江蘇省無錫市普通高中2023-2024學年高二下學期期末調(diào)研考試數(shù)學試題【含答案】

無錫市普通高中2024年春學期高二期終調(diào)研考試試題數(shù)學2024.06命題單位：惠山區(qū)教師發(fā)展中心制卷單位：宜興市教師發(fā)展中心注意事項及說明：本卷考試時間為120分鐘，全卷滿分為150分.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．平面內(nèi)有A，B，C，D共4個點，以其中2個點為端點的線段共有多少條（

）A．4 B．6 C．12 D．204．一個小球做簡諧運動，其運動方程為，其中（單位：m）是小球相對于平衡點的位移，t（單位：s）為運動時間，則小球在時的瞬時速度為（單位：）（

）A． B． C． D．5．已知隨機變量，且，，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.46．設隨機變量的概率分布列如下，且，則的方差（

）01A． B． C． D．7．函數(shù)在區(qū)間上存在最大值與最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．已知，，，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小值為B．若方程有2個不同的解，則C．不等式對成立D．當時，若不等式恒成立，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為.13．某勞動課上，王老師安排甲、乙、丙、丁、戊五名學生到三個不同的教室打掃衛(wèi)生，每個教室至少安排一名學生，且甲乙兩名學生安排在同一教室打掃，丙丁兩名學生不安排在同一教室打掃，則不同的安排方法數(shù)是.（用數(shù)字作答）14．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點數(shù)，并制定如下規(guī)則：當點數(shù)為2，3，4，5時得1分，當點數(shù)為1，6時得3分.多次拋擲這枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分.若拋擲2次散子，最終得分為X，則隨機變量X的期望是；若拋擲50次骰子，記得分恰為n分的概率為，則當取最大值時n的值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知集合，集合.(1)若，求；(2)若“，都有成立”為真命題，求實數(shù)的取值范圍.16．已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為64，前3項的系數(shù)之和為49.(1)求實數(shù)和的值；(2)求的展開式中的系數(shù).17．水果店的銷售額與所售水果的價格、質(zhì)量及該店被附近居民的認可度密不可分.已知某水果店于2023年1月開張，前6個月的銷售額（單位：萬元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月時間代碼x123456銷售額y（單位：萬元）2.04.05.26.16.87.4(1)根據(jù)題目信息，與哪一個更適合作為銷售額y關于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，求出銷售額y關于時間x的回歸方程.（注：數(shù)據(jù)保留整數(shù)）；(3)為進一步了解該水果店的銷售情況，從前6個月中任取3個月進行分析，X表示取到的3個月中每月銷售額不低于5萬元的月份個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，，，，，樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.18．為提升學生體質(zhì)，弘揚中華傳統(tǒng)文化，某校本學期開設了武術社團，有10位武術愛好同學參加，并邀請專業(yè)體育教師幫助訓練.教師訓練前對10位同學測試打分，訓練一段時間后再次打分，兩次得分情況如表格所示.規(guī)定滿分為10分，記得分在8分以上（包含8分）的為“優(yōu)秀”.12345678910訓練前4759528.5675訓練后8.59.57.59.58.569.58.599優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計訓練前訓練后合計(1)將上面的列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷武術社團同學的武術優(yōu)秀情況與訓練是否有關？并說明原因；(2)從這10人中任選4人，在這4人中恰有3人訓練后為“優(yōu)秀”的條件下，求這4人中恰有1人是訓練前也為“優(yōu)秀”的概率；(3)為迎接匯報表演，甲同學連續(xù)4天每天進行和兩個武術項目的訓練考核，、項目考核相互獨立，且每天考核互相不影響，項若為優(yōu)秀得2分，概率為，項若為優(yōu)秀得3分，概率為，否則都只得1分.設甲同學在這4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率為，求為何值時，取得最大值.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．已知函數(shù)，.(1)證明：當時，；(2)已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的最小值；(3)若恰有一個零點，求的取值范圍.1．D【分析】絕對值不等式進行化簡，利用集合的交集計算得出結(jié)果；【詳解】集合，由于等價于，即，故集合.所以.故選：D.2．B【分析】由兩個三角形全等可得：兩個三角形面積相等反之不成立即可判斷出結(jié)論．【詳解】由兩個三角形全等可得：兩個三角形面積相等反之不成立．“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的必要不充分條件．故選B．【點睛】本題考查了兩個三角形全等與兩個三角形面積相等之間的關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．B【分析】簡單的組合數(shù)問題，列舉或運用組合數(shù)均可.【詳解】線段為AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6條.故選：B.4．A【分析】利用導數(shù)的物理意義，即可求解瞬時速度.【詳解】，當時，，所以小球在時的瞬時速度為.故選：A5．A【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性，即可求解.【詳解】由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，，所以.故選：A6．C【分析】先根據(jù)已知條件求出，然后求出，再根據(jù)方差公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，解得，所以，所以.故選：C7．B【分析】首先求函數(shù)導數(shù)，并由最值確定函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，再利用數(shù)形結(jié)合確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】，得或，因為區(qū)間的端點是開區(qū)間，所以函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，只能是極值點處取得最大值和最小值，的變化情況如下表，單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減當，得或，當，得，或，則，得.故選：B8．D【分析】利用全概率公式結(jié)合條件可得，然后利用和事件的概率公式和條件概率公式結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】因為，，，所以，，又，即，解得，故A錯誤；因為，所以，故B錯誤；，故C錯誤；因為，所以，所以，故D正確.故選：D9．BD【分析】根據(jù)特殊值法，以及作差法，不等式的性質(zhì)，判斷選項.【詳解】A.若，此時，故A錯誤；B.若，則，則，故B正確；C.，，所以，即，故C錯誤；D.若，則，則，故D正確；故選：BD10．BCD【分析】考查二項式定理展開式，只需結(jié)合選項特征，合理采用賦值法即可.【詳解】對于A，由已知有，所以，即，A錯誤；對于B，令，得，令，得.兩式相加并除以2，可得，B正確；對于C，令即得，C正確；對于D，在原式兩邊同時求導得，再令，可知，D正確.故選：BCD.11．ACD【分析】對A，只需求導研究函數(shù)性質(zhì)即可；對B，數(shù)形結(jié)合作出函數(shù)圖象即可；對C，構(gòu)造函數(shù)證其最小值非負即可；對D，整體換元，參變分離解決恒成立問題.【詳解】對A，，所以，，，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，A正確；對B，根據(jù)A中的單調(diào)性分析，結(jié)合翻折變換，又，可繪制圖象如下，由圖可知若有兩個不同的解，則，B錯誤；對C，令，所以，令，，易知，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時，，，所以，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，C正確；對D，即恒成立，令，，即恒成立，，所以，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，又，所以，D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：(1)方程的根的個數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為對應圖象交點個數(shù)問題；(2)恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題，注意參變分離技巧的使用12．【分析】對函數(shù)求導，代入得，根據(jù)點斜式寫出切線方程；【詳解】函數(shù)，，則曲線在點處的切線方程，即.故答案為：.13．30【分析】排列組合中的分配問題，可以按照人數(shù)分配分類討論解決.【詳解】情形一，分組人數(shù)為1，1，3.此時，甲乙在3人組，再添一人共種方法，所以此時方法數(shù)為.情形二，分組人數(shù)為1，2，2.此時，甲乙兩人為單獨一組，丙丁各在一組，戊與丙一組，或戊與丁一組，所以此時方法數(shù)為.所以，共30種方法.故答案為：30.14．##82或84【分析】（1）根據(jù)的取值求出相應的概率即可；（2）記得1分的次數(shù)為，得3分的次數(shù)為，則總分為，進而由利用獨立重復實驗的概率可得，當取最大值時，要滿足，從而利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】得1分的概率為，得3分的概率為，的可能取值為，，，，則隨機變量的期望是；記得1分的次數(shù)為，則得3分的次數(shù)為，因此拋擲50次骰子，所得總分為，次數(shù)得n分的概率為，若取最大，則，，可得，因為，所以，或，當時，，當時，，故答案為：①；②或.【點睛】關鍵點睛：解題的關鍵點是需要熟練應用獨立重復事件的性質(zhì)、在二項式中求系數(shù)最大（?。┑捻椀姆椒?15．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)求出集合，然后求出集合,最后求出；（2）先把題目條件轉(zhuǎn)化成，然后根據(jù)和分類討論.【詳解】（1）當時，.又，，.（2）由“，”為真命題，即.當時，，即，符合題意；當時，或，即或.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.16．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)之和的性質(zhì)求出，再由展開式的前3項系數(shù)之和求出；（2）利用的展開式的通項公式可得答案【詳解】（1）所有項的二項式系數(shù)之和為64，，.又前3項系數(shù)之和為49，，解得或，又，.綜上，，；（2）的展開式中第項為，令，可得，不合題意，所以中不含的項，令，可得，所以，令，可得，所以，的展開式中的系數(shù)為.17．(1)(2)(3)列聯(lián)表見解析，數(shù)學期望為2【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得關于時間的回歸方程類型；（2）求出，，，可得關于時間的回歸方程；（3）求出的所有可能取值及相應的概率可得答案.【詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得關于時間的變化不是直線型，所以更適合作為銷售額關于時間的回歸方程類型；（2），，，，所以，銷售額關于時間的回歸方程為；（3）的所有可能取值為1，2，3，則，，.所以，的分布列為123，即的數(shù)學期望為2.18．(1)同學的優(yōu)秀情況與訓練有關，理由見解析(2)(3)【分析】（1）將列聯(lián)表完善，計算出卡方，與比較后得到結(jié)論；（2）設出事件，結(jié)合組合知識，利用條件概率求出答案；（3）計算出甲同學一天得分不低于3分的概率，從而得到，，求導后得到單調(diào)性，從而確定當時，取得最大值.【詳解】（1）零假設：假設武術社團同學的武術優(yōu)秀情況與訓練無關.列聯(lián)表為優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計訓練前2810訓練后8210合計101020.故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，零假設不成立，即同學的優(yōu)秀情況與訓練有關.（2）設“所選4人中恰有3人訓練后為優(yōu)秀”為事件，“所選4人中恰有1人訓練前也為優(yōu)秀”為事件，事件為所選4人中，有1人訓練前優(yōu)秀，有2人為訓練前非優(yōu)秀，訓練后變?yōu)閮?yōu)秀，有1人訓練前非優(yōu)秀，訓練后也非優(yōu)秀，從（1）中可知，有6人訓練前非優(yōu)秀，訓練后變?yōu)閮?yōu)秀，有2人訓練前非優(yōu)秀，訓練后也非優(yōu)秀，則，，所以.（3）設“甲同學一天得分不低于3分”為事件，有，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，，，當時，，時，，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以當時，取得最大值.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的最大值，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的最大值小于等于；（2）首先求函數(shù)的解析式，由題意轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為求解最值問題；（3）首先求函數(shù)的導數(shù)，分，和三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，分析函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）證明：當時，，，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；，即.（2），，，由題意知在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，，.下面研究函數(shù)，的最大