中考數(shù)學(xué)專題題型講練過關(guān)題型10類比、拓展探究題

1、類型1圖形旋轉(zhuǎn)引起的探究1.2018 焦作一模如圖（1）,在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊 AB,AC 上,AD=AE,連接 BE,CD,點(diǎn) M,N,P 分別是 BE,CD,BC 的中點(diǎn)，連接 DE,PM,PN,MN.（1）觀察猜想圖中APMN是（填特殊三角形的名稱 ）.探究證明如圖（2）, AADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則APMN的形狀是否發(fā)生改變 ？并就圖（2）說明理由 （3）拓展延伸若AADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),AD=1,AB=3,請(qǐng)直接寫出 PMN的周長(zhǎng)的最大值.圖(1)圖(2)2.如圖（1）,在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中,AB=2,A

2、B'="'*,連接CC：CC 問題發(fā)現(xiàn)：計(jì)算""'的值；(2)拓展探究：將正方形AB'C'D'繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為。連接BB.試判斷：當(dāng)CC0°<8 <360°時(shí),的值有無變化？請(qǐng)僅就圖(2)中的情形給出你的證明?請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，并給出解題過程(3)問題解決：在旋轉(zhuǎn)過程中，BB'的最大值為多少備用圖3.如圖(1),在AABC中，/ACB=90 ° ,AC=BCX點(diǎn)A作AE LAC,點(diǎn)M為射線 AE上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順

3、時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90。得到線段CN,直線NB分 別交直線CM,射線AE于點(diǎn)F,D.(1)問題發(fā)現(xiàn)：/NDE= ;(2)拓展探究：如圖(2),當(dāng)/EAC為鈍角時(shí)，其他條件不變，/NDE的大小有無變化？請(qǐng)給出證明如圖(3),若/EAC=15 ° ,BD=直線CM與AB交于點(diǎn)G,其他條件不變，請(qǐng)直接寫出 AC的 長(zhǎng).圖圖圖4.(1)問題背景如圖(1), A ABD 和AFOG均為等腰直角三角形 ，/BAD= / FOG=90 ° ,AB=AD, 點(diǎn)。為BD 的中點(diǎn)，OF=OG,點(diǎn)O,A,F三點(diǎn)共線，連接BF,AG,猜想BF和AG的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系分別 是.類比探索：如圖(2),將

4、等腰直角三角形 FOG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0 0<a <90°后,(1)中的結(jié)論是否仍然成 立？若成立，請(qǐng)予以證明；否則，請(qǐng)說明理由.拓展延伸：在等腰直角三角形 FOG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) a (0 °< a <360 °的過程中，若BD=OG=2,點(diǎn)P為 邊FG上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段 AP長(zhǎng)度的最大值和最小值.D G if圖(1)圖(2)類型2 動(dòng)點(diǎn)引起的探究5.2018開封一?！締栴}提出】 如圖（1）,已知AABC是等腰三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC,將 BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°至AACF,連接E

5、F.求證:AB=BD+AF.【類比探究】（2）如圖（2）,如果點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AB,BD,AF 之間又有怎樣的數(shù) 量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.（3）如果點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D（3）的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并寫出AB,BD,AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由.圖(1)圖(2)圖(3)時(shí)，求AE的長(zhǎng).7.2018遼寧撫順在AABC 中,AB=BC,BDXAC 于點(diǎn) D, / FAC=上 / ABC,且 / FAC 在 AC6.2018 江蘇連云港中考改編在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).4ABC是邊長(zhǎng) 為2的等邊三角形，E是直線AC上一點(diǎn)，小亮以

6、BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形 BEF,連接CF.如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，EF,BC相交于點(diǎn)D,小亮發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形全等，請(qǐng)你找出來，并證明.（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),CF,BE相交于點(diǎn)D,請(qǐng)你探求 ECD的面積Si與 DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（3）如圖（2）,當(dāng)AECD的面積Si =圖圖下方.點(diǎn)P,Q分別是射線BD、射線AF上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q不與點(diǎn)A重合，連 接CQ,過點(diǎn)P作PE，CQ于點(diǎn)E,連接DE.（1）若/ABC=60 ° ,BP=AQ.如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段 DE和線段AQ的

7、數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系 如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，試判斷中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由. 若/ABC=2 百60。請(qǐng)直接寫出當(dāng)線段 BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，能使（1）中的 結(jié)論仍然成立（用含a的三角函數(shù)表示）.圖8.2018 四川樂山已知Rt A ABC 中，/ ACB=90 。點(diǎn)D,E分別在 BC,AC 邊上，連接BE,AD 交于點(diǎn)P,設(shè)AC=kBD,CD=kAE,k 為常數(shù).如圖(1),若k=1,則/APE的度數(shù)為 ; 如圖(2),若k= ",試問 中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，求出/ APE的度數(shù).(3)如圖(3),若k= V5,且

8、點(diǎn)D,E分別在CB,CA的延長(zhǎng)線上,(2)中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由.圖圖類型3圖形形狀變化引起的探究9.2018 山東淄博(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖，小明畫了一個(gè)等腰三角形 ABC,其中AB=AC,在AABC的外側(cè)分別以 AB,AC 為腰作 了兩個(gè)等腰直角三角形 ABD,ACE,分別取BD,CE,BC 的中點(diǎn)M,N,G,連接GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了 線段MG與NG的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .(2)類比思考如圖(2)，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考，把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB>AC,其他條彳不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由.(3)深入研究如圖(3),小明在(

9、2)的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步探究 晌AABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其他條件不變，試判斷AGMN的形狀，并證明.圖圖圖10.2018 南陽一?！締栴}情境】在四邊形 ABCD 中，BA=BC,DC ±AC,過點(diǎn)D作DE II AB,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,M 是邊AD 的中點(diǎn)，連接MB,ME.【特例探究】 如圖（1）,當(dāng)/ABC=90 。時(shí)，線段MB與ME之間的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是；如圖（2）,當(dāng)/ ABC=120。時(shí),試探究線段 MB與ME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【拓展延伸】（3）如圖（3）,當(dāng)/ABC= a時(shí),請(qǐng)直接用含 a的式子表示線段 MB與ME之間的數(shù)

10、量關(guān)系.圖圖(2)圖(3)11.2019 原創(chuàng)觀察猜想 如圖（1）,在Rt A ABC 中，/ BAC=90 ° ,AB=AC=3,點(diǎn)D與點(diǎn)A 重合，點(diǎn)E在邊BC上，連接 DE,將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段DF,連接BF.BE與BF的位置關(guān)系 是,BE+BF= ;探究證明 在 中，如果將點(diǎn)D沿AB方向移動(dòng)，使AD=1,其余條件不變，如圖（2）,判斷BE與BF的位 置關(guān)系，并求BE+BF的值，請(qǐng)寫出你的理由或計(jì)算過程；拓展延伸（3）如圖（3）,在AABC 中,AB=AC, / BAC= a點(diǎn)D在邊BA 的延長(zhǎng)線上,BD=n,點(diǎn)E在邊BC上, 連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針

11、旋轉(zhuǎn)，得到線段DF,旋轉(zhuǎn)角/ EDF= a，連接BF,則BE+BF的 值是多少？請(qǐng)用含n, a的式子直接寫出結(jié)論.圖(3)12.在AABC中，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，若/MPN的頂點(diǎn)P為線段CD上任一點(diǎn)，其兩邊分別 與邊 BC,AC 交于點(diǎn) M,N,且/MPN+ /ACB=180 ° .PM如圖（1）,若AC=BC, /ACB=90 。且點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，求的值；PM如圖(2),若BC=m,AC=n, / ABC=90 。且點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則PN =的式子表示) 如圖(3),若xG=k(k wi),BC=m,AC=n,請(qǐng)直接寫出 所的值.(用含k,m,n圖圖(2)圖(3)參考答案(1

12、) 1)等邊三角形(2) APMN的形狀不發(fā)生改變，仍為等邊三角形.理由如下連接BD,CE.由旋轉(zhuǎn)可得/ BAD= / CAE,.ABC是等邊三角形，AB=AC, /ACB= /ABC=60 ,又 AD=AE, .ABD ACE,BD=CE, /ABD= /ACE.M 是BE的中點(diǎn)，P是BC的中點(diǎn)，PM是ABCE的中位線，1PM= CE 且 PM II CE.同理可證PN=BD 且 PN II BD,PM=PN, / MPB= / ECB, / NPC= / DBC, ./ MPB+ / NPC= /ECB+/DBC=( /ACB+ / ACE)+( /ABC- / ABD)= /ACB+ /

13、ABC=120 ./ MPN=60 , .PMN是等邊三角形.(3) A PMN的周長(zhǎng)的最大值為 6.CC2.(1)!- =- ''.CC當(dāng)00 <360°時(shí),廿行的值不變.證明：連接AC,AC'.四邊形ABCD和四邊形AB'C'D'是正方形， / BAC= / B'AC'=45 ° , / BAC- / B'AC= / B'AC'- / B'AC,即 / B'AB= / C'AC.AC AC又.%；=月|而="AC AC,=1. B'AB

14、 s匕 C'AC,CC=的值不變.以點(diǎn)A為圓心、AB'的長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)點(diǎn)B'在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段BB'最長(zhǎng).此時(shí) BB'=AB+AB'=2+3.(1)90(2) / NDE的大小不變證明：./ ACB= / MCN=90 ./ MCA= / BCN.在 AMAC NBC 中,(AC - fiC.上 ACM = J.BCN.I MC = ATt. . MAC 9& NBC, ./ BNC= /AMC,又MFD= / NFC, ./ MDF= / FCN=90 ,即/NDE=90 ° .(3)AC=2.4.(1)BF 

15、7;AG, BF=AGHOD(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:如圖，連接OA,延長(zhǎng)GA分別交FO,FB于點(diǎn)H,E.ABD為等腰直角三角形，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，OB=OA, / AOB=90 . / BOF+x= / AOG+ =90° , ./ BOF= / AOG.又 OF=OG, . BOF AOG,BF=AG, /BFO= / AGO.AGO+ / GHO=90 ,/ GHO= / EHF, ./ EHF+ / BFO=90 , ./ FEH=90 ,BF ±AG.(3)AP 長(zhǎng)度的最大值為 3,最小值為舊.,BE=AF,CE=CF,5.(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可得，/BCA

16、= /ECF=60 .CEF和AABC 都是等邊三角形，EF=CE, / CAF= / ABC=60 ,DE=EF, ./ EAF= / BAC+ /CAF=120 . / DBE=180 -/ ABC=120 , ./ EAF= / DBE.易知A,E,C,F 四點(diǎn)共圓， ./ AEF= / ACF.ED=EC,. D= / BCE.又/BCE= / ACF,. D= / AEF, . EDB 9A FEA,BD=AE, . AB=AE+BE=BD+AF.(2)AB=BD-AF.理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，/ BCA= / ECF=60 ° ,BE=AF,CE=CF,.CEF和AABC

17、都是等邊三角形，EF=CE, / EFC= / BAC=60 ,DE=EF. / ECF= / ECD+ / FCD=60 , / BCA= / ACF+ / FCD=60 , ./ ECD= /ACF.ED=EC,.D= / ECD,.D= / ACF.易得 / FEA= / ACF,/ D= / FEA.由旋轉(zhuǎn)知 /CAF= /CBE=120 ° , / DBE= / FAE=60 , . DEB 9A EFA,BD=AE,BD=AF+AB,即 AB=BD-AF.(3)補(bǔ)圖如圖所示，AF=BD+AB( 或 AB=AF-BD).6.(1) A ABE CBF.證明：ABC, ABE

18、F都是等邊三角形，BA=BC,BE=BF, / ABC= / EBF, ./ABE= /CBF, .ABE ACBF.(2)S 2-S i=園.理由：.ABC, ABEF都是等邊三角形，BA=BC,BE=BF, / ABC= / EBF, ./ABE= /CBF, .ABE ACBF,Sa ABE =S CBF .Sacbf-S ACBE =S2-S 1, , S2 -S 1 =S aABE -S aCBE =S aABC =.(3)由(2)可知：SBDF -S Aecd =再.但又 SAECD =叵，網(wǎng)Sa BDF =. A ABE ACBF,AE=CF, / BCF= / BAE=60 ,

19、 ./ ABC= / DCB, CF II AB,則ABDF的DF邊上的高為 譙,可彳導(dǎo)DF= 37設(shè) CE=x,則 2+x=CD+DF=CD+ 3, 1. CD=x-.CD / AB,CD CE1.罰=正,CD AE=AB - CE, . (x- %)(x+2)=2x,2解得 Xi =1,x 2=- 3(舍去),CE=1,AE=3.17 .(1)DE=5AQ,DE II AQ.成立.理由：連接PQ,PC,同中方法可得 DE / AQ,DE= ：/AQ.(2)AQ=2BP sin a .8 .45°(1)中結(jié)論不成立.如圖(1),過點(diǎn)A作CB的平行線，過點(diǎn)B作AD的平行線，兩線交于點(diǎn)

20、F,連接EF交AD于點(diǎn)H,則/FBE= / APE, /FAC= / C=90。，四邊形 ADBF 是平行四邊形，BD=AF,BF=AD.AC= |,|bd,cd=卜危 Ae,AC CD"叫='=.BD=AF,=.又FAE= / C=90 ° , . FAE ACD,AC AD BP:.Ai=m=F= , / FEA= / ADC.ADC+ / CAD=90 , / FEA+ / CAD=90 =/ EHD. AD / BF, ./ EFB= / EHD=90 .竺幽在 Rt EFB 中,tan / FBE=m=3 , ./ FBE=30 , ./ APE=30 .

21、圖中結(jié)論成立.理由：如圖(2),過點(diǎn)E作CB的平行線，過點(diǎn)D作BE的平行線，兩線交于點(diǎn)F,連接AF交BE于點(diǎn)H,圖則/APE= /ADF, /FEC= / C=90。，四邊形EBDF是平行四邊形BE=DF,EF=BD.AC= kWBD,CD=1點(diǎn) Ae,AC AC Cl) =.FEA= / C=90° , . ACD FEA,口，/ ADC= / FAE.CAD+ / ADC=90 ,FAE+ / CAD=90 ,FAD=90在 Rt DAF ./ ADF=30 ./ APE=309.(1)MG=NGMG ±NG成立.理由：連接CD,BE相交于點(diǎn)H,根據(jù)(1)中思路，可彳導(dǎo)MG=NG,MG±NG.(3) AGMN是等腰直角三角形證明：如圖，連接EB,DC并延長(zhǎng)，兩延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) H,同(1)中方法，得AABE 仁ADC,MG=NG,AEB= /ACD,/ ACD-CEH+ / ECH= /AEH- /AEC+180 / ACD- / ACE= / ACD-45 +180° 45=90DHE=90 ,同(1)中方法，得MG ±NG.MB ±ME(2)ME= MB.證明：如圖，延長(zhǎng)EM,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,DE / BA, ./ FAM= / EDM.又. AM=DM