[高考數(shù)學(xué)]《求曲線的方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、求曲線的方程四川省成都石室中學(xué) 蔣富揚(yáng)一、教材分析1.教材背景作為曲線內(nèi)容學(xué)習(xí)的開始， “曲線與方程”這一小節(jié)思想性較強(qiáng)，約需三課時(shí)，第一課時(shí)介紹曲線與方程的概念；第二課時(shí)講曲線方程的求法；第三課時(shí)側(cè)重對(duì)所求方程的檢驗(yàn).主要內(nèi)容有：解析幾何與坐標(biāo)法；求曲線方程的方法（直譯法）、步驟及例題探求.2.本課地位和作用承前啟后 ，數(shù)形結(jié)合曲線和方程，既是直線與方程的自然延伸，又是圓錐曲線學(xué)習(xí)的必備，是后面平面曲線學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)，是解幾中承上啟下的關(guān)鍵章節(jié).“曲線”與“方程”是點(diǎn)的軌跡的兩種表現(xiàn)形式.“曲線”是軌跡的幾何形式，“方程”是軌跡的代數(shù)形式；求曲線方程是用方程研究曲線的先導(dǎo)，是解析幾何所要解決

2、的兩大類問(wèn)題的首要問(wèn)題.體現(xiàn)了坐標(biāo)法的本質(zhì)代數(shù)化處理幾何問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合的典范.后繼性 、可探究性求曲線方程實(shí)質(zhì)上就是求曲線上任意一點(diǎn)（x,y）橫縱坐標(biāo)間的等量關(guān)系，但曲線軌跡常無(wú)法事先預(yù)知類型，通過(guò)多媒體演示可以生動(dòng)展現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化特點(diǎn)，但如何獲得曲線的方程呢？通過(guò)創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生興趣， 充分發(fā)揮其主體地位的作用，學(xué)習(xí)過(guò)程具有較強(qiáng)的探究性. 同時(shí)，本課內(nèi)容又為后面的軌跡探求提供方法的準(zhǔn)備，并且以后還會(huì)繼續(xù)完善軌跡方程的求解方法.數(shù)學(xué)建模與示范性作用曲線的方程是解析幾何的核心.求曲線方程的過(guò)程類似于數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，它貫穿于解析幾何的始終，通過(guò)本課例題與變式，要總結(jié)規(guī)律，掌握方法，為后面圓錐曲線等

3、的軌跡探求提供示范.數(shù)學(xué)的文化價(jià)值解析幾何的發(fā)明是變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑，也是近代數(shù)學(xué)崛起的兩大標(biāo)志之一，是較為完整和典型的重大數(shù)學(xué)創(chuàng)新史例.解析幾何創(chuàng)始人特別是笛卡兒的事跡和精神對(duì)科學(xué)真理和方法的追求、質(zhì)疑的科學(xué)精神等都是富有啟發(fā)性和激勵(lì)性的教育材料.可以根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，條件允許時(shí)指導(dǎo)學(xué)生課后收集相關(guān)資料，通過(guò)分析、整理，寫出研究報(bào)告.3.學(xué)情分析我所授課班級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好，思維活躍，在剛剛學(xué)習(xí)了“曲線的方程和方程的曲線”后，學(xué)生對(duì)這種必須同時(shí)具備純粹性和完備性的概念有了初步的認(rèn)識(shí)，對(duì)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的科學(xué)性、準(zhǔn)確性和優(yōu)越性等已有了初步了解，對(duì)具體（平面）圖形與方程間能否對(duì)應(yīng)、

4、怎樣對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了自然的求知欲望.二、目標(biāo)分析1.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)理解坐標(biāo)法的作用及意義.掌握求曲線方程的一般方法和步驟，能根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)坐標(biāo)系求曲線方程.過(guò)程性目標(biāo) 通過(guò)學(xué)生積極參與，親身經(jīng)歷曲線方程的獲得過(guò)程，體驗(yàn)坐標(biāo)法在處理幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)自主探索、合作交流，學(xué)生歷經(jīng)從“特殊一般特殊”的認(rèn)知模式，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).通過(guò)層層深入，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力，深化對(duì)求曲線方程本質(zhì)的理解.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 通過(guò)合作學(xué)習(xí)，學(xué)生間、師生間的相互交流，感受探索的樂(lè)趣與成功的喜悅，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，逐步養(yǎng)成質(zhì)疑的科學(xué)精神.展現(xiàn)人文數(shù)學(xué)精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化

5、價(jià)值及其在在社會(huì)進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的重要作用.2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：求曲線方程的方法、步驟難點(diǎn)：幾何條件的代數(shù)化 依據(jù)：求曲線方程是解幾研究的兩大類問(wèn)題之一，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，是高考解答題取材的源泉.主要包括兩種類型求曲線的方程：一是已知曲線形狀時(shí)常用待定系數(shù)法；二是動(dòng)點(diǎn)軌跡方程探求，本課的重點(diǎn)主要是探索動(dòng)點(diǎn)的曲線方程.曲線與方程是貫穿平面解幾的知識(shí)，是解析幾何的核心.求曲線方程是幾何問(wèn)題得以代數(shù)研究的先決，求曲線方程的過(guò)程類似數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，是課堂上必須突破的難點(diǎn).三、教學(xué)方法及教材處理1.教學(xué)方法 ：探究發(fā)現(xiàn)教學(xué)法.遵循以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，發(fā)展為主旨的現(xiàn)代教育原則，以問(wèn)題的提出、

6、問(wèn)題的解決為主線，始終在學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問(wèn)題，通過(guò)學(xué)生主動(dòng)探索、積極參與、共同交流與協(xié)作，在教師的引導(dǎo)和合作下，學(xué)生“跳一跳”就能摘得果實(shí)，于問(wèn)題的分析和解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)和發(fā)展，通過(guò)不斷探究、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)習(xí)過(guò)程成為心靈愉悅的主動(dòng)認(rèn)知過(guò)程，使師生的生命活力在課堂上得到充分的發(fā)揮.2.學(xué)法指導(dǎo)學(xué)生學(xué)法：互相討論、探索發(fā)現(xiàn) 由于學(xué)生在嘗試問(wèn)題解決的過(guò)程中常會(huì)在新舊知識(shí)聯(lián)系、策略選擇、思想方法運(yùn)用等方面遇到一定的困難，需要教師指導(dǎo).作為學(xué)生活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、參與者，教師要幫助學(xué)生重溫與問(wèn)題解決有關(guān)的舊知，給予學(xué)生思考的時(shí)間和表達(dá)的機(jī)會(huì)，共同對(duì)（解題）過(guò)程進(jìn)行反思等，在師生（生生）互動(dòng)

7、中，給予學(xué)生啟發(fā)和鼓勵(lì)，在心理上、認(rèn)知上予以幫助. 這樣，在學(xué)法上確立的教法，能幫助學(xué)生更好地獲得完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生思維、能力等得到和諧發(fā)展.3.設(shè)計(jì)理念 ：求曲線方程就是將曲線上點(diǎn)的幾何表示形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示形式。在這轉(zhuǎn)化過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)積極參與、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造，這也正是建構(gòu)主義理論的本質(zhì)要求；遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，尊重學(xué)生個(gè)體差異，立足教材，通過(guò)對(duì)例題的再創(chuàng)造，體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際、循序漸進(jìn)和因材施教的教學(xué)原則，讓不同層次的學(xué)生得到不同層度的發(fā)展；通過(guò)激發(fā)興趣，強(qiáng)調(diào)自主探索與合作交流，讓學(xué)生逐步地從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)，由被動(dòng)走向主動(dòng)，由課堂走向社會(huì)，為學(xué)生

8、的終身學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)，也是當(dāng)前新課程所追求的基本理念.四、教學(xué)過(guò)程（教學(xué)設(shè)計(jì)） 根據(jù)本課教學(xué)內(nèi)容幾何特性外化的特點(diǎn)，抓住形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)具備的幾何條件，運(yùn)用坐標(biāo)化的手段及等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的思想方法，突破難點(diǎn)，突出重點(diǎn).本課的教學(xué)設(shè)計(jì)思路是： 創(chuàng)設(shè)情景從感性的軌跡（圖形）認(rèn)識(shí)，到解決生活上的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，抓住學(xué)生迫切一試的認(rèn)知心理，自然引入坐標(biāo)法的意義及曲線方程的求法.例題探求例題一體現(xiàn)知識(shí)的承前啟后.通過(guò)例題一的呈現(xiàn)，學(xué)生借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自主探求獲得問(wèn)題的求解，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生感受求曲線方程的含義及求解步驟；例題二及變式解決建系難點(diǎn)，建系的開放性，對(duì)學(xué)生是一

9、種挑戰(zhàn)，也是一種創(chuàng)造；兩個(gè)例題由淺入深，循序漸進(jìn)，體現(xiàn)因材施教.至此，學(xué)生已能初步了解求曲線方程的一般方法和步驟了. 歸納步驟學(xué)生親身經(jīng)歷求曲線方程的過(guò)程，讓學(xué)生歸納（用自己的語(yǔ)言）、表述求解的步驟，體現(xiàn)從“特殊一般”認(rèn)知規(guī)律，逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).變式練習(xí)通過(guò)對(duì)例題的變式，由學(xué)生求解、回答變式后的含義，深化對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理解，初步體會(huì)數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，逐步養(yǎng)成質(zhì)疑與反思的習(xí)慣.反饋練習(xí)利用學(xué)生探索而發(fā)展來(lái)的認(rèn)知水平，運(yùn)用獲得的知識(shí)解決情景創(chuàng)設(shè)中的實(shí)際問(wèn)題，一方面可以考察學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力；另一方面是學(xué)生思維的自然順應(yīng)，自然釋放，是“一般特殊”的過(guò)程.全面完成教學(xué)目標(biāo).教學(xué)

10、環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)說(shuō)明創(chuàng)設(shè)情景（1）觀看圖片（2）問(wèn)題引入：我國(guó)神州號(hào)飛船五次升空，舉世矚目.就連擁有最多、最先進(jìn)間諜衛(wèi)星的美國(guó)也曾跟蹤丟了飛船的位置，這都是突然改變飛船飛行軌跡的結(jié)果. 假若飛船在某一時(shí)間內(nèi)飛行軌跡上任意一點(diǎn)到地球球心和地球表面上一定點(diǎn)的距離之和近似等于定值，視地球?yàn)榍蝮w，半徑為，你能寫一個(gè)軌跡的方程嗎？思考：這些圖片有什么相同點(diǎn)？ （空間軌跡、平面軌跡）興趣濃厚有求知欲望，有所思索但不知方程是什么（學(xué)生可能想到需要建立坐標(biāo)系）1.形成軌跡感知2.感受數(shù)學(xué)的價(jià)值3.形成認(rèn)知沖突，“引而不發(fā)”，自然引入課題“求曲線的方程”笛卡爾與解幾解析幾何創(chuàng)始人特別是笛卡兒的事跡和精神

11、對(duì)科學(xué)真理和方法的追求、質(zhì)疑精神等都是富有啟發(fā)性和激勵(lì)性的教育材料.課后完成：結(jié)合閱讀材料，條件允許時(shí)指導(dǎo)學(xué)生課后收集相關(guān)資料，通過(guò)分析、整理，寫出研究報(bào)告體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值例題探求例題一 已知兩點(diǎn)坐標(biāo)為， 求線段的垂直平分線的方程. 1.自主求解可能解法：用點(diǎn)斜式求直線方程即2.（在教師引導(dǎo)下）探索動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，進(jìn)而討論、探求曲線方程3.比較方法，得出啟示.口頭表述：求曲線方程需要的步驟1.充分肯定學(xué)生利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)順利求解2.將“待定系數(shù)法”導(dǎo)向軌跡方程求法，讓學(xué)生初步體驗(yàn)求曲線方程的方法與步驟3.進(jìn)行必要的反思例題二 點(diǎn)到兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡方程變式：

12、已知直線及點(diǎn)，定點(diǎn)到直線的距離等于2，若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，求點(diǎn)的軌跡方程1.相互討論、合作交流，讓學(xué)生提出遇到的問(wèn)題（無(wú)法代數(shù)處理，需要先建系）難點(diǎn)：建系（學(xué)生直覺(jué)或結(jié)合計(jì)算的繁簡(jiǎn)可以快速建系，但理解不會(huì)深刻）2.學(xué)生分組討論建系方式，建立方程，相互比較方程的簡(jiǎn)化程度，提出對(duì)建系問(wèn)題的理解和看法1.建系的開放性是挑戰(zhàn)也是創(chuàng)造，比較繁簡(jiǎn)，體會(huì)“適當(dāng)”坐標(biāo)系的含義2.通過(guò)解決變式問(wèn)題，促進(jìn)協(xié)作交流，了解常見(jiàn)的建系策略，真正突破建系難點(diǎn)利用對(duì)稱性 利用已有的垂直關(guān)系為軸歸納步驟求曲線方程的一般步驟：（優(yōu)化） 1.建系設(shè)點(diǎn) 2.符合幾何條件的點(diǎn)集（可省略） 3.建立方程 4.化簡(jiǎn)方程

13、5.證明不作要求（檢驗(yàn)）1.學(xué)生通過(guò)互相討論，歸納總結(jié)，以自己的語(yǔ)言完善求曲線方程的一般步驟2.學(xué)生思考：證明可以不作要求，那么如何保證完備性呢？1.通過(guò)“體驗(yàn)理解歸納應(yīng)用”逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo) 2.檢驗(yàn)過(guò)程和結(jié)果.養(yǎng)成質(zhì)疑與反思的習(xí)慣變式求解例一變式：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)為，.求以為底邊的等腰的頂點(diǎn)的軌跡方程； 對(duì)、視角為直角的點(diǎn)的軌跡方程；若、都在曲線上，探求點(diǎn)的軌跡方程；（可課后討論）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在曲線上，求中點(diǎn)軌跡方程. 1.學(xué)生回答：中的軌跡方程是否還是？（應(yīng)去掉點(diǎn)（1，3）結(jié)論：需要對(duì)結(jié)果作適當(dāng)說(shuō)明中的軌跡是什么？對(duì)變式、，你能獲得哪些信息？能獲得結(jié)果嗎？（回歸本質(zhì)橫縱坐標(biāo)間的等量關(guān)系） （利

14、用問(wèn)題的變式、呈現(xiàn)）“不要求證明”不是“不需要證明”，要求學(xué)生養(yǎng)成對(duì)曲線方程檢驗(yàn)的意識(shí)檢驗(yàn)過(guò)程、檢驗(yàn)結(jié)果褪去了點(diǎn)的幾何條件，為學(xué)生思維的發(fā)散留有空間的設(shè)計(jì)為轉(zhuǎn)移法作鋪墊 （讓不同認(rèn)知水平的學(xué)生都得到發(fā)展）反饋練習(xí)在引例中，若飛船在某一時(shí)間內(nèi)飛行軌跡上任意一點(diǎn)到地球球心和地球表面上一定點(diǎn)的距離之和近似等于，視地球?yàn)榍蝮w，半徑為，試列出此時(shí)軌跡所在的曲線方程（不用化簡(jiǎn)方程）分組討論自主探索，寫出求解過(guò)程表述解答過(guò)程學(xué)生再?gòu)摹耙话闾厥狻?，考察學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力；是學(xué)生思維的自然順應(yīng)，自然釋放，形成首尾呼應(yīng)小結(jié)反思求曲線方程的一般步驟： 建系設(shè)點(diǎn)建立方程化簡(jiǎn)方程檢驗(yàn)作業(yè)理解求法、步驟，相互討論，明確關(guān)鍵步驟是哪一步，時(shí)間允許可以發(fā)表看法幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)五、說(shuō)明或評(píng)價(jià)關(guān)于教學(xué)設(shè)想: 以學(xué)生的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”為主線，以問(wèn)題的解決為目的，讓學(xué)生自主探索（直譯法）求曲線方程的思路，以積極的情感態(tài)度、用親身體驗(yàn)與創(chuàng)造的方法來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而掌握曲線方程的求法.關(guān)于本課指導(dǎo)思想 在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷“