2011版高考數(shù)學(xué) 3年高考2年模擬 第6章 數(shù)列 第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用VIP

1、第六章 數(shù)列第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用第一部分 三年高考體題薈萃2010年高考題一、選擇題1.（2010江西理）5.等比數(shù)列中，=4，函數(shù)，則（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，重點(diǎn)考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法?？紤]到求導(dǎo)中，含有x項(xiàng)均取0，則只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān)；得：。2.（2010江西理）4. （ ）A. B. C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識(shí).解法一：先求和，然后對(duì)和取極限。3.（2010北京理）（2）在等比數(shù)列中，公比.若，則m=（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【答案】C4.（20

2、10四川理）（8）已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)的和為，且，則（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1故an是公比為2的等比數(shù)列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1則【答案】B5.（2010天津理）（6）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（A）或5 （B）或5 （C） （D）【答案】C【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。顯然q1，所以，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列， 前5項(xiàng)和.【溫馨提示】在進(jìn)行等比數(shù)列運(yùn)算時(shí)要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時(shí)也要注意基

3、本量法的應(yīng)用。6.（2010全國卷1文）（4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則=(A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10,所以,所以7.（2010湖北文）7.已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，成等差數(shù)列，則A.B. C. D8.（2010安徽理）10、設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是A、B、C、D、【答案】 D【分析】取等比數(shù)列,令得代入驗(yàn)算，只有選項(xiàng)D滿足?！痉椒记伞繉?duì)于含有較多字

4、母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗(yàn)證，若能排除3個(gè)選項(xiàng)，剩下唯一正確的就一定正確；若不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗(yàn)證繼續(xù)排除.本題也可以首項(xiàng)、公比即項(xiàng)數(shù)n表示代入驗(yàn)證得結(jié)論.（2010湖北理數(shù)）7、如圖，在半徑為r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設(shè)為前n個(gè)圓的面積之和，則= A 2 B. C.4 D.69.（2010福建理）3設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于A6 B7 C8 D9【答案】A【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值。【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公

5、式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力。二、填空題1.（2010浙江理）（14）設(shè)，將的最小值記為，則其中=_ .解析：本題主要考察了合情推理，利用歸納和類比進(jìn)行簡單的推理，屬容易題2.（2010陜西文）11.觀察下列等式：1323（12）2，132333（123）2，13233343（1234）2，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為1323334353（12345）2（或152）.解析：第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和，右邊為1到i+1和的完全平方所以第四個(gè)等式為1323334353（12345）2（或152）.3.（2010遼寧理）（16）已知數(shù)列滿足則的最小值為_.【答案】【命題立意】本題

6、考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力?！窘馕觥縜n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以設(shè)，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚N+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)有最小值。又因?yàn)?，所以，的最小值?.（2010浙江文）（14）在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的樹都成等差數(shù)列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的數(shù)是 。答案：5.（2010天津文）（15）設(shè)an是等比數(shù)列，公比，Sn為an的前n項(xiàng)和。記設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則= ?！敬鸢浮?【解析】本題主要考查了

7、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題。因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值?！緶剀疤崾尽勘绢}的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)為便于運(yùn)算可以對(duì)進(jìn)行換元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎梅蛛x變量的方法求解.6.（2010湖南理）15若數(shù)列滿足：對(duì)任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列例如，若數(shù)列是，則數(shù)列是已知對(duì)任意的，則 ， 三、解答題1.（2010湖南文）20.（本小題滿分13分）給出下面的數(shù)表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5，2n-1，從第2行起，每行中的每

8、個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。（I）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n3）（不要求證明）； （II）每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為 求和： 2.（2010全國卷2理）（18）（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（）求；（）證明：【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運(yùn)用，數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明，考查考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 【參考答案】【點(diǎn)評(píng)】2010年高考數(shù)學(xué)全國I、這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基

9、本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用，也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心.估計(jì)以后的高考，對(duì)數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).3.（2010北京理）（20）（本小題共13分）已知集合對(duì)于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）證明：，且;（）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)() 設(shè)P，P中有m(m2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）證明：（I）設(shè)， 因?yàn)椋? 從而 又由題意知，.當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，所以(II)設(shè)， ，.

10、記，由（I）可知 所以中1的個(gè)數(shù)為，的1的個(gè)數(shù)為。 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。（III）,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和，設(shè)種所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0則=由于所以從而4.（2010天津文）（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，=0，且對(duì)任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.（）證明成等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，證明.【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿分14分。（I）證明：由題設(shè)

11、可知，。從而，所以，成等比數(shù)列。（II）解：由題設(shè)可得所以 .由，得 ，從而.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，。（III）證明：由（II）可知，以下分兩種情況進(jìn)行討論：（1） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m若，則，若，則 .所以，從而（2） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)。所以，從而綜合（1）和（2）可知，對(duì)任意有5.（2010天津理）（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，且對(duì)任意.，成等差數(shù)列，其公差為。（）若=，證明，成等比數(shù)列（）（）若對(duì)任意，成等比數(shù)列，其公比為?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能

12、力及分類討論的思想方法。滿分14分。（）證明：由題設(shè)，可得。所以=2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。（）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當(dāng)1時(shí)，可知1，k從而所以是等差數(shù)列，公差為1。（）證明：，可得，從而=1.由（）有所以因此，以下分兩種情況進(jìn)行討論：（1） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m()若m=1,則.若m2，則+所以(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m+1（）所以從而綜合（1）（2）可知，對(duì)任意,有證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得所以由可知?？傻茫允堑炔顢?shù)列，公差為1。（ii）證明：因?yàn)樗浴Ｋ?，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通

13、項(xiàng)公式可得= ，故。從而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同證法一。6.（2010湖南理）21（本小題滿分13分）數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點(diǎn)（）當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)； （）是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。7.（2010江蘇卷）19、（本小題滿分16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。（1）由題意知：， ，化簡，得

14、：，當(dāng)時(shí)，適合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對(duì)滿足題設(shè)的，有。所以的最大值。另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。2009年高考題一、選擇題1.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， A. B. C. D. 【解析】由得，則， ，選C. 【答案】 C2.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為 ，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.3【解析】設(shè)公比為q ,則1q33 q32 于是 【答案】B3.（2009寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項(xiàng)

15、和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=( )A.7 B.8 C.15 D.16【解析】4，2，成等差數(shù)列，,選C.【答案】 C4.（2009湖北卷文）設(shè)記不超過的最大整數(shù)為,令=-，則，,A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【答案】B【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列.5.（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如： 他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列

16、數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，則由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C.6.（2009安徽卷理）已知為等差數(shù)列，+=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是 A.21 B.20 C.19 D. 18 【答案】 B【解析】由+=105得即，由=99得即 ，由得，選B7.（2009江西卷理）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為A B C D【答案】 A【解析】由于以3 為周期,故故選A8.（2009四川卷文）等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)1，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)

17、列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B【解析】設(shè)公差為，則.0，解得2，10二、填空題9.（2009浙江文）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系答案 15解析 對(duì)于 10.（2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力答案： 解析 對(duì)于等比

18、數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，成等比數(shù)列11.（2009北京理）已知數(shù)列滿足：則_；=_.答案 1，0解析 本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，. 應(yīng)填1，0.12.（2009江蘇卷）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= . 答案 -9解析 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。 有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -913.(2009山東卷文)在等差數(shù)列中,則.解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 答案:13.【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.14.(2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（

19、m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為_。 答案 4 5 32解析 （1）若為偶數(shù)，則為偶, 故當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)， 故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故得m=4。（2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得m=515.（2009寧夏海南卷理）等差數(shù)列前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m=_解析由+-=0得到。答案1016.（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 . 解析:由可得的公差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n.答案:2n17.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 .答案：118.（2009寧夏海南卷文）等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項(xiàng)和= 解析 由得：，即，解得：q2，又=1

20、，所以，。答案 19.(2009湖南卷理)將正ABC分割成（2，nN）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當(dāng)n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 即進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加.，若中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，

21、且由可得所以=20.（2009重慶卷理）設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式= 解析 由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則答案 2n+1三、解答題21.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分）已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列前項(xiàng)和為，問的最小正整數(shù)是多少? 解（1）, , .又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ；()；（2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.22.（2009全國卷理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

22、（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得 =評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。23.（2009北京理）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.【解析】本

23、題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題.（）由于與均不屬于數(shù)集，該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， 該數(shù)集具有性質(zhì)P.（）具有性質(zhì)P，與中至少有一個(gè)屬于A，由于，故. 從而，.， ，故.由A具有性質(zhì)P可知.又，從而，. （）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即， ，由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列.24.（2009江蘇卷）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的

24、有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2) （方法一）=,設(shè)， 則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。 25（2009江蘇卷）對(duì)于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)2，有.【解析】 必做題本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。 26.（2009山東卷理)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為

25、， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. 由、可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.27.（2009廣東卷理）知曲線從

26、點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，（舍去） ，即，（2）證明： 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有，即. 28.（2009安徽卷理）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足 （I）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；（II）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)

27、任何，都是奇數(shù)。（II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。另一方面，若則；若，則根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。（方法二）由得于是或。 因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，與同號(hào)。 因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。29.（2009江西卷理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng) （2）證明：對(duì)任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有解：（1）由得將代入化簡得 所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件.(2) 由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為則 考察函數(shù) ,則在定義域上有 故對(duì)， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 30. (

28、2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。（）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(）令，試比較與的大小，并予以證明。解（I）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時(shí)，. . 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小由 可猜想當(dāng)證明如下：證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。（2）假設(shè)時(shí)所以當(dāng)時(shí)猜想也成立綜合（1）（2）可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有證法2：當(dāng)時(shí)綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí)31.（2009四川卷文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存

29、在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；解（I）當(dāng)時(shí)， 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有 不存在正整數(shù)，使得成立。 8分（III）由得 又， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，32.（2009湖南卷文）對(duì)于數(shù)列,若存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 , 則稱數(shù)列為數(shù)列.（）首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;（）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和.給出下列兩組判斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：數(shù)列是B-數(shù)

30、列, 數(shù)列不是B-數(shù)列.請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；()若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解: （）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則.于是 =所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 .（）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實(shí)上設(shè)=1，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， .由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的，有 , 即.于是,所以數(shù)列是B-數(shù)列。（注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，

31、仿上述解法） ()若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對(duì)任意的有 .因?yàn)?.記，則有 .因此.故數(shù)列是B-數(shù)列.33. (2009陜西卷理) 已知數(shù)列滿足， .猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（)證明：。 證明（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即易知，那么=即也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立當(dāng)時(shí)，易知 34.（2009四川卷文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若

32、存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；解（I）當(dāng)時(shí)， 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 3分（II）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（I）知 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有 不存在正整數(shù)，使得成立。 8分（III）由得 又， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 14分35.（2009天津卷理）已知等差數(shù)列的公差為d（d0），等比數(shù)列的公比為q（q1）。設(shè)=+.+ ,=-+.+(-1 ,n (I) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(II) 若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n； () 若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的

33、排列， ， 證明。本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。（）解：由題設(shè)，可得所以， （）證明：由題設(shè)可得則 式減去式，得 式加上式，得 式兩邊同乘q，得 所以， ()證明： 因?yàn)樗?（1） 若，取i=n （2） 若，取i滿足且由（1）,(2)及題設(shè)知，且 當(dāng)時(shí)，得即，又所以 因此 當(dāng)同理可得，因此 綜上，36.（2009四川卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。

34、已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。解：（）當(dāng)時(shí)，又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是.3分（）由（）知 = 又當(dāng)當(dāng) （）由（）知一方面，已知恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)則 對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立只對(duì)滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)則 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)則 對(duì)一切的正整數(shù)n，都有綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4.14分37.（2009年上海卷理）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。（1） 若，是否存

35、在，有說明理由； （2） 找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,并說明理由；（3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若則。 當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 7分（）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得，（*）式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。10分【解法二】設(shè) 則（i） 若d=0，則 （ii） 若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾綜上所述，有， 10分（3） 設(shè).，. 13分取

36、 15分由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sN時(shí)，命題成立. 說明：第（3）題若學(xué)生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+am+p為偶數(shù)，但3k為奇數(shù)故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。當(dāng)p=1時(shí)，則am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，存在，使3k成立 1分當(dāng)p=3時(shí)，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當(dāng)k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時(shí)，存在m, 4m+9=3k

37、成立 2分當(dāng)p=5時(shí)，則am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數(shù)，所以，當(dāng)p=5時(shí)，所要求的m不存在故不是所有奇數(shù)都成立. 2分38.(2009重慶卷理）設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈（）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求通項(xiàng)；（）若每個(gè)數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：； 解：（I）因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由是公比為d的等比數(shù)列得因此（II）由題意得有得 由，得， 故. 又，故有.下面反證法證明：若不然，設(shè)若取即，則由得，而

38、由得得由得而及可推得（）與題設(shè)矛盾同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設(shè)矛盾,因此為6的倍數(shù)由均值不等式得由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等（否則，從而與題設(shè)矛盾），故等號(hào)不成立，從而又，由和得因此由得2008年高考題一、選擇題1.（2008江西卷）在數(shù)列中， ，則（ ）A B C D答案 A二、填空題6.（2008江蘇）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n 3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 答案 7.（2008湖北）觀察下列等式：可以推測(cè)，當(dāng)2（）時(shí)， .答案 0三、解答題10.（2008全國I）設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足，（）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函

39、數(shù)；（）證明：；（）設(shè)，整數(shù)證明：（）證明：，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；（）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，即成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即那么當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間是增函數(shù)，得.而，則，也就是說當(dāng)時(shí)，也成立；根據(jù)（）、（）可得對(duì)任意的正整數(shù)，恒成立. （）證明：由可1， 若存在某滿足，則由知：2， 若對(duì)任意都有，則，即成立.11.（2008山東卷)將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，構(gòu)成的數(shù)列為bn,b1=a1=

40、1. Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且滿足1=（n2）.()證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)時(shí)，求上表中第k(k3)行所有項(xiàng)和的和.第二部分 兩年聯(lián)考題匯編2010年聯(lián)考題題組二（5月份更新）一、填空題1.（肥城市第二次聯(lián)考）在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10al2120，則a9a11的值為A14 B15 C16 D17答案 C解析：， ，所以選C。2.（昆明一中三次月考理）各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為A BC D或答案：B3.（哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中

41、學(xué)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（）A. B. C. D. 不存在答案A 4.（昆明一中二次月考理）在實(shí)數(shù)數(shù)列中，已知，則的最大值為（ ）A B C D答案：C5.（昆明一中二次月考理）已知數(shù)列的通項(xiàng)為，下列表述正確的是（ ）A. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)為 B. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)不存在 C. 最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為 D. 最大項(xiàng)為0，最小項(xiàng)為答案：A6.（昆明一中二次月考理）三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，若有a + b + c=1成立，則b的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 答案：C7.（祥云一中月考理）設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則（ ）A B C D答案：C8.（祥云一中三次月考理）設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為 A . B . 1 C. 4 D. 8答案：C二、填空題9.（祥云一中月考理）兩個(gè)正數(shù)、的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且則雙曲線的離心率為 。答案： 10.（祥云一中二次月考理）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于答案：11（池州市七校元旦調(diào)研）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則 答案：15