導(dǎo)數(shù)壓軸題之極值點偏移歸納總結(jié)

1、極值點偏移問題一、問題指引f(2mx),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線xm對極值點偏移的含義眾所周知，函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)任意自變量x都有f(x)稱；可以理解為函數(shù)f(x)在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若f(x)為單峰函數(shù)，則xm必為f(x)的極值點.如二次函數(shù)f(x)的頂點就是極值點x0,若f(x)c的兩根的中點為人心2x0,即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.2若相等變?yōu)椴坏?，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)f(x)的極值點為m,且函數(shù)f(x)滿足定義域內(nèi)xm左側(cè)的任意自變量x都有f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx),則函數(shù)f(x)極值點m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)f(x)

2、定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)x1,x2滿足f(x1)f(x2),則x1x2與極值點m必有確定2的大小關(guān)系：什xix2，八4xi義2一一.，八右m,則稱為極值點左偏；若m2,則稱為極值點右偏.22葉X1例二二6如函數(shù)g(x)x的極值點xo1剛好在方程g(x)c的兩根中點色22的左邊，我們稱之為極值點左偏e22以函數(shù)函數(shù)yx為例，極值點為0,如果直線y1與它的圖像相交，交點的橫坐標為1和1,我們簡單計算:1.x若函數(shù)f（x）存在兩個零點Xi,X2且XiX2,求證：XiX22x0（X。為函數(shù)f（x）的極值點）；0.也就是說極值點剛好位于兩個交點的中點處，此時我們稱極值點相對中點不偏移2 .若函數(shù)f（X）中

3、存在X1,X2且X1X2滿足f（X1）f（X2）,求證：XiX22x。（X。為函數(shù)f（X）的極值點）；.,、X1x23 .若函數(shù)f（x）存在兩個零點Xi,X2且XiX2,令X。,求證：f（x。）0;2xiX24.若函數(shù)f（x）中存在Xi,X2且XiX2滿足f（Xi）f（X2）,令X。，求證：f（X。）0.2二、方法詳解（一）基本解法之對稱化構(gòu)造例i是這樣一個極值點偏移問題：對于函數(shù)fxxeX,已知fxfx2,xix2,證明xx22.再次審視解題過程，發(fā)現(xiàn)以下三個關(guān)鍵點：（i）Xi,X2的范圍0x1ix2；（2）不等式fxf2xxi；(3)將X2代入(2)中不等式，結(jié)合fx的單調(diào)性獲證結(jié)論.小結(jié)

4、：用對稱化構(gòu)造的方法解極佳點偏移問題大致分為以下三步：stepl：求導(dǎo)，獲得fx的單調(diào)性，極值情況，作出fx的圖像，由f%fX2得x1，X2的取值范圍(數(shù)形結(jié)合)；2step2：構(gòu)造輔助函數(shù)(對結(jié)論x1x22x),構(gòu)造Fxfxf2x0x；對結(jié)論x1x2比,2構(gòu)造Fxfxf),求導(dǎo)，限定范圍(xi或x2的范圍)，判定符號，獲得不等式；xstep3：代入xi(或x2),利用fxifx2及fx的單調(diào)性證明最終結(jié)論.下面給出第(3)問的不同解法【解析】法一：f(x)(1x)ex,易得f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1,)上單調(diào)遞減，x時，1f(x),f(0)0,x時，f(x)0,函數(shù)f(x)在x1處

5、取得極大值f(1),且f(1)-,e如圖所示.由f(x1)f(x2),x1x2,不妨設(shè)x1x2,則必有0x11x2,構(gòu)造函數(shù)F(x)f(1x)f(1x),x(0,1,一x2x則F(x)f(1x)f(1x)(e2x1)0,所以F(x)在x(0,1上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(0)0,e也即f(1x)f(1x)對x(0,1恒成立.由0x11x2,則1x1(0,1,所以f(1(1x1)f(2x,)f(1(1x,)f(x1)f(x2),即f(2x)f(x2),又因為2x,x2(1,)，且f(x)在(1,)上單調(diào)遞減，所以2x1x2,即證x1x22.法二：欲證x1x22,即證x22x1,由法一知0x11x2,

6、故2x,x2(1,),又因為f(x)在(1)上單調(diào)遞減，故只需證f(X2)f(2%),又因為f(xjf(X2),故也即證f(x)f(2X),構(gòu)造函數(shù)H(x)f(x)f(2x),x(0,1),則等價于證明H(x)0對x(0,1)恒成立.1x由H(x)f(x)f(2x)-(1e2x2)0,則H(x)在x(0,1)上單調(diào)遞增，所以eH(x)H(1)0,即已證明H(x)0對x(0,1)恒成立，故原不等式x,x22亦成立.-xcx2Xx2法二：由f(x,)f(x2),得xex?e，化簡得e，x1不妨設(shè)x2x1，由法一知，oX1x2.令tX2X,則t0,x2tx1，代入式，得ettx1x反解出x1,貝Ux

7、1x22x1te12t2t一t,故要證：x1x22,即證：一te1e12,又因為e10,等價于證明:2t(t2)(et1)0-,構(gòu)造函數(shù)G(t)2t(t2)(et1),(t0),則G(t)(t1)et1,G(t)tet0,故G(t)在t(0,)上單調(diào)遞增，G(t)G(0)0,從而G(t)也在t(0,)上單調(diào)遞增,G(t)G(0)0,即證式成立，也即原不等式x1x22成立.法四：由法三中式，兩邊同時取以e為底的對數(shù)，得x2x1In上Inx2Inx1,也即Inx2Inx1X2x1從而X1,、Inx2Inx1X2(X1X2)X2X1X2X2，nX2X1X1上1In,&1X1X1t(1,)上單調(diào)遞增，

8、由洛比塔法則知:IimM(t)Iim也X1X11)Intt1Iimx1(t1)令tjX2-(t1),則欲證：X1X22,等價于證明：-11nt2，Xt1即證M(t)2,即證式成立，也即原不等式X,x22成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的.【類題展示】已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點x,?.證明：Xx22.【解析】由工十儀工得/口5二(工a/十如可知co在td.D上單調(diào)遞減,在Q：上單調(diào)遞幅要使國藪有兩個零點再f

9、,則必須白0.法一：構(gòu)造部分對稱硝卜妨設(shè)甬由單調(diào)性知X1H一雙D町2口田)，所以2一巧又7FC0在170.D單調(diào)速城j故要證：甌+$0)日2求導(dǎo)由m冷的單調(diào)性可得Jg)的=應(yīng)3=2L故不等式。m即證：疹包22也即原不等式虱4)口成立.a*，當XW(金+土)時，門有一解，記為吃.Xx1x1ax1ax1x1ax1ae再證一ae一一,，而0xiex2,lnx21,.-.-ae.證畢.x2x2ax2Inx2x2Inx21【類題展示】已知函數(shù)f(x)xaex有兩個不同的零點xi,x2,求證：x1x22.【解析】因為函數(shù)f(x)有兩個零點xi,x2,所以x1aexi(1)x2aex2(2)由(2)得：x1

10、x2a(ex1e2),要證明xx22,只要證明a(eex2)2,xxex1ex2ex1x21由(1)得：X1x2a(e1e),即a1-xr，即證(x1x2)f-x22(x1x2)x1x22,eeeee1不妨設(shè)%X2,記tX1X2,則t0,et1,因此只要證明：teT2t2e一D0,et1et1再次換元令etx1,tinx,即證Inx2(x10x(1,)x1構(gòu)造新函數(shù)F(x)Inx4(x1)22x_n,F(1)0,求導(dǎo)F(x)7ab12x1x(x1)220,得F(x)在(1,)x(x1)ab即調(diào)和平均數(shù)”小于等于幾何平均數(shù)”小于等于算術(shù)平均值”小于等于等號成立的條件是ab.遞增，所以F(x)0,

11、因此原不等式x1x22獲證.(三)對數(shù)平均不等式我們熟知平均值不等式:a,bR2-2ab平方平均值”2ab(2)我們還可以引入另一個平均值：對數(shù)平均值:abInaInb那么上述平均值不等式可變?yōu)椋簩?shù)平均值不等式:b,aababb,vatKf(20173即可得到Ml#5與2CLP的大小JCII)運用分析法證明，不妨設(shè)XX20,由根的定義可得所以化簡得Inx.-kK=0*1閱-皿=0,可得lnxi-nxz=k1卻-位),Inxi-lnx2=k(mi-xz),要證明，w叱囪，.即證明LnxlHt？上也就是k(苴+出)2.求出匕即證期二星，令五二/,則tl,即證nf方出1.令五(。二改一乂二西一時河

12、+向均r+1r十1Ctl).求出導(dǎo)氮.判斷單調(diào)性，即可得證.試題解析：(1)依題意得fx1nx，所以1a12-一，又由切線方程可得f11,1a1a令fx0,即11nx0,解得0xe;令fx0,即11nx0,解得xe所以fx的增區(qū)間為0,e,減區(qū)間為e,所以f2016f2017,即包則”2016201720171n201620161n2017,2016201720172016(2)證明：不妨設(shè)x1x20因為gxgx20所以化簡得1nxikx10,1nx2kx20可得1nxi1nx2kx1x21nxi1nx2kx12.要證明x1x2e,即證明1nx11nx2xx2因為k1nx11nx2Xx21nx

13、1x11nx22X2x1X2r.x1即1n又2x1x2X2x1令一X2即證1nt1nt2101故函數(shù)h1,是增函數(shù)，所以0,即1ntxx2【類題展示】已知函數(shù)f(x)1nx2ax(2a)x.(I)討論f(x)的單調(diào)性;(II)設(shè)a0,證明：當0時,1f(一x)a1f(一a(iii)若函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為x,證明:f(%)0.【解析】(I)(II)略,(III)由f(X)f(x2)021nx1ax1(2a)x11n2、cax2(2a)x201nx11nx22(xx2)a(x；2x2x2)a1nx)2x)1nx22(x1x2)2x2故要證f(x0)x0又

14、222x12x2x1x2x1x211nx11nx22(x1x2)1nx1nx21nx11nx2xX2根據(jù)對數(shù)平均不等，此不等式顯然成立，故原不等式得證（四）極值點偏移之一題多解12【例4】已知fxxlnxmx22x,mR.若fx有兩個極值點不，*2,且XX2,求證：xX2e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路2.證法1：欲證x1x2e,需證lnx1lnX22.若fX有兩個極值點X1,X2,即函數(shù)X有兩個零點.又fxlnxmx,所以，,X2是方程fx0的兩個不同實根.于是，有l(wèi)nlnx1mX|x2mx2lnx1lnx2X1X2另一方面，由lnx1lnx21mxim&0/日,0，得

15、lnX2InXimX2Xi,從而可得lnx2lnx1X2X1lnx1lnx2X1X2是，1nxilnx2lnx2lnX1x2X1X2.X2-ln-X1X1又0X1X2,設(shè)t要證lnX1lnt所以,X221X1x2,，貝UtX1InX1InX2lnX22,即證：-1Int2,t即:1時,有2t1lnt為1.1時,有0,上的增函數(shù).注意到,0,因止匕,0.2t1lnt.所以,t1有l(wèi)nX1lnX22成立,X1X2解法二變換函數(shù)能妙解2證法2：欲證x1x2e,需證lnx1lnx22.右fx有兩個極值點X,X2,即函數(shù)X有兩個零點.又fxlnxmx,所以，X,X2是方程fx0的兩個不同實根.顯然m0,

16、否則，函數(shù)fX為單調(diào)函數(shù)，不符合題意.由。x：鼠oinx1inx2mx1x2，即只需證明m（%+丐）2即可.即只需證明巧斗9、一.室遽：刪影xt號中用理搬增渚m設(shè)營=*刈三2(附一1)x(2mjc-1,、(2g二0r故(X)f由于廣=!一鵬=,故r但在q.t2esjt(l+et)2(e*-1)o出14門-29-1)0.設(shè)=耳1+)-2卜*一1)出)=te*0.故/(上，在(Y.0，故/住)r(0)=0，故g在(YT，因此以燈以0)=0.命眼傅解法五巧引變量(二)【解析】證明:法一二S/(x)=X1-(a-2)x-anx,X1x2f(T)0.得r(x)=2-(-2)-=X七分七二二工一人-1)J

17、xx2故且有門;o時，方程F3=C才有兩個不相等的夾鴕根X-,巧不妨設(shè)看V七，則0巧不巧,化藺得；口二衛(wèi)4二支二士二再+1口毛一毛一In%et1t2,設(shè)lnX22,即只需證明Lt22,0,設(shè)gk【類題展示】已知函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx,若方程f(x)c有兩個不相等的實數(shù)根x1，X2,求證:兩式相標得:當“一3-2)&一右1口”jc.十(口一2)巧十口111巧=00,1,t2lnx21,，則由lnx1mx1Inx2mx200t1t1k0,1,則Gklnk?k1t22,需證lnX1k1lnk.欲證x1x2e2lnklnk2k1kk10,1，g2k1k2kk1g10,命題得證.證法5:設(shè)L

18、lnx1t1t2t1me一t2me2k1lnkk12k1k1lnk0,故gk在0,1，因此gk2k1k1欲證：f(xX22a(-),結(jié)合f(x)的單調(diào)性,2等價于證明:XiX22X12Xx222x2x1In%x2Inx2x1Inx2282x2x1x2cx1八22x231x2令t,(0x21),構(gòu)造函數(shù)g(t)2t_Int,(0t1t1),求導(dǎo)由單調(diào)性易得原不等式成立，略x1八法二：接后續(xù)解：由得：(Xx2)(x1x2)(a2)(Xx2)aIn0x2an即；(+心)(1一2)-邑=0網(wǎng)一巧ln)=(為+為)-02)2d2(A-1)-On至4F)二巴-三)jqXy西+電工取取心構(gòu)造函數(shù)m(t)In

19、t1),求導(dǎo)由單調(diào)性易得m(t)0在t(0,1)恒成立,又因為a0,x1x2c,x10,故f(x2,)0成立.法三：接后續(xù)解：視X1為主元,2(xx9)1設(shè)g(x)InxInx2,g(x)一Xx24X2(xX2)2072,720(XX2)(xX2)則g(x)在x(0,X2)上單調(diào)遞增,故g(x)g(X2)0,X1X20,故f(2)0成立.2法四：構(gòu)造函數(shù)h(x)f(-x)2f(ax),(0x2a、)，2則h(x)aaf(-x)f(-x)4x2,a.,a(x)(22X)從而h(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，故2a、對x(0,一)恒成立，從而f(x)2h(X)h(0)f(ax),(00,嗚x)a、x

20、-)，2則f(X2)由X2，aXi(,2a),且f(x)在(-,2x)f(Xi)f(aXi),)單調(diào)遞增，故aX|,即ar,一,從而f(2)0成立.三、跟蹤訓練1、已知函數(shù)2axxee為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論g的單調(diào)性;(2)若函數(shù)xIngx2ax的圖象與直線ymmR交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為證明：fX00(fx為函數(shù)fx的導(dǎo)函【斛析】(1)由題可知，(幻=/51+M$而(20,+口，當日2時,今力之0,貝1(2-口)無+1之口,-彳之a(chǎn)-2令則.x0j當口)2時，令/2r+x令式力6則(”句工十10?二工之?,口-2二單謫遞管.當口:2時綜上：邕口2時，T=式力在;二工1卜單

21、詞逆憎，在上里調(diào)謨減.(2)fx2axInxe2aX2，Inx2axax(x0),/.fx2x1ax15當a0時,0,y0,上單調(diào)遞增，與直線ym不可能有兩個交點，故a0.單調(diào)遞減.不妨設(shè)Xi,mX2,mXiX00,X2a2ax需證aX0,所以只需證。.設(shè)F2afX122ax1x2ax0,則XXiX2，XqXiX2X2即證:InaXInaX0,1在0-上單調(diào)遞增，在af-X1a時,，1，、x在0,上單倜遞減,a0,原不等式成立.2、已知函數(shù)fXXlnX2_axxaaR在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點（1）求a的取值兀范圍.（2）設(shè)fx的兩個極值點為X1,X2,證明X1X2e2.【解析】試題分析；

22、1極值點轉(zhuǎn)化為導(dǎo)曲數(shù)零點,即M注+2亞=。在（0,2）有兩個不同根.變量分離為口=-學,利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)尸=竽在（oq上單調(diào)溫，在值收）上單調(diào)增，根據(jù)趨勢可得函數(shù)2x2x二位在（0.司上范圍為lx,在（公+）上范圍為|,oL因此要有兩解,1人必/。）利用導(dǎo)教證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造恰當?shù)膰祝横?等份=nx1+lu三20口（為+七）2口直）_12而由零點可得S一代人化簡得向工衛(wèi)國，令五=h則Sr,因此構(gòu)造函數(shù)刎山一若！,利用導(dǎo)數(shù)求苴最小值為通血由于川，船潞題得證試題解析：（1）依題意，函數(shù)fX的定義域為0,所以方程fXQ在0,有兩個不同根.即方程Inx2ax0在0,有兩個不同根lnx轉(zhuǎn)化為，函數(shù)

23、gx與函數(shù)yp1lnxr一一又gx，即0xe時,x2a的圖象在所以gx在0,e上單調(diào)增，在，e,上單調(diào)減,0,從而上有兩個不同交點e時，gx0,又gx有且只有一個零點是1,且在0時，g的圖象,lnx要想函數(shù)gx與函數(shù)x一一11八帝02a-,即e2e2a的圖象在0,（2）由（1）可知xi,x2分別是方程lnxaxx10,作差得，lnax1x2x23、ln-x22x1x2x1x21nt1,gt已知函數(shù)0,即不等式1ntxlnx2ax（1）求gx的單調(diào)區(qū)間;（2）若函數(shù)fxgx的導(dǎo)函數(shù)，證明:xx22【解析】試題分析:遞增，當a0時,gx極大=9時，gx0,所以由g上有兩個不同交點,0的兩個根，即l

24、nxiaxi,lnx2ax2,x1令一X22t12tt1ln-x2.原不等式x1&0,函數(shù)2,e等價于1nxi1nx22lnx2成立，故所證不等式xx2x,aR.2x,x1,x2（xx2）是函數(shù)f0.2Kx2Int1,上單調(diào)遞增,x的兩個零點，f是函數(shù)f（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號進行討論，當a0時，g導(dǎo)函數(shù)有一零點，導(dǎo)函數(shù)先正后負，故得增區(qū)間為10,一,減區(qū)間為ax0,g利用分析法先等價轉(zhuǎn)化所證不等式：要證明fXiX22一r20,只需證明XiX21nxi1nX2XiX2(0XiX2),即證明2X1X21nxilnx2,即證明二iX2XX2XlilnX2Xit0,1,構(gòu)造函X2X2h

25、t在0,i上遞增，所以數(shù)htItInt2t2,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)ht單調(diào)性，確定其最值:hthi0,即可證得結(jié)論試題解析：當a0時，gx當a0時，gXgx的定義域為0,i-2ax2ax0x(；g0,gx遞增I-一2ax2axx)0,gx遞增;22ax2axix2xiaxixix-,gxa0,gx遞減一,、，ii綜上：，當a0時，gX的單調(diào)增區(qū)間為0-,單調(diào)減區(qū)間為-,aa當a0時，gx的單調(diào)增區(qū)間為0,由句是函數(shù)f(x)=lLX+X-OJC的防個零點有再)=1嗎+0Kl=0巧)=lux,+aXj=0,相減得&=y無_1rLic，+七+七2Injq-Inx.%十三三一毛所以要證明歲只需證明二一-幽

26、心殳0(04巧巧)2J玉+與西一過即證明2Xix2XiX22土i1nxi1nx2,即證明x21n二*XiiX2X21tlnt2t2,則ht111lnt-1,ht一二0ttt2x1-，令t0,1,則htX2.ht在0,1上遞減，hth10,.ht在0,1上遞增，hth10所以*成立，即fx乜024.設(shè)aR,函數(shù)f(x)Inxax,(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個相異零點x1,x2,求證1nxilnx22.1ax【解析】由題意，得f(x)a-x(0,),x當a0時，f(x)0,則f(x)在定義域上單增，1,1當a0,則函數(shù)在(0,一)上單增，在(一，)上單減.aa(2)由已知得，

27、1n為ax10,1n飛ax20,x1lnx1lnx2lnx1lnx2所以a=xx2所以Inx1Inx22等價于xx2xx2,x1Inx2即工1-1n8x22,x2設(shè)為x2,令t上x21，g(t)Int2(t1)則g(t)14(t1)2(t1)2t(t1)20,所以g(t)g(1)0,即Int2(t12,所以原題得證.r-t1即是lntt15.已知函數(shù)xxlnx的圖像與直線m交于不同的兩點Axx2,y2xx2證明：(i)fx上Z;當0x1時，fx0；f10；當x1時，fx0；當x0時，fx0(洛必達法則)；當x時，fx,于是fx1的圖像如下，得0x1x21.e(ii)均通函=f(M-,則r(x)

28、=r(x)=l+lnjf+-S-f-(1+1ft.Y)-10x-fl+】n40.1-e工N.則廣(算)7。,得F(/)在Z,有F(x)F，即沙/白0jc-(iii)椅&代入(ii)中不等式得了|百)/；I型一，又圖)二了(馬).敬,g26.已知函數(shù)f(x)Inxax(2a)x.(I)討論f(x)的單調(diào)性;(II)設(shè)a0,證明：當0工時,a,1,1f(x)f(x)；(ill)若函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交于A,B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0,證明：f(x0)0.【解析】(i)易得：當a0時,1f(x)在(0,)上單調(diào)遞增；當a0時，f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，在a1，(-,)上單調(diào)遞減.a

29、(11)法一：構(gòu)造函數(shù)g(x)1.1f(x)f(x),(0法二：構(gòu)造以a為主元的函數(shù),1設(shè)函數(shù)h(a)f(ax)1一x-),利用函數(shù)單調(diào)性證明，方法上同，略；a.，1f(x),則h(a)ln(1ax)ln(1ax)2ax,ah(a)1ax1ax2x1.一一1.-1.一,解得0a,當0a一時，h(a)0,而axxh(0)0,所以h(a)1,0,故當0x時,af(一x)f(x).1、(III)由(I)知，只有當a0時，且f(x)的最大值f(_)0,函數(shù)yf(x)才會有兩個零點，不妨設(shè)aA(xi,0),B(x2,0),0Xix2,則0xi1,1小1x2,故一x1(0,一),由(II)得:aaaf(|

30、x1)2x2一x1，于是x0a_111x1)f(-(一x1)f(x1)f(xi),又由f(x)在(-,aaax1x21一，由(I)知，f(x0)0.2a)上單調(diào)遞減，所以7.已知函數(shù)fx2lnxx2x,若正實數(shù)x1，x2滿足fx1+fx2=4,求證：x1x22。2證明：注意到f1=2,fx1+fx2=2f1,fx1+fx2=2f1,fx=-+2x10x2fx=2,f1=0,則(1,2)是fx圖像的拐點，若拐點(1,2)也是fx的對稱中心，則x有xx2=2,證明xx22則說明拐點發(fā)生了偏移，作圖如下想到了極值點偏移”，想到了對稱化構(gòu)造”，類似地，不妨將此問題命名為拐點偏移”，仍可用對稱化構(gòu)造”來

31、處理.不妨設(shè)0x11x2,要證x,x22x22x11fx2f2x14ff24fx1f2x1Fxfxf2x,x0,1,則2-，2,1Fxfxf2x-2x122x141x10,x2xx2x得Fx在0,1上單增，有FxF1214,得證。1xx8.已知函數(shù)f(x)2e1 x(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(I)當f(Xi)f(X2),XiX2時，求證：XiX20【解析】(I)函數(shù)f(X)的定義域為Rf(X)(1X2)2X(1X)11Xyx(x1)22122e2e2-2e(1X)1X(1X)由f(x)0,得X0,由f(x)0,得函數(shù)的遞增區(qū)間(,0),由f(x)0,得函數(shù)的遞減區(qū)間(0,),所以f(x)

32、maxf(0)1(I)解法一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解“1X1X，令h(x)f(x)f(x)2e2e，x01X1X則h(x)(x22x3)e2x(x22x3)XZ2T2X(1X)e令H(x)2_2x2_(x2x3)e(x2x+3),x0則H(x)22x一.2(x2x2)e(x1),x0,則H(x)一一2_2x_2(2x23)e1,x0由X0得，H(x)2(31)40,故H(X)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增故H(x)H(0)20,故H(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增由(1)及f國)故H(x)H(0)0,故h(x)0,故h(x)在(0,)上單調(diào)遞減，所以，h(x)h(0)0f(X2),X1X2知，X0X21,故h(X2)f(X2)f(X2)0所以f(X2)f(X2),所以f(X1)f(X2),又f(x)在(，0)上單調(diào)遞增所以，X1X2,即為X20解法二、利用對數(shù)平均不等式求解因為X1時，f(X)f(x)0,f(X1)f(X2),X1X2,一,八，1XX11X2X2b一,1X11X,所以X10X2n2ee,所以,reX2_1%-2eX2所以，ln(1X1)(1X2)ln(