初中數(shù)學(xué)奧林匹克匯總

1、l 豆稔家教培訓(xùn)數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題第 一 試一. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.設(shè)是實(shí)數(shù),且,則等于:(A) (B) (C) (D)( )2.適合于的非負(fù)整數(shù)對(duì) 的個(gè)數(shù)是:(A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )3.如圖1,凸五邊形ABCDE內(nèi)接于半徑為1的O,ABCD是矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分.則此五邊形ABCDE的面積是:(A) (B) (C) (D) ( )4.若關(guān)于的不等式的解中包含了”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是:(A) (B)或 (C)或 (D)或( )5.如圖2,在ABC中,M是邊AB的中點(diǎn),N是邊AC上的點(diǎn),且,CM與BN相交于點(diǎn)K.若BCK的面積

2、等于1,則ABC的面積等于:(A)3 (B) (C)4 (D) ( )6.設(shè)為實(shí)數(shù),且,拋物線與軸交于A,B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,且拋物線的頂點(diǎn)在直線上.若ABC是直角三角形,則RtABC面積的最大值是:(A)1 (B) (C)2 (D)3二. 填空題.(每小題7分,共28分)1.設(shè)是實(shí)數(shù),則函數(shù)的最小值是 .2.方程的兩根為,且,則有序?qū)崝?shù)組共有 個(gè).3.若,則 .4.如圖3,正EFG內(nèi)接于正方形ABCD,其中E,F,G分別在邊AB,AD,BC上,若則 . 第 二 試一.(20分)如圖4,在銳角ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,直線AP,BP,CP分別交對(duì)邊于Q1,Q2,Q3,且PQ1C=PQ2A=PQ3B.

3、試問(wèn):點(diǎn)P是否必為ABC的垂心?如果是,請(qǐng)證明;如果不是,請(qǐng)舉反例說(shuō)明. 二.(25分)設(shè)為素?cái)?shù),是正整數(shù).求證:方程至少有一個(gè)整數(shù)根 的充分必要條件是三.(25分)是否存在這樣的正整數(shù),使得能整除?請(qǐng)說(shuō)明理由. 數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題第 一 試三. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.已知,則的值為:(A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.規(guī)定”為有序?qū)崝?shù)對(duì)的運(yùn)算,如果如果對(duì)任意實(shí)數(shù)都有則為:(A) (B) (C) (D)( )3.在ABC中,則A:(A)一定是銳角 (B)一定是直角 (C)一定是鈍角 (D)非上述答案( )4.下列五個(gè)命題:若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為3與4,則第

4、三邊長(zhǎng)是5;若點(diǎn)在第三象限,則點(diǎn)在第一象限;連結(jié)對(duì)角線垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形是正方形;兩邊及其第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是:(A)2個(gè) (B)3個(gè) (C)4個(gè) (D)5個(gè)( )5.設(shè)P為等腰ABC斜邊AB上或其延長(zhǎng)線上一點(diǎn),那么:(A) (B) (C) (D)不確定( )6.滿(mǎn)足方程的所有正整數(shù)解有:(A)一組 (B)二組 (C)三組 (D)四組四. 填空題.(每小題7分,共28分)1.一輛客車(chē),一輛貨車(chē)和一輛小轎車(chē)在同一條直線上朝同一方向行駛,在某一時(shí)刻,貨車(chē)在中,客車(chē)在前,小轎車(chē)在后,且它們的距離相等.走了10分鐘,小轎車(chē)追上了貨車(chē);又走了5分

5、鐘,小轎車(chē)追上了客車(chē).問(wèn)再過(guò) 分鐘,貨車(chē)追上了客車(chē).2.若多項(xiàng)式,那么P的最小值是 .3.如圖1, AOB=30O, AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P,且OP=10.在OA上有一點(diǎn)Q,OB上有一點(diǎn)R.若PQR周長(zhǎng)最小,則最小周長(zhǎng)是 . 4.已知二次函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為,O是坐標(biāo)原點(diǎn),如果AOB是直角三角形,則AOB的周長(zhǎng)為 .第 二 試一.(20分)已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式,求的值.二.(25分)如圖2,點(diǎn)D在ABC的邊BC上,且與B,C不重合,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線DE交AB于E,作AB的平行線DF交AC于點(diǎn)F.又知BC=5.(1) 設(shè)ABC的面積為S.若四邊形AEFD的面積為.求BD長(zhǎng).(2)

6、若且DF經(jīng)過(guò)ABC的重心G,求E,F兩點(diǎn)的距離. 三.(25分)已知定理:”若三個(gè)大于3的質(zhì)數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式,則是整數(shù)的倍數(shù).”試問(wèn):上述定理中整數(shù)的最大可能值是多少?并證明你的結(jié)論. 數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(2)第 一 試一. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.有鉛筆,練習(xí)本,圓珠筆三種學(xué)習(xí)用品.若購(gòu)鉛筆3支,練習(xí)本7本,圓珠筆1支共需3.15元;若購(gòu)鉛筆4支,練習(xí)本10本,圓珠筆1支共需4.2元.現(xiàn)購(gòu)鉛筆,練習(xí)本,圓珠筆各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三邊都是整數(shù),且滿(mǎn)足,則此三角形的面積等于:(A) (B) (C) (

7、D)( )3.如圖1,ABC為正三角形,PMAB,PNAC.設(shè)四邊形AMPN, ABC的周長(zhǎng)分別是,則有:(A) (B) (C) (D)( )4.滿(mǎn)足的所有實(shí)數(shù)對(duì),使取最大值,此最大值為:(A) (B) (C) (D)( )5.設(shè).其中是正實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足.則滿(mǎn)足: (A)5 (B)5 (C)2 (D)3( )6.如圖2,點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心,OMCD,N 為OM的中點(diǎn).則等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2 二. 填空題.(每小題7分,共28分)1.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則 .2.如圖3,CD為直角ABC斜邊AB上的高,DEAC.設(shè)ADE,CDB,ABC的周長(zhǎng)分別是.當(dāng)

8、 取最大值時(shí),A= .3.若函數(shù)中自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .4.如圖4所示,線段AB與CD都是O中的弦,其中,則O的半徑R= . 第 二 試一.(共20分)是一個(gè)三位數(shù),是一個(gè)一位數(shù),且都是整數(shù),求的最大值與最小值.二.(共25分)如圖5,在ABC中,A=60O,O,I,H分別是它的外心,內(nèi)心,垂心.試比較ABC的外接圓與IOH的外接圓的大小,證明你的論斷.三.(共25分)求方程組的所有整數(shù)解. 參考答案一.1.(B)數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(3)第 一 試一. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.在凸2005邊形中,不大于111O的內(nèi)角最多有:(A)3個(gè) (B)4

9、個(gè) (C)5個(gè) (D)6個(gè)( )2.已知均為實(shí)數(shù),且關(guān)于的不等式的解集為,則的值為: (A)3或7 (B)3或13 (C)7或8 (D)8或13( )3.滿(mǎn)足的正整數(shù)對(duì):(A)只有一對(duì) (B)恰有兩對(duì) (C)至少有三對(duì) (D)不存在( )4.如圖1,A,B,C為O上的三個(gè)定點(diǎn),AB=AC,P為O上的動(dòng) 點(diǎn).則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛳螯c(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,的值:(A)保持不變 (B)先減小后增大(C)先增大后減小 (D)無(wú)法判斷( )5.設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根,實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足:則 的值為:(A)2005 (B)2003 (C) (D)( )6.在同一平面上,正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)到直線的距離只取四個(gè)值,

10、其中一個(gè)值是另一個(gè)值的3倍,這樣的直線可以有:(A)4條 (B)8條 (C)12條 (D)16條二. 填空題.(滿(mǎn)分28分,每小題7分)7.拋物線與直線組成的正方形有公共 點(diǎn), 則的取值范圍是 .8.如圖2,D為ABC的邊BC上一點(diǎn),P為線段AD上一點(diǎn),若若APB的面積為9,CPD的面積為16,則ABC面積的最小值是 9.在由ABC內(nèi)的2005個(gè)點(diǎn)P1,P2,P2005及ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C共2008個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形中,最多有 個(gè)三角形,它們恰好將ABC完全分割成無(wú)任何重疊的三角形.10.如果點(diǎn)P將O的弦AB和CD分成的四條線段PA,PB,PC,PD的長(zhǎng)度恰好是四個(gè)互不相同的正整數(shù),則

11、稱(chēng)點(diǎn)P為O的”整分點(diǎn)”.現(xiàn)已知M是半徑為5的O上一點(diǎn),則在半徑OM上有 個(gè)不同的整分點(diǎn).第 二 試三. 解答題.(共70分)11.(滿(mǎn)分20分)求所有的實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程有且只有整數(shù)根.12.(滿(mǎn)分25分)如圖3,O,H分別是銳角ABC的外心和垂心,D是BC邊上的中點(diǎn).由H向A及其外角平分線作垂線,垂足分別是E,F.求證:D,E,F三點(diǎn)共線. 13.(滿(mǎn)分25分)能否將1,2,3,12這12個(gè)正整數(shù)分成兩組,使得 其中第一組有3個(gè)數(shù),第二組有9個(gè)數(shù),并且第一組中3個(gè)數(shù)的積恰好等于第二組中9個(gè)數(shù)之和?若能,請(qǐng)給出所有的分組方法;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。. 數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(4)第 一 試四.

12、 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.在(是大于3的整數(shù))這5個(gè)數(shù)中,分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如圖1,正方形ABCD的面積為256,點(diǎn)F在AD上,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,RtCEF的面積為200,則BE的長(zhǎng)為:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15 ( )3.已知均為整數(shù),且滿(mǎn)足.則以為根的一元二次方程是:(A) (B)(C) (D)( )4.如圖2,在RtABC中,AF是高,BAC=90O,且 BD=DC=FC=1,則AC為:(A) (B) (C) (D) ( )5.若,則的值為:(A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.設(shè),

13、則的最大值是:(A) (B)18 (C)20 (D)不存在五. 填空題.(每小題7分,共28分)1.方程的實(shí)數(shù)根是 . 2.如圖3,矩形ABCD中,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),且 ,則= .3.已知二次函數(shù)(為常數(shù)).當(dāng)時(shí),當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時(shí),都有.則拋物線的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 .4.如圖4,半徑為,圓心角為90O的扇形OAB的上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P.從點(diǎn)P向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H.設(shè)OPH的內(nèi)心為I,當(dāng)點(diǎn)P在上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),內(nèi)心I所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 . 第 二 試一.(20分)在一個(gè)面積為1的正方形中構(gòu)造一個(gè)如下的小正方形;將單位正方形的各邊等分,然后將每個(gè)頂點(diǎn)和它相對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)最接近的分點(diǎn)

14、連結(jié)起來(lái),如圖5所示.若小正方形的面積恰為,求的值. 二.(25分)一條筆直的公路穿過(guò)草原,公路邊有一衛(wèi)生站A,距公路的地方有一居民點(diǎn)B,A,B之間的距離為.一天某司機(jī)駕車(chē)從衛(wèi)生站送一批急救藥品到居民點(diǎn).已知汽車(chē)在公路上行駛的最快速度是,在草地上行駛的最快速度是.問(wèn)司機(jī)應(yīng)以怎樣的路線行駛,所用的行車(chē)時(shí)間最短?最短時(shí)間是多少?三.(25分)從1，2，3，3919中任取2001個(gè)數(shù)。證明：一定存在兩個(gè)數(shù)之差恰好為98。數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(5)第 一 試六. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.若均為質(zhì)數(shù),且,則的值為:(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002( )2

15、.設(shè),則之間的關(guān)系是:(A) (B)(C) (D)( )3.設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)為滿(mǎn)足,則ABC的周長(zhǎng)是: (A)10 (B)14 (C)16 (D)不能確定( )4.下面四個(gè)命題:直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3,4,則第三邊長(zhǎng)為5;,對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形;若四邊形ABCD中,ADBC,且AB+BC=AD+DC,則四邊形ABCD是平行四邊形.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為:(A)0 (B)1 (C)2 (D)3( )5.一個(gè)四位數(shù)為平方數(shù),則的值為:(A)11 (B)10 (C)9 (D)8( )6.如果滿(mǎn)足的ABC恰有一個(gè),那么的取值范圍是:(A) (B) (C) (D)或七. 填空題.(每小題

16、7分,共28分)1.已知為實(shí)數(shù),且多項(xiàng)式能被整除,則的值是 .2.設(shè)正整數(shù)滿(mǎn)足,則的最大值是 .3,若=1,則= .4.如圖1,AB是半圓O的直徑,四邊形CDMN和DEFG都是正方形,其中C,D,E在AB上,F,N在半圓上.若AB=10,則正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是 .第 二 試一.(20分)若AD是ABC角平分線,I是線段AD上的點(diǎn),且.求證:I是ABC的內(nèi)心.二.(25分)用汽船拖載重量相等滿(mǎn)載貨物的小船若干只,在兩港之間來(lái)回送貨物.已知每次拖4只小船,一日能來(lái)回16次;每次拖7只小船,一日能來(lái)回10次.每日來(lái)回次數(shù)是拖小船只數(shù)的一次函數(shù)(一天中每次拖小船只數(shù)不變).

17、問(wèn)每日來(lái)回多少次,每次拖多少只小船,才能使運(yùn)貨問(wèn)題達(dá)到最大?三.(25分)設(shè)是從1到9的互不相同的整數(shù),求的最大的可能值.數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(6)第 一 試八. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,那么的最小值為:(A) (B) (C)1 (D)( )2.的值最接近于:(A) (B) (C) (D)( )3.如圖1, ABC中,AB=AC,A=40O,延長(zhǎng)AC到D,使 CD=BC,點(diǎn)P是ABD的內(nèi)心,則BPC=:(A)145O (B)135O (C)120O (D)105O( )4.為兩兩不同的正整數(shù),且,則滿(mǎn)足上述要求的四元數(shù)組 共有: (A)4組 (B)6組 (C)8

18、組 (D)10組( )5. ABC的三邊長(zhǎng)皆為整數(shù),且,當(dāng)ABC為等腰三角形時(shí),它的面積的答案有:(A)1種 (B)2種 (C)3種 (D)4種( )6. ABC的A,B皆為銳角,CD是高,已知,則ABC是:(A) 直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形九. 填空題.(每小題7分,共28分)1.使方程恰好有兩個(gè)解的 所有實(shí)數(shù)為 .2.如圖2,正方形ABCD中,延長(zhǎng)邊BC到E,AE分別交BD,CD于點(diǎn)P,Q.當(dāng)AP=QE時(shí),PQ:AE= . 3.如圖3, ABC內(nèi)接于O,AB=90O,則O的面積為 .4.某中學(xué)生暑期社會(huì)調(diào)查團(tuán)共17人到幾個(gè)地方去考察,事

19、先預(yù)算住宿費(fèi)平均每人每天不超過(guò)元.一日到達(dá)某地,該地有兩處招待所A,B.A有甲級(jí)床位8個(gè),乙級(jí)床位11個(gè);B有甲級(jí)床位10個(gè),乙級(jí)床位4個(gè),丙級(jí)床位6個(gè).已知甲,乙,丙床位每天分別為14元,8元,5元.若全團(tuán)集中住在一個(gè)招待所里,按預(yù)算只能住B處,則整數(shù)= .第 二 試一.(20分)一批貨物準(zhǔn)備運(yùn)往某地,有甲,乙,丙三輛卡車(chē)可雇用.已知甲,乙,丙三輛車(chē)每次運(yùn)貨量不變,且甲乙兩車(chē)單獨(dú)運(yùn)這批貨物分別用次;若甲,丙兩車(chē)合運(yùn)相同次數(shù),運(yùn)完這批貨物,甲車(chē)共運(yùn)了;若乙,丙兩車(chē)合運(yùn)相同次數(shù),運(yùn)完這批貨物,乙車(chē)共運(yùn)了.現(xiàn)甲,乙,丙合運(yùn)相同次數(shù)把這批貨物運(yùn)完,貨主應(yīng)付車(chē)方運(yùn)費(fèi)各多少元?(按每噸運(yùn)費(fèi)20元計(jì)算)?

20、二.(25分)如圖4,在圓外切凸六邊形ABCDEF中,ABDE,BCEF,CDFA.求證: 凸六邊形ABCDEF是中心對(duì)稱(chēng)圖形. 三.(25分)試求出所有這樣的正整數(shù)使得關(guān)于的二方程至少有一個(gè)整數(shù)根.數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(7)第 一 試十. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.設(shè)是實(shí)數(shù),且,則等于:(A) (B) (C) (D)( )2.適合于的非負(fù)整數(shù)對(duì) 的個(gè)數(shù)是:(A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )3.如圖1,凸五邊形ABCDE內(nèi)接于半徑為1的O,ABCD是矩形,AE=ED,且BE和CE把AD三等分.則此五邊形ABCDE的面積是:(A) (B) (C) (D) ( )4.若

21、關(guān)于的不等式的解中包含了”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是:(A) (B)或 (C)或 (D)或( )5.如圖2,在ABC中,M是邊AB的中點(diǎn),N是邊AC上的點(diǎn),且,CM與BN相交于點(diǎn)K.若BCK的面積等于1,則ABC的面積等于:(A)3 (B) (C)4 (D) ( )6.設(shè)為實(shí)數(shù),且,拋物線與軸交于A,B兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,且拋物線的頂點(diǎn)在直線上.若ABC是直角三角形,則RtABC面積的最大值是:(A)1 (B) (C)2 (D)3十一. 填空題.(每小題7分,共28分)1.設(shè)是實(shí)數(shù),則函數(shù)的最小值是 .2.方程的兩根為,且,則有序?qū)崝?shù)組共有 個(gè).3.若,則 .4.如圖3,正EFG內(nèi)接于正方形ABCD

22、,其中E,F,G分別在邊AB,AD,BC上,若則 . 第 二 試一.(20分)如圖4,在銳角ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,直線AP,BP,CP分別交對(duì)邊于Q1,Q2,Q3,且PQ1C=PQ2A=PQ3B.試問(wèn):點(diǎn)P是否必為ABC的垂心?如果是,請(qǐng)證明;如果不是,請(qǐng)舉反例說(shuō)明. 二.(25分)設(shè)為素?cái)?shù),是正整數(shù).求證:方程至少有一個(gè)整數(shù)根的充分必要條件是。三.(25分)是否存在這樣的正整數(shù),使得能整除?請(qǐng)說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(8)第 一 試十二. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1. 已知均為非零實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足,則的值是: (A)1 (B)2 (C) (D)( )2.如圖1,在等腰中,AC=

23、BC,以斜邊AB為一邊作等邊ABD, 使點(diǎn)C,D在AB的同一側(cè).再以CD為一邊作等邊CDE,使點(diǎn)C,E在AB的異偶.若AE=1,則CD的長(zhǎng)為:(A) (B) (C) (D)( )3.對(duì)于任意給定的正整數(shù)為某正整數(shù)的立方,其中為正整數(shù).那么,這樣的:(A)只有一個(gè) (B)只有兩個(gè) (C)有無(wú)數(shù)多個(gè) (D)不存在( )4.如圖2,在中,ABC=90O,AB=AC.在直線AB或BC上取一點(diǎn)P,使PAC為等腰三角形.那么,符合條件的點(diǎn)P共有:(A)4個(gè) (B)6個(gè) (C)7個(gè) (D)8個(gè)( )5.已知銳角ABC的三邊長(zhǎng)不相等,D是邊BC上一點(diǎn), BAD+C=90O.那么,AD必通過(guò)ABC的:(A)外心

24、 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心( )6.若正整數(shù)使得關(guān)于的函數(shù)的最大值也是正整數(shù),那么,這個(gè)最大值等于:(A)3 (B)4 (C)7 (D)8十三. 填空題.(每小題7分,共28分)1.已知為正整數(shù),且滿(mǎn)足.則的 值等于 .2.如圖3,在正方形ABCD中,過(guò)點(diǎn)B作BEAC,使得CE=AC.延長(zhǎng)EC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.則F= . 3.已知是方程的兩個(gè)實(shí)根,是方程的兩個(gè)實(shí)根,是方程其中是實(shí)數(shù).則的值是 .4.如圖4,直線與軸,軸分別交于點(diǎn)A,B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰,BAC=90O.如果第二象限內(nèi)存在一點(diǎn),使得ABP與ABC的面積相等,則實(shí)數(shù)的值為 . 第 二 試一.(20

25、分)在二次函數(shù)中,為正整數(shù),.且方程有兩個(gè)小于1的不等正實(shí)數(shù)根,求的最小值.二.(25分)如圖5,已知O1與O2相離,OP和OQ是它們的兩條外公切線,線段O1O2的垂直平分線交射線OP于A,過(guò)點(diǎn)A分別作O1,O2的切線,分別交射線OQ于B,C兩點(diǎn).求證: ABC是等腰三角形. 三.(25分)是否存在正整數(shù),使得等式成立?如果存在,求 出所有的所有值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(九)第 一 試一. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.設(shè),則下列結(jié)論中,正確的是:(A) (B) (C) (D) ( )2.設(shè),則的大小關(guān)系是:(A) (B) (C) (D) ( )3. 表示

26、不大于的最大整數(shù),則方程的所有實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是:(A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )4.如圖1,在梯形ABCD中, ,E,F分別是CD,AB的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)為:(A) (B) (C) (D) ( )5.設(shè)為實(shí)數(shù), 是方程的兩個(gè)根,若 ,則的取值范圍是:(A) (B) (C) 或 (D) ( )6.如圖2, O是正方形ABCD的外接圓,點(diǎn)P在劣弧AB 上,DP交AO于點(diǎn)Q,若PQ=QO,則等于:(A) (B) (C) (D) 二. 填空題.(每小題7分,共28分)1.如圖3,在梯形ABCD中,ABCD, C=60O,D=45O,則梯形ABCD的面積等于 .2.設(shè)是實(shí)數(shù),關(guān)于的一元二次方程

27、的兩 個(gè)實(shí)根分別為.若,則= .3.使得是一個(gè)整數(shù)的平方的整數(shù)共有 個(gè).4.如圖4,在ABC中, ,CD AB.若ACD,BCD的內(nèi)心分別為I1,I2,則I1I2= .(用關(guān) 于的代數(shù)式表示).第 二 試一.(20分)求出所有的實(shí)數(shù),使得關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根都是整數(shù).二.(25分)如圖5,在ABC中,C=90O,D是BC邊上一點(diǎn),ADC=45O,作DEAB于點(diǎn)E,且AE:BE=10:3,若DE=,試求C的平分線CF的長(zhǎng). 三.(25分)試求出所有的整數(shù),使得能整除數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題(10)第 一 試十四. 選擇題.(每小題7分,共42分)( )1.下列四個(gè)式子中與相等的是:(A) (

28、B) (C) (D)( )2.由方程確定的曲線所圍成的圖形的面積是:(A)1 (B)2 (C) (D)4( )3.若,則等于:(A) (B) (C) (D)( )4.周長(zhǎng)為有理數(shù)的等腰三角形,其底邊上的高是底邊的,則腰與底邊上的高:(A)都是有理數(shù) (B)都不是有理數(shù)(C)腰是有理數(shù),底邊上的高不是有理數(shù) (D)腰不是有理數(shù),底邊上的高是有理數(shù)( )5.如圖1,在ABC中,AB=AC,ABC=40O,BD是ABC的平分線,延長(zhǎng)BD至E,使DE=AD,則ECA的度數(shù)為:(A)30O (B)35O (C)40O (D)45O( )6.在平面上具有整數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn).若一線段 的端點(diǎn)分別為(2,1

29、1),(11,14),則在此線段上(包括端點(diǎn))的整點(diǎn)共有:(A)3個(gè) (B)4個(gè) (C)6個(gè) (D)8個(gè)十五. 填空題.(每小題7分,共28分)7.設(shè),則的值為 .8.半徑為R的O中,弦AB=R,弦CD=.若ABCD,則AB與CD的距離為 .9.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則的最大值為 .10.如圖2,A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓周上,且BC=CD=4,AE=6,線段BE與DE的長(zhǎng)都是正整數(shù),則BD的長(zhǎng)等于 . 第 二 試十六. 解答題.11.(20分)關(guān)于的方程至少有一個(gè)負(fù)根,求的取值范圍.12.(25分)如圖3,已知點(diǎn)D是ABC的邊AC上的一點(diǎn),AD:DC=2:1,C=45O,ADB=60O.求證:AB是B

30、CD的外接圓的切線. 13.已知二次函數(shù)的圖象與 都只有一個(gè)交點(diǎn),分別為P,Q,PQ=, 一次函數(shù)的圖象過(guò)P點(diǎn),并和二次函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)R.求PQR的面積.中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題與解答2010年12月29日 一、給定銳角三角形PBC，設(shè)A，D分別是邊PB，PC上的點(diǎn)，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O. 過(guò)點(diǎn)O分別作OEAB，OFCD，垂足分別為E，F(xiàn)，線段BC，AD的中點(diǎn)分別為M，N（1）若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求證：；（2）若 ，是否一定有A，B，C，D四點(diǎn)共圓？證明你的結(jié)論解（1）設(shè)Q，R分別是OB，OC的中點(diǎn)，連接EQ，MQ，F(xiàn)R，MR，則，又OQMR是平行四邊形，所以，由題設(shè)A，B，C，

31、D四點(diǎn)共圓，所以，于是 圖1 ，所以 ，故 ，所以 EMFM，同理可得 ENFN，所以 （2）答案是否定的當(dāng)ADBC時(shí)，由于，所以A，B，C，D四點(diǎn)不共圓，但此時(shí)仍然有，證明如下：如圖2所示，設(shè)S，Q分別是OA，OB的中點(diǎn)，連接ES，EQ，MQ，NS，則，所以 又，所以 而ADBC，所以， 由，得 因?yàn)?， ，即 ，所以 ，故 （由）同理可得， ，所以 ，從而 二、求所有的素?cái)?shù)對(duì)（p，q），使得解：若，不妨設(shè)，則，故由Fermat小定理， ，得，即易驗(yàn)證素?cái)?shù)對(duì)不合要求，合乎要求若為奇數(shù)且，不妨設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)素?cái)?shù)對(duì)合乎要求，當(dāng)時(shí)，由Fermat小定理有，故由于為奇素?cái)?shù)，而626的奇素因子只有31

32、3，所以經(jīng)檢驗(yàn)素?cái)?shù)對(duì)合乎要求若都不等于2和5，則有，故 由Fermat小定理，得 ， 故由，得 設(shè)， 其中為正整數(shù)若，則由，易知，這與矛盾！所以同理有，矛盾！即此時(shí)不存在合乎要求的綜上所述，所有滿(mǎn)足題目要求的素?cái)?shù)對(duì)為，及三、設(shè)m，n是給定的整數(shù)，是一個(gè)正2n+1邊形，求頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù)解 先證一個(gè)引理：頂點(diǎn)在P中的凸m邊形至多有兩個(gè)銳角，且有兩個(gè)銳角時(shí)，這兩個(gè)銳角必相鄰事實(shí)上，設(shè)這個(gè)凸邊形為，只考慮至少有一個(gè)銳角的情況，此時(shí)不妨設(shè)，則，更有而+，故其中至多一個(gè)為銳角，這就證明了引理由引理知，若凸邊形中恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，則它們對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)相鄰在凸邊形中，設(shè)頂點(diǎn)與為兩

33、個(gè)相鄰頂點(diǎn)，且在這兩個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角均為銳角設(shè)與的劣弧上包含了的條邊（），這樣的在固定時(shí)恰有對(duì)（1） 若凸邊形的其余個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧上，而劣弧上有個(gè)中的點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為（2） 若凸邊形的其余個(gè)頂點(diǎn)全在優(yōu)弧上，取，的對(duì)徑點(diǎn)，由于凸邊形在頂點(diǎn)，處的內(nèi)角為銳角，所以，其余的個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧上，而劣弧上恰有個(gè)中的點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為所以，滿(mǎn)足題設(shè)的凸邊形的個(gè)數(shù)為 四、給定整數(shù)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足 求的最小值解 不妨設(shè)，則對(duì)，有，所以 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，等號(hào)均在時(shí)成立因此，的最小值為（n為奇數(shù)），或者（n為偶數(shù)）五、凸邊形中的每條邊和每條對(duì)角線都被染為n種

34、顏色中的一種顏色問(wèn)：對(duì)怎樣的n，存在一種染色方式，使得對(duì)于這n種顏色中的任何3種不同顏色，都能找到一個(gè)三角形，其頂點(diǎn)為多邊形的頂點(diǎn)，且它的3條邊分別被染為這3種顏色？解 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，存在合乎要求的染法；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不存在所述的染法。每3個(gè)頂點(diǎn)形成一個(gè)三角形，三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)，而顏色的三三搭配也剛好有種，所以本題相當(dāng)于要求不同的三角形對(duì)應(yīng)于不同的顏色組合，即形成一一對(duì)應(yīng)我們將多邊形的邊與對(duì)角線都稱(chēng)為線段對(duì)于每一種顏色，其余的顏色形成種搭配，所以每種顏色的線段（邊或?qū)蔷€）都應(yīng)出現(xiàn)在個(gè)三角形中，這表明在合乎要求的染法中，各種顏色的線段條數(shù)相等所以每種顏色的線段都應(yīng)當(dāng)有條當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不是整數(shù)，所以不

35、可能存在合乎條件的染法下設(shè)為奇數(shù)，我們來(lái)給出一種染法，并證明它滿(mǎn)足題中條件自某個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较驅(qū)⑼惯呅蔚母鱾€(gè)頂點(diǎn)依次記為對(duì)于，按理解頂點(diǎn)再將種顏色分別記為顏色將邊染為顏色，其中再對(duì)每個(gè)，都將線段（對(duì)角線）染為顏色，其中于是每種顏色的線段都剛好有條注意，在我們的染色方法之下，線段與同色，當(dāng)且僅當(dāng) 因此，對(duì)任何，任何，線段都不與同色換言之，如果 則線段都不與同色任取兩個(gè)三角形和，如果它們之間至多只有一條邊同色，當(dāng)然它們不對(duì)應(yīng)相同的顏色組合如果它們之間有兩條邊分別同色，我們來(lái)證明第3條邊必不同顏色為確定起見(jiàn)，不妨設(shè)與同色情形1：如果與也同色，則由知， ， 將二式相減，得，故由知不與同色情形2

36、：如果與也同色，則亦由知， ， 將二式相減，亦得，亦由知與不同色總之，與對(duì)應(yīng)不同的顏色組合 六、給定整數(shù)，證明：存在n個(gè)互不相同的正整數(shù)組成的集合S，使得對(duì)S的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù) 與 是互素的合數(shù)（這里與分別表示有限數(shù)集的所有元素之和及元素個(gè)數(shù)）證 我們用表示有限數(shù)集X中元素的算術(shù)平均第一步，我們證明，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，有證明：對(duì)任意，設(shè)正整數(shù)k滿(mǎn)足 ， 并設(shè)l是使的最小正整數(shù)我們首先證明必有 事實(shí)上，設(shè)是A中最大的數(shù)，則由，易知A中至多有個(gè)元素，即，故又由的定義知，故由知特別地有此外，顯然，故由l的定義可知于是我們有若，則；否則有，

37、則 由于是A中最大元，故上式表明結(jié)合即知現(xiàn)在，若有的兩個(gè)不同的非空子集A，B，使得，則由上述證明知，故，但這等式兩邊分別是A，B的元素和，利用易知必須A=B，矛盾第二步，設(shè)K是一個(gè)固定的正整數(shù)，我們證明，對(duì)任何正整數(shù)x，正整數(shù)的n元集合具有下述性質(zhì)：對(duì)的任意兩個(gè)不同的非空子集A，B，數(shù)與是兩個(gè)互素的整數(shù)事實(shí)上，由的定義易知，有的兩個(gè)子集，滿(mǎn)足，且 顯然及都是整數(shù)，故由上式知與都是正整數(shù)現(xiàn)在設(shè)正整數(shù)d是與的一個(gè)公約數(shù)，則是d的倍數(shù)，故由可知，但由K的選取及的構(gòu)作可知，是小于K的非零整數(shù)，故它是的約數(shù)，從而再結(jié)合及可知d=1，故與互素第三步，我們證明，可選擇正整數(shù)x，使得中的數(shù)都是合數(shù)由于素?cái)?shù)有無(wú)

38、窮多個(gè)，故可選擇n個(gè)互不相同且均大于K的素?cái)?shù)將中元素記為，則，且（對(duì)），故由中國(guó)剩余定理可知，同余方程組，有正整數(shù)解 任取這樣一個(gè)解x，則相應(yīng)的集合中每一項(xiàng)顯然都是合數(shù)結(jié)合第二步的結(jié)果，這一n元集合滿(mǎn)足問(wèn)題的全部要求奧林匹克數(shù)學(xué)的技巧有固定求解模式的問(wèn)題不屬于奧林匹克數(shù)學(xué)，通常的情況是，在一般思維規(guī)律的指導(dǎo)下，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)去進(jìn)行探索與嘗試、選擇與組合。這當(dāng)中，經(jīng)常使用一些方法和原理（如探索法，構(gòu)造法，反證法，數(shù)學(xué)歸納法，以及抽屜原理，極端原理，容斥原理），同時(shí)，也積累了一批生氣勃勃、饒有趣味的奧林匹克技巧。在2-1曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“競(jìng)賽的技巧不是低層次的一招一式或妙手偶得的雕蟲(chóng)小技，它既是使

39、用數(shù)學(xué)技巧的技巧，又是創(chuàng)造數(shù)學(xué)技巧的技巧，更確切點(diǎn)說(shuō)，這是一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，一種高思維層次，高智力水平的藝術(shù)，一種獨(dú)立于史詩(shī)、音樂(lè)、繪畫(huà)的數(shù)學(xué)美?！眾W林匹克技巧是競(jìng)賽數(shù)學(xué)中一個(gè)生動(dòng)而又活躍的組成部分。2-7-1 構(gòu)造它的基本形式是：以已知條件為原料、以所求結(jié)論為方向，構(gòu)造出一種新的數(shù)學(xué)形式，使得問(wèn)題在這種形式下簡(jiǎn)捷解決。常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程，構(gòu)造恒等式，構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造反例，構(gòu)造抽屜，構(gòu)造算法等。例2-127 一位棋手參加11周（77天）的集訓(xùn)，每天至少下一盤(pán)棋，每周至多下12盤(pán)棋，證明這棋手必在連續(xù)幾天內(nèi)恰好下了21盤(pán)棋。證明：用表示這位棋手在第1天至第天（包括第天在內(nèi)）所下的總盤(pán)數(shù)（），

40、依題意 考慮154個(gè)數(shù)：又由，即154個(gè)數(shù)中，每一個(gè)取值是從1到153的自然數(shù)，因而必有兩個(gè)數(shù)取值相等，由于時(shí)， 故只能是滿(mǎn)足 這表明，從天到天共下了21盤(pán)棋。這個(gè)題目構(gòu)造了一個(gè)抽屜原理的解題程序，并具體構(gòu)造了154個(gè)“蘋(píng)果”與153個(gè)“抽屜”，其困難、同時(shí)也是精妙之處就在于想到用抽屜原理。例 2-128 已知為正數(shù)且求表達(dá)式的最最小值。解：構(gòu)造一個(gè)ABC，其中三邊長(zhǎng)分別為，則其面積為另方面故知，當(dāng)且僅當(dāng)C=90°時(shí)，取值得最小值2，亦即時(shí)，取最小值2，如時(shí)，。2-7-2 映射它的基本形式是RMI原理。令R表示一組原像的關(guān)系結(jié)構(gòu)（或原像系統(tǒng)），其中包含著待確定的原像，令表示一種映射，

41、通過(guò)它的作用把原像結(jié)構(gòu)R被映成映象關(guān)系結(jié)構(gòu)R*，其中自然包含著未知原像的映象。如果有辦法把確定下來(lái)，則通過(guò)反演即逆映射也就相應(yīng)地把確定下來(lái)。取對(duì)數(shù)計(jì)算、換元、引進(jìn)坐標(biāo)系、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造發(fā)生函數(shù)等都體現(xiàn)了這種原理。建立對(duì)應(yīng)來(lái)解題，也屬于這一技巧。例2-129 甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員按事先排好的順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，直到有一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過(guò)程，那么所有可能出現(xiàn)的比賽過(guò)程的種數(shù)為 。解 設(shè)甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員按出場(chǎng)順序分別為A1，A2，A7和B1，B2，B7。如果甲方獲勝，設(shè)獲勝的場(chǎng)數(shù)是，則而且 （*）容易

42、證明以下兩點(diǎn)：在甲方獲生時(shí)，（i）不同的比賽過(guò)程對(duì)應(yīng)著方程（*）的不同非負(fù)整數(shù)解；（ii）方程（*）的不同非負(fù)整數(shù)解對(duì)應(yīng)著不同的比賽過(guò)程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）對(duì)應(yīng)的比賽過(guò)程為：A1勝B1和B2，B3勝A1，A2和A3，A4勝B3后負(fù)于B4，A5勝B4，B5和B6但負(fù)于B7，最后A6勝B7結(jié)束比賽。故甲方獲勝的不同的比賽過(guò)程總數(shù)是方程（*）的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。解二 建立下面的對(duì)應(yīng)；集合的任一個(gè)7-可重組合對(duì)應(yīng)著一個(gè)比賽過(guò)程，且這種對(duì)應(yīng)也是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。例如前述的比賽過(guò)程對(duì)應(yīng)的7-可重組合是所以甲方獲勝的不同的比賽過(guò)程的總數(shù)就是集合的7-可重組合的個(gè)數(shù)。例2-130 設(shè)表示個(gè)元素

43、中有個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的所有排列的種數(shù)。求證證明 設(shè)。對(duì)S的每個(gè)排列，將它對(duì)應(yīng)向量，其中每個(gè)，當(dāng)排列中第個(gè)元素不動(dòng)時(shí)，否則為0。于是中所計(jì)數(shù)的任一排列所對(duì)應(yīng)的向量都恰有個(gè)分量為1，所以個(gè)排列所對(duì)應(yīng)的那些向量中取值為1的分量的總數(shù)為。另一方面，對(duì)于每個(gè)，使得第個(gè)元素不動(dòng)的排列共有個(gè)，從而相應(yīng)的維向量中，有個(gè)向量的第個(gè)分量為1。所以，所有向量的取值為1的分量總數(shù)，從而得到 例2-131 在圓周上給定個(gè)點(diǎn)，從中任選個(gè)點(diǎn)染成黑色。試證一定存在兩個(gè)黑點(diǎn)，使得以它們?yōu)槎它c(diǎn)的兩條弧之一的內(nèi)部，恰好含有個(gè)給定的點(diǎn)。證明 若不然，從圓周上任何一個(gè)黑點(diǎn)出發(fā)，沿任何方向的第個(gè)點(diǎn)都是白點(diǎn)，因而，對(duì)于每一個(gè)黑點(diǎn)，都可得到兩個(gè)相應(yīng)

44、的白點(diǎn)。這就定義了一個(gè)由所有黑點(diǎn)到白點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，因?yàn)槊總€(gè)黑點(diǎn)對(duì)應(yīng)于兩個(gè)白點(diǎn)，故共有個(gè)白點(diǎn)（包括重復(fù)計(jì)數(shù)）。又因每個(gè)白點(diǎn)至多是兩個(gè)黑點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，故至少有個(gè)不同的白點(diǎn)，這與共有個(gè)點(diǎn)矛盾，故知命題成立。2-7-3 遞推如果前一件事與后一件事存在確定的關(guān)系，那么，就可以從某一（幾）個(gè)初始條件出發(fā)逐步遞推，得到任一時(shí)刻的結(jié)果，用遞推的方法解題，與數(shù)學(xué)歸納法（但不用預(yù)知結(jié)論），無(wú)窮遞降法相聯(lián)系，關(guān)鍵是找出前號(hào)命題與后號(hào)命題之間的遞推關(guān)系。用遞推的方法計(jì)數(shù)時(shí)要抓好三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）設(shè)某一過(guò)程為數(shù)列，求出初始值等，取值的個(gè)數(shù)由第二步遞推的需要決定。（2）找出與，等之間的遞推關(guān)系，即建立函數(shù)方程。（3）解函數(shù)方程例

45、2-132 整數(shù)1，2，n的排列滿(mǎn)足：每個(gè)數(shù)大于它之前的所有的數(shù)或者小于它之前的所有的數(shù)。試問(wèn)有多少個(gè)這樣的排列？解 通過(guò)建立遞推關(guān)系來(lái)計(jì)算。設(shè)所求的個(gè)數(shù)為，則（1）對(duì)，如果排在第位，則它之后的個(gè)數(shù)完全確定，只能是,2，1。而它之前的個(gè)數(shù)，,，有種排法，令,得遞推關(guān)系。 （2）由（1），（2）得 例2-133 設(shè)是正整數(shù)，表示用2×1矩形覆蓋的方法數(shù)；表示由1和2組成的各項(xiàng)和為的數(shù)列的個(gè)數(shù)；且 ，證明 證明 由的定義，容易得到 又因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，類(lèi)似地可證在時(shí)也有，從而和有相同的遞推關(guān)系和相同的初始條件，所以。用無(wú)窮遞降法求解也用到了這一技巧。2-7-4 區(qū)分當(dāng)“數(shù)學(xué)黑箱”過(guò)于復(fù)雜時(shí)，

46、可以分割為若干個(gè)小黑箱逐一破譯，即把具有共同性質(zhì)的部分分為一類(lèi)，形成數(shù)學(xué)上很有特色的方法區(qū)分情況或分類(lèi)，不會(huì)正確地分類(lèi)就談不上掌握數(shù)學(xué)。有時(shí)候，也可以把一個(gè)問(wèn)題分階段排成一些小目標(biāo)系列，使得一旦證明了前面的情況，便可用來(lái)證明后面的情況，稱(chēng)為爬坡式程序。比如，解柯西函數(shù)方程就是將整數(shù)的情況歸結(jié)為自然數(shù)的情況來(lái)解決，再將有理數(shù)的情況歸結(jié)為整數(shù)的情況來(lái)解決，最后是實(shí)數(shù)的情況歸結(jié)為有理數(shù)的情況來(lái)解決。的處理也體現(xiàn)了爬坡式的推理（例2-47）。區(qū)分情況不僅分化了問(wèn)題的難度，而且分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)本身又附加了一個(gè)已知條件，所以，每一類(lèi)子問(wèn)題的解決都大大降低了難度。例2-134 設(shè)凸四邊形ABCD的面積為1，求證在它

47、的邊上（包括頂點(diǎn)）或內(nèi)部可以找出4個(gè)點(diǎn)，使得以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的4個(gè)三角形的面積均大于1/4。證明 作二級(jí)分類(lèi)1當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，A，B，C，D即為所求，命題成立。2當(dāng)四邊形ABCD不是平行四邊形時(shí)，則至少有一組對(duì)邊不平行，設(shè)AD與BC不平行，且直線AD與直線BC相交于E，又設(shè)D到AB的距離不超過(guò)C到AB的距離，過(guò)D作AB的平行線交BC于F，然后分兩種情況討論。（1）如圖2-52，此時(shí)可作EAB的中位線PQ、QG，則 即A、G、Q、P為所求。（2）如圖2-53，此時(shí)可在CD與CF上分別取P、Q，使。過(guò)Q9或P）作QGAP交AB于G。為證，連AP交BE于M，過(guò)A作AHBC交

48、CD延長(zhǎng)線于H。有得 故A、P、Q、G為所求，這實(shí)際上已證明了一個(gè)更強(qiáng)的命題：面積為1的凸四邊形一定能嵌入一個(gè)面積大于1/2的平行四邊形。例2-135 對(duì)內(nèi)角分別為為30°、60°、90°的三角形的頂點(diǎn)和各邊四等分點(diǎn)共12個(gè)點(diǎn)，染以紅色或藍(lán)色，則必存在同色的三點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形與原三角形相似。證明 設(shè)ABC中，C=90°，B=60°，C=30°，點(diǎn)A1，A2，A3；B1，B2，B3；C1，C2，C3分別是邊AB、BC、CA的四等分點(diǎn)，下面作三級(jí)分類(lèi)。1點(diǎn)A、B、C同色時(shí)，結(jié)論顯然成立。2點(diǎn)A、B、C異色時(shí)，記A為紅色，寫(xiě)作A（紅），其余各點(diǎn)染色記號(hào)類(lèi)同。（1）A（紅），B（紅），C（藍(lán)）時(shí)，由ABCB1BAC3B1CC3AA3A2A3B1AA2C2C2B2CA2AB2知，若結(jié)論不成立，則有B1（藍(lán)）C3（紅）A3（藍(lán)）A2（紅）C2（藍(lán)）B2（紅）A（藍(lán)）。這與A（紅）矛盾。（2）A（紅），B（藍(lán)），C（紅）時(shí)，由ABCB1ACA3BB1AC3A3C2C3B1C2B2CA2BB2AA2C2知，若結(jié)論不成立，則有B1（藍(lán)）A3（紅）C3（藍(lán)）C2（紅）B2（藍(lán)）A2（紅）A（藍(lán)）這與A（紅）矛盾。（3）A（紅），B（藍(lán)），C