藝術(shù)中的數(shù)學(xué)

1、 數(shù)學(xué)簡史論文 藝術(shù)中的數(shù)學(xué)【35】 班級：園藝（一）班 姓名：馮元偉2 / 15學(xué)號：2011014014藝術(shù)中的數(shù)學(xué)引言：數(shù)學(xué)抽象的思辨、嚴密的推理、邏輯的論證、精確的計算，總攬全局而又步步為營的思維方式構(gòu)造起號稱為“思維的體操”的數(shù)學(xué)大廈的地基。而藝術(shù)是對哲學(xué)思想的變遷和藝術(shù)家們對多變的技術(shù)環(huán)境的反應(yīng)的最直接的表現(xiàn)形式，藝術(shù)是浮想聯(lián)翩、瀟灑不羈、蔑視規(guī)律，跳躍的思維律動彌漫出若即若離的藝術(shù)圖景。乍一看數(shù)學(xué)與藝術(shù)看作水火不容，但細細品味藝術(shù)家們開始使用數(shù)學(xué)的語言和思想并將其貫穿于五彩繽紛的藝術(shù)生活之中，鑒于辯證唯物論任何事物都是辨證統(tǒng)一的數(shù)學(xué)與藝術(shù)也蘊涵著內(nèi)在的統(tǒng)一。 美國代數(shù)學(xué)家P.R.

2、Halmos說“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因為數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的概念。數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)因為數(shù)學(xué)家像藝術(shù)家一樣的生活一樣的工作一樣的思索數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)因為數(shù)學(xué)家這樣對待它。”可見無論是數(shù)學(xué)還是藝術(shù)都是一種創(chuàng)造性的活動并且包含了對于美的直接追求。張繼平教授說“美是人性的追求?！彼囆g(shù)是美的表達方式數(shù)學(xué)是美的語言數(shù)學(xué)追求美也創(chuàng)造美。數(shù)學(xué)與藝術(shù)的結(jié)合使美更加簡明。隨著人們物質(zhì)生活的日益提高對自然精神生活的享受也會提升到更高的層次。就算我們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見到的廣告、海報、宣傳品等實用藝術(shù)新興出現(xiàn)的現(xiàn)代媒體藝術(shù)中。為吸引觀眾的眼球就必須運用數(shù)學(xué)鬼斧神工的創(chuàng)造力來產(chǎn)生藝術(shù)的無窮魅力。近幾十年來在我國和許多國

3、家出現(xiàn)了一種應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究藝術(shù)的思潮。本文就從數(shù)學(xué)在音樂文學(xué)建筑繪畫等方面的應(yīng)用來研究藝術(shù)中滲透的數(shù)學(xué)思想和精神。一、 數(shù)學(xué)在音樂中的應(yīng)用 音樂是心靈和情感在聲音方面的外 化數(shù)學(xué)是客觀事物高度抽象和邏輯思維的產(chǎn)物那么“多情”的音樂與“冷酷”的數(shù)學(xué)有關(guān)系嗎。回答是肯定的西爾威斯特說過“難道不可以把音樂描述為感覺的數(shù)學(xué)把數(shù)學(xué)描述為理智的音樂嗎拉莫說過“音樂是一種必須掌握一定規(guī)律的科學(xué)這些規(guī)律必須從明確的原則出發(fā)這個原則沒有數(shù)學(xué)的幫助就不可能進行研究我必須承認雖然我在相當(dāng)長時期的實踐活動中獲得許多經(jīng)驗但是只有數(shù)學(xué)能幫助我發(fā)展我的思想照亮我甚至沒有發(fā)覺原來是黑暗的地方。”君不是也聽說過微積分被稱為“

4、無限的交響樂”1、 黎曼幾何與普蘭克的鋼琴合奏曲一樣優(yōu)美的感嘆嗎。從古至今數(shù)學(xué)與音樂一直聯(lián)系在一起。 世界著名波蘭作曲家和鋼琴家肖邦很注意樂譜的數(shù)學(xué)規(guī)則形式和結(jié)構(gòu)有位研究肖邦的專家稱肖邦的樂譜“具有樂譜語言的數(shù)學(xué)特征”。事實上樂譜的書寫是表現(xiàn)數(shù)學(xué)對音樂的影響的第一個顯著的領(lǐng)域。在樂稿上我們看到速度節(jié)拍4/4拍、3/4拍等等；全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等等。書寫樂譜是確定每小節(jié)內(nèi)的某分音符數(shù)與求公分母的過程相似-不同長度的音符必須與某一拍所規(guī)定的小節(jié)相適應(yīng)。 在畢達哥拉斯時代音樂是數(shù)學(xué)的一部分。畢達哥拉斯可以說是音樂理論的一位始祖他闡明了單弦的調(diào)和樂音與單弦長之間的關(guān)系。兩

5、根繃得一樣緊的弦若一根長是另一根長的兩倍就產(chǎn)生諧音而且兩個諧音正好相差八度。若兩弦長之比為32則產(chǎn)生另一種諧音此時短弦發(fā)出的音比長弦發(fā)出的音高五度。事實上產(chǎn)生每一種諧音的各種弦的長度都成正整數(shù)比這被認為是美麗旋律中的數(shù)學(xué)。 樂器的形狀和結(jié)構(gòu)與各種數(shù)學(xué)概念有關(guān)。不管是弦樂器還是有空氣柱發(fā)聲的管樂器它們的結(jié)構(gòu)都反映出一條指數(shù)曲線的形狀。此外18世紀的數(shù)學(xué)家通過用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分析音樂使常微分方程的研究取得了一定進展。 黃金分割在作曲的應(yīng)用在一些樂曲的創(chuàng)作技法上將高潮或者是音程節(jié)奏的轉(zhuǎn)折點安排在全曲的黃金分割點0.618處，例如要創(chuàng)作89節(jié)的樂曲其高潮便在55節(jié)處，如果是55節(jié)的樂曲高潮便在34節(jié)處。 2

6、、學(xué)家傅立葉研究證實無論樂音復(fù)雜的還是簡單的都可以用數(shù)學(xué)語言給以完全的描述。對樂聲性質(zhì)的研究中發(fā)現(xiàn)所有樂聲-器樂和聲樂-都可用數(shù)學(xué)式來描述這些數(shù)學(xué)式是簡單的周期正弦函數(shù)的和。 如果不了解音樂中的數(shù)學(xué)在計算機對于音樂創(chuàng)作和樂器設(shè)計的應(yīng)用方面就不可能進展。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)具體地說即周期函數(shù)在樂器的現(xiàn)代設(shè)計和聲控計算機的設(shè)計方面是必不可少的。許多樂器制造者把他們的產(chǎn)品的周期聲音曲線與這些樂器的理想曲線相比較.電子音樂復(fù)制的保真度也與周期曲線密切相關(guān)。二、在繪畫中的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)與繪畫之間似乎沒有什么明顯的相似之處，但數(shù)與形的概念可以上溯至遠古的石器時代。數(shù)起源于數(shù)先民們把現(xiàn)實對象野牛野豬羊鹿的輪廓抽象出來繪在

7、壁上并用代表不同意義的符號記錄牲畜的頭數(shù)和發(fā)生的各類事情，這些原始繪畫和記號已具有幾何對稱的特征和一定的數(shù)的意義。 當(dāng)我們每每看到一幅幅繪畫作品時我們應(yīng)該感嘆數(shù)學(xué)美。達芬奇說“繪畫的目的是再現(xiàn)自然界而繪畫的價值就在于精確的再現(xiàn)因此繪畫是一門科學(xué)和其他科學(xué)一樣其基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)?！睆墓胖两駭?shù)學(xué)中的一些思想和精神指導(dǎo)著圖形藝術(shù)的發(fā)展。現(xiàn)就從以下幾個方面來談。 數(shù)學(xué)中的黃金分割美。公元年古希臘學(xué)者發(fā)現(xiàn)了“黃金”長方形即長方形的長和寬之比為.最佳這個比叫做黃金分割比。把.的倒數(shù).稱為黃金分割數(shù)。 許多優(yōu)美的圖形之中都蘊涵了黃金分割的思想，如五角星圖形五條邊相互分割成黃金比，黃金矩形寬與長之比為黃金數(shù)，黃金三

8、角形底與腰或腰與底成黃金比，黃金橢圓短軸與長軸之比成黃金數(shù)，黃金雙曲線實半軸與半焦距之比為黃金數(shù)。 在荷蘭美術(shù)家埃舍爾的藝術(shù)作品中他直接運用大量的平面幾何和攝影幾何的結(jié)構(gòu)使得他的作品中深刻的反映了非歐幾何學(xué)的精髓。現(xiàn)就他作品來分析滲透在其中的數(shù)學(xué)思想。 繪畫中的平面鑲嵌理論和空間鑲嵌理論?！膀T士平面鑲嵌”和“黑白鳥的鑲嵌”兩幅平面鑲嵌圖就是大膽運用鑲嵌理論而來。平面鑲嵌就是用同樣形狀的平面幾何圖形無縫隙又不重復(fù)地鋪滿整個平面。讓人眼花繚亂撲朔迷離的平面鑲嵌中可歸納出以下幾種不同的鑲嵌。.相同正多邊形正三角形正方形正六邊形鑲嵌。.幾種不同正多邊形的鑲嵌圖。.一般凸多邊形非正多邊形的平面鑲嵌三角形

9、都可以鑲嵌一個平面任何凸四邊形都可以鑲嵌一個平面對于凸五邊形只有特定的凸五邊形方可以鑲嵌一個平面對于凸六邊形也只有特定的凸六邊形三組對邊平行才可以平面鑲嵌。.凹多邊形的平面鑲嵌。.重復(fù)花樣圖形的鑲嵌。.幾種精彩的平面鑲嵌黑白圖案的平面鑲嵌變形矩形的平面鑲嵌曲邊形的平面鑲嵌。在“立方空間分割”中我們可以獲得空間鑲嵌理論的概念。 繪畫中的幾何學(xué)思想。從抽象派藝術(shù)大師畢加索的不少作品中可以看到幾何圖形描繪對象的手法把形體變成有重疊的或透明的幾何面塊所組成的抽象構(gòu)圖。埃舍爾的作品木版畫“三個方向交叉的平面”顯示了藝術(shù)家對空間維度的關(guān)心以及用二維的方式來表現(xiàn)三維空間的能力。 繪畫中的射影幾何。1、幾何研

10、究的是平面圖形在經(jīng)受投影時不發(fā)生變化的一些特性。為了創(chuàng)造現(xiàn)實主義的三維繪畫藝術(shù)家們用了射影幾何中的一些概念即投影點平行會聚線和沒影點。以埃舍爾的作品“上升和下降”為例他精心使用了透視畫法規(guī)律在構(gòu)圖上把視點放在一個靜止不動的點上畫出了一隊爬上樓梯的士兵。 繪畫中的拓撲學(xué)拓撲學(xué)關(guān)注的是空間那些扭曲后依然不變的性質(zhì)這種扭曲可以是拉長或彎曲但不是撕裂或折斷。以埃舍爾的作品木刻畫“莫比烏斯帶”為例莫比烏斯帶是德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯于年創(chuàng)造的莫比烏斯帶實則是用一張長方形的紙條扭轉(zhuǎn)半圈并將端頭粘接在一起的帶子。 繪畫中的無窮大思想。在埃舍爾的作品“旋渦”中螺線把人們的目光帶上無盡的旅程。在“方極限”中凸現(xiàn)出趨向

11、邊界又無窮序列的感覺。 繪畫中的分形理論。分形是以無限多的形狀呈現(xiàn)出來的美妙物體。分形不但是數(shù)學(xué)而且也是藝術(shù)。欣賞分形圖畫不但驚異數(shù)學(xué)的奧妙也欣賞到數(shù)學(xué)藝術(shù)的美。例如在道瓊斯指數(shù)中某一個階段的曲線圖總和另外一個更長的階段的曲線圖極為相似。 近代計算技術(shù)已將數(shù)學(xué)與美術(shù)這兩者緊密地結(jié)合起來從而形成了一門嶄新的邊緣學(xué)科-數(shù)學(xué)美術(shù)學(xué)。41980年當(dāng)計算機的圖形功能日趨完善的時候數(shù)學(xué)公式所具有的美學(xué)價值被曼德布爾魯斯所發(fā)現(xiàn)這就打開了數(shù)學(xué)美術(shù)寶庫的大門使常人也有幸目睹了數(shù)學(xué)公式所蘊藏的美學(xué)內(nèi)涵。由一些簡單的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過上億次迭代計算所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)美術(shù)作品美在似與不似之間從而為觀眾留下了豐富的想象余地。 三、

12、在文學(xué)中的應(yīng)用 文學(xué)與數(shù)學(xué)看似風(fēng)馬牛不相及的兩條道上跑的車實則文學(xué)與數(shù)學(xué)有著奇妙的同一性，雨果說“數(shù)學(xué)到了最后階段就遇到想像在圓錐曲線對數(shù)概率微積分中想象成了計算的系數(shù)于是數(shù)學(xué)也成了詩?！惫鸫髮W(xué)的亞瑟.杰費說“人們把數(shù)學(xué)對于我們社會的貢獻比喻為空氣和食物對生命的作用。我們大家都生活在數(shù)學(xué)的時代我們的文化已數(shù)學(xué)化?！?1、小說中的數(shù)學(xué)思想說“甚至在數(shù)學(xué)科學(xué)中也有驚人的想象。”馬德萊娜.倫格爾在她的長篇小說時間皺紋中把抄立方體和高維空間用作使她的人物越過外層空間的工具。“對五維來說你必須將第四維平方再加上其余四個維于是你就能越過空間而無需繞長路。換言之直線不是兩點間的最短距離?！?伊塔洛卡爾維諾

13、在他的短篇小說一切在一點上中描述了一個存在于僅一點的世界。他的獨特創(chuàng)造力使人們相信這樣一個零維世界是真的存在的。“自然我們都在那兒老Qfwfg說此外我們還能在哪兒呢既然沒人知道可以有空間。時間也是如此我們既然擠在一起像沙丁魚一樣，要時間干什么呢？我說擠得像沙丁魚是用了文學(xué)上的形象比喻，實際上根本沒有空間可以把我們擠進去。我們中間每一個人的每一點都同其他每個人的每一點重合在僅僅一個點上，這就是我們大家的所在地?！?生活在中世紀的但丁在他作品神曲中我們發(fā)現(xiàn)歐幾里的幾何對象是但丁書中的地獄基礎(chǔ)。圓錐形狀用來把人們放在地獄的各個階段。在地獄里面但丁使九個圓形截面起著把人們按照所犯的罪分類的壇坫的作用。

14、 星際旅行下一代中的數(shù)學(xué)思想：其中一段情節(jié)中星際飛船正被一個“看不見的”力拉向黑洞。只是當(dāng)飛船的圖象監(jiān)視器改變了觀察的著眼點船員們才知道這未知力是微小生命形式的一個二維世界。 2、詩中的數(shù)學(xué)意境，在我國的古詩名句中能找到一種數(shù)學(xué)意境讓人遐想讓人品味。如唐代詩人王維在使至塞上中的絕唱“大漠孤煙直”在數(shù)學(xué)家眼中便成了一條垂直于平面的直線“長河落日圓”在數(shù)學(xué)家眼中便是一個圓切于一條直線。李白在黃鶴樓送孟浩然之廣陵中寫到“孤帆遠影碧空盡唯見長江天際流”當(dāng)我們在理解無窮小量是以零為極限的變量時如果腦海中能出現(xiàn)一幅“一葉孤舟隨著江流遠去帆影在逐漸縮小最終消失在水天一際之中”這樣的圖景數(shù)學(xué)概念也就融合在這美

15、的詩意中了。3、 數(shù)學(xué)中的謎語，數(shù)學(xué)謎語是根據(jù)數(shù)學(xué)概念定義和某些數(shù)學(xué)知識的主要特征用形象生動的語句來創(chuàng)造的它注重正反相扣底面照應(yīng)明示暗喻巧構(gòu)別解。定義概念類謎語。如兩牛打架對頂角五分錢半角。聯(lián)想巧“比”類謎語。如減法沒算對誤差身高立體幾何。有關(guān)“數(shù)”的名詞類謎語。如會計查帳對數(shù)考試舞弊假分數(shù)。數(shù)字類謎語。1/100百里挑一300303333三位一體。“數(shù)言詩”謎語。 百日依山盡 黃河入海流欲窮千里目更上一層樓1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 用這首詩的4個字組成一句成語，其中第一個字是第二個字的9倍，第四個字比第三個字多1，第

16、二個字是第四個字的1/7，第三個字比第一個字之半多4，這句成語為一日千里。 文學(xué)中的模糊現(xiàn)象。4、詩看牡丹中寫到“發(fā)從今日白”。此句所表達的是詩人的一種感情感受它把本無那樣確切的事實加以明確。此種現(xiàn)象體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)模糊思想。 數(shù)學(xué)中有回文數(shù)詩中有回文詩。在正整數(shù)中有一種無論從左往右還是從右往左讀都是一個數(shù)稱這樣的數(shù)為“回文數(shù)”。有一種詩順念倒念有意思稱這樣的詩為“回文詩”。如云邊月影沙邊雁水外天光山外樹。倒過來讀便是樹外山光天外水雁邊沙影月邊云。其意境和韻味讀來真是一種享受 四、數(shù)學(xué)在建筑中的運用 幾千年來數(shù)學(xué)一直是用于設(shè)計和建造的一個很寶貴的工具。它一直是建筑設(shè)計思想的一種來源也是建筑師用來得

17、以排除建筑上的試錯技術(shù)的手段。 現(xiàn)就一些建筑物的例子來談數(shù)學(xué)。為建造埃及墨西哥和尤卡坦的金字塔而計算石塊的大小形狀數(shù)量和排列的工作依靠的是有關(guān)直角三角形正方形畢達哥拉斯定理體積和估計的知識。秘魯古跡馬丘比丘的設(shè)計的規(guī)則性沒有幾何計劃是不可能的。圓半圓半球和拱頂?shù)膭?chuàng)新用法成了羅馬建筑師引進并加以完善的主要數(shù)學(xué)思想。隨著新的建筑材料的發(fā)現(xiàn)人們便用一些新的數(shù)學(xué)思想來使這些材料的潛力達到最大。建筑師們通過大量的想象運用數(shù)學(xué)思想使得建筑物的設(shè)計發(fā)展很快。 黃金分割的應(yīng)用4600年前埃及建成的最大的胡夫金字塔該塔高146米底部正方形邊長232米兩者之比為.0.629在2400年前古希臘在雅典城南部衛(wèi)城山岡

18、上修建的供奉庇護神雅典娜的巴特農(nóng)神殿其正立面的長與寬之比為黃金比于1976年竣工的加拿大多倫多電視塔塔高553.3米而其七層的工作廳建于340米的半空其比為3405530.615黃金分割比具有非常悅目的美能使建筑物看來和諧協(xié)調(diào)。 曲線數(shù)學(xué)的應(yīng)用曲線以其活潑變化的外形惹人喜愛耐人尋味。拱是建筑上一個出色的成就。拱有過許多數(shù)學(xué)曲線的形狀圓橢圓拋物線懸鏈線。從而形成半圓形拱內(nèi)外四心桃尖拱拋物線拱橢圓拱尖頂或等邊拱弓形拱對角斜拱上心拱橫拱馬蹄形拱三葉形拱凱旋門拱減壓拱三角形拱半拱橫隔拱實拱或偽拱。事實上還有一些奇妙的曲線在歐洲巴羅克建筑風(fēng)格時期得到了很好的應(yīng)用。如黃金矩形序列螺形線對數(shù)螺線圓的漸伸線旋

19、輪線擺線星形線四個直紋面交會。 建筑的形狀和形式是三維數(shù)學(xué)對象許多對象來自歐幾里得幾何例如矩形的或正方形的立體角錐圓錐球曲面立體帳篷結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格球頂。如果設(shè)計特點包括預(yù)制適應(yīng)性和擴展性則要用到平面和空間鑲嵌的思想。能鑲嵌平面的任何形狀像三角形正方形六邊形和其他多邊形可以改造得適用于空間居住單元?？梢允褂昧⒎襟w和直平行六面體來填塞空間。有些模數(shù)制設(shè)計可能用菱形十二面體或截頭八面體。 三維空間的體現(xiàn)弗蘭克.勞埃德.賴特說“建筑是使結(jié)構(gòu)表達思想的科學(xué)藝術(shù)?！痹谒慕Y(jié)構(gòu)設(shè)計中內(nèi)外空間合而為一。此種建筑我們稱之為有機建筑-你在里面感到和看到所有這一切都作為第三維而發(fā)生.空間通過第三維而獲得生命。 五、在雕

20、塑中的應(yīng)用 維空間重心對稱幾何對象和補集都是在雕塑家進行創(chuàng)作時起作用的數(shù)學(xué)概念。重心是雕塑品內(nèi)部的一點這些雕塑品固定在地面上它們占有空間的方式是我們感到舒服或習(xí)慣的。如米開朗琪羅的大衛(wèi)古希臘藝術(shù)家米隆的擲鐵餅者的重心都在雕塑品內(nèi)部。 重心可以是空間中一點而不是作品中的一點如野口勇的紅立方，查爾斯.佩里的食。 藝術(shù)家構(gòu)想中的作品往往需要數(shù)學(xué)上對其物理性質(zhì)的理解和認識才能成為現(xiàn)實可能的作品。 今天的數(shù)學(xué)思想擴充了藝術(shù)如托尼.羅賓利用對擬晶體幾何第四維幾何和計算機科學(xué)的研究來發(fā)展和擴充他的藝術(shù)。羅納德.戴爾.雷什在創(chuàng)作復(fù)活節(jié)彩蛋巨型雕塑時用了直觀獨創(chuàng)性數(shù)學(xué)計算機加上他的手來完成。藝術(shù)家兼數(shù)學(xué)家赫拉曼

21、R.P.弗格森運用傳統(tǒng)雕塑計算機和數(shù)學(xué)方程創(chuàng)造了野球帶有十字形帽和向量場的克萊茵瓶因此有數(shù)學(xué)模型即藝術(shù)模型之說。在這些模型中有立方體球形環(huán)面三葉形紐結(jié)等等。 歐幾里得幾何和拓撲學(xué)匯中的數(shù)學(xué)對象在藝術(shù)家的雕塑中起過重要的作用。比如，勒威特的雕塑。 為獲得雕像的整體效應(yīng)藝術(shù)家往往采用幾何形構(gòu)圖。如古希臘的人物造型用S型中世紀用梯形更多的大型雕塑用穩(wěn)定的三角形。 不管是什么樣的雕塑里面都存在著數(shù)學(xué)。雖然它在被設(shè)想出來和創(chuàng)造成功時可以不用數(shù)學(xué)思維然而數(shù)學(xué)存在于那件作品中正像它存在于自然界萬物中一樣。 六、 數(shù)學(xué)在計算機藝術(shù)中的應(yīng)用 計算機是數(shù)學(xué)的藝術(shù)品。現(xiàn)實世界的二進制數(shù)得以在計算機中重構(gòu)其鏡像的虛擬世界。數(shù)字直接求其二進制形式字符，通過字庫得以編號獲得在計算機世界中的識別號，聲音通過間斷點采集的方式從連續(xù)型轉(zhuǎn)換為離散型，得到.wav.mpeg.mp3等文件形式圖像也通過數(shù)學(xué)計算得以數(shù)字化。 現(xiàn)實世界的數(shù)字化包括了藝術(shù)的數(shù)字化。藝術(shù)要得到數(shù)學(xué)工具的輔助才能更廣泛地傳播如今只要鼠標(biāo)輕點凡爾賽宮的藝術(shù)