2017-2018學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1課時(shí)提升作業(yè) 十三 2.2.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 2 精講優(yōu)練課型 Word版含答案

1、溫馨提示： 此套題為word版，請(qǐng)按住ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè) 十三橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016·聊城高二檢測(cè))過(guò)橢圓x2+2y2=4的左焦點(diǎn)f作傾斜角為3的弦ab,則弦ab的長(zhǎng)為()a.67b.167c.716d.76【解析】選b.橢圓的方程可化為x24+y22=1,所以f(-2,0).又因?yàn)橹本€ab的斜率為3,所以直線ab的方程為y=3x+6.由y=3x+6,x2+2y2=4,得7x2+122x+8=0.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-1227,

2、x1·x2=87,所以|ab|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=167.2.ab為過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中心的弦,f(c,0)為橢圓的右焦點(diǎn),則afb面積的最大值為()a.b2b.abc.acd.bc【解析】選d.由ab過(guò)橢圓中心,則ya+yb=0,故safb=12(ya-yb)·c=12|2ya|·c=|ya|·cbc,即當(dāng)ab為y軸時(shí)面積最大.3.(2016·濟(jì)寧高二檢測(cè))如果橢圓x236+y29=1的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是()a.x-2y=0b.x+2y-4=0c.2x+3

3、y-12=0d.x+2y-8=0【解析】選d.設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)為a(x1,y1),b(x2,y2),斜率為k,則x1236+y129=1,x2236+y229=1,兩式相減再變形得x1+x236+ky1+y29=0.又弦中點(diǎn)為(4,2),故k=-12,故這條弦所在的直線方程為y-2=-12(x-4),整理得x+2y-8=0.4.(2016·衡水高二檢測(cè))如果ab是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的任意一條與x軸不垂直的弦,o為橢圓的中心,e為橢圓的離心率,m為ab的中點(diǎn),則kab·kom的值為()a.e-1b.1-ec.e2-1d.1-e2【解析】選c.

4、設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),中點(diǎn)m(x0,y0),由點(diǎn)差法,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,所以kab·kom=y2-y1x2-x1·y1+y2x1+x2=-b2a2=c2-a2a2=e2-1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】橢圓x216+y29=1中,以點(diǎn)m(-1,2)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為()a.916b.932c.964d.-932【解析】選b.設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為a(x1,y1),b(x2,y2),則x1216+y129=1x2216+y229=1,-得(x1+x2)(x1-x2

5、)16+(y1+y2)(y1-y2)9=0,又因?yàn)橄抑悬c(diǎn)為m(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以-2(x1-x2)16+4(y1-y2)9=0,所以k=y1-y2x1-x2=932.5.(2016·鄭州高二檢測(cè))在區(qū)間和上分別取一個(gè)數(shù),記為a,b,則方程x2a2+y2b2=1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于32的橢圓的概率為()a.12b.1532c.1732d.3132【解析】選b.因?yàn)閤2a2+y2b2=1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于32的橢圓,所以a>b>0,a<2b,它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示:則方程x2a2+y2b2=1表示焦點(diǎn)在x

6、軸上且離心率小于32的橢圓的概率為p=s陰影s矩形=12×(1+3)×2-12×12×12×4=1532.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·南昌高二檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xoy中,橢圓c的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)f1,f2在x軸上,離心率為22.過(guò)f1的直線l交c于a,b兩點(diǎn),且abf2的周長(zhǎng)為16,那么橢圓c的方程為.【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).因?yàn)閑=22,所以ca=22.根據(jù)abf2的周長(zhǎng)為16得4a=16,因此a=4,b=22,所以橢圓方程為x216+y

7、28=1.答案:x216+y28=17.(2016·沈陽(yáng)高二檢測(cè))橢圓x24+y23=1上有n個(gè)不同的點(diǎn)p1,p2,p3,pn,橢圓的右焦點(diǎn)為f,數(shù)列|pnf|是公差大于1100的等差數(shù)列,則n的最大值為.【解題指南】|p1f|=|a-c|=1,|pnf|=a+c=3,|pnf|=|p1f|+(n-1)d,再由數(shù)列|pnf|是公差大于1100的等差數(shù)列,可求出n的最大值.【解析】|p1f|=|a-c|=1,|pnf|=a+c=3,|pnf|=|p1f|+(n-1)d.若d=1100,n=201,d>1100,n<201.答案:2008.(2016·長(zhǎng)春高二檢測(cè))

8、已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為f,c與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于a,b兩點(diǎn),連接af,bf.若|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,則c的離心率為.【解題指南】由余弦定理解三角形,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì)稱(chēng)性)求出點(diǎn)a(或b)到右焦點(diǎn)的距離,進(jìn)而求得a,c.【解析】在abf中,由余弦定理得|af|2=|ab|2+|bf|2-2|ab|bf|cosabf,又|ab|=10,|bf|=8,cosabf=45,解得|af|=6.在abf中,|ab|2=102=82+62=|bf|2+|af|2,故abf為直角三角形.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為f,連接af,bf,根據(jù)橢

9、圓的對(duì)稱(chēng)性,四邊形afbf為矩形,則其對(duì)角線|ff|=|ab|=10,且|bf|=|af|=8,即焦距2c=10,又據(jù)橢圓的定義,得|af|+|af|=2a,所以2a=|af|+|af|=6+8=14.故離心率e=ca=2c2a=57.答案:57三、解答題(每小題10分,共20分)9.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)p到兩點(diǎn)(0,-3),(0,3)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)p的軌跡為c.(1)求c的方程.(2)設(shè)直線y=kx+1與c交于a,b兩點(diǎn),k為何值時(shí)oaob?此時(shí)|ab|的值是多少.【解析】(1)設(shè)p(x,y),由橢圓的定義知,點(diǎn)p的軌跡c是以(0,-3),(0,3)為焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓

10、,它的短半軸長(zhǎng)b=22-(3)2=1.故曲線c的方程為y24+x2=1.(2)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),其坐標(biāo)滿(mǎn)足y=kx+1,y2+4x2=4.消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-2kk2+4,x1x2=-3k2+4.若oaob,則x1x2+y1y2=0.因?yàn)閥1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=-3k2+4-3k2k2+4-2k2k2+4+1=-4k2-1k2+4=0,所以k=±12.當(dāng)k=±12時(shí),x1+x2=417,x1x2=-1217.所以|a

11、b|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+k2)(x1-x2)2.而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42172+4×1217=43×13172,所以|ab|=54×43×13172=46517.10.(2016·煙臺(tái)高二檢測(cè))設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為f,離心率為33,過(guò)點(diǎn)f且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為433.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)a,b分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)f且斜率為k的直線與橢圓交于c,d兩點(diǎn).若ac·db+ad·cb=8,求k的值.【解析

12、】(1)設(shè)f(-c,0),由ca=33,知a=3c.過(guò)點(diǎn)f且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=±6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,從而a=3,c=1,所以橢圓方程為x23+y22=1.(2)設(shè)點(diǎn)c(x1,y1),d(x2,y2),由f(-1,0)得直線cd的方程為y=k(x+1),由方程組y=k(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.所以x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因?yàn)閍(-3,0),b(3,0),所以ac·db+

13、ad·cb=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)·(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=±2.一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2016·濟(jì)南高二檢測(cè))若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)(a,b)的直線與橢圓x29+y24=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()a.0b.1c.2d.需根據(jù)a,b的取值來(lái)確定【解題指南

14、】根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),可推斷點(diǎn)(a,b)是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn),根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,進(jìn)而可知點(diǎn)p是橢圓內(nèi)的點(diǎn),進(jìn)而判斷可得答案.【解析】選c.因?yàn)橹本€ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒(méi)有公共點(diǎn),所以原點(diǎn)到直線ax+by+4=0的距離d=4a2+b2>2,所以a2+b2<4,所以點(diǎn)p(a,b)是在以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn),因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)半軸為3,短半軸為2,所以圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,所以點(diǎn)p是橢圓內(nèi)的點(diǎn),所以過(guò)點(diǎn)p(a,b)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2.2.橢圓ax2+by2=1與直線

15、y=1-x交于a,b兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段ab中點(diǎn)的直線的斜率為32,則ab的值為()a.32b.22c.32d.12【解析】選a.把y=1-x代入橢圓ax2+by2=1,得ax2+b(1-x)2=1,整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=2ba+b,y1+y2=2-2ba+b,所以線段ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為ba+b,aa+b,所以過(guò)原點(diǎn)與線段ab中點(diǎn)的直線的斜率k=aa+bba+b=ab=32,即ab=32.二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2016·石家莊高二檢測(cè))過(guò)橢圓x25+y24=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于a

16、,b兩點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),則oab的面積為.【解析】右焦點(diǎn)為(1,0),故直線為y=2(x-1).由4x2+5y2-20=0,y=2x-2,消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=53,從而a(0,-2),b53,43.所以|ab|=259+1009=1259=553.又o到ab的距離d=25=255,所以saob=12·|ab|·d=12×553×255=53.答案:534.(2016·青島高二檢測(cè))已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1(-c,0),f2(c,0),若橢圓上存在點(diǎn)p使asinpf1f

17、2=csinpf2f1成立,則該橢圓的離心率的取值范圍為.【解析】由正弦定理及asinpf1f2=csinpf2f1,得ca=sinpf2f1sinpf1f2=|pf1|pf2|.在pf1f2中,設(shè)|pf2|=x,則|pf1|=2a-x.則上式為ca=2a-xx,即cx+ax=2a2,x=2a2a+c.又a-c<x<a+c,所以a-c<2a2a+c<a+c.由a-c<2a2a+c,得a2>-c2,顯然恒成立.由2a2a+c<a+c,得a2<2ac+c2,c2+2ac-a2>0,即e2+2e-1>0,解得e>-1+2或e<-

18、1-2(舍).又0<e<1,所以e的取值范圍為(2-1,1).答案:(2-1,1)三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2016·北京高二檢測(cè))已知橢圓g:x24+y2=1,過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓g于a,b兩點(diǎn).(1)求橢圓g的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.(2)將|ab|表示為m的函數(shù),并求|ab|的最大值.【解析】(1)由已知得a=2,b=1,所以c=a2-b2=3.所以橢圓g的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0),離心率為e=ca=32.(2)由題意知,|m|1.當(dāng)m=1時(shí),切線l的方程為x=1,點(diǎn)a,b的坐標(biāo)分別為(1,32),(1,-32),此時(shí)|ab|=3.當(dāng)m=-1時(shí),同理可得|ab|=3.當(dāng)|m|>1時(shí),設(shè)切線l的方程為y=k(x-m).由y=k(x-m),x24+y2=1得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.設(shè)a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),( x