大學(xué)高等數(shù)學(xué)公式(費(fèi)了好大的勁)

1、高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)'=sec2x(arcsinx)'=1(ctgx)'=-csc2x-x2(secx)'=secxtgx(arccosx)'=-1(cscx)'=-cscxctgx-x2(ax)'=axlna(arctgx)'=11+x2(log1ax)'=xlna(arcctgx)'=-11+x2基本積分表：tgxdx=-lncosx+Cdx=sec2ctgxdx=lnsinx+Ccos2xxdx=tgx+Csecxdx=lnsecx+tgx+Cdxcsc2sin2x=xdx=-ctgx+Ccscx

2、dx=lncscx-ctgx+Csecxtgxdx=secx+Cdxcscxctgxdx=-cscx+Ca2+x2=1aarctgxa+Cx=axdxadxlna+Cx2-a2=12alnx-ax+a+Cshxdx=chx+Cdxa2-x2=1a+x2alna-x+Cchxdx=shx+Cdxa2-x2=arcsinxa+Cdxx2±a2=ln(x+x2±a2)+C22Inn=sinxdx=cosnxdx=n-100nIn-22a2dx=x2x+x2+a2+aln(x+x2+a222)+Cx2-a2dx=x22a22x-a-2lnx+x2-a2+Ca2-x2dx=x22a2

3、x2a-x+2arcsina+C三角函數(shù)的有理式積分：sinx=2u1-u2x2du1+u2，cosx=1+u2，u=tg2，dx=1+u2 1一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限：ex-e-x雙曲正弦:shx=2ex+e-xthx=shxex-e-x雙曲正切:chx=ex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2-1)arthx=11+x2ln1-x三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式：·和差角公式： ·和差化積公式：sin(±)=sincos±cossinsin+sin=2sin+cos(±)=coscos sin

4、sin2cos-tg(±)=tg±tgsin-sin=2cos+-1 tgtg2sin2ctgcos+cos=2cos+-ctg(±)=ctg 12cos2ctg±ctgcos-cos=2sin+-2sin2·倍角公式：sin2=2sincoscos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2ctg2-1ctg2=2ctg2tgtg2=1-tg2·半角公式： sin3=3sin-4sin3cos3=4cos3-3cos3tg-tg3tg3=1-3tg2sintg2=±=±-cos+coscos=±

5、;2221-cos1-cossin1+cos1+cossin=ctg=±=1+cossin1+cos21-cossin1-cos2·正弦定理：abc=2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinC·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=2-arccosxarctgx=2-arcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式： (uv)(n)k(n-k)(k)=Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)(n-2)n(n-1) (n-k+1)(n-k)(k)uv''+ +uv+ +uv(

6、n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'()(b-a)f(b)-f(a)f'()=F(b)-F(a)F'()曲率： 當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理?；∥⒎止剑篸s=+y'2dx,其中y'=tg平均曲率：K=:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線(xiàn)斜率的傾角變化量；s：MM'弧長(zhǎng)。sM點(diǎn)的曲率：K=dy''lims0s=ds=(1+y'2)3.直線(xiàn)：K=0;半徑為a的圓：K=1a.定積分的近似計(jì)算：b矩形法：f(x)b-an(y0+y1+ +yn-1)ab梯形法：f(x)b-aa

7、n12(y0+yn)+y1+ +yn-1b拋物線(xiàn)法：f(x)b-a(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +a3nyn-1)定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W=Fs水壓力：F=pA引力：F=km1m2r2,k為引力系數(shù)b函數(shù)的平均值：y=1b-af(x)dxab12b-af(t)dta空間解析幾何和向量代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在軸上的投影：PrjuAB=cos,是AB與u軸的夾角。Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2 ab=abcos=axbx+ayby+azbz,是一個(gè)數(shù)量,兩向量之間的夾角：co

8、s=i c=ab=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222 az,c=absin.例：線(xiàn)速度：v=wr.bzaybycyazcz bz=abccos,為銳角時(shí)， ax 向量的混合積：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3+=1abc平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2x=x0+mtx-x0y-y0z-z0 =t,其中s=m,n,

9、p;參數(shù)方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z212+2+2=1abcx2y22+=z（,p,q同號(hào)）2p2q3、雙曲面：x2y2z22+2-2=1abcx2y2z22-2+2=（馬鞍面）1abc多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz=zzuuudx+dydu=dx+dy+dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：zdz=fx(x,y)x+fy(x,y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx當(dāng)u=u(x,y)，v=v(x,y)時(shí)，du=uuvvdx+dydv=dx+dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

10、FxFFdydyd2y隱函數(shù)F(x,y)=0=-2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隱函數(shù)F(x,y,z)=0=-=-xFzyFzFF(x,y,u,v)=0(F,G)u隱函數(shù)方程組：J=GG(x,y,u,v)=0(u,v)uu1(F,G)v1(F,G)=-=-xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)=-=-yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用： Fv=FuGGuvFvGvx=(t)x-xy-y0z-z0空間曲線(xiàn)y=(t)在點(diǎn)M(x0,y0,z0)0=''(t)(t)'(t0)00z=(t)在點(diǎn)M處的法平面方程：'

11、;(t0)(x-x0)+'(t0)(y-y0)+'(t0)(z-z0)=0 FyFzFzFxFxF(x,y,z)=0若空間曲線(xiàn)方程為：,則切向量T=,GGGxGxyzGzG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)，則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03=Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向?qū)?shù)與梯度：6 FyGy2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x

12、0,y0,z0)(z-z0)=0fff函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向l=cos+sinlxy其中為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。f f函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+jxyf它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是=gradf(x,y)e，其中e=cosi+sinj，為l方向上的l單位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)為極大值2AC-B>0時(shí)，A>0,(x0,y0)為

13、極小值2則：AC-B<0時(shí)，無(wú)極值A(chǔ)C-B2=0時(shí),不確定重積分及其應(yīng)用：f(x,y)dxdy=f(rcos,rsin)rdrdDD'曲面z=f(x,y)的面積A=Dzz1+ + dxdy xy22=Mx=Mx(x,y)dD(x,y)dDD,=MyM=y(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸Ix=y2(x,y)d,對(duì)于y軸Iy=x2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fD(x,y)xd(x+y+a)2222Fy=f3D(x,y)yd(x+y+a)2222Fz=-fa3D(

14、x,y)xd(x+y+a)22322柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：x=rcos柱面坐標(biāo)：f(x,y,z)dxdydz=F(r,z)rdrddz,y=rsin,z=z其中：F(r,z)=f(rcos,rsin,z)x=rsincos2球面坐標(biāo)：y=rsinsin，dv=rdrsinddr=rsindrddz=rcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz=F(r,)r2sindrdd=ddF(r,)r2sindr重心：=1Mxdv,=1Mydv,=1Mzdv，其中M=dv轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix=(y2+z2)dv，Iy=(x2+z2)dv，Iz=(x2+y2)dv曲線(xiàn)積分：第一類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分）：x=

15、(t)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,(t),則：y=(t)Lx=tf(x,y)ds=f(t),(t)'2(t)+'2(t)dt(<)特殊情況：y=(t)第二類(lèi)曲線(xiàn)積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分）：x=(t)設(shè)L的參數(shù)方程為，則：y=(t)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(t),(t)'(t)+Q(t),(t)'(t)dtL兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系：Pdx+Qdy=(Pcos+Qcos)ds，其中和分別為L(zhǎng)LL上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。格林公式：(DQPQP-)dxdy=Pdx+Qdy格林公式：(-)dxdy=Pdx+QdyxyxyLDLQP1

16、當(dāng)P=-y,Q=x-=2時(shí)，得到D的面積：A=dxdy=xdy-ydxxy2LD·平面上曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！·二元函數(shù)的全微分求積：在QP時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng)xyu(x,y)=(x0,y0)P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常設(shè)x0=y0=0。曲面積分：22對(duì)面積的曲面積分：f(x,y,z)ds=fx,y,z(x,y)+z(x,y)+z(x,y)dxdyxyDxy對(duì)坐

17、標(biāo)的曲面積分：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：R(x,y,z)dxdy=±Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào)；DxyP(x,y,z)dydz=±Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；DyzQ(x,y,z)dzdx=±Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)。Dzx兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)ds高斯公式：(PQR+)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcos+Qcos+Rcos)dsxyz高斯公

18、式的物理意義通量與散度：PQR 散度：div=+,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div<0,則為消失.通量：A xyzn ds=Ands=(Pcos+Qcos+Rcos)ds，因此，高斯公式又可寫(xiě)成：divA dv=Ands斯托克斯公式曲線(xiàn)積分與曲面積分的關(guān)系：(RQPRQy-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-Py)dxdy=Pdx+Qdy+Rdzdydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫(xiě)成：=xyzxyzPQRPQR空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)RQPRQPy=zz=xx=y旋度：rotA ijk=xyzPQ向量場(chǎng)A R沿有向閉曲線(xiàn)Pdx+Qdy+Rdz=A tds常數(shù)項(xiàng)

19、級(jí)數(shù)：+q+q2+ +qn-1=1-qn等比數(shù)列：11-q等差數(shù)列：1+2+3+ +n=(n+1)n2調(diào)和級(jí)數(shù)：1+1112+3+ +n是發(fā)散的級(jí)數(shù)審斂法：1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)：=limn，則>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n=1時(shí)，不確定2、比值審斂法：<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂U設(shè)：=limn+1，則>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散nUn=1時(shí)，不確定3、定義法：sn=u1+u2+ +un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1-u2+u3-u4+ (或-u1+u2-u3+ ,un>0)的審斂法萊布尼茲定理：unun+1如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足，那么級(jí)數(shù)收

20、斂且其和su1,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnun+1。limu=0nn絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1+u2+ +un+ ，其中un為任意實(shí)數(shù)；(2)u1+u2+u3+ +un+如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱(chēng)為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(chēng)(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。1(-1)n調(diào)和級(jí)數(shù)：n發(fā)散，而n1級(jí)數(shù)：n2收斂；時(shí)發(fā)散1p級(jí)數(shù)：npp>1時(shí)收斂?jī)缂?jí)數(shù)：1x<1時(shí)，收斂于1-x1+x+x2+x3+ +xn+ x1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0+a1x+a2x2+ +anxn+ ，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全x<R時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使x>R

21、時(shí)發(fā)散，其中R稱(chēng)為收斂半徑。x=R時(shí)不定10時(shí)，R=a求收斂半徑的方法：設(shè)limn+1=，其中an，an+1是(3)=0時(shí)，R=+nan=+時(shí)，R=0函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)： f''(x0)f(n)(x0)2函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)+ +(x-x0)n+ 2!n!f(n+1)()余項(xiàng)：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：limRn=0n(n+1)!f''(0)2f(n)(0)nx0=0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +x+ 2!n!一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：m(m-

22、1)2m(m-1) (m-n+1)nx+ +x+ (-1<x<1)2!n! 2n-1x3x5xsinx=x-+- +(-1)n-1+ (-<x<+)3!5!(2n-1)!(1+x)m=1+mx+歐拉公式：eix+e-ixcosx=2eix=cosx+isinx或 ix-ixsinx=e-e2三角級(jí)數(shù)：a0f(t)=A0+Ansin(nt+n)=+(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在-,上的積

23、分0。傅立葉級(jí)數(shù)： a0f(x)=+(ancosnx+bnsinnx)，周期=22n=11(n=0,1,2 )an=f(x)cosnxdx-其中b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )n-1121+2+2+ =8351112+2+2+ =224246正弦級(jí)數(shù)：an=0，bn=余弦級(jí)數(shù)：bn=0，an=11121+2+2+2+ =623411121-2+2-2+ =1223422f(x)sinnxdxn=1,2,3 f(x)=b0nsinnx是奇函數(shù)0f(x)cosnxdxn=0,1,2 f(x)=a0+ancosnx是偶函數(shù)2周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：a0nxnxf(x)=+(ancos+bnsin)，周期=2l2n=1lll1nxdx(n=0,1,2 )an=f(x)cosl-ll其中l(wèi)b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3 )nll-l微分方程