高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力型問題

1、上海市封浜中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)第1講 從高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題談起創(chuàng)新能力是指在運(yùn)用已知信息開展思維活動中，產(chǎn)生某種新穎、獨(dú)特的有社會或個人價值產(chǎn)品的能力，數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力一般指對已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推廣和拓展，對未來的數(shù)學(xué)領(lǐng)域通過探索得到新的結(jié)果的能力。高中數(shù)學(xué)中創(chuàng)新能力型問題常見的有以下三種情況：1類比發(fā)現(xiàn)型；2拓展推廣型；3設(shè)計構(gòu)造型。一高考中的創(chuàng)新題2006年全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了不少創(chuàng)新題，讓我們來欣賞其中的一些題目：1（廣東卷第10題）對于任意的兩個實(shí)數(shù)對和，規(guī)定：，當(dāng)且僅當(dāng)；運(yùn)算“”為：；運(yùn)算“”為：，設(shè)，若，則（ ）A B C D本題在實(shí)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上定義了實(shí)數(shù)對的

2、兩種新的運(yùn)算“”和“”，要求考在閱讀理解及準(zhǔn)確把握的基礎(chǔ)上，把這兩種新的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為熟悉的解方程組運(yùn)算，從而運(yùn)用已有的知識去分析、解決問題解：由題意，解得，所以正確答案為（B）實(shí)際上，本題所定義的實(shí)數(shù)對的兩種運(yùn)算就是復(fù)數(shù)的乘法與加法運(yùn)算我們可以把該題還原為：已知復(fù)數(shù)滿足，則_2（陜西卷理第12題）為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為( )A4,6,1,7 B7,

3、6,1,4 C6,4,1,7 D1,6,4,7本題注意敢聯(lián)系實(shí)際，是近年來高考數(shù)學(xué)命題的一個特點(diǎn)此類題能較好地體現(xiàn)新課程改革的亮點(diǎn)，信息密碼在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中無處不在，只要列四元線性方程組就能讀出明文有關(guān)密碼安全的教學(xué)嘗試，可參考數(shù)學(xué)教學(xué)2006年第2期第4頁的文章這里介紹四種簡單的密碼方案（以數(shù)字密碼為例可映射到英文字母或漢語拼音）（1）置換密碼把一個數(shù)字置換成另一個數(shù)字，必須是一一對應(yīng)的（2）加法密碼（）（如）（3）乘法密碼（），為常數(shù)（4）仿射密碼（乘法和加法相結(jié)合）（），互質(zhì)，3（北京卷理第20題）在數(shù)列中，若 、是正整數(shù)，且,3，4，5，則稱為“絕對差數(shù)列”（1）舉出一個前五項不為零的“

4、絕對差數(shù)列”（只要求寫出前十項）； （2）若“絕對差數(shù)列”中，,，數(shù)列滿足 =1，2，3，分別判斷當(dāng)時, 與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值； （3）證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項解：（1）解：,（答案不惟一）（2）解：因為在絕對差數(shù)列中,.所以自第 20 項開始，該數(shù)列是,即自第 20 項開始每三個相鄰的項周期地取值 3，0，3. 所以當(dāng)時，的極限 不存在當(dāng)時, ,所以（3）證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項后出現(xiàn)零項.證明如下： 假設(shè)中沒有零項，由于,所以對于任意的n，都有,從而 當(dāng)時, ; 當(dāng) 時, 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令則由于是確定的正整數(shù)，這樣減

5、少下去，必然存在某項 ，這與()矛盾. 從而必有零項.若第一次出現(xiàn)的零項為第項，記，則自第項開始，每三個相鄰的項周期地取值 0，, , 即所以絕對差數(shù)列中有無窮多個為零的項.評析：本題是典型的開放、探索型數(shù)列新概念考題實(shí)質(zhì)是遞推數(shù)列問題，但命題者賦予了新的定義“絕對差數(shù)列”，同時為考生提供了一個廣闊的自由開放的探索空間作為試卷的“壓陣題”，能夠使大多數(shù)考生在做題時較容易“上手”，但是要完全地答對就要求考生必須具備扎實(shí)的基本功及探索能力本題是一道區(qū)分度較強(qiáng)的考題，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高考“壓陣題”的特點(diǎn)由于新概念型考題能夠較好地考查考生的學(xué)習(xí)能力、邏輯思維能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，從而成為近年來高考

6、命題的熱點(diǎn)4（上海卷文第22題）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（1）如果函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，求的值（2）設(shè)常數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值；（3）當(dāng)是正整數(shù)時，研究函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由解：(1) 由已知得=4, b=4. (2) c1,4, 1,2, 于是,當(dāng)x=時, 函數(shù)f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,當(dāng)1c2時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(2)=2+；當(dāng)2c4時, 函數(shù)f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)設(shè)0x1x2,g(x2)g(x1)=. 當(dāng)x1g(x1), 函數(shù)g(x)在,+)上是增函數(shù)； 當(dāng)0x1x2g(x1),

7、 函數(shù)g(x)在(0, 上是減函數(shù). 當(dāng)n是奇數(shù)時,g(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x) 在(,上是增函數(shù), 在,0)上是減函數(shù). 當(dāng)n是偶數(shù)時, g(x)是偶函數(shù), 函數(shù)g(x)在(,)上是減函數(shù), 在,0上是增函數(shù)評析：本題給出函數(shù)的性質(zhì)，注重創(chuàng)新性和探索性，要求考生根據(jù)已給出的性質(zhì)，對該函數(shù)進(jìn)行深入的探討，從數(shù)學(xué)的角度來講，體現(xiàn)了實(shí)踐能力對新穎的信息情境進(jìn)行設(shè)問，以最有效的方法和手段正確地選擇和提煉已給的信息綜合所濱數(shù)學(xué)知識、思想方法進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，從而確定解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題我們再來看此題的姊妹題2006年上海市高考數(shù)學(xué)理科卷第22題：5（上海卷理第22題）已知函數(shù)有

8、如下性質(zhì)：如果常數(shù)0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)（1）如果函數(shù)（0）的值域為6，求的值；（2）研究函數(shù)（常數(shù)0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)和（常數(shù)0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)（是正整數(shù)）在區(qū)間，2上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）解：（1）易知，時，（2）是偶函數(shù)易知，該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；則該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（3）推廣：函數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，是減函數(shù)；，是增函數(shù)，是增函數(shù)；，是減函數(shù)當(dāng)為偶數(shù)時，是減函數(shù)；，是增函數(shù) ，是減函數(shù)；，是增函數(shù) 當(dāng)時， ，是減函

9、數(shù)；，是增函數(shù) 函數(shù)在區(qū)間，2上的最大值為，最小值為與文科題相比，該題在探究能力的要求上明顯要高出一籌6（北京卷理第8題）下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段、的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（ ）A B C D 解析：本題是比較新穎的實(shí)物圖形信息遷移題，是從某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型中得到信息，并對信息進(jìn)行加工處理，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建構(gòu)數(shù)學(xué)模型本題看起來非常麻煩，分析這道題的時候可以把這些量固定住比如把當(dāng)作一個起點(diǎn)，在動中求靜來解決：到為，即

10、，到就是，即，從流走，所以到為，即這樣就比出來，最大，最小7（湖北卷文第15題）半徑為的圓的面積，周長，若將看作上的變量，則 式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)對于半徑為的球，若將看作上的變量，請你寫出類似于的式子：_式可以用語言敘述為_解：， 球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)評析：本題是由低維到高維的類比型信息遷移題，是某種類型的結(jié)論遷移性、相似性的推理形式，它在發(fā)現(xiàn)科學(xué)奧秘方向要勝于邏輯推理的作用，因為一旦通過類比得到猜想之后，再進(jìn)行檢驗多數(shù)是不難的同時該類題能夠較好地考查考生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維，因此備受命題者的青睞，成為熱點(diǎn)試題這種類比推廣型的試題，在最近幾

11、年的上海市高考數(shù)學(xué)試卷中，已是屢見不鮮二上海高考數(shù)學(xué)試卷中的類比、推廣、構(gòu)造型題（一）類比發(fā)現(xiàn)型通過類比得出新的結(jié)論是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要方面，等差數(shù)列和等比數(shù)列又是高中數(shù)學(xué)中進(jìn)行類比的典型例子。1（2000第12題）在等差數(shù)列中，若，則有等式（，）成立類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，則有等式_成立此題是把等差數(shù)列中的有關(guān)加法的性質(zhì)向等比數(shù)列中有關(guān)乘法的性質(zhì)推廣的問題該試題的期初設(shè)計了以下幾個問題：（1）給出等差數(shù)列的一般性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若，則有等式（，）成立若，則有等式_成立（2）給出等比數(shù)列的對應(yīng)性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若，則有等式（，）成立類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若

12、，則有等式_成立（3）高考原題。（4）給出等比數(shù)列的一般性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若，則有等式（，）成立類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，則有等式_成立2.（2003年春第21題（3）已知橢圓（ab0）具有性質(zhì)：若、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線、的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值，試對雙曲線，寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明（二）拓展推廣型3（1）（2001年第11題）已知兩圓：與，則式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應(yīng)成為所推廣的命題的一個特例推廣的命題為：_本問題

13、設(shè)計的原始命題來源于：（1）如果兩個圓方程相減可以得到它們的公共弦所在直線的方程；（2）兩個圓關(guān)于一條直線對稱的充要條件是兩個圓的半徑相等。此題中兩圓半徑均為，在推廣時如果保持兩圓半徑相等，可以得到怎樣的結(jié)論？比如：兩個圓的半徑相等，那么無論它們相交、相切、還是相離，已知兩個圓方程相減所得到的方程都是兩個圓的對稱軸方程；進(jìn)一步地我們還可以思考，如果兩圓的半徑不相等，那么能推廣到怎樣的結(jié)論呢？另外已知命題還可以推廣到圓錐曲線，例如：如果兩個橢圓的長、短軸長相等，長軸互相平行，且短軸在一條直線上，那么兩個橢圓方程相減，可以得到已知兩個橢圓的對稱軸方程。4（2002年春第12題）如圖，若從點(diǎn)O所作的

14、兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)M1、M2與點(diǎn)N1、N2，則三角形面積之比.若從點(diǎn)O所作的不在同一平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上，分別有點(diǎn)P1、P2，點(diǎn)Q1、Q2和點(diǎn)R1、R2，則類似的結(jié)論為_該試題原來的設(shè)計是要求將一個特例推廣到一般的情況：如，在三棱錐P-ABC中，平面a分別交側(cè)棱PA、PB、PC于點(diǎn)D、E、F，若平面a平面ABC，則三棱錐的體積之比。若平面a不平行于平面ABC，則三棱錐的體積之比 。但從推廣的角度考慮，用二維到三維的推廣更有意義。5（2003年第19題）已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項是a1，公比為q的等比數(shù)列求和：由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個結(jié)論，并加以證明本

15、題原設(shè)計為最后的“壓陣題”：若實(shí)數(shù)a1、a2、a3成等差數(shù)列，則有a1-2a2+a3=0。將此性質(zhì)進(jìn)行推廣，得命題1. 若實(shí)數(shù)a1、a2、a3、a4成等差數(shù)列，則有a1-3a2+3a3 - a4=0；命題2. 若實(shí)數(shù)a1、a2、a3、a4、a5成等差數(shù)列，則有a1-4a2+6a3 - 4a4+ a5=0.（1）命題1及逆命題是否成立？說明理由；（2）試將命題1和命題2歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n的一個命題，加以證明.6（2004年春第20題）如圖，點(diǎn)為斜三棱柱的側(cè)棱上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)(1) 求證：；(2) 在任意中有余弦定理：.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩

16、個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明（三）設(shè)計構(gòu)造型問題 7（2004年秋第21題）如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點(diǎn), 截面DEF底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)(1) 證明：P-ABC為正四面體；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大?。?結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(3) 設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和? 若存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體,并給出證明；若不存在

17、,請說明理由. 8（2005年秋第21題）對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 當(dāng)xDf且xDg 規(guī)定: 函數(shù)h(x)= f(x) 當(dāng)xDf且xDg g(x) 當(dāng)xDf且xDg(1) 若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,xR,寫出函數(shù)h(x)的解析式;(2) 求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+), 其中是常數(shù),且0,請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=f(x),及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.從考察創(chuàng)新能力出發(fā)，要求學(xué)生設(shè)計兩個函數(shù)經(jīng)過某種運(yùn)算得到某個指定的函數(shù)，框架中試圖體現(xiàn)函數(shù)的“因式分解”思想。最初的設(shè)計原型

18、是：利用函數(shù)模塊y=f(x)，xD1，y=g(x)，xD2，和一個加法運(yùn)算器可以構(gòu)造如下的一個裝置：當(dāng)輸入xD1但xD2時，輸出F（x）=f(x)，當(dāng)輸入xD2，但xD1時，輸出F(x）=g(x)；輸入xD1D2時，輸出F(x)= f(x)+g(x).設(shè)f(x)=arccosx，g(x)=-cosx.(1)求輸出函數(shù)F(x)的表達(dá)式；(2)求函數(shù)F(x)的最大值，并給出證明；(3)利用函數(shù)模塊，其中a、b、c、mz，以及一個乘法計算器，設(shè)計一個類似的裝置，使得輸出函數(shù)為：三類比與推廣型問題舉例例1（1）證明：過拋物線的焦點(diǎn)作一直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則當(dāng)與拋物線的對稱軸垂直時，的長度最短；（2

19、）試將上述命題中的拋物線改為其他曲線，寫出相應(yīng)的一個真命題并加以證明簡解：（1）證明；（2）過橢圓的焦點(diǎn)作一直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則當(dāng)與橢圓的長軸垂直時，的長度最短（）例2（1）已知實(shí)數(shù)集合，證明：的充要條件是；（2）試對兩個一元二次方程的解集寫出類似的結(jié)果，并加以證明；（3）試對兩個一元二次不等式的解集寫出類似的結(jié)果，并加以證明（將（2）（3）結(jié)合就成為2003年高考第15題）解：（1），；（2）命題：如果系數(shù)和都是非零實(shí)數(shù)，方程和在復(fù)數(shù)集上的解集分別是和，則“”是“”的充分必要條件證明：充分性：若，即是方程的解，則，而非零實(shí)數(shù)和滿足，設(shè)，則可得，所以，即是方程的解，即，于是同理可證，所以必

20、要性：如，若，即、是方程和的公共解，則，于是有注：如果在實(shí)數(shù)集上考慮，則“”是“”的充分不必要條件（3）如果系數(shù)和都是非零實(shí)數(shù)，不等式和的解集分別是和，則“”是“”的既不充分也不必要條件可以舉反例加以說明例3在平面中，三角形具有性質(zhì)：三角形的中線平分三角形的面積，試將該性質(zhì)推廣到空間，寫出相應(yīng)的一個真命題，并加以證明分析：與平面圖形三角形相應(yīng)的立體圖形為三棱錐，與三角形中線相應(yīng)的是三棱錐的頂點(diǎn)與底面三角形中線確定的截面這樣，原來平面中是三角形的中線將三角形劃分為兩個面積相等的三角形，推廣到空間如下的命題：過三棱錐頂點(diǎn)及底面三角形中線的截面平分三棱錐的體積DCBA例4在平面幾何中有如下定理：若四

21、邊形的對角線與互相垂直，則有試將這個結(jié)論推廣到空間，寫出相應(yīng)的定理，并加以證明分析：平面四邊形，推廣到空間可以是空間四邊形對角線和互相垂直，推廣到空間也是和互相垂直，不過是異面垂直，猜想可能也有相同的結(jié)論DCABM證明：過作交于，連結(jié)， ， 平面，于是， 例5（1）用幾何方法證明下列命題：若、，則； （2）將上述命題加以推廣，寫出相應(yīng)的一個真命題，并加以證明分析：（1）將、和、分別作為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的坐標(biāo)，則所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為（三角形不等式）（2）可以推廣到空間直角坐標(biāo)系若、，則例6的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為，則的重心的坐標(biāo)為我們還知道，三角形的重心到每個頂點(diǎn)的距離等于對應(yīng)中線長的試問能

22、還把三角形的這種規(guī)律推廣到空間四面體上來？請敘述并論證你的結(jié)論解：我們有如下的結(jié)論：四面體頂點(diǎn)與其對面三角形重心連線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為對應(yīng)連線段長的，這點(diǎn)稱為空間四面體的重心設(shè)四面體頂點(diǎn)，為的重心，則， ，在線段上取一點(diǎn)，使，則 點(diǎn)的坐標(biāo)為例7空間勾股定理：將平面勾股定理推廣到空間情形在三棱錐中，三條側(cè)棱、兩兩垂直，則有什么結(jié)論？結(jié)論：有（證明略，請讀者自行探究）例8已知對數(shù)函數(shù)f(x)=log ax具有性質(zhì)：，試另外設(shè)計一個函數(shù)，使它也具有上述性質(zhì).四類比、推廣與構(gòu)造型問題的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)：1給出一個真命題2要求對類似的數(shù)學(xué)對象通過類比或進(jìn)行推廣后，寫出相應(yīng)的真命題，并加以證

23、明 3給定一定條件； 4設(shè)計構(gòu)造符合上述條件的數(shù)學(xué)對象.特點(diǎn)：1要求發(fā)現(xiàn)新命題 2從平面推廣到空間，從一元、二元推廣到多元，從特殊推廣到一般 3對類似的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行類比方法和策略：類比型1.理解給出的真命題和其中的概念； 2.根據(jù)題目的要求，運(yùn)用類比法猜測出新命題. 推廣型 1.已知拓展推廣的方向；將已知條件中的數(shù)學(xué)對象推廣為所要求拓展的對象，隨 之問題的結(jié)論也業(yè)產(chǎn)生相應(yīng)的變化； 2.拓展推廣的方向不明確；這類問題只提出推廣的要求，但不提出推廣方向，這時就需要根據(jù)問題的特點(diǎn)首先確定推廣方向，然后把它轉(zhuǎn)化為上一類的問題。 構(gòu)造型1確定構(gòu)思方向；2初步設(shè)計構(gòu)造；3驗證是否符合要求；4繼續(xù)試驗不斷修正。六類比與推廣型問題訓(xùn)練題1（1）在等差數(shù)列中，設(shè)，（），其中、都是常數(shù)證明；（2）類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在正數(shù)等比數(shù)列中，寫出一個類似的真命題，并加以證明2（1）已知等差數(shù)列，（），求證：仍為等比數(shù)列；（2）已知等比數(shù)列，（），類比上述性質(zhì)，寫出一個真命題并加以證明3下面是一個平面幾何定理：底邊長和腰長都確定的等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為定值試在正三棱錐中寫出類似的結(jié)論并予以證明4（1）若橢圓的兩個焦點(diǎn)是和，是橢圓上不重合于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)