必修二立體幾何經典證明題

1、必修二立體幾何經典證明試題11.如圖，二棱柱 ABC- A1B1G中，側棱垂直底面，/ ACB=90 , AC=BQ=AA1, D是棱AA的中點(I)證明：平面BDC，平面BDC(H)平面BDC分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.1.【解析】(I)由題設知 BCL CCi,BC±AC, CC1C AC =C ,. 8面 ACC1A , 又丁 CDC1 二面 ACC1A ,DC1 _L BC ,由題設知 /A1DC1 =/ADC =450,. ZCDC1=90°,即 DC1 1 DC ,又; DC c BC =C , DC1，面 BDC ,= DC1 c 面 BDC1 ,面

2、 BDC，面 BDC1 ;1 121(H )墳梭誰B DACC1的體根為V1 , AC =1,由就息行,V1二 父x 1 x 1 =,3 22由三棱柱ABC -A1B1C1的體積V =1,(V -V1):V1=1：1 ,；平面BDC1分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.2.如圖5所示，在四棱錐 P-ABCD中，AB_L平面PAD, AB/CD , PD = AD , E1是PB的中點，F(xiàn)是CD上的點且DF = AB , PH為A PAD中AD邊上 2(1)證明：PH _L 平面 ABCD ;(2)若PH=1, AD =拒，F(xiàn)C =1,求三棱錐E-BCF的體積；(3)證明：EF_L平面PAB.【解

3、析】(1)證明：因為AB _L平面PAD ,所以PH _L AB 0 因為PH為 PAD中AD邊上的高，所以 PH_LAD。因為ABpAD = A,所以PH _L平面ABCD。圖”(2)連結BH ,取BH中點G ,連結EG。 因為E是PB的中點，所以EG / PH。 因為PH，平面ABCD所以EG，平面ABCD。1 111 12則 EG =-PH =一、Ve_bcf = - S由cf EG =一 一 FC AD EG =。2 23 B3 2121(3)證明：取PA中點M ,連結MD , ME。因為E是PB的中點，所以ME / 1AB一 21因為DF -AB ,所以ME/ DF ,所以四邊形ME

4、DF是平行四邊形，所以 =2=EF / MD。因為PD=AD ,所以MD _LPA。因為AB_L平面PAD ,所以MD _L AB。因為PAp| AB = A ,所以MD _L平面PAB ,所以EF _L平面PAB。二AD_L平面3.如圖，在直三棱柱ABC AiBCi中，ABi =AG , D , E分別是棱BC ,CC1上的點（點D不同于 點C），且AD _LDE , F為BQ的中點.求證：（1）平面ADE _L平面BCCiBi ;（2）直線A1F /平面ADE .【答案】證明：（1） ABC - ABG是直三棱柱，；CC1 _L平面ABC。又. ADu 平面 ABC , . .CC1_LA

5、D。又 < AD _LDE , CC1, DE 仁平面 BCC1B1, CC1 口 DE = E ,BCC1 巳 0又ADu 平面 ADE ,平面 ADE_L平面 BCC1B。(2) A1Bi=ACi, F 為 BQ 的中點，AF_LB£i。又= CC1 _L平面 ABG ,且 AFU 平面 ABG ,CG _LAF。又; CC1, B1C1 u 平面 BCC1B1 , CC1 QB1C1 =C1 , /. AF，平面 A1B1C1。由(1)知，AD _L平面 BCC1B1 ,A1F / AD o又; ADu平面ADE, AF正平面ADE , 二直線 AF 平面ADE4 .如圖

6、，四棱錐P ABCW, ABCDJ矩形， PAM等腰直角三角形，/ APD=90 ,面PAD，面 ABCD 且 AB=1, AD=2 E、F 分另U為 PC?口的中點.(1)證明：EF/面PAD(2)證明：面PDCL面PADBD(3)求四棱錐P ABCD勺體積.如圖，連接AC:ABC師矩形且F是BD的中點， AC必經過F又E是PC的中點，所以，EF/ AP.EF在面 PAC#, PA在面內，EF/ 面 PAD(2) 面 PADL面 ABCD CD!AD,面 PAD 面 ABCD=ADCD1面 PAD又 AP 匚面 PAD API CDXv API PD PDffi CD相交直線，AF51面 P

7、CD又人上面PAD所以，面PDCL面PAD(3)取AD中點為O,連接PQ因為面PADL面ABCDMPAM等腰直角三角形，所以PQL面 ABCD即PO為四棱錐P-ABCD勺高12.AD=2 : PO=1所以四棱錐P-ABCD勺體積VPO AB AD =- 335 .在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是正方形，MA_L 平面 ABCD, PDMA, E、G、F 分別為 MB、PB、PC 的中點，且AD =PD =2MA.(I)求證：平面EFG_L平面PDC;(II )求三棱錐P-MAB與四棱錐PABCD的體積之比.【解析】(I )證明：由已知MA平面ABCD PD?/ MA所以 PD 平面AB

8、C取 BC 平面ABCD因為四邊形ABC師正方形，所以 PD ± BC又 PD A DC=D因止匕 BC ，平面PDC在PBCt,因為G平分為PC的中點，所以 GF / BC因此 GF，平面PDC又.GF C平面EFG 所以平面EFGL平面PDC.(H )解：因為PDL平面ABCD四邊形ABC師正方形，不妨設 MA=1WJ PD=AD=2, ABCD所以 Vp-ABCD=1/3S 正方形 ABCD PD = 8/3由于 DA，面MAB勺距離所以DA即為點P到平面MAB勺距離，三棱錐 Vp-MAB=1/3X 1/2 X 1X2X 2=2/3 ,所以 Vp-MAB: V p-ABCD=1

9、:4CD1 .6.如圖，正方形ABC前四邊形ACE所在的平面互相垂直。EF/AC, AB=/2 ,CE=EF=1 E(I)求證：AF平面BDE證明:(I )設 AC于 BD交于點 G 因為 EF/ AGH EF=1, AG=AG=(H)求證：CF1平面BDF;所以四邊形AGE為平行四邊形因為E8平面BDE,A蛙平面BDE,所以AF/ EG所以AF/平面BDE(H)連接FG因為EF/ CG,EF=CG=1t CE=1所以平行四邊形CEFG為菱形。所以CF± EG.因為四邊形ABCDfe正方形，所以BDLAC.又因為平面ACE已平面ABCD旦平面ACER 平面 ABCD=ACf以 BDL

10、T面 ACEF所以 CF± BD.又 BDA EG=GW以 CF，平面 BDE.7 .如圖，在多面體 ABCDE中，四邊形 ABCD1正方形，AB=2EF=24r分別是SEF/ AB,EF± FB,/BFC=90 , BF=FC,H為 BC的中點，(I)求證：FH/平面EDB;(H)求證：ACL平面EDB;(m)求四面體B-DEF的體積；AD _ B1c0求證：(1) EF/平面ABC(2)平面 AFD，平面 BB1C1C .8 .如圖，在直三棱柱ABC-ABQ中，E、F分別是AB、AQ白沙點AB, AC邊上的點，AD=AE, F是BC的中點，AF與DE9 .如圖4,在邊長

11、為1的等邊三角形ABC中，D,E交于點G,將MBF沿AF折起，得到如圖5所示的三棱錐A-BCF ,其中AGEC ,在折F(1)證明：DE平面BCF ;證明：CF _L平面ABF ;當AD =|時，求三棱錐F - DEG的體積Vf _deg .AD" 答案】(1)在等邊三角形ABC中，AD = AE DBB也成立，二 DE /BC，': DE 0平面 BCF , BCu 平面 bCF4,二 DE / 平面 BCF；-1BF =CF =(2)在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AF,BC，2.2BC 二CCC在三棱錐A -BCF|=>,2 ,. BC2 = BF 2

12、+CF 2，二 CF -L BF '/BF ccF =F.CF _L 平面 ABF ;由(1)可知GE/CF ,結合(2)可得GE,平面DFG10.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB/CD , AB .L AD , CD=2AB,平面 PAD _L 底面ABCD , PA _L AD , E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1) PA _L底面 ABCD;(2) BE/平面 PAD ;(3)平面 BEF _L 平面 PCD【答案】(I)因為平面PADL平面ABCD旦PA垂直于這個平面的交線 AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因為 AB/ CD,CD=2AB,西 CD的中點所以AB/ DEH AB=DE所以ABEM平行四邊形,所以BE/ AD,又因為BEX平面PAD,AD=平面PAD所以BE/平面PAD.(III) 因為AB±AD,而且ABE師平行四邊形所以BE! CD,ADL CD,由(I)知PAL底面ABCD,所以PAL CD所以CDL平面PAD所以CD!PD,因為E和F分別是CD和