入447臺(tái)設(shè)備。其中x0=9,x1=8,x2=12,x3=96,x4=45,x5=42,x6=36,x7=199。將n和m解出，得最小生產(chǎn)規(guī)模為需要工人 2409人 ，工程師366人，設(shè)備數(shù)447臺(tái)。（二）最小周期的求解1.模型建立 此問要求求出在企業(yè)均衡連續(xù)生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品的最小生產(chǎn)周期，即用整

22、數(shù)規(guī)劃求出生產(chǎn)周期的最小值。 假設(shè)T為生產(chǎn)周期，ai為T時(shí)間內(nèi)即一周期內(nèi)生產(chǎn)出的產(chǎn)品Ai的數(shù)量，xi是同時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品Ai的設(shè)備數(shù)量，其中i=0,1,27。（1）目標(biāo)函數(shù) min T（2）約束條件由前面問題分析可知生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需時(shí)間的最小公倍數(shù)為144小時(shí)，因?yàn)楫a(chǎn)品數(shù)量必須為正整數(shù)，所以生產(chǎn)周期為144的正整數(shù)倍。即：T144且T144為整數(shù)均衡連續(xù)生產(chǎn)的約束每臺(tái)設(shè)備每天24小時(shí)連續(xù)不停的固定生產(chǎn)一種產(chǎn)品。ai=Tti*x0si,一個(gè)周期內(nèi)每種產(chǎn)品的消耗量和生產(chǎn)量相同。a1=4*a0,a2=a1,a3=2*a1+2*a2,a4=5*a0,a5=6*a0+3*a4,a6=6*a0,a7=a2+3*

23、a3+5*a5+7*a6，工人總量約束 i=073*gi*xisi<12112;工程師總量約束i=073*ci*xisi<1602;設(shè)備總量約束 同時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)的設(shè)備數(shù)量不能多于設(shè)備總量。i=07xi<2012;（2） 最終模型min =Ts.t. T144且T144 為整數(shù) ai=Tti*x0si a1=4*a0，a2=a1， a3=2*a1+2*a2， a4=5*a0， a5=6*a0+3*a4， a6=6*a0， a7=a2+3*a3+5*a5+7*a6， *xisi<12112, <1602， <2012， ai>0且ai為整數(shù)， i=0,1,27

24、x0si為正整數(shù)2.模型求解將上述模型用lingo求解，程序見附錄二，解得目標(biāo)函數(shù)值T=144，則滿足均衡連續(xù)生產(chǎn)條件下的最小周期為144個(gè)小時(shí)即6天。4.1.2 題目一2小問（一）模型建立此問要求先求出在均衡連續(xù)生產(chǎn)情況下的最大生產(chǎn)能力即一個(gè)周期內(nèi)所生產(chǎn)A0的最大產(chǎn)量。由第一問的結(jié)果及相關(guān)分析可得，生產(chǎn)周期為144的正整數(shù)倍。但是當(dāng)生產(chǎn)周期T>144時(shí)，企業(yè)進(jìn)行了多次產(chǎn)品投產(chǎn)到產(chǎn)出的循環(huán)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的生產(chǎn)周期是指一次產(chǎn)品投產(chǎn)到產(chǎn)出的時(shí)間，因此此處的T應(yīng)取144小時(shí)。以T作為一個(gè)約束，加上其他的約束，對A0的產(chǎn)量做整數(shù)規(guī)劃，得出最大值。然后由所求結(jié)果解出此時(shí)生產(chǎn)資源的浪費(fèi)即未利用的工人、工

25、程師和設(shè)備的數(shù)量。假設(shè)T為生產(chǎn)周期，ai為T時(shí)間內(nèi)即一周期內(nèi)生產(chǎn)出的產(chǎn)品Ai的數(shù)量，xi是同時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品Ai的設(shè)備數(shù)量，gi為生產(chǎn)每件Ai所需要的工人數(shù)。其中i=0,1,27。fm1為未利用的工人數(shù)，fm2為未利用的工程師數(shù)，fs為未利用的設(shè)備數(shù)。1.目標(biāo)函數(shù)的確定（1）最大生產(chǎn)能力為一個(gè)周期所生產(chǎn)的A0的最大數(shù)量，即求max a0,（2）浪費(fèi)的生產(chǎn)資源包括未利用的工人、工程師及設(shè)備。浪費(fèi)的工人數(shù)即總的工人數(shù)減去需要的工人數(shù)，工程師和設(shè)備數(shù)同理可解得。fm1=12112-*xisi,fm2=1602-,fs=2012- ,2.約束條件的確定 由上面的分析可得生產(chǎn)周期為144個(gè)小時(shí)，即T=144

26、其他約束條件與第一問（2）相同3.最終模型（1）max=a0,s.t. T=144 ai=Tti*x0si a1=4*a0，a2=a1， a3=2*a1+2*a2， a4=5*a0， a5=6*a0+3*a4， a6=6*a0， a7=a2+3*a3+5*a5+7*a6， *xisi<12112, <1602， <2012， ai>0且ai為整數(shù)， i=0,1,27 x0si為正整數(shù)2)fm1=12112-*xisi, fm2=1602-, fs=2012- ,（二）模型求解（1）將（1）模型帶入lingo求解，程序見附錄三，解得a0=72，即一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的最大生產(chǎn)能

27、力是72件。（2）將（1）中求解結(jié)果的數(shù)據(jù)帶入（2）中，可解得fm1=2476，fm2=138，fs=224，即浪費(fèi)工人數(shù)為2476人，工程師138人，設(shè)備224臺(tái)。4.1.3問題一第3問（一）模型建立此問中，企業(yè)只要求均衡生產(chǎn)，不要求連續(xù)生產(chǎn)，且周期為一周，即每周內(nèi)每種產(chǎn)品的生產(chǎn)與消耗相同，每臺(tái)設(shè)備一周內(nèi)一直連續(xù)生產(chǎn)，但是一臺(tái)設(shè)備可以生產(chǎn)多種產(chǎn)品，即比如生產(chǎn)A0的設(shè)備可以中途轉(zhuǎn)去生產(chǎn)其他的產(chǎn)品。以一周生產(chǎn)的A0的最大數(shù)量為目標(biāo)函數(shù)，找出設(shè)備數(shù)、工人數(shù)、工程師數(shù)與產(chǎn)品生產(chǎn)量的關(guān)系，由現(xiàn)有生產(chǎn)資源的限制找出約束條件，建立整數(shù)規(guī)劃模型，用lingo求出最優(yōu)解。然后利用（1）的結(jié)果，找到利用的生產(chǎn)資

28、源的量，求得生產(chǎn)資源的浪費(fèi)。假設(shè)x為運(yùn)行的設(shè)備數(shù)，ai為一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)品Ai的總量， yi為一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)Ai的設(shè)備總數(shù), ti為生產(chǎn)每件Ai需要的時(shí)間，其中i為0,1,2.7。si為生產(chǎn)每件Ai需要的設(shè)備數(shù),m1為需要的工人數(shù)，m2為需要的工程師數(shù)。fm1為未利用的工人數(shù)，fm2為未利用的工程師數(shù)，fs為未利用的設(shè)備數(shù)。1.目標(biāo)函數(shù)的確定（1）該企業(yè)的最大生產(chǎn)能力即為一個(gè)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)A0的數(shù)量a0的最大值。即求：max=a0,（2）浪費(fèi)的生產(chǎn)資源包括未利用的工人、工程師及設(shè)備。浪費(fèi)的工人數(shù)即總的工人數(shù)減去需要的工人數(shù)，工程師和設(shè)備數(shù)同理可求得。fm1=12112-m1,fm2=1602

29、 -m2,fs =2012 - x。2.約束條件的確定（1）周期為7天，則每臺(tái)設(shè)備在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)了24*7個(gè)小時(shí)，所有使用設(shè)備的運(yùn)行總時(shí)間等于每種產(chǎn)品用到的總設(shè)備數(shù)的時(shí)間總和，即：24*7*x=。（2）一個(gè)周期內(nèi)每種產(chǎn)品的產(chǎn)量等于這種產(chǎn)品所使用的設(shè)備總數(shù)除以一件產(chǎn)品需要的設(shè)備數(shù)，即： ai=yi/si,（3）企業(yè)均衡生產(chǎn)，每個(gè)周期內(nèi)，中間產(chǎn)品的生產(chǎn)與消耗相等，由題目的附錄1求得各種中間產(chǎn)品產(chǎn)量與最終產(chǎn)品A0產(chǎn)量的關(guān)系。 a1=4*a0, a2=4*a0, a3=16*a0, a4=5*a0, a5=21*a0, a6=6*a0, a7=199*a0,（4）同時(shí)運(yùn)行的設(shè)備數(shù)不大于現(xiàn)有的設(shè)備

30、數(shù)。x2012,（5）在設(shè)備均衡不連續(xù)生產(chǎn)的情況下，每個(gè)人都得到了充分利用，即每天都工作而且工作滿了8小時(shí)。而一周內(nèi)所用人數(shù)總和就等于生產(chǎn)所有產(chǎn)品所需要的人數(shù)總和，即：m1=7,m2=7,（6）人力資源的限制：m1<12112,m2<1602,3.最終模型(1) max=a0,s.t. 24*7*x=, ai=yi/si a1=4*a0, a2=4*a0, a3=16*a0, a4=5*a0, a5=21*a0, a6=6*a0, a7=199*a0, x2012, m1=7, m2=7, m1<12112, m2<1602, ai，yi為整數(shù), i=0,1,27 x,

31、m1,m2為整數(shù)（2）fm1=12112-m1,fm2=1602- m2,fs =2012- x。（二）模型求解（1）將（1）模型用lingo求解，程序見附錄四，解得a0=91,即企業(yè)在只要求均衡生產(chǎn)，生產(chǎn)周期為一周的條件下，最大生產(chǎn)能力為每周期生產(chǎn)A0 產(chǎn)品91件。（2）模型（1）求解得出m1=10439, m2=1586, x =1937。得出fm1=1673，fm2=16，fs=75，即資源浪費(fèi)為工人1673人，工程師16人，設(shè)備75臺(tái)。4.2問題二4.2.1模型建立 因?yàn)楦髦苌a(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量采用見訂單生產(chǎn)的方式，且產(chǎn)量達(dá)不到需求量的部分丟失銷售機(jī)會(huì)，所以各周的A0生產(chǎn)量等于銷售量。由問題

32、一可知，在企業(yè)均勻連續(xù)生產(chǎn)的情況下，6天即為產(chǎn)品的一個(gè)生產(chǎn)周期。一個(gè)周期內(nèi)，最終產(chǎn)品A0的產(chǎn)量為18、36、54或72件，即每周的生產(chǎn)量和銷售量應(yīng)為18的整數(shù)倍。假設(shè)s為未來一年的年預(yù)期銷售量， xqi為第i周的需求量，xsi為第i周的銷售量，chi為第i周的期初庫存量,其中i=1,252。由題目及前面的問題分析可得 ch1=80，chi+1=chi-xsi, & chi-xsi4080 , & chi-xsi<40,xsi=chi/18*18, & chi<xqixqi/18*18, chi>xqi, s=i=152xsi4.2.2模型求解運(yùn)用MAT

33、LAB 進(jìn)行求解，程序見附錄五，算法如下：STEP 1：輸入i=1,s=0,ch1=80,xsi=0和xqi。STEP 2：如果chi<xqi,令xsi=chi/18*18，chi+1=80。跳到STEP 4。否則xsi=xqi/18*18 ，繼續(xù)STEP 3。STEP 3：如果chi-xsi<40，chi+1=80，否則chi+1=chi-xsi。STEP 4： s=s+xsi。STEP 5：i=i+1。STEP 6：如果i52,執(zhí)行STEP 2，否則，輸出s。解出s=1674，即未來一年企業(yè)的年預(yù)期銷售量為1674件。其每周生產(chǎn)量如下表所示：表1未來一年該企業(yè)產(chǎn)品的每周生產(chǎn)量（

34、單位：艘/周）543636361836363618363618181818363618181836363636361854361854183636363618363636361836541836363636363636364.3問題三4.3.1模型建立在問題二的條件下，對人員和設(shè)備的數(shù)量進(jìn)行調(diào)整。此問求當(dāng)企業(yè)的預(yù)期效益最大時(shí) 企業(yè)應(yīng)保留的人員、設(shè)備的數(shù)量和此時(shí)的年預(yù)期銷售量。由問題二的分析可知，若想保證均衡連續(xù)生產(chǎn)，一周內(nèi)，最終產(chǎn)品A0的銷售量和產(chǎn)量只能為18、36、54或72件。據(jù)問題中的附錄4可看出，若企業(yè)保持最大生產(chǎn)能力為72件，必然每一周都有資源的閑置，不可能得到最大效益。因此，企業(yè)調(diào)

35、整后的最大生產(chǎn)能力amax只能為18、36或者54件。我們以36為例，說明計(jì)算過程。當(dāng)amax=36時(shí)，ch1=80，chi+1=chi-xsi, & chi-xsi4080 , & chi-xsi<40,xsi=chi/18*18, & chi<xqi且chi36xqi/18*18, chi>xqi且xqi3636， 36<chi<xqi 36， 36<xqi<chi , s=i=152xsi其中s為未來一年的年預(yù)期銷售量， xqi為第i周的需求量，xsi為第i周的銷售量，chi為第i周的期初庫存量,其中i=1,252。ama

36、x為調(diào)整后的最大生產(chǎn)能力。將此模型用MATLAB運(yùn)行解出，程序見附錄六，算法如下：STEP 1輸入i=1,s=0,ch1=80,xsi=0和xqi。 STEP 2如果chi<xqi,令xsi=chi/18*18，chi+1=80。跳到STEP 5。否則xsi=xqi/18*18 ，繼續(xù)STEP 3。 STEP 3如果 xsi>36，令xsi=36，執(zhí)行STEP 4。否則直接執(zhí)行STEP 4。 STEP 4 如果chi-xsi<40，令chi+1=80。否則chi+1=chi-xsi。跳至STEP 6。 STEP 5 如果xsi>36，令xsi=36，否則直接執(zhí)行STEP

37、 6。 STEP 6 s=s+xsi，i=i+1。STEP 7如果i52,執(zhí)行STEP 2，否則，輸出s。解出s=1602，即年預(yù)期銷售量為1602件，且得到有15周的銷售量為18件，其余37周的銷售量為36件。（1）設(shè)備總費(fèi)用的確定：當(dāng)amax=36時(shí)，運(yùn)行的設(shè)備總數(shù)x為894臺(tái)。在銷售量為36件的37周中，設(shè)備得到充分使用。在其余的15周中，有一半的設(shè)備處于閑置狀態(tài)。ws=20*24*6*(37*x+15*x/2)+5*24*6*(15*x/2)+5*24*52*x,其中ws為設(shè)備總費(fèi)用，x為運(yùn)行的設(shè)備總數(shù)。（2） 工人酬金的確定：在一周生產(chǎn)18件A0時(shí)，由問題一（1）得到每天所需要的工人

38、數(shù)為2409。若效益最大，此時(shí)肯定沒有工人加班。 t11=2409*48*15+37*40*n1, 其中t11為所有工人不屬于加班工作的總時(shí)間。由計(jì)算得出所有工人工作的總時(shí)間是銷售量的6424倍。則：t21=s*6424-t11, 其中t21為所有工人總的加班時(shí)間，s為未來一年的年預(yù)期銷售量即A0一年的總產(chǎn)量。工人酬金為：wn1=10*t11+20*t21+600*12*n1, 其中wn1為工人的總酬金，n1為保留下來的總工人數(shù)。每個(gè)人每周加班時(shí)間不得超過44個(gè)小時(shí)，即：t2144*37*n1, 由前面分析知，一周的生產(chǎn)量為18時(shí)，肯定沒有工人加班，即：n1*402049*48.（3）工程師酬

39、金的確定：在一周生產(chǎn)18件A0時(shí)，由問題一（1）得到每天所需要的工程師數(shù)為366。若效益最大，此時(shí)肯定沒有工程師加班。 t12=366*48*15+40*37*n2, 其中t12為所有工程師不屬于加班工作的總時(shí)間。 由計(jì)算得出所有工程師工作的總時(shí)間是銷售量的976倍。則： t22=976*s-t12,其中t22為所有工程師總的加班時(shí)間，s為未來一年的預(yù)期銷售量即A0一年的總產(chǎn)量。工程師酬金為： wn2=15*t12+30*t22+n2*2000*12, 其中wn2為工程師的總酬金，n2為保留下來的總工程師數(shù)每個(gè)人每周加班時(shí)間不得超過44個(gè)小時(shí)，即：t2244*37*n2,由前面分析知，一周的生

40、產(chǎn)量為18時(shí)，肯定沒有工人加班，即：n2*40366*48.（4）預(yù)期年效益的確定： lr=35*100000*s-ws-wn1-wn2 其中l(wèi)r為一年的預(yù)期效益。amax=36時(shí)，一年的銷售額和設(shè)備總費(fèi)用是固定的。企業(yè)的效益只受工人的酬金和工程師的酬金的影響。工人的酬金和工程師的酬金互相獨(dú)立，不受對方影響。因此在工人的酬金和工程師的酬金都為最小時(shí)，企業(yè)的預(yù)期年效益最大。綜上所述，得到最終模型lr=35*100000*s-ws-wn1-wn2,x=894,ws=20*24*6*(37*x+15*x/2)+5*24*6*(15*x/2)+5*24*52*x,min=wn1,s.t.t11=240

41、9*48*15+37*40*n1,t21=s*6424-t11,wn1=10*t11+20*t21+600*12*n1,s=1602,t2144*37*n1,n1*402049*48min=wn2,s.t.t12=366*48*15+40*37*n2,t22=976*s-t12,wn2=15*t12+30*t22+n2*2000*12,s=1602,t2244*37*n2,n2*40366*484.3.2模型求解將上述兩個(gè)規(guī)劃模型利用lingo求解，程序見附錄七和附錄八，解得wn1=144540000，wn2=43744320，n1=5781.6，n2=439.2。但是n1和n2是整數(shù)。比較當(dāng)

42、n1=5781和n1=5782時(shí)，wn1的大小。得出當(dāng)n1=5782時(shí)，wn1較小，因此我們應(yīng)取n1=5782。當(dāng)n2=439時(shí)，不滿足n2*40366*48，因此n2取440。將n1和n2代入 lr方程求解，解得lr=247430160。所以當(dāng)最大生產(chǎn)能力取36時(shí)，最大年效益為247430160元。用同樣方法求出當(dāng)最大生產(chǎn)能力為18和54時(shí)的最大年效益，與最大生產(chǎn)力取36時(shí)的最大效益進(jìn)行比較，可得到當(dāng)企業(yè)取得最大預(yù)期年效益時(shí)，最大生產(chǎn)力為每周生產(chǎn)36件A0,應(yīng)保留工人5782人，工程師440人，設(shè)備894臺(tái)。此時(shí)的年預(yù)期銷售量為1602件。其每周生產(chǎn)件數(shù)如下表所示：表2未來一年該企業(yè)產(chǎn)品每周

43、生產(chǎn)量（單位：艘/周）36363636183636361836361818181836361818183636363636183636183618363636361836363636183636183636363636363636 我們還可得到此時(shí)，工人不加班，工程師總共加班時(shí)間為648832小時(shí)。4.4問題四4.4.1模型建立首先對過去一年該企業(yè)產(chǎn)品需求量做出概率密度分布圖，見圖1?？梢钥闯霎a(chǎn)品的需求量出現(xiàn)兩個(gè)峰值，而且每一個(gè)峰值周圍大致形成一個(gè)正態(tài)分布。我們對它的每一個(gè)峰值周圍的數(shù)據(jù)用spss進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，得到兩個(gè)峰值周圍的數(shù)據(jù)都分別與正態(tài)分布相吻合。因此我們可以用賦予不同權(quán)值的兩個(gè)正

44、態(tài)分布來模擬今后的需求量。我們以36為分界點(diǎn)，得到第一個(gè)正態(tài)分布的平均值1為30.6，標(biāo)準(zhǔn)差1為2.90。第二個(gè)正態(tài)分布的平均值2為40，標(biāo)準(zhǔn)差2為1.53。第一個(gè)正態(tài)分布占總分布的權(quán)重為r=0.675。我們利用MATLAB用得到的分布函數(shù)產(chǎn)生52個(gè)隨機(jī)數(shù)作為下一年每周的需求量。具體算法如下（程序見附錄九）：STEP 1：輸入i=1, 1=30.6, 1=2.90, 2=40, 2=1.53,r=0.675，xi;STEP 2：產(chǎn)生一個(gè)0,1區(qū)間的隨機(jī)數(shù)r1。STEP 3：產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)a。STEP 4：如果r1<r, xi= 1+1*a,如果r1>r，xi= 2+2

45、*a，否則，xi= （1+1*a）+（2+2*a）/2。STEP 5：對xi四舍五入取整。STEP 6：i=i+1，輸出xi。STEP 7：如果i>52，停止運(yùn)行。否則，執(zhí)行STEP 2。我們生成的52個(gè)隨機(jī)數(shù)如下：表3隨機(jī)生成未來一年該企業(yè)產(chǎn)品的市場需求（單位：艘/周）26234439353036323529314129293528364030302829263532383628313030334134393025393134273231274033393239293339此52個(gè)數(shù)即為未來一年每周的銷售量。 （圖一）根據(jù)前面的問題分析可知，需求量和最大生產(chǎn)能力已確定。當(dāng)滿足進(jìn)貨條件的

46、庫存臨界值和最大庫存量確定后，可以求出企業(yè)的預(yù)期年效益。因?yàn)榇祟}是求效益最大時(shí)滿足進(jìn)貨條件的庫存臨界值和最大庫存量，我們可以以滿足進(jìn)貨條件的庫存臨界值和最大庫存量作為兩個(gè)變量，做二重循環(huán)，用定步長搜索找出當(dāng)年效益最大時(shí)的庫存臨界值和最大庫存量。初始條件為：ch1=91,sp1=0,p1=18,xs1=18生產(chǎn)量、剩余庫存量、銷售量和需求量的關(guān)系。關(guān)系如下：當(dāng)31xqi<36時(shí)pi=36,xsi=xqi,spi=spi-1+36-xqi , spi-1+36-xqi5,&pi=18, xsi=18+spi-1, spi=0, spi-1+36-xqi>5當(dāng)xqi36時(shí) pi=

47、36,xsi=pi+spi-1,spi=0, & xqipi+spi-1pi=36,xsi=xqi, spi=spi-1-xqi-pi, xqi<pi+spi-1當(dāng)18xqi<31時(shí) pi=18 , xsi=pi+spi-1, spi=0, xqipi+spi-1pi=18, xsi=xqi, spi=spi-1-xqi-pi , xqi<pi+spi-1初始庫存量、生產(chǎn)量、進(jìn)貨量、進(jìn)貨次數(shù)和庫存臨界值levelj的關(guān)系如下： chi+1=91, &chi-pileveljchi+1=chi-pi, &chi-pi>levelj當(dāng)chi-pilevelj時(shí) imi=91-(chi-pi),k=k+1, &imi1k=k, imi<1購進(jìn)原材料成本與進(jìn)貨量的關(guān)系為：mci=80000*imi, imi40mci=80000*0.98*imi